Mostra la font per a −1

{{Falten referències|data=2017}}
{{vegeu|el nombre|1 aC}}
{{Infotaula nombre
| factoritzacio = No
| expressio_algebraica = No
| hexadecimal = No
| binari = No
}}
En [[matemàtiques]], '''−1''' ('''menys u''') és un [[nombre enter]] [[negatiu]], que va entre [[Nombre -2|menys dos]] (-2) i [[zero]] (0). La seva [[representació binària]] pot ser −1 o 11...11 (en funció del format i del nombre de bits utilitzats per a representar nombres enters), la [[representació octal]] pot ser −1 o 77..77 (ídem) i l'[[representació hexadecimal|hexadecimal]] pot ser −1 o FF..FF (ídem). La seva [[factorització en nombres primers]] és 1 × −1 = −1. És l'[[additiu invers]] d'[[U (nombre)|1]], és a dir, el nombre que, en sumar-li 1, dona 0. També forma part de la famosa [[identitat d'Euler]]:

<math>e^{i \pi} = -1</math>

Els negatius tenen algunes propietats similars però lleugerament diferents a les propietats dels nombres enters positius. Els negatius serien un multiplicador d'identitat si no fos pel canvi de signe:

:<math>(-1) \cdot x = -x</math>

L'[[arrel quadrada]] d'un nombre negatiu N és la mateixa que la del nombre positiu però en el pla [[complex]]. És a dir:

:<math>\sqrt{-N} = \sqrt{N \cdot -1} = \sqrt{N} \cdot i</math>

En [[informàtica]], '''−1''' de vegades és usat en alguns llenguatges de programació per a representar un valor inicial per a enters i també es pot utilitzar per a inicialitzar una variable que no conté cap informació útil si, per exemple, s'està cercant un valor d'una llista de nombres positius.

Ocurrències del nombre menys u:
* Designa l'any [[2 aC]].

== Propietats matemàtiques ==
* És l'[[Oposat (matemàtiques)|invers de l'addició]] del nombre [[U (nombre)|1]], és a dir, el nombre que, quan se li suma a 1, dona 0.
* Té algunes propietats simliars però lleugerament differents a les propietats positives (de l'[[U (nombre)u]]); seria un multiplicador d'identitat si no fos per un canvi de signe: (−1) · x = −x.
* En el context de [[nombre imaginari|nombres imaginaris]], i^2 és igual a −1, on i és la unitat imaginària.
* El nombre −1 està present en la [[identitat d'Euler]]: <math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math>.
* És, en [[informàtica]], un valor inicial per a enters en alguns llenguatges; també s'utilitza per mostrar una variable que no conté cap informació útil.

=== Arrels quadrades de −1 ===
Tot i que no hi ha cap arrel quadrada [[nombre real|real]] de −1, el [[nombre complex]] {{mvar|[[Unitat imaginària|i]]}} satisfà {{Math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}}, i com a tal es pot considerar una [[arrel quadrada]] de −1.<ref name="imaginary">{{Cite book |last=Bauer |first=Cameron |year=2007 |chapter=Chapter 13: Complex Numbers |title=Algebra for Athletes |edition=2nd |publisher=[[Nova Science Publishers]] |location=Hauppauge |page=273 |chapter-url=https://books.google.cat/books?id=GmB1cSGHbZcC&pg=PA273 |isbn=978-1-60021-925-2 |oclc=957126114 }}</ref> L'únic altre nombre complex el quadrat del qual és −1 és −{{Mvar|i}} ja que tot nombre complex diferent de zero té exactament dues arrels quadrades, tal com estableix el [[teorema fonamental de l'àlgebra]]. En l'àlgebra dels [[quaternió|quaternions]] – on el teorema fonamental no aplica – que conté els nombres complexos, l'equació {{Math|''x''<sup>2</sup> {{=}} −1}} té infinites solucions.<ref>{{Cite book |last=Perlis |first=Sam |chapter=Capsule 77: Quaternions |title=Historical Topics in Algebra |chapter-url=https://archive.org/details/historicaltopics0000nati/page/38/mode/2up |chapter-url-access=registration |publisher=[[National Council of Teachers of Mathematics]] |location=Reston, VA |series=Historical Topics for the Mathematical Classroom |volume=31 |year=1971 |page=39 |isbn=9780873530583 |oclc=195566 }}</ref><ref>{{Cite book |last=Porteous |first=Ian R. |author-link=Ian R. Porteous |chapter=Chapter 8: Quaternions |url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/porteous3.pdf |title=Clifford Algebras and the Classical Groups |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |publisher=[[Cambridge University Press]] |location=Cambridge |volume=50 |pages=60 |year=1995 |doi=10.1017/CBO9780511470912.009 |isbn=9780521551779 |oclc=32348823 |mr=1369094 }}</ref>

== Referències ==
{{Referències}}

[[Categoria:Nombres enters]]