Mostra la font per a Amplificació i simplificació de fraccions

En ''' [[matemàtica]] ''', ''' amplificar una fracció ''' és l'acció de [[multiplicar]] tant el [[numerador]] com el [[denominador]] d'aquesta, per un mateix [[nombre]], amb l'objectiu d'obtenir una [[fracció]] equivalent<ref>Es diu "fraccions equivalents" al conjunt de fraccions els quocient (o quocients) tenen el mateix valor numèric.
'' (equip = igual/lent = valor) ''.</ref> a la fracció inicial. La '''simplificació ''' o ''' reducció ''' de [[fracció|fraccions]] a l'acció de [[dividir]] numerador i denominador d'una fracció per un mateix nombre amb l'objectiu d'obtenir una ''' fracció equivalent '''.

== Amplificació de fraccions ==
El procediment és vàlid per a tot nombre real diferent de zero, ja que, fent ús de la propietat que té l'element [[Neutre multiplicador]]<ref>Element d'un anell que té la següent propietat. Si per a tot ''x'', '' x1 = 1x = x '', llavors 1 és l'element neutre multiplicatiu de l'anell.</ref> del conjunt de [[nombre real|nombres reals]] '' (Anell amb unitat) '', es pot prendre una fracció que sigui equivalent a 1 ([[element neutre]]) de tal manera que el seu numerador i denominador siguin nombres reals iguals no nuls. Això s'escriu així.


Siguin <math> a_1, a_2, ..., a_n \, \! </math> nombres reals qualsevol diferents de zero, llavors s'ha de:


: <math> \frac{a_1}{a_1}= \frac{a_2}{a_2}=...= \frac{a_n}{a_n}= 1 \, \! </math>


No és vàlida per al real zero perquè la [[Divisió entre zero|divisió per zero]] no està definida
== Aplicació de fraccions ==
* Aquest procediment matemàtic és utilitzat amb freqüència en moltes demostracions matemàtiques, ja que qualsevol expressió que sigui multiplicada per 1 no altera el seu valor. Així doncs, pot crear-se una fracció equivalent a un que ens sigui útil a la nostra demostració. '' veure exemple 1 ''.

: '' (Una funció semblant compleix l'element neutre additiu del nombres reals, ja que en sumar zero tampoc s'altera l'expressió). ''

* Un altre exemple molt conegut és el d'utilitzar aquesta propietat en la [[racionalització (matemàtiques)|racionalització]] de fraccions, on es fa servir la propietat de l'element neutre multiplicatiu per '' treure ''<ref>S'usa aquesta expressió per referir-se a l'acció de deixar un nombre racional per mitjà de certs passos, en el denominador.</ref> l'arrel inexacta d'un nombre real del denominador. '' veure exemple 2. ''

* També s'usa per comparar fraccions. Aquí també és vàlida la simplificació, que en el fons és el mateix, ja que fa ús de les mateixes propietats i procediments. '' veure exemple 3 ''.

== Exemples d'amplificació de fraccions ==
''' Exemple 1 '''

* Demostreu que:

: <math> \tan{(x-y)}= \frac{\tan{(x)}- \tan{(y)}}{1+\tan{(x)}\tan{(y)}}</math>.

Demostració:

: <math> \tan{(x-y)}= \frac{\sin{(x-y)}}{\cos{(x-y)}}</math>

: <math> \tan{(x-y)}= \frac{\sin{(x)}\cos{(y)}- \sin{(y)}\cos{(x)}}{\cos{(x)}\cos{(y)}+\sin{(x)}\sin{(i)}}</math>


'' Multiplicant per 1 la part dreta de la identitat, hem de: ''

: <math> \tan{(x-y)}= \frac{\sin{(x)}\cos{(y)}- \sin{(y)}\cos{(x)}}{\cos{(x)}\cos{(y)}+\sin{(x)}\sin{(y)}}\frac{\frac{1}{\cos{(x)}\cos{(y)}}}{\frac{1}{\cos{(x)}\cos{(i)}}}</math>

Després,

: <math> \tan{(x-y)}= \frac{\tan{(x)}- \tan{(y)}}{1+\tan{(x)}\tan{(y)}}</math>.

Que és el que volíem demostrar.

'' Noteu que aquest procediment és vàlid només si el producte de les tangents de xiy són diferents de menys un. ''

''' Exemple 2 '''

* Racionalitzar l'expressió següent:

: <math> Z = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>

'' Multiplicant per un tenim:

: <math> Z = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}</math>


Després,

: <math> Z = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>

O també en el cas següent:

* Racionalitzar l'expressió:

: <math> Z = \frac{1}{5 - \sqrt{2}}</math>

Multiplicant pel conjugat de z dividit en si mateix tenim.

: <math> Z = \frac{1}{5 - \sqrt{2}}\frac{\bar z}{\bar z}</math>

: <math> Z = \frac{1}{5 - \sqrt{2}}\frac{5+\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}}</math>

: <math> Z = \frac{5+\sqrt{2}}{25-2}</math>

: <math> Z = \frac{5+\sqrt{2}}{23}</math>.


''' Exemple 3 '''

L'amplificació pot usar-se, entre altres coses, per saber quina és la més gran de dues fraccions amb diferent denominador (amplificant la fracció de menor denominador fins a trobar una fracció de la mateixa denominador a l'altra i comparant després els numeradors).

Si es vol saber quina fracció és major:

: <math> \frac{1}{3}; \frac{2}{5}</math>

Amplificar la primera per cinc cinquens i la segunta per tres terços:

És a dir,

: <math> \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5}= \frac{5}{15}</math>

: <math> \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}= \frac{6}{15}</math>

La idea és que totes dues tinguin el mateix denominador, així, es comparen els numeradors i es decideix quin és més gran.

podent d'aquesta manera comparar les fraccions:
: <math> \frac{5}{15}<\frac{6}{15}</math>

i establir finalment la relació:
: <math> \frac{1}{3}<\frac{2}{5}</math>


''' Exemple 4 '''

També es fa servir aquest procediment per sumar fraccions (sumes i restes)

: <math> \frac{1}{4}+\frac{2}{3}</math>

: <math> \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3}+\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}</math>

: <math> \frac{3}{12}+\frac{8}{12}= \frac{11}{12}</math>

== Simplificació de fraccions ==
En ''' [[matemàtiques]] ''' es coneix com a ''' simplificació ''' o ''' reducció ''' de [[fracció|fraccions]] a l'acció de [[dividir]] numerador i denominador d'una fracció per un mateix nombre amb l'objectiu d'obtenir una ''' fracció equivalent '''.


Exemple:

La fracció 2/4 pot ''' simplificar ''' dividint 2:2 = 1 i 4:2 = 2, de manera que s'obté la fracció 1/2 (2/4 = 1/2). Aquella fracció que no pot ser simplificada rep el nom de ''' [[fracció irreduïble]] '''. Una [[fracció]] és [[fracció irreduïble|irreduïble]] quan, tant numerador com a denominador són [[nombres coprimers|relativament primers]], és sigui que no tenen cap divisor comú. Es pot dividir pel qual es pugui per obtenir la fracció corresponent.

== Referències ==
{{Referències}}


{{ORDENA:Amplificacio I Simplificacio De Fraccions}}
[[Categoria:Àlgebra]]