Mostra la font per a Anell (matemàtiques)

En [[matemàtiques]], un '''anell''' és una [[estructura algebraica]] formada per un [[conjunt]] ''A'' d'[[Element (matemàtiques)|elements]] on hi ha definides dues [[operació binària|operacions binàries]], que anomenarem ''suma'' (+) i ''producte'' (·) (tot i que no són necessàriament la [[suma]] i el [[Multiplicació|producte]] de nombres reals habituals) i que compleixen les següents propietats:<ref name=:0>{{Ref-web|títol=ring {{!}} mathematics {{!}} Britannica|url=https://www.britannica.com/science/ring-mathematics|consulta=2022-01-29|llengua=en}}</ref><ref name=:1>[https://mathworld.wolfram.com/Ring.html Ring]. MathWorld {{en}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Rings and Types of Rings {{!}} Discrete Mathematics|url=https://www.includehelp.com/basics/rings-and-types-of-rings-discrete-mathematics.aspx|consulta=2022-01-31}}</ref>
* (''A'',+) és un [[grup commutatiu]], és a dir:
** ''a''+(''b''+''c'') = (''a''+''b'')+''c'' per a tots els elements de ''A'' ([[associativitat]]).
** Existeix un element, 0, tal que 0+''a'' = ''a''+0 = ''a'' per a tot ''a'' de ''A'' ([[element neutre]]).
** Tot element ''a'' de ''A'' té un invers, −''a'', de manera que ''a''+(−''a'') = (−''a'')+''a'' = 0 ([[element invers]]).
** ''a''+''b'' = ''b''+''a'' per a tots els elements de ''A'' ([[commutativitat]]).
* (''A'',·) verifica que
** ''a''·(''b''·''c'') = (''a''·''b'')·''c'' per a tots els elements de ''A'' (associativitat).
** ''a''·(''b''+''c'') = ''a''·''b''+''a''·''c'' i (''a''+''b'')·''c'' = ''a''·''c''+''b''·''c'' per a tots els elements de ''A'' ([[propietat distributiva]] respecte a la suma).

Alguns autors com [[Bourbaki]], només consideren els anells '''unitaris''', és a dir, aquells on l'operació producte admet un [[element neutre]] denotat 1 o explícitament 1<sub>''A''</sub> que compleix:
* 1⋅''a'' = ''a''⋅1 = ''a'' per a tot ''a'' ∈ ''A''.

Aquests autors acostumen a anomenar '''pseudo-anells''' als conjunts que no compleixen aquesta darrera condició.

Fixem-nos que, en canvi, la [[commutativitat]] del producte (''a''·''b'' = ''b''·''a'') no és una condició dels anells. Els anells que sí que la compleixen s'anomenen '''anells commutatius'''.<ref name=:0/>

Fixem-nos també que l'element invers està definit per a la suma, però no per al producte.<ref>{{Ref-web|títol=Sets, Groups, Rings and Algebras|url=https://www.csee.umbc.edu/portal/help/theory/group_def.shtml|consulta=2022-02-02}}</ref> El conjunt d'elements invertibles d'un anell s'anomena el seu grup d'[[Element invertible|unitats]], perquè té l'estructura de [[grup (matemàtiques)|grup]] amb el producte. Quan l'[[element nul]] (zero) és l'únic element no invertible d'un anell, aquest s'anomena [[cos (matemàtiques)|cos]].

== Definició ==
Un '''anell''' és un [[conjunt]] {{mvar|R}} equipat amb dues operacions binàries {{efn|Això vol dir que cada operació és definida i produeix un resultat únic en {{mvar|R}} per cada parell ordenat d'elements de {{mvar|R}}.}} + (addició) i ⋅ (multiplicació) satisfent els següents tres conjunts d'axiomes, anomenats els '''axiomes d'anells''':{{sfnp|Bourbaki|1989|p=96|loc=Ch 1, §8.1|ps=}}{{sfnp|Mac Lane|Birkhoff|1967|p=85|ps=}}{{sfnp|Lang|2002|p=83|ps=}}
# {{mvar|R}} és un [[grup abelià]] respecte de la suma, en el sentit que:
#* {{math|1=(''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'')}} per tot {{math|''a'', ''b'', ''c''}} en {{mvar|R}} (és a dir, {{math|+}} és [[Propietat associativa|associativa]]).
#* {{math|1=''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''}} per tot {{math|''a'', ''b''}} en {{mvar|R}} (és a dir, {{math|+}} és [[Propietat commutativa|commutativa]]).
#* Hi ha un element {{math|0}} en {{mvar|R}} tal que {{math|1=''a'' + 0 = ''a''}} per tot {{mvar|a}} en {{mvar|R}} (és a dir, {{math|0}} és la identitat additiva).
#* Per cada {{mvar|a}} en {{mvar|R}} existeix {{math|−''a''}} en {{mvar|R}} tal que {{math|1=''a'' + (−''a'') = 0}} (és a dir, {{math|−''a''}} és l'[[Oposat (matemàtiques)|oposat]] de {{mvar|a}}).
# {{mvar|R}} és un [[monoide]] sota la multiplicació, és a dir:
#* {{math|1=(''a'' · ''b'') · ''c'' = ''a'' · (''b'' · ''c'')}} per tot {{math|''a'', ''b'', ''c''}} en {{mvar|R}} (és a dir, {{math|⋅}} és associatiu).
#* Hi ha un element {{math|1}} en {{mvar|R}} tal que {{math|1=''a'' · 1 = ''a''}} i {{math|1=1 · ''a'' = ''a''}} per tot {{mvar|a}} en {{mvar|R}} (és a dir, {{math|1}} és la [[element neutre]] de la multiplicació).{{efn|Altres autors no assumeixen l'existència de l'1; aquí, s'utilitza el terme ''rng'' si no s'assumeix l'existència de l'element neutre multiplicatiu.<!-- This is the most common convention, and is adopted throughout wikipedia, please do not change --> Vegi's [[Anell (matemàtiques)#Variacions de la definició|la següent subsecció]].}}
# La multiplicació és [[Propietat distributiva|distributiva]] respecte de la suma, és a dir:
#* {{math|1=''a'' · (''b'' + ''c'') = (''a'' · ''b'') + (''a'' · ''c'')}} per tot {{math|''a'', ''b'', ''c''}} en {{mvar|R}} (propietat distributiva per l'esquerra).
#* {{math|1=(''b'' + ''c'') · ''a'' = (''b'' · ''a'') + (''c'' · ''a'')}} per tot {{math|''a'', ''b'', ''c''}} en {{mvar|R}} (propietat distributiva per la dreta).

Pel que fa a la notació, el símbol multiplicació {{math|·}} sovint s'omet, i aleshores {{math|''a'' · ''b''}} s'escriu {{math|''ab''}}.

=== Variacions de la definició ===
En la terminologia d'aquest article, es defineix l'anell assumint l'existència de la identitat multiplicativa,<!--- This is also the convention in [[Wikipedia:Manual of Style/Mathematics]]. ---> mentre que l'estructura amb la mateixa definició axiomàtica però sense el requeriment de l'element neutre multiplicatiu rep el nom de <!--- What follows is not a typo: it is intentionally "rng". --->"[[rng]]" (com "ring" -anell en anglès- però sense la "i"). Per exemple, el conjunt de [[Nombre parell|nombres parells]] amb la + i la · habitual és un rng, però no un anell. Com s'explica en la secció d'[[Anell (matemàtiques)#Història|Història]] més avall, molts autors apliquen el terme "anell" sense assumir l'existència de la identitat multiplicativa.

Tot i que la suma en un anell és [[Propietat commutativa|commutativa]], la multiplicació en un anell no ho ha de ser necessàriament: no cal que {{mvar|ab}} sigui igual a {{math|''ba''}}. Els anells que també satisfan la commutativitat en la multiplicació (com és el cas de l'anell dels enters) reben el nom de ''[[anell commutatiu|anells commutatius]]s''. Alguns llibre en àlgebra commutativa o geometria algebraica sovint adopten el conveni d'anomenar ''anell'' als ''anells commutatius'', per simplificar la terminologia.

En un anell, els inversos multiplicatius no existeixen necessàriament. Un anell commutatiu no[[Anell trivial|trivial]] en què cada element no zero té un [[invers multiplicatiu]] rep el nom de [[Cos (matemàtiques)|cos]].

El grup additiu d'un anell és el conjunt subjacent equipat amb només l'operació de la suma. Tot i que en la definició cal que el grup additiu sigui abelià, això pot ser inferit dels altres axiomes dels anells.{{sfnp|Isaacs|1994|p=160|ps=}} La demostració utilitza l'"{{math|1}}", i no aplica a un rng. (Per a un rng, l'omissió de l'axioma de la commutativitat en la suma fa que sigui inferible a partir de la resta d'axiomes dels rng's només per a elements que són productes: {{math|1=''ab'' + ''cd'' = ''cd'' + ''ab''}}.)

Hi ha alguns autors que utilitzen el terme "anell" per referir-se a estructures en què no hi ha el requeriment que la multiplicació sigui associativa.<ref>{{cite web |url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Non-associative_rings_and_algebras |title=Non-associative rings and algebras |website=Encyclopedia of Mathematics}}</ref> Per aquests autors, tota [[Àlgebra sobre un cos|àlgebra]] és un "anell".

== Història ==
[[Fitxer:Dedekind.jpeg|miniatura|100px|[[Richard Dedekind]], un dels fundadors de la [[teoria d'anells]].]]

=== Dedekind ===
L'estudi dels anells es va originar en la teoria d'[[Anell de polinomis|anells de polinomis]] i en la teoria d'[[Enter algebraic|enters algebraics]].<ref name="history">{{cite web| url = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Ring_theory/| title = The development of Ring Theory}}</ref> L'any 1871, [[Richard Dedekind]] va definir el concepte d'anell d'enters d'un cos de nombres.{{sfnp|Kleiner|1998|p=27|ps=}} En aquest context, va introduir els termes "ideal" (inspirat per la noció d'[[Ernst Kummer]] de nombre ideal) i "mòdul" i va estudiar-ne les propietats. Dedekind no va utilitzar el terme "anell" ni tampoc va definir el concepte d'anell en un context més general.

=== Hilbert ===
[[David Hilbert]] va encunyar el terme "Zahlring" (anell de nombres) l'any 1892 i ho va publicar el 1897.{{sfnp|Hilbert|1897|ps=}} En l'alemany del segle XIX, la paraula "anell" podia significar "associació", com de fet encara s'utilitza en idiomes com l'anglès en un sentit més limitat,{{Citació necessària|date=October 2023}} així que si aquesta n'és l'etimologia llavors seria molt similar a com el concepte "grup" va entrar en les matemàtiques en ser una paraula no tècnica que significava "col·lecció de coses relacionades". Segons Harvey Cohn, Hilbert va utilitzar el terme per a un anell amb la propietat de "girar enrere directament" cap a un element d'ell mateix (en el sentit d'una [[relació d'equivalència]]).{{sfnp|Cohn|1980|loc=[https://archive.org/details/advancednumberth00cohn_0/page/49 p. 49]|ps=}} Específicament, en un anell d'enters algebraics, totes les potències superiors d'un enter algebraic poden ser escrites com una combinació integral d'un conjunt fixat de potències inferiors i, per tant, les potències "tomben enrere". Per exemple, si {{math|1=''a''{{sup|3}} − 4''a'' + 1 = 0}} llavors:
:<math>\begin{align}
a^3 &= 4a-1, \\
a^4 &= 4a^2-a, \\ 
a^5 &= -a^2+16a-4, \\ 
a^6 &= 16a^2-8a+1, \\
a^7 &= -8a^2+65a-16, \\
\vdots \ & \qquad \vdots
\end{align}</math>
i així successivament; en general, {{math|''a''{{sup|''n''}}}} serà una combinació lineal integral de {{math|1}}, {{math|''a''}}, i {{math|''a''{{sup|2}}}}.

=== Fraenkel i Noether ===
Va ser [[Abraham Fraenkel]] qui va donar l'any 1915 una definició axiomàtica als anells per primer cop,{{sfnp|Fraenkel|1915|pp=143–145|ps=}}{{sfnp|Jacobson|2009|p=86|loc=footnote 1|ps=}} però els seus axiomes eren més estrictes que en la definició moderna. Per exemple, ell requria que tot [[Divisor de zero|no divisor de zero]] tingués un [[invers multiplicatiu]].{{sfnp|Fraenkel|1915|p=144|loc=axiom ''R''{{sub|8)}}|ps=}} L'any 1921, [[Emmy Noether]] va donar la definició aximàtica moderna dels anells commutatius (amb i sense 1) i va desenvolupar els fonaments de la teoria d'anells commutatius en el seu article titulat ''Idealtheorie in Ringbereichen''.{{sfnp|Noether|1921|p=29|ps=}}

=== Identitat multiplicativa i el terme "anell" ===
Els axiomes de Fraenkel per als "anells" incloïen l'existència d'identitat multiplicativa,{{sfnp|Fraenkel|1915|p=144|loc=axiom ''R''{{sub|7)}}|ps=}} mentre que no ho feien els de Noether.{{sfnp|Noether|1921|p=29|ps=}}

La majoria dels llibres d'àlgebra{{sfnp|van der Waerden|1930|ps=}}{{sfnp|Zariski|Samuel|1958|ps=}} de fins a cap als anys 1960 seguien el conveni de Noether de no requerir l'existència d'un {{math|1}} per als "anells". A partir dels anys 60, es va convertir en cada vegada més habitual veure en llibres l'existència de la identitat en la definició d'un "anell", especialment en llibres avançats d'autors notables com ara Artin,{{sfnp|Artin|2018|p=346|ps=}} Bourbaki,{{sfnp|Bourbaki|1989|p=96|ps=}} Eisenbud,{{sfnp|Eisenbud|1995|p=11|ps=}} i Lang.{{sfnp|Lang|2002|p=83|ps=}} També s'han publicat llibres, alguns tan recents com de 2022, que utilitzen el terme "anell" sense el requeriment de la identitat multiplicativa.{{sfnp|Gallian|2006|p=235|ps=}}{{sfnp|Hungerford|1997|p=42|ps=}}{{sfnp|Warner|1965|p=188|ps=}}{{sfnp|Garling|2022|ps=}} De la mateixa manera, l'Enciclopèdia de Matemàtiques (Encyclopedia of Mathematics) no requereix l'element unitat en els anells.<ref>{{cite web |url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Associative_rings_and_algebras |title=Associative rings and algebras |website=Encyclopedia of Mathematics}}</ref> En un article de recerca, els autors solen especificar quina definició d'anell utilitzen en el principi de l'article.

Gardner i Wiegandt afirmen que, quan es treballa amb diversos objectes en la categoria d'anells (a diferència de quan es treballa només amb un anell fixe), si cal que els anells tinguin un {{math|1}}, llavors algunes de les conseqüències inclouen la no existència de sumes directes infinites d'anells, i que els sumands d'anells directes propis no siguin subanells. Conclouen que "en moltes, potser en la majoria, de les branques de la teoria d'anells el requeriment de l'existència de l'element unitat no és sensible i que és per tant inacceptable."{{sfnp|Gardner|Wiegandt|2003|ps=}} [[Bjorn Poonen|Poonen]] fa l'argument contrari afirmant que la noció natural per als anells és el [[producte directe]] i no pas la suma directa. Tanmateix, el seu principal argument és que els anells que no tenen identitat multiplicativa no són totalment associatius, en el sentit que no contenen el producte de cap seqüència infinita d'elements de l'anell, inclosa la seqüència buida.{{efn|Poonen afirma que "l'extensió natural de l'associativitat requereix que els anells continguin un producte buit, i que per tant és natural per als anells de tenir un {{math|1}}".{{sfnp|Poonen|2019|ps=}}}}

Els autors que segueixen un conveni o l'altre pel que fa a l'ús del terme "anell" poden utilitzar un dels següents termes per referir-se als objectes que satisfan l'altre conveni:
:* per incloure el requeriment de la identitat multiplicativa: "anell unital", "anell unitari", "anell unitat", "anell amb unitat", "anell amb identitat", "anell amb una unitat",{{sfnp|Wilder|1965|p=176|ps=}} o "anell amb&nbsp;1".{{sfnp|Rotman|1998|p=7|ps=}}
:* per ometre el requeriment de la identitat multiplicativa: "rng"{{sfnp|Jacobson|2009|p=155|ps=}} o "pseudo-anell",{{sfnp|Bourbaki|1989|p=98|ps=}} tot i que aquest últim pot resultar confús perquè també té altres significats.

== Morfismes d'anells ==
{{Viccionari-lateral|anell}}
Per completar la definició de la [[Categoria (matemàtiques)|categoria]], un '''[[homomorfisme]] d'anells''' és una [[funció matemàtica|aplicació]] ''f'' entre dos anells ''A'' i ''B'' que compleix:
* ''f''(''a''+''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b''),
* ''f''(''a''⋅''b'') = ''f''(''a'')⋅''f''(''b''),
i si hem considerat els anells com unitaris:
* ''f''(1<sub>''A''</sub>) = 1<sub>''B''</sub>.

Tot homomorfisme d'anells [[bijectiu]] és un [[isomorfisme]] i l'existència d'un homomorfisme entre dos anells fa que aquests es siguin [[isomorf]]s.<ref>{{Ref-web|títol=Ring homomorphisms and isomorphisms|url=http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/~john/MT4517/Lectures/L7.html|consulta=2022-02-02|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20220709211646/http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/~john/MT4517/Lectures/L7.html|arxiudata=2022-07-09}}</ref>

== Exemples ==
* El conjunt dels [[nombre enter|nombres enters]] és un anell commutatiu, així com els [[nombre racional|nombres racionals]], els [[nombre real|reals]] i els [[nombre complex|complexos]]; aquests tres últims són, a més a més, cossos.

* El conjunt <math>\mathcal M_n(A)</math> de [[matrius quadrades]] ''n''×''n'' amb elements d'un anell ''A'' té estructura d'anell.<ref name=:1/>

== Tipus d'anells ==
La teoria d'anells és una branca molt rica de l'[[àlgebra abstracta]] i que ha donat lloc a moltes denominacions per a diferents tipus d'anells. Entre els més comuns tenim:
* [[Anell noetherià]]
* [[Anell artinià]]
* [[Anell de Dedekind]]
* [[Anell local]]

En l'estudi de divisibilitat per [[ideal (matemàtiques)|ideals]], s'utilitzen sovint els següents, que estan ordenats de manera que si l'anell és commutatiu cadascun d'ells també té les propietats dels anteriors:
* [[Anell íntegre]]
* [[Anell factorial]]
* [[Anell principal]]
* [[Anell euclidià]]

== Notes ==
{{notes}}

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* {{cite book
  | last1=Garling |first1= D. J. H.
  | year=2022
  | title=Galois Theory and Its Algebraic Background
  | edition=2nd
  | location=Cambridge
  | publisher = Cambridge University Press
  | isbn= 978-1-108-83892-4
  }}
* {{citation
  | last1=Cohn |first1=Harvey
  | year=1980
  | title=Advanced Number Theory
  | location=New York
  | publisher=Dover Publications
  | isbn=978-0-486-64023-5
  }}
* {{citation
  | last1=Serre |first1=J-P.
  | year=1950
  | title=Applications algébriques de la cohomologie des groupes, I, II, Séminaire Henri Cartan, 1950/51
  | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=SHC_1950-1951__3_
  }}
* {{citation
  | last1=Serre
  | year=2006
  | title=Lie algebras and Lie groups
  | edition=2nd
  | publisher=Springer
  }} [corrected 5th printing]

== Vegeu també ==
* [[Anell euclidià]]

{{Autoritat}}

[[Categoria:Teoria d'anells]]
[[Categoria:Estructures algebraiques]]