Mostra la font per a B-spline

En el camp [[matemàtiques|matemàtic]] d'[[anàlisi numèrica]], un '''B-spline''' és un [[spline]] que té [[suport (matemàtiques)|suport]] mínim respecte a un [[Grau d'un polinomi|grau]], [[derivable|suavitat]], i partició del [[Domini (matemàtiques)|domini]] donats. Els B-splines varen ser investigats a {{segle|XIX}} per [[Nikolai Ivànovitx Lobatxevski|Nikolai Lobachevsky]]. Un teorema fonamental estableix que cada spline d'un grau, suavitat, i partició del camp donats, es pot representar de manera única com a [[combinació lineal]] de B-splines d'aquell mateix grau i suavitat, i sobre aquella mateixa partició.<ref>{{ref-llibre|autor = Carl de Boor |títol = A Practical Guide to Splines |editorial = Springer-Verlag |pàgines = 113–114 |any = 1978}}</ref>

El [[Terminologia|terme]] "B-spline" va ser encunyat per [[Isaac Schoenberg]] i és una abreviatura de base spline.<ref>{{ref-llibre|autor = Carl de Boor |títol = A Practical Guide to Splines |editorial = Springer-Verlag |pàgines = 114–115 |any = 1978}}</ref><ref>Gary D. Knott (2000), ''[http://books.google.cat/books?id=qkGlfJRuRs8C&dq=The+global+cubic+spline+basis+based+on+the+particular+join+order+2+piece-+wise+polynomials+known+as+B-splines+(B+stands+for+%22basis%22)+is+developed+by&source=gbs_navlinks_s Interpolating cubic splines]''. Springer. p. 151</ref> els B-splines poden ser avaluats d'una manera [[estabilitat numèrica|numèricament estable]] amb l'[[algorisme de De Boor]]. S'han creat variants simplificades, potencialment més ràpides de l'algorisme de De Boor però pateixen d'estabilitat comparativament més baixa.<ref>{{ref-publicació|cognom=Lee |nom=E. T. Y. |any=1982|mes=desembre |títol=A Simplified B-Spline Computation Routine |publicació=Computing |volum=29 |exemplar=4 |pàgines=365–371 |editorial=Springer-Verlag|doi=10.1007/BF02246763}}</ref><ref>. {{ref-publicació|autor= Lee, E. T. Y. |publicació= Computing |exemplar= 3 |pàgines= 229–238 |editorial= Springer-Verlag | doi=10.1007/BF02240069|títol= Comments on some B-spline algorithms |volum= 36 |any= 1986}}</ref>

En els camps d'[[informàtica]] de [[disseny assistit per ordinador|gràfics]] i d'[[infografia]], el terme '''B-spline''' freqüentment es refereix a una [[spline|corba spline]] parametritzada per funcions [[spline]] que s'expressen com combinacions lineals de B-splines (en el sentit matemàtic de damunt). Un '''B-spline''' és simplement una generalització d'una [corba de Bézier], i pot evitar el [[fenomen de Runge]] sense augmentar el grau del B-spline.

== Definició ==
Donats ''m'' valors reals ''t<sub>i</sub>'', anomenats ''nusos'', amb
:<math>t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_{m-1} </math>

un '''B-spline''' de grau ''n'' és una [[equació paramètrica|corba paramètrica]]

:<math>\mathbf{S}:[t_{n}, t_{m-n-1}] \to \mathbb{R}^d</math>

composta per una combinació lineal de '''B-splines base''' ''b<sub>i,n</sub>'' de grau ''n''

:<math>\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-n-2} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{, } t \in [t_{n},t_{m-n-1}]</math>.

Els punts <math>\mathbf{P}_{i} \in \mathbb{R}^d</math> s'anomenen '''punts de control''' o '''punts de Boor'''. Hi ha ''m−n-1'' punts de control, i formen un [[conjunt convex|embolcall convex]].

Els ''m-n-1'' B-splines base de grau ''n'' poden ser definits, per ''n'' =0,1...,''m-2'', utilitzant la '''fórmula de recurrència de De Boor Cox'''

:<math>b_{j,0}(t) := \left\{
\begin{matrix} 
1 & \mathrm{if} \quad t_j \leq t < t_{j+1} \\
0 & \mathrm{otherwise} 
\end{matrix}
\right.,\qquad j=0,\ldots, m{-}2
</math>

:<math>b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t)
,\qquad j=0,\ldots, m{-}n{-}2.</math>

Fixeu-vos que ''j+n+1'' no pot excedir ''m-1'', que limita tant ''j'' com ''n''.

Quan els nusos són equidistants el B-splines es diu que és '''uniforme''', altrament '''no-uniforme'''. Si dos nusos ''t<sub>j</sub>'' són idèntics, totes les formes 0/0 indeterminades que resulten es consideren que són 0.

Fixeu-vos que quan se suma un conjunt de B-splines adjacents de base de grau ''n'' s'obté, d'aquesta recurrència

:<math>\sum_{j=j'}^{j''} b_{j,n}(t) = \frac{t - t_{j'}}{t_{j'+n} - t_{j'}} b_{j',n-1}(t) \quad + 
\sum_{j=j'{+}1}^{j''} b_{j,n{-}1}(t) \quad + \; \frac{t_{j''+n+1} - t}{t_{j''+n+1} - t_{j''+1}} b_{j''+1,n-1}(t)</math>

per a qualsevol suma amb <math> 0\le j' < j''\le m{-}n{-}2.</math>

Quan <math>j''\ge j'+n-1</math> aquí, llavors aquesta suma és, per aquesta recurrència, idènticament igual a 1 ''dins del subrang limitad''<math>t_{j'{+}n limitat} \le t \le t_{j'' {+}1}</math> (ja que aquest interval exclou els suports dels dos B-splines base en els termes separats als extrems d'aquesta suma).

=== B-spline Uniforme ===
Quan el B-spline és uniforme, la base de B-splines per a un grau donat ''n'' són còpies desplaçades l'un de l'altre. Una definició no recursiva alternativa per la base ''m−n-1'' dels B-splines és

:<math>b_{j,n}(t) = b_n(t - t_j), \qquad\; j = 0, \ldots, m-n-2</math>

amb

:<math>b_{n}(t) := \frac{n+1}{n} \sum_{i=0}^{n+1} \omega_{i,n}(t - t_i)_+^{n} \,\; </math>

i

:<math>\omega_{i,n} := \prod_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{t_j - t_i} \,\;</math>

on

:<math>(t - t_i)_+^n := 
\left\{\begin{matrix} 
(t - t_i)^n &\mbox{if}\ t \ge t_i \\
0 &\mbox{if}\ t < t_i
\end{matrix}\right.
</math>

és la [[funció potencial truncada]].

=== B-spline Cardinal ===
Es defineixi '''B'''<sub>''0'' </sub> com la [[Funció característica (matemàtiques)|funció característica]] de <math>[-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}]</math>, i '''B'''<sub>''k'' </sub> recursivament com el producte de [[convolució]]

:<math>B_k := B_{k-1} * B_0, ~k =1, 2, \dots</math>

llavors '''B'''<sub>''k'' </sub> s'anomenen ''B-splines cardinals'' (centrats). Aquesta definició es remunta a [[Isaac Schoenberg]].

'''B'''<sub>''k'' </sub> té suport compacte <math>[-\tfrac{k+1}{2}, \tfrac{k+1}{2}]</math> i és una [[funcions parelles i imparelles|funció parella]]. Com <math>k \rightarrow \infty</math> els B-splines cardinals normalitzats tendeixen a la [[funció gaussiana]].<ref>Brinks R: On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function, Comp. Appl. Math., 27, 1, 2008</ref>

== Notes ==
Quan el nombre de punts de control de De Boor és un més que el grau i <math>t_0 = \ldots = t_n = 0</math> i <math>t_{n+1} = \ldots = t_{2n} = 1</math> (així <math>t \in [0, 1]</math>), el B-Spline degenera en una [[corba de Bézier]]. En particular, la funció B-Spline base <math>b_{i,n}(t)</math> coincideix amb el [[polinomi de Bernstein]] de grau de n-th.<ref>{{ref-llibre|cognom = Prautzsch et al. |nom = Hartmut |any = 2002|títol = Bezier and B-Spline Techniques |isbn = 3540437614|pàgines = 60–66 |editorial = Springer-Verlag}}</ref> La forma de les funcions base està determinada per la posició dels nodes. Una [[Homotècia|dilatació]] o una [[Translació (matemàtiques)|Translació]] dels vector de nodes no canvia les funcions base.

L'spline és contingut al [[embolcall convex]] dels seus punts de control.

Una base de B-splines de grau ''n''
:<math>b_{i,n}(t)\,\;</math>

és diferent de zero només a l'interval [''t'' <sub>''i'' </sub>, ''t'' <sub>''i+n+1'' </sub>] és a dir
:<math>b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} 
>0 & \mathrm{si} \quad t_{i} \le t < t_{i+n+1} \\
0 & \mathrm{altrament} 
\end{matrix}
\right.
</math>

En altres paraules si es manipula un punt de control que només es canvia el comportament local de la corba i no el comportament global com en les corbes de Bézier.

== Exemples ==
=== B-spline Constant ===
El B-spline constant és l'spline més simple. Es defineix en només una [[amplitud de node]] i no és ni tan sols [[funció contínua|continu]] als nodes. És la [[funció característica (matemàtiques)|funció característica]] pels diferents intervals entre nodes.

:<math>b_{j,0}(t) = 1_{[t_j,t_{j+1}]} =
\left\{\begin{matrix} 
1 & \mathrm{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
0 & \mathrm{altrament} 
\end{matrix}
\right.
</math>

=== B-spline Lineal ===
El B-spline lineal està definit en dos intervals entre nodes consecutius i és continu als nodes, però no diferenciable.

:<math>b_{j,1}(t) = 
\left\{\begin{matrix} 
\frac{t - t_j}{t_{j+1} - t_j} & \mathrm{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
\frac{t_{j+2} - t}{t_{j+2} - t_{j+1}} & \mathrm{si} \quad t_{j+1} \le t < t_{j+2} \\
0 & \mathrm{altrament} 
\end{matrix}
\right.
</math>

=== B-spline quadràtic uniforme ===
Els B-splines quadràtics amb ''vector de nodes'' uniforme és un tipus de B-splines que es fa servir sovint. La [[funció base]] es pot precalcular fàcilment, i en aquest cas, és igual per a cada segment.
:<math>b_{j,2}(t) = \begin{cases} \frac{1}{2}(t-t_j)^2 & t_j\le t \le t_{j+1} \\ -(t-t_{j+1})^2 + (t-t_{j+1}) + \frac{1}{2} & t_{j+1} \le t \le t_{j+2}\\ \frac{1}{2}(1-(t-t_{j+2}))^2 & t_{j+2} \le t \le t_{j+3}\\ 0 & \mbox{altrament} \end{cases}</math>

Posada en forma de [[Matriu (matemàtiques)|matriu]], és:<ref>{{Ref-web |url=http://graphics.idav.ucdavis.edu/education/CAGDNotes/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting.html |títol=Splitting a uniform B-spline curve |consulta=2011-11-13 |arxiuurl=https://web.archive.org/web/20090414153059/http://graphics.idav.ucdavis.edu/education/CAGDNotes/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting.html |arxiudata=2009-04-14 }}</ref>
:<math> \mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{2} \begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \end{bmatrix}
</math> per <math>t \in [0,1], i = 1,2 \ldots m-2</math>

=== B-Spline Cúbic ===
La fórmula del B-spline per a un segment únic es pot escriure com:

:<math>\mathbf{S}_{i} (t) = \sum_{k=0}^3 \mathbf{P}_{i-3+k} b_{i-3+k,3} (t) \mbox{; }\ t \in [0,1]</math>

on '''S'''<sub>''i'' </sub> és el segment ''i''-èsim del B-spline, P és el conjunt de punts de control, ''i'' i ''k'' són els índexs dels punts de control locals. Un conjunt de punts de control serien <math>P_i^w = (w_i x_i, w_i y_i, w_i z_i, w_i)</math> on el <math>w_i</math> és el pes, que estira la corba cap al punt de control <math>P_i</math> quan augmenta o aparta la corba lluny del punt quan disminueix.

Un conjunt complet de segments de ''m''-2 corbes (<math>S_3,S_4...,S_m</math>) definit per ''m'' +1 punts de control (<math>P_0,P_1...,P_m, m \ge 3</math>), com un B-spline en ''t'' estaria definit per:

:<math>\mathbf{S}(t) = \sum_{i=0}^{m-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,3} (t)</math>

on ''i'' és el número de punt de control i ''t'' és un paràmetre global que dona els valors dels nodes. Aquesta formulació expressa una corba B-spline com una combinació lineal de B-spline base, d'aquí el nom.

Hi ha dos tipus de B-splines - uniformes i no-uniformes. Un B-spline no uniforme és una corba on els intervals entre punts successius de control no són necessàriament iguals (les separacions entre els nodes del vector de nodes no són iguals). Una forma freqüent és quan l'amplada dels intervals es redueix successivament cap a zero, interpolant punts de control.

[[Fitxer:SplinesTilburg.pdf|miniatura|Comparació entre un B-spline cúbic uniforme (groc) i un [[spline cúbic d'Hermite]] (vermell fosc).]]

=== B-splines cúbics uniformes ===
Els B-splines cúbics amb un ''vector de nodes'' uniforme és la forma més habitualment emprada de B-splines. La [[funció base]] es pot precalcular fàcilment, i en aquest cas és igual per a cada segment. Posada en forma [[Matriu (matemàtiques)|matricial]], és:
:<math> \mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^3 & t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{6} \begin{bmatrix}
-1 & 3 & -3 & 1 \\
 3 & -6 & 3 & 0 \\
-3 & 0 & 3 & 0 \\
 1 & 4 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \\ \mathbf{p}_{i+2} \end{bmatrix}
</math>

per a <math>t \in [0,1].</math>..

== Vegeu també ==
* [[Spline]]
* [[NURBS|B-spline Racional No Uniforme]] (NURBS)

== Referències ==
{{Referències}}

== Enllaços externs ==
* [http://mathworld.wolfram.com/B-Spline.html B-spline a MathWorld]
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/B-SplinesMod.html Mòdul de B-Splines per John H. Mathews]
* [http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.interpolate.bisplrep.html B-spline bivariant a numpy]
* [http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/B-splines B-splines interactiu amb JSXGraph]

{{ORDENA:B-Spline}}
[[Categoria:Corbes]]
[[Categoria:Infografia]]
[[Categoria:Algorismes]]
[[Categoria:Anàlisi numèrica]]
[[Categoria:Processament digital del senyal]]