Mostra la font per a Bhaskara II

{{Infotaula persona
| organitzacio = Observatori astronòmic d'[[Ujjain]]
| influi_en = [[Narayana Pandit]]
| influencies_de = [[Brahmagupta]]
}}
{{IniciBio}}, també conegut com a '''Bhaskaracharya''' (Bhaskara ''el professor''), va ser un [[matemàtic]] indi, del {{segle|XII}}.

== Biografia ==
El poc que es coneix de la seva vida procedeix de la introducció de la seva obra ''Siddhanta Siromani''. Va ser fill del [[Bramans|braman]] Mahesvara que havia tingut fama com astròleg. El seu lloc de naixement, [[Bijapur (Karnataka)|Vijayapura]], és discutit per alguns historiadors que el situen a [[Patna]].{{sfn|Gupta|1997|p=155}}
Va ser el cap de l'Observatori Astronòmic d'[[Ujjain]], el més prestigiós centre científic de l'[[Índia]] en aquella època i en el qual també havien estat [[Brahmagupta]] i [[Varahamihira]] en segles anteriors.
El seu net, Changadeva, va ser astrònom a la cort de la dinastia Yadava.{{sfn|Puttaswamy|2012|p=331}}

== Obres ==
=== El ''Siddhānta-Śiromaṇi'' ===
El ''Siddhanta Siromani'', escrit l'any 1150, es compon de quatre llibres:<ref>Alguns autors consideren que els dos primers no formaven part del ''Siddhanta Siromani'', sinó que eren obres independents. Veure: {{Versaleta|Gupta}}, 1997, pàgina 155.</ref>
* El ''Lilavati'' és el més conegut. Es tracta d'un text d'[[aritmètica]] que conté, a més, uns quants texts de geometria, que va ser un text molt útil per aprendre les matemàtiques elementals. Està presentat mitjançant regles i exemples,{{sfn|Gupta|1997|p=156}} en vers per a facilitar la memorització.
* El ''Bijaganitha'' sobre [[àlgebra]].
* El ''Goladhaya'' sobre el globus celeste.{{sfn|Ramasubramanian|Hayashi|Montelle|2019|p=249 i ss}}
* El ''Grahaganitha'' sobre la matemàtica dels planetes.

==== Līlāvatī ====
La primera secció ''Līlāvatī'' (també coneguda com ''pāṭīgaṇita'' o ''aṅkagaṇita''), que porta el nom de la seva filla, consta de 277 versos. Cobreix càlculs, progressions, [[mesura]]ments, permutacions i altres temes.

==== Bijaganita ====
La segona secció ''Bījagaṇita'' (Àlgebra) té 213 versos. Analitza zero, infinit, nombres positius i negatius, i equacions indeterminades incloent (l'ara anomenada [[Equació de Pell]]), resolent-la mitjançant un mètode ''kuṭṭaka''. En particular, també va resoldre el <math>61x^2 + 1 = y^2</math> cas que havien d'eludir [[Pierre de Fermat]] i els seus contemporanis europeus segles més tard.

==== Grahaganita ====
A la tercera secció ''Grahagaṇita'', que tractava el moviment dels planetes, va considerar les seves velocitats instantànies. Va arribar a l'aproximació: Consta de 451 versos

: <math>\sin y' - \sin y \approx (y' - y) \cos y</math> per.

: <math>y'</math> a prop de <math>y</math>, o en notació moderna:

: <math> \frac{d}{dy} \sin y = \cos y </math>.

Amb les seves paraules:

''bimbārdhasya koṭijyā guṇastrijyāhāraḥ phalaṃ dorjyāyorantaram''

{{Cita|I en cas contrari, quan un ha posat aquestes parts de la figura allà, amb [només] veure [n'hi ha prou].{{sfn|Plofker|2009|p=71}}}}

Aquest resultat també havia estat observat anteriorment per Muñjalācārya (o Mañjulācārya) mānasam, en el context d'una taula de sinus.

Bhāskara també va afirmar que en el seu punt més alt la velocitat instantània d'un planeta és zero.

=== Altres obres ===
L'any 1183 va escriure el ''Karana-kutuhala'', un manual d'astronomia,{{sfn|Ramasubramanian|Hayashi|Montelle|2019|p=361 i ss}} i un comentari al ''Sisvadhivrddhida-tantra'' de [[Lalla (astrònom)|Lalla]].

També se li atribueixen altres obres, però totes elles són qüestionables.

== Matemàtiques ==
Algunes de les contribucions de Bhaskara a les matemàtiques són:

* Una demostració del [[teorema de Pitàgores]] calculant la mateixa [[àrea]] de dues maneres diferents i després cancel·lant els termes per obtenir ''a''<sup>2</sup> + ''b'' <sup>2</sup> = ''c'' <sup>2</sup>.<ref>Versos 128 i 129 del ''Bijaganita'' {{Harvnb|Plofker|2007}}</ref>
* A ''Lilavati'' s'expliquen solucions d’[[Equació indeterminada|equacions indeterminades]] [[Equació de segon grau|quadràtiques]], [[Funció cúbica|cúbiques]] i [[Equació de quart grau|de quart grau]].{{sfn|Puttaswamy|2012|p=354}}
* Solucions d'equacions de quart grau indeterminades (del tipus ''ax'' <sup>2</sup> + ''b'' = ''y'' <sup>2</sup>).
* Solucions senceres d'equacions indeterminades lineals i quadràtiques (''Kuṭṭaka''). Les regles que dona són (de fet) les mateixes que les donades pels matemàtics europeus [[Renaixement|renaixentistes]] del segle XVII.
* Un [[Mètode chakravala|mètode cíclic de Chakravala]] per resoldre equacions indeterminades de la forma ''ax'' <sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = ''y''. La solució d'aquesta equació es va atribuir tradicionalment a William Brouncker el 1657, tot i que el seu mètode era més difícil que el mètode ''chakravala''.
* El primer mètode general per trobar les solucions del problema ''x'' <sup>2</sup> − ''ny'' <sup>2</sup> = 1 (l'anomenada " [[equació de Pell]] ") va ser donat per Bhaskara II.{{sfn|Stillwell|2002|p=74}}
* Solucions d’[[Equació diofàntica|equacions diofàntiques]] de segon ordre, com ara 61 ''x'' <sup>2</sup> + 1 = ''y'' <sup>2</sup>. Aquesta mateixa equació va ser plantejada com a problema el 1657 pel matemàtic francès [[Pierre de Fermat]], però la seva solució va ser desconeguda a Europa fins a l'època d’[[Leonhard Euler|Euler]] al segle XVIII.{{sfn|Puttaswamy|2012|p=411}}
* S'han resolt equacions de segon grau amb més d'una incògnita i han trobat solucions [[Nombre negatiu|negatives]] i [[Nombre irracional|irracionals]].
* Concepte preliminar d’[[anàlisi matemàtica]].
* Concepte preliminar de [[Càlcul infinitesimal|càlcul]] [[Mètodes infinitesimals|infinitesimal]], juntament amb contribucions notables cap al [[Integració|càlcul integral]].{{sfn|Puttaswamy|2012|p=529-530}}
* [[Càlcul diferencial]] concebut, després de descobrir una aproximació de la [[derivada]] i el coeficient diferencial.
* Va definir [[Teorema de Rolle|el teorema de Rolle]], un cas especial d'un dels teoremes més importants en anàlisi, el [[teorema del valor mitjà]]. A les seves obres també es troben rastres del teorema del valor mitjà general.
* Calcular les derivades de funcions i fórmules trigonomètriques. (Vegeu la secció de càlcul a continuació.)
* A ''Siddhanta-Śiromaṇi'', Bhaskara va desenvolupar [[Trigonometria esfèrica|la trigonometria esfèrica]] juntament amb una sèrie d'altres resultats [[Trigonometria|trigonomètrics]]. (Vegeu la secció Trigonometria a continuació.)

=== Aritmètica ===
El text [[Aritmètica|aritmètic]] de Bhaskara ''Līlāvatī'' cobreix els temes de definicions, termes aritmètics, càlcul d'interès, progressions aritmètiques i geomètriques, geometria plana, geometria sòlida, l'ombra del [[gnòmon]], mètodes per resoldre equacions indeterminades i combinacions.

''Līlāvatī'' es divideix en 13 capítols i cobreix moltes branques de les matemàtiques, l'aritmètica, l'àlgebra, la geometria i una mica de trigonometria i mesura. Més concretament, els continguts són:

* Definicions.
* Propietats de [[zero]] (incloent [[Divisió|la divisió]] i les regles d'operacions amb zero).
* Un treball numèric més extens, inclòs l'ús de [[Nombre negatiu|nombres negatius]] i l'[[arrel enèsima]].
* Estimació de [[Nombre π|π]].
* Termes aritmètics, mètodes de [[multiplicació]] i [[Quadrat (àlgebra)|quadrat]].
* [[Regla de tres|Regla inversa de tres]] i regles de 3, 5, 7, 9 i 11.
* Problemes de càlcul [[Interès|d'interessos]].
* Equacions indeterminades (Kuṭṭaka), solucions senceres (primer i segon ordre). Les seves contribucions a aquest tema són especialment importants, ja que les regles que dona són (en efecte) les mateixes que les donades pels matemàtics europeus [[Renaixement|renaixentistes]] del {{segle|XVII}}, però la seva obra era del segle XII. El mètode de resolució de Bhaskara va ser una millora dels mètodes trobats en el treball d’[[Aryabhata]] i els matemàtics posteriors.

El seu treball destaca per la sistematització, la millora dels mètodes i els nous temes que va introduir. A més, el ''Lilavati'' contenia problemes excel·lents i es creu que la intenció de Bhaskara podria haver estat que un estudiant de "Lilavati" s'ocupés de l'aplicació mecànica del mètode.

=== Àlgebra ===
La seva ''Bījaganita'' ('[[Àlgebra]]') va ser una obra en dotze capítols. Va ser el primer text que va reconèixer que un nombre positiu té dues [[Arrel quadrada|arrels quadrades]] (una arrel quadrada positiva i una negativa).{{sfn|Murty|2008|p=24}} La seva obra ''Bījaganita'' és efectivament un tractat d'àlgebra i conté els temes següents:

* [[Nombre negatiu|Nombres positius i negatius]].
* El "desconegut" (inclou la determinació de quantitats desconegudes).
* Determinació de quantitats desconegudes.
* [[Arrel enèsima]] (inclou l'avaluació de surds).
* ''Kuṭṭaka'' (per resoldre [[Equació indeterminada|equacions indeterminades]] i [[Equació diofàntica|equacions diofàntiques]]).
* Equacions simples (indeterminades de segon, tercer i quart grau).
* Equacions simples amb més d'una incògnita.
* [[Equació de segon grau]] indeterminades (del tipus ax<sup>2</sup> + b = y<sup>2</sup>).
* Solucions d'equacions indeterminades de segon, tercer i quart grau.
* Equacions de quart grau.
* Equacions de quart grau amb més d'una incògnita.
* Operacions amb productes de diverses incògnites.

Bhaskara va derivar un [[Mètode chakravala|mètode cíclic i ''chakravala'']] per resoldre equacions quadràtiques indeterminades de la forma ax<sup>2</sup> + bx + c = y.{{sfn|Puttaswamy|2012|p=411 i ss}} El mètode de Bhaskara per trobar les solucions del problema Nx<sup>2</sup> + 1 = y<sup>2</sup> (l'anomenada ''[[equació de Pell]]'') té una importància considerable.{{sfn|Stillwell|2002|p=74-76}}

=== Trigonometria ===
El ''Siddhānta Shiromani'' (escrit el 1150) demostra el coneixement de Bhaskara de la trigonometria, inclosa la taula de sinus i les relacions entre diferents funcions trigonomètriques. També va desenvolupar la [[trigonometria esfèrica]], juntament amb altres resultats [[Trigonometria|trigonomètrics]] interessants. En particular, Bhaskara semblava més interessat en la trigonometria per si mateixa que els seus predecessors que la veien només com una eina de càlcul. Entre els molts resultats interessants donats per Bhaskara, els resultats trobats en els seus treballs són el càlcul de sinus d'angles de 18 i 36 graus, i les ja conegudes fórmules de <math> \sin\left(a + b\right) </math> i <math> \sin\left(a - b\right) </math>.

=== Càlcul ===
La seva obra, el ''Siddhānta Shiromani'', és un tractat astronòmic i conté moltes teories que no es troben en obres anteriors. Els conceptes preliminars de càlcul infinitesimal i [[anàlisi matemàtica]], juntament amb una sèrie de resultats en [[trigonometria]], [[càlcul diferencial]] i [[Integració|càlcul integral]] que es troben en el treball són d'interès particular.

L'evidència suggereix que Bhaskara estava familiaritzat amb algunes idees de càlcul diferencial.{{sfn|Murty|2008|p=25}} Bhaskara també aprofundeix en el "càlcul diferencial" i suggereix que el coeficient diferencial s'esvaeix en un valor extrem de la funció, cosa que indica el coneixement del concepte d'[[Mètodes infinitesimals|infinitesimals]].{{sfn|Shukla|1984|pp=95–104}}

* Hi ha proves d'una forma inicial del [[teorema de Rolle]] en el seu treball. La formulació moderna del teorema de Rolle estableix que si <math> f\left(a\right) = f\left(b\right) = 0 </math>, ja que <math> f'\left(x\right) = 0 </math> per a alguns <math>x </math> amb <math>\ a < x < b </math>.
* En aquest treball astronòmic va donar un procediment que sembla un precursor dels mètodes infinitesimals. En termes que és si <math>x \approx y</math> aleshores <math>\sin(y) - \sin(x) \approx (y - x)\cos(y)</math> això és un derivat de sinus encara que no va desenvolupar la noció de derivada.{{sfn|Cooke|1997|pp=213–215}}
* Bhaskara utilitza aquest resultat per calcular l'angle de posició de l'[[eclíptica]], una quantitat necessària per predir amb precisió el temps d'un eclipsi.
* En calcular el moviment instantani d'un planeta, l'interval de temps entre les posicions successives dels planetes no era més gran que un ''truti'' o un {{Frac|1|33750}} de segon, i la seva mesura de velocitat es va expressar en aquesta unitat infinitesimal de temps.
* Era conscient que quan una variable assoleix el valor màxim, el seu diferencial s'esvaeix.
* També va demostrar que quan un planeta es troba al més allunyat de la Terra, o al seu punt més proper, l'equació del centre (mesura de fins a quin punt es troba un planeta de la posició en què es preveu que es troba, suposant que es mourà uniformement) desapareix. Per tant, va concloure que per a alguna posició intermèdia la diferencial de l'equació del centre és igual a zero. En aquest resultat, hi ha traces del [[teorema del valor mitjà]], un dels teoremes més importants en anàlisi, que avui en dia es deriva habitualment del teorema de Rolle. El teorema del valor mitjà va ser trobat més tard per [[Parameshvara]] al segle XV al ''Lilavati Bhasya'', un comentari al ''Lilavati'' de Bhaskara.

[[Madhava de Sangamagrama|Madhava]] (1340–1425) i els matemàtics de l'escola de Kerala (incloent Parameshvara) des del segle XIV fins al segle XVI van ampliar el treball de Bhaskara i van avançar encara més el desenvolupament del [[Càlcul infinitesimal|càlcul]] a l'Índia.

== Astronomia ==
Utilitzant un model astronòmic desenvolupat per [[Brahmagupta]] al segle VII, Bhāskara va definir amb precisió moltes magnituds astronòmiques, incloent-hi, per exemple, la durada de l'[[any sideri]], el temps que es necessita perquè la Terra orbiti al voltant del Sol, com aproximadament 365,2588 dies, que és el mateix que a [[Surya Siddhanta]].{{sfn|Jayswal|2022|p=x}} La mesura acceptada moderna és de 365,25636 [[Dia|dies]], una diferència de 3,5 minuts.<ref name="IERS">[http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/models/constants.html IERS EOP PC Useful constants].</ref>

El seu text d'astronomia matemàtica Siddhanta Shiromani està escrit en dues parts: la primera part sobre astronomia matemàtica i la segona part sobre l'[[esfera]].

Els dotze capítols de la primera part tracten temes com ara:

* [[Longitud (geografia)|Longituds]] mitjanes dels [[Planeta|planetes]].
* Longituds reals dels planetes.
* Els tres [[Problema matemàtic|problemes]] de [[Moviment diürn|la rotació diürna]]. (El moviment diürn és un terme astronòmic que fa referència al moviment diari aparent de les estrelles al voltant de la Terra, o més precisament al voltant dels dos pols celestes. És causada per la rotació de la Terra sobre el seu eix, de manera que cada estrella aparentment es mou en un cercle, que s'anomena cercle diürn.)
* [[Sizígia (astronomia)|Sizígies]].
* [[Eclipsi de Lluna|Eclipsis lunars]].
* [[Eclipsi de Sol|Eclipsis solars]].
* [[Latitud]]s dels planetes.
* Equació de la sortida del sol
* Creixent de la [[Lluna]].
* [[Conjunció (astronomia)|Conjuncions]] dels planetes entre si.
* Conjuncions dels planetes amb les [[Estel|estrelles]] fixes.
* Els camins del Sol i la Lluna.

La segona part conté tretze capítols sobre l'esfera. Cobreix temes com ara:

* Elogi de l'estudi de l'esfera.
* Naturalesa de l'esfera.
* [[Cosmografia]] i [[geografia]].
* Moviment mitjà planetari.
* Model [[Epicicle|epicíclic]] [[Excentricitat|excèntric]] dels planetes.
* L'[[esfera armil·lar]].
* [[Trigonometria esfèrica]].
* Càlculs d'[[el·lipse]].
* Primeres visibilitats dels planetes.
* Càlcul de la mitja lluna.
* Instruments astronòmics.
* Les [[Estació de l'any|estacions]].
* Problemes de càlcul astronòmic.

== Enginyeria ==
La referència més antiga a una màquina de [[moviment perpetu]] es remunta al 1150, quan Bhāskara II va descriure una roda que, segons ell, funcionaria per sempre.{{sfn|White|1978|pp=52–53}}

Bhāskara II va utilitzar un dispositiu de mesura conegut com ''Yaṣṭi-yantra''. Aquest dispositiu pot variar des d'un simple pal fins a bastons en forma de V dissenyats específicament per determinar angles amb l'ajuda d'una escala calibrada.{{sfn|Ohashi|2008|pp=269–273}}

== Llegendes ==
En el seu llibre ''Lilavati'', raona: «En aquesta quantitat que també té zero com a divisor, no hi ha canvi fins i tot quan hi hagin entrat o en surtin moltes quantitats, igual que en el moment de la destrucció i la creació quan hi ha multituds de criatures entren i surten [d'ell, no hi ha cap canvi en] l'infinit i immutable [Vishnu]».{{sfn|Colebrooke|1817|p=}}

=== "Mira!" ===
Diversos autors han afirmat que Bhaskara II va demostrar el teorema de Pitàgores dibuixant un diagrama i proporcionant la paraula única "Mira!".{{sfn|Eves|1990|p=222-226}}{{sfn|Burton|2007|p=106}} De vegades s'omet el nom de Bhaskara i això es coneix com la ''prova hindú'', ben coneguda pels escolars.{{sfn|Mazur|2005|p=19-20}}

Tanmateix, com assenyala l'historiador de matemàtiques Kim Plofker, després de presentar un exemple treballat, Bhaskara II afirma el teorema de Pitàgores:

{{cita |Per tant, per motius de brevetat, l'arrel quadrada de la suma dels quadrats del braç i del dret és la hipotenusa: així es demostra.}}{{sfn|Plofker|2007|p=477}}

Això és seguit per:

{{cita|I en cas contrari, quan un ha posat aquestes parts de la figura [només] veient [n'hi ha prou].}}

Plofker suggereix que aquesta afirmació addicional pot ser la font última de la llegenda "Mira!"

== Llegat ==
Diversos instituts i col·legis de l'Índia porten el seu nom, com ara Bhaskaracharya Pratishthana a Pune, Bhaskaracharya College of Applied Sciences a Delhi, Bhaskaracharya Institute for Space Applications i Geo-Informatics a Gandhinagar.

El 20 de novembre de 1981, l'[[Agència Índia d'Investigació Espacial|Organització Índia d'Investigació Espacial (ISRO)]] va llançar el satèl·lit Bhaskara II en honor al matemàtic i astrònom.<ref>[https://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/spacecraft/display.action?id=1979-051A Bhaskara] NASA 16 setembre 2017</ref>

Invis Multimedia va publicar ''Bhaskaracharya'', un curt documental indi sobre el matemàtic el 2015.<ref>{{Ref-web|títol=Anand Narayanan|url=https://events.iist.ac.in/anand//#out|obra=IIST}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Great Indian Mathematician - Bhaskaracharya|url=https://www.youtube.com/watch?v=WoJGJeOyLEc|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20230517130429/https://www.youtube.com/watch?v=WoJGJeOyLEc|arxiudata=17 de maig 2023|editor=indiavideodotorg|data=22 setembre 2015|consulta=13 d'octubre 2023}}</ref>

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* {{ref-llibre
 | cognom=Burton
 | nom=David M.
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=The History of Mathematics: An Introduction
 | url=https://books.google.cat/books?id=VDlGAQAAIAAJ
 | any=2007
 | editorial=McGraw-Hill
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=978-0-07-305189-5
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Cooke
 | nom=Roger
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=The History of Mathematics: A Brief Course
 | url=https://books.google.cat/books?id=z-ruAAAAMAAJ
 | any=1997
 | editorial=John Wiley & Sons
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=978-0-471-18082-1
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Eves
 | nom=Howard
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=An Introduction to the History of Mathematics
 | url=https://books.google.cat/books?id=PXvwAAAAMAAJ
 | any=1990
 | editorial=Saunders College Pub.
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=978-0-03-029558-4
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Gupta
 | nom=R.C.
 | capítol=Bhaskara II
 | urlcapítol=https://books.google.cat/books?id=raKRY3KQspsC&pgPA155
 | editor=Helaine Selin (ed.)
 | títol=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non Western Countries
 | url=https://books.google.cat/books?id=raKRY3KQspsC
 | any=1997
 | editorial=Springer
 | llengua=en
 | pàgines=155-156
 | isbn=0-7923-4066-3
}}
* {{ref-publicació
 | cognom = Jain
 | nom = Rama
 | títol = A Legend of Mathematics - Bhaskaracharya
 | url = https://jrsmms.mripub.com/index.php/jsrmams/article/view/62
 | publicació = Journal of Ramanujan Society of Mathematics and Mathematical Sciences
 | any = 2014
 | volum = Vol. 3
 | exemplar = Num. 1
 | pàgines = 63-66
 | llengua = en
 | issn = 2319-1023
 | doi = 
}}
* {{ref-publicació
 | cognom = Jayswal
 | nom = Pankaj Jagannath
 | títol = The Great Bharatiya Mathematician Bhaskaracharya ll
 | url = https://timesofindia.indiatimes.com/readersblog/youth2020/the-great-bharatiya-mathematician-bhaskaracharya-ll-44168/
 | publicació = The Times of India
 | any = 2022
 | volum = 
 | exemplar = Aug. 7th
 | pàgines = 
 | llengua = en
 | issn = 
 | doi = 
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Mazur
 | nom=Joseph
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=Euclid in the Rainforest
 | url=https://books.google.cat/books?id=7KSxBwAAQBAJ
 | any=2005
 | editorial=Penguin Books
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=978-1-101-66487-2
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=McElroy
 | nom=Tucker
 | capítol=Bhaskara II
 | urlcapítol=https://books.google.cat/books?id=MiZIWtX9AJUC&pgPA37
 | editor=
 | títol=A to Z of Mathematicians
 | url=https://books.google.cat/books?id=MiZIWtX9AJUC
 | any=2005
 | editorial=Facts on File
 | llengua=en
 | pàgines=37-38
 | isbn=0-8160-5338-3
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Murty
 | nom=K. Krishna
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=50 Timeless Scientists
 | url=https://books.google.cat/books?id=WX9r7TAaWgEC
 | any=2008
 | editorial=Pustak Mahal
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=978-81-223-0900-3
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Ohashi
 | nom=Yukio
 | capítol=Astronomical Instruments in India
 | urlcapítol=https://books.google.cat/books?id=kt9DIY1g9HYC&pgPA269
 | editor=Helaine Selin (ed.)
 | títol=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non Western Countries
 | url=https://books.google.cat/books?id=kt9DIY1g9HYC
 | any=2008
 | editorial=Springer
 | llengua=en
 | pàgines=269-274
 | isbn=978-1-4020-4559-2
}}
* {{ref-publicació
 | cognom = Parajuli
 | nom = Krisna Kanta
 | títol = Three separate methods for squaring: A connective prospective on Lilavati, Vedic and Trachtenberg
 | url = https://www.mathsjournal.com/pdf/2021/vol6issue2/PartA/6-1-31-167.pdf
 | publicació = International Journal of Statistics and Applied Mathematics
 | any = 2021
 | volum = Vol. 6
 | exemplar = Num. 2
 | pàgines = 43-47
 | llengua = en
 | issn = 2456-1452
 | doi = 10.22271/maths.2021.v6.i2a.673
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Plofker
 | nom=Kim
 | capítol=Mathematics in India
 | urlcapítol=https://books.google.cat/books?id=I_syEAAAQBAJ&pg=PA385
 | editor=Victor J. Katz (ed.)
 | títol=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam
 | url=https://books.google.cat/books?id=I_syEAAAQBAJ
 | any=2007
 | editorial=Princeton University Press
 | llengua=en
 | pàgines=385-512
 | isbn=978-0-691-11485-9
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Plofker
 | nom=Kim
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=Mathematics in India
 | url=https://books.google.cat/books?id=DHvThPNp9yMC
 | any=2009
 | editorial=Princeton University Press
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=978-0-691-12067-6
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Puttaswamy
 | nom=T.K.
 | capítol=Bhaskara II
 | urlcapítol=https://books.google.cat/books?id=DAPLaxw-53IC&pgPA331
 | editor=
 | títol=Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians
 | url=https://books.google.cat/books?id=DAPLaxw-53IC
 | any=2012
 | editorial=Elsevier
 | lloc=Londres
 | llengua=en
 | pàgines=331-540
 | isbn=978-0-12-397913-1
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Ramasubramanian
 | nom=K.
 | cognom2=Hayashi
 | nom2=Takao
 | cognom3=Montelle
 | nom3=Clemency
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=Bhāskara-prabhā
 | url=https://books.google.cat/books?id=dsiSDwAAQBAJ
 | any=2019
 | editorial=Springer
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=978-981-13-6033-6
}}
* {{ref-publicació
 | cognom = Shukla
 | nom = Kripa Shankar
 | títol = The Use of Calculus in Hindu Mathematics
 | url = https://insa.nic.in/(S(5mr1oafk3dbxo0tutmvfnvgs))/writereaddata/UpLoadedFiles/IJHS/Vol19_2_1_BDatta.pdf
 | publicació = Indian Journal of History of Science
 | any = 1984
 | volum = Vol. 19
 | exemplar = Num. 2
 | pàgines = 95-104
 | llengua = en
 | issn = 2454-9991
 | doi = 
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Stillwell
 | nom=John
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=Mathematics and Its History
 | url=https://books.google.cat/books?id=WNjRrqTm62QC
 | any=2002
 | editorial=Springer
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=0-387-95336-1
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=White
 | nom=Lynn Townsend
 | capítol=Tibet, India, and Malaya as Sources of Western Medieval Technology
 | urlcapítol=https://books.google.cat/books?id=quCh9tAW1jcC&pg=PA43
 | editor=
 | títol=Medieval religion and technology: collected essays
 | url=https://books.google.cat/books?id=quCh9tAW1jcC
 | any=1978
 | editorial=University of California Press
 | llengua=en
 | pàgines=43-58
 | isbn=978-0-520-03566-9
}}

El ''Lilavati'' i el ''Bijaganita'' han estat traduïts a l'anglès i editats modernament a:
* {{ref-llibre
 | cognom=Colebrooke
 | nom=Henry Thomas (trad. i ed.)
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara
 | url=https://books.google.cat/books?id=ebZIAAAAcAAJ
 | any=1817
 | editorial=John Murray
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=
}}
* {{ref-llibre
 | cognom=Patwardhan
 | nom=K.S.
 | cognom2=Naimpally
 | nom2=S.A.
 | cognom3=Singh
 | nom3=S.L. (trads.)
 | capítol=
 | urlcapítol=
 | editor=
 | títol=Līlāvatī of Bhāskarācārya
 | url=https://books.google.cat/books?id=AoX5q7JjM2kC
 | any=2001
 | editorial=Motilal Banarsidass
 | llengua=en
 | pàgines=
 | isbn=81-208-1420-7
}}

== Enllaços externs ==
* {{MacTutor Biography|id= Bhaskara_II}}
* {{ref web|cognom=Pingree|nom=David|enllaçautor=David Pingree|títol=Bhāskara II
|editor=Complete Dictionary of Scientific Biography|any=2008|url=https://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-thesauruses-pictures-and-press-releases/bhaskara-ii|consulta= 20 abril 2024|llengua=en}}
* {{ref web|títol=Bhāskara II|editor=Encyclopaedia Britannica|any=2024|url=https://www.britannica.com/biography/Bhaskara-II|consulta= 20 abril 2024|llengua=en}}

{{autoritat}}

{{ORDENA:Bhaskara II}}
[[Categoria:Matemàtics indis]]
[[Categoria:Morts a l'Índia]]
[[Categoria:Persones de Karnataka]]
[[Categoria:Persones de Maharashtra]]