Mostra la font per a Capacitància

{{Infotaula magnitud física}}
{{Electromagnetisme|secció=[[Circuit elèctric]]}}
En [[electromagnetisme]], la '''capacitància''' és una magnitud física que defineix la facultat d'un cos per emmagatzemar [[càrrega elèctrica]]. La manera més habitual d'emmagatzemar càrrega és la utilització de [[Condensador|condensadors]] de dues plaques. Si les càrregues a les plaques són +Q i -Q, i V és la [[diferència de potencial]] entre les plaques, la capacitància es determina per mitjà de la relació entre la càrrega i el voltatge:

::<math>C = \frac{Q}{V}</math>

La unitat de capacitància al [[Sistema internacional|SI]] és el [[farad]] (símbol: F), que es defineix com la capacitat d'un conductor que en ser sotmès a una diferència de potencial d'un [[volt]] adquireix una càrrega elèctrica d'1 [[coulomb]]. És a dir, 1 farad = 1 [[coulomb]] per [[volt]].<ref>{{cite web |url=http://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/farad |title=Definición de 'faradio' |publisher=Collins}}</ref>

Comunament es reconeixen dues nocions de capacitància estretament relacionades: ''capacitància pròpia'' i ''capacitància mútua''.<ref name=Harrington_2003>{{cite book |last=Harrington |first=Roger F. |author-link=Roger F. Harrington |title=Introducción a la ingeniería electromagnética |publisher=Dover Publications |year=2003 |edition=1st |page=43 |isbn=0-486-43241-6}}</ref>{{rp|237-238}} Un objecte que es pot carregar elèctricament exhibeix capacitància pròpia, per a la qual el potencial elèctric es mesura entre l'objecte i la terra. La capacitància mútua es mesura entre dos components, i és particularment important en el funcionament del [[Condensador elèctric|condensador]], un [[component electrònic]] elemental [[circuit lineal|lineal]] dissenyat per a l'[[electrònica]] i un [[component electrònic]] dissenyat per afegir capacitància a un [[circuit elèctric]].

La capacitància entre dos conductors és una funció només de la geometria; la superfície oposada dels conductors i la distància entre ells, i la permitivitat de qualsevol material dielèctric entre ells. Per a molts materials dielèctrics, la permitivitat i, per tant, la capacitància, és independent de la diferència de potencial entre els conductors i de la càrrega total sobre ells.

== Condensadors ==
La capacitància de la majoria dels [[condensador]]s que s'utilitzen als circuits [[Electrònica|electrònics]] és d'un ordre de magnitud diverses vegades més petit que el farad. Les unitats de capacitància més utilitzades són el mil·lifarad (mF), el microfarad (µF), el nanofarad (nF) i el picofarad (pF).

La capacitància pot ser calculada si la geometria dels conductors i les propietats del [[dielèctric]] que aïlla els dos conductors són conegudes. Per exemple, la capacitància d'un condensador de ''plaques paral·leles'' construït amb dues plaques paral·leles d'àrea ''A'' separades per ls distància ''d'' és aproximadament:

:<math>C = \epsilon \frac{A}{d}</math>

on
:''C'' és la capacitància en [[farad]]s
:''ε'' és la [[permitivitat]] de l'[[Aïllant elèctric|aïllant]] utilitzat (o [[''ε''<sub>0</sub>]] per al [[buit]])
:''A'' és l'àrea de cada placa, mesurada en [[Metre quadrat|metres quadrats]]
:''d'' és la separació entre les plaques, mesurada en [[metres]]

L'equació és una bona aproximació si ''d'' és petita en comparació a la dimensió de les plaques.

El coeficient dielèctric ''ε'' canvia en funció del camp elèctric aplicat per a un cert nombre de dielèctrics molt utilitzats, com per exemple els materials [[Ferroelectricitat|ferroelèctrics]], per tant la capacitància d'aquests condensadors ja no serà tan sols funció de la seva geometria. Si s'utilitza [[corrent altern]] amb un condensador, el coeficient dielèctric, o millor dir, la permitivitat del dielèctric serà funció de la [[freqüència]]. Una permitivitat canviant amb la freqüència porta a la dispersió, que és governada pels processos de relaxació, com la relaxació de Debye.

== Energia ==
L'[[energia]] (mesurada en [[joules]]) emmagatzemada en un [[condensador]] és igual al ''treball'' utilitzat per carregar-la. Si considerem una capacitància ''C'', que manté una càrrega ''+q'' en una placa i ''-q'' a l'altra. Movent un petit element de càrrega <math>\mathrm{d}q</math> d'una placa a l'altra contra la diferència de potencial ''V = q/C'' requereix un treball <math>\mathrm{d}W</math>:

:<math> \mathrm{d}W = \frac{q}{C}\,\mathrm{d}q </math>

on

:''W'' és el treball mesurat en [[joules]]

:''q'' és la càrrega mesurada en [[coulomb]]s

:''C'' és la capacitància, mesurada en [[farad]]s

Podem buscar l'energia emmagatzemada a una capacitància [[Integral|integrant]] aquesta equació. Començant amb una capacitància nul·la (''q''=0) i moure càrregues d'una placa a l'altra fins que les plaques arribin a la càrrega ''+Q'' i ''-Q'' requereix un treball ''W'':

:<math> W_{carregant} = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} \, \mathrm{d}q = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}CV^2 = W_{emmagatzemada}</math>

Combinant això amb l'equació anterior per a la capacitància d'un condensador de plaques paral·leles, tenim:

:<math> W_{emmagatzemada} = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \epsilon \frac{A}{d} V^2</math>.

on

:''W'' és l'energia mesurada en [[joules]]

:''C'' és la capacitància, mesurada en farads

:''V'' és el voltatge mesurat en [[volt]]s

== Capacitància i corrent de desplaçament ==
El [[Física|físic]] [[James Clerk Maxwell]] va inventar el concepte de [[corrent de desplaçament]], <math>\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}</math>, per tal de fer la [[llei d'Ampère]] consistent amb la [[conservació de la càrrega]] en els casos on la càrrega s'acumula, com per exemples en els [[condensador]]s. Maxwell va interpretar això com un moviment real de càrregues, fins i tot al [[buit]], que va suposar que correspondria al moviment de càrregues [[Dipol elèctric|dipolars]] en l'[[Èter (física)|èter]]. Malgrat aquesta interpretació ha estat abandonada, la correcció de Maxwell a la llei d'Ampère continua essent vàlida (un [[camp elèctric]] canviant produeix un [[camp magnètic]]).

Les equacions de Maxwell combinen la llei d'Ampere amb el concepte de corrent de desplaçament: <math>\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}</math>. (Integrant els dos costats, la integral de <math>\vec{\nabla}\times \vec{H}</math> pot ser reemplaçada, gràcies al [[teorema de Stokes]], amb la integral de <math>\vec{H} \cdot \mathrm{d} \vec{l}</math> sobre un contorn tancat, demostrant d'aquesta manera la interconnexió amb la formulació d'[[André-Marie Ampère|Ampère]].)

== Coeficients de potencial ==
Més amunt només s'ha tractat el cas de dues plaques conductores, tot i que de mida i forma arbitrària. La definició C=Q/V és vàlida encara que només una placa tingui càrrega, atès que reconeixem que les línies de camp produïdes per una càrrega com aquesta serien com si la placa fos al centre d'una esfera oposada i carregada situada a l'infinit.

C=Q/V no es pot aplicar quan hi ha més de dues plaques, o quan la càrrega neta entre les dues plaques no és zero. Per tractar aquest cas Maxwell va introduir les seus '''coeficients de potencial'''. Si tenim tres plaques amb càrregues <math>Q_1, Q_2, Q_3</math>, llavors el voltatge de la placa 1 vindrà donat per

:<math> V_1 = p_{11} Q_1 + p_{12} Q_2 + p_{13} Q_3 </math> ,

i de manera similar per als voltatges de les altres plaques. Maxwell va mostrar que els coeficients de potencial eren [[Simetria|simètrics]], de manera que <math>p_{12}=p_{21}</math>, etc

== Dualitat capacitància-inductància ==
En termes matemàtics, la capacitància ideal pot ser considerada com la inversa de la [[inductància]] ideal atès que les equacions de voltatge i corrent dels dos fenòmens poden ser transformades l'una en l'altra intercanviant els termes del corrent i el voltatge.

== Autocapacitància ==
Als [[Circuit elèctric|circuits elèctrics]], el terme ''capacitància'' correspon de manera habitual a l'abreviació de ''capacitància mútua'' entre dos [[Conductor elèctric|conductors]] adjacents, com són les dues plaques d'un [[condensador]]. També existeix una propietat, anomenada ''autocapacitància'', que és la quantitat de càrrega elèctrica que pot ser afegida a un conductor aïllat per tal d'augmentar el seu [[potencial elèctric]] en un volt. El punt de referència per a aquest potencial seria una hipotètica esfera conductora buida, de radi infinit centrada sobre el conductor. Utilitzant aquest mètode, l'autocapacitància d'una esfera conductora de radi ''R'' vindrà donada per:

:<math>C=4\pi\epsilon_0R \,</math><ref>{{ref-web|url=http://www.phys.unsw.edu.au/COURSES/FIRST_YEAR/pdf%20files/5Capacitanceanddielectr.pdf|títol=Capacitance and dielectrics|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20070628042156/http://www.phys.unsw.edu.au/COURSES/FIRST_YEAR/pdf%20files/5Capacitanceanddielectr.pdf|arxiudata=2007-06-28|consulta=2007-08-11}}</ref>

Valors típics d'autocapacitància serien:

* per a la ''placa'' superior d'un [[generador de Van de Graaff]], típicament una [[esfera]] de 20 cm de diàmetre: 20 pF
* el [[planeta]] [[Terra]]: uns 710 µF

== Elastància ==
La inversa de la capacitància rep el nom d''''elastància''', i la seva unitat és la inversa en unitats del [[Sistema Internacional d'Unitats|SI]] del [[farad]] (F<sup>-1</sup>), que de manera informal rep el nom de ''daraf'' escrit a l'inrevés, una denominació que mai ha estat aprovada per la [[Conferència General de Pesos i Mesures]]. Els [[Circuit RLC|circuits inductor-condensador-resistència]] segueixen [[Equació diferencial|equacions diferencials]] que poden ser interpretades com una representació d'un sistema massa-molla-amortidor. Si prenem el [[voltatge]] com una [[força]] i el [[corrent elèctric|corrent]] la [[velocitat]], l'elastància correspondria a la '''constant d'elasticitat''' de la [[molla]].

== Capacitància paràsita ==
Qualsevol conjunt de conductors adjacents pot ser considerat com un [[condensador]], malgrat la capacitància serà molt petita llevat que els conductors siguin molt propers. Aquest efecte no desitjat s'anomena ''capacitància paràsita''. Aquest efecte pot provocar pèrdues del senyal als circuits (com en el cas de la [[diafonia]]), i és un factor limitador del bon funcionament dels circuits d'[[alta freqüència]].

La capacitància paràsita es troba habitualment als circuits amplificadors en forma de ''capacitància de retenció'' que interconnecta els nodes d'entrada i sortida (ambdós definits en relació a un comú).

== Capacitància de conductors amb formes simples ==
El càlcul de la capacitància d'un sistema equival a resoldre l'[[equació de Laplace]] ∇<sup>2</sup>''φ''&nbsp;=&nbsp;0 amb un potencial constant ''φ'' a la superfície bidimensional dels conductors incrustats en 3 espais. Això se simplifica per existència de simetries. No hi ha cap solució en termes de funcions elementals en casos més complicats.

Per a situacions de plànols, es poden utilitzar funcions analítiques per fer la vinculació entre diferents geometries.

{| class="wikitable"
|+ Capacitància de sistemes simples
! Tipus !! Capacitància !! Comentari
|-
! Capacitor de plaques paral·leles
| <math> \varepsilon A /d </math>
| [[Fitxer:Plate CapacitorII.svg|125px]]
''ε'': [[Permitivitat]] o [[constant dielèctrica]]
|-
! Cilindres concèntrics
| <math> \frac{2\pi \varepsilon \ell}{\ln \left( R_{2}/R_{1}\right) } </math>
| [[Fitxer:Cylindrical CapacitorII.svg|130px]]
''ε'': [[Permitivitat]] o [[constant dielèctrica]]
|-
! Cilindres excèntrics<ref>{{Cite journal|last=Dawes |first=Chester L. |title=Capacitance and Potential Gradients of Eccentric Cylindrical Condensers |doi=10.1063/1.1745162 |journal=Physics |volume=4 |pages=81–85 |year=1973|issue=2 |url=https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.1745162}}</ref>
| <math> \frac{2\pi \varepsilon \ell}{\operatorname{arcosh}\left(\frac{R_{1}^2 + R_{2}^2 - d^2}{2 R_{1} R_{2}}\right) } </math>
| [[Fitxer:Eccentric capacitor.svg|130px]]
''ε'': [[Permitivitat]] o [[constant dielèctrica]]<br/> ''R''<sub>1</sub>: Radi exterior <br/> ''R''<sub>2</sub>: Radi interior <br/>''d'': Distància entre centre<br/>''ℓ'': longitud del filferro
|-
! Parell de filferros paral·lels<ref name="Jackson 1975 80">{{Cite book|last=Jackson |first=J. D. |title=Classical Electrodynamics |url=https://archive.org/details/classicalelectro00jack_0 |year=1975|publisher=Wiley |page=[https://archive.org/details/classicalelectro00jack_0/page/80 80]}}</ref>
| <math>\frac{\pi \varepsilon \ell}{\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) }=\frac{\pi \varepsilon \ell}{\ln \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right) }</math>
|[[Fitxer:Parallel Wire Capacitance.svg|130px]]
|-
! Filferro paral·lel a una paret<ref name="Jackson 1975 80"/>
| <math>\frac{2\pi \varepsilon \ell}{\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{a}\right) }=\frac{2\pi \varepsilon \ell}{\ln \left( \frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right) }</math>
| ''a'': Radi del filferro <br/>''d'': Distància, ''d'' &gt; ''a'' <br/>''ℓ'': longitud del filferro
|-
! Dues faixes paral·leles<br/>coplanars<ref>{{Cite book| last1 = Binns | last2 = Lawrenson | title = Analysis and computation of electric and magnetic field problems | url = https://archive.org/details/analysiscomputat0000binn | publisher = Pergamon Press | year = 1973 | isbn = 978-0-08-016638-4}}</ref>
| <math>\varepsilon \ell \frac{ K\left( \sqrt{1-k^{2}} \right) }{ K\left(k \right) }</math>
| ''d'': Distància<br/>''w''<sub>1</sub>, ''w''<sub>2</sub>: ample de la faixa<br/>''k<sub>m</sub>'': ''d''/(2''w<sub>m</sub>''+''d'')<br/>
''k''<sup>2</sup>: ''k''<sub>1</sub>''k''<sub>2</sub><br/>''K'': [[Integral el·líptica|integral el·líptica completa de primera espècie]]<br/>''ℓ'': Longitud
|-
! Esferes concèntriques
| <math> \frac{4\pi \varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}} </math>
| [[Fitxer:Spherical Capacitor.svg|97px]]
''ε'': [[Permitivitat]] o [[constant dielèctrica]]
|-
! Dues esferes,<br/>del mateix radi<ref name="Maxwell 1873 266 ff">{{Cite book|last=Maxwell |first=J. C. |title=A Treatise on Electricity and Magnetism |year=1873|publisher=Dover |at=p. 266ff |isbn=978-0-486-60637-8}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Rawlins |first=A. D. |title=Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres |journal=IMA Journal of Applied Mathematics |volume=34 |issue=1 |pages=119–120 |year=1985 |doi=10.1093/imamat/34.1.119}}</ref>
| <math>\begin{align}
&{}2\pi \varepsilon a \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^2-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^2-1}\right) \right) } \\
={}&{}2\pi \varepsilon a\left[ 1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^3}+\frac{1}{8D^4}+\frac{3}{32D^5}+O\left( \frac{1}{D^6} \right) \right] \\
={}&{} 2\pi \varepsilon a\left[ \ln 2+\gamma -\frac{1}{2}\ln \left( 2D-2\right) +O\left( 2D-2\right) \right] \\
={}&{} 2\pi \varepsilon a \,\frac{\sqrt{D^2 - 1}}{\log(q)}\left[\psi_q\left(1+\frac{i\pi}{\log(q)}\right) - i\pi - \psi_q(1)\right]
\end{align}</math>
| ''a'': Radi<br/>''d'': Distància, ''d'' > 2''a''<br/>''D'' = ''d''/2''a'', ''D'' > 1<br/> ''γ'': [[Constant d'Euler-Mascheroni|constant d'Euler]]<br/><math>q = D + \sqrt{D^2 - 1}</math><br/><math>\psi_q(z)=\frac{\partial_z\Gamma_q(z)}{\Gamma_q(z)}</math> : la funció q-digamma<br/><math>\Gamma_q(z)</math> : la funció q-Gamma<ref>{{Cite book| last1 = Gasper | last2 = Rahman | title = Basic Hypergeometric Series | year = 2004 | publisher = Cambridge University Press |at = p.20-22 | isbn = 978-0-521-83357-8}}</ref>
|-
! Esfera davant una paret<ref name="Maxwell 1873 266 ff"/>
| <math>4\pi \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^{2}-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^{2}-1}\right) \right) } </math>
| <math>a</math>: Radi<br/><math>d</math>: Distància, <math>d > a</math><br/><math>D=d/a</math>
|-
! Esfera
| <math> 4\pi \varepsilon a </math>
| <math>a</math>: Radi
|-
! Disc circular<ref name="Jackson 1975 128">{{Cite book |last=Jackson |first=J. D. |title=Classical Electrodynamics |url=https://archive.org/details/classicalelectro00jack_0 |year=1975|publisher=Wiley |page=[https://archive.org/details/classicalelectro00jack_0/page/128 128] |postscript=, problem 3.3.}}</ref>
| <math> 8\varepsilon a </math>
| <math>a</math>: Radi
|-
! Filferro prim recte,<br/> longitud finita<ref>{{Cite journal|last=Maxwell |first=J. C. |title=On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness |doi=10.1112/plms/s1-9.1.94 |journal=Proc. London Math. Soc. |volume=IX |pages=94–101 |year=1878|url=https://zenodo.org/record/1447764 }}</ref><ref>{{Cite journal|last=Vainshtein |first=L. A. |title=Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas |journal=Zh. Tekh. Fiz. |volume=32 |pages=1165–1173 |year=1962}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Jackson |first=J. D. |title=Charge density on thin straight wire, revisited |journal=Am. J. Phys. |volume=68 |issue=9 |pages=789–799 |year=2000 |doi=10.1119/1.1302908 |bibcode = 2000AmJPh..68..789J }}</ref>
| <math> \frac{2\pi \varepsilon \ell}{\Lambda }\left[ 1+\frac{1}{\Lambda }\left( 1-\ln 2\right) +\frac{1}{\Lambda ^{2}}\left( 1+\left( 1-\ln 2\right)^2 - \frac{\pi ^{2}}{12}\right) +O\left(\frac{1}{\Lambda ^{3}}\right) \right] </math>
| <math>a</math>: Radi del filferro<br><math>\ell</math>: Longitud<br/><math>\Lambda = \ln \left( \ell/a \right)</math>
|}

== Mesura de la capacitància ==
El mesurament de la capacitància no només s'usa per verificar la capacitància d'un ''capacitor'' (component), sinó que també s'usa, per exemple, a [[sensors de distància]] capacitius per determinar la distància. Altres sensors (pressió, humitat, gasos) sovint es basen en un mesurament de capacitància.

D'acord amb les relacions esmentades anteriorment, la capacitat es pot determinar de la manera següent:
* Carregueu amb corrent constant i observeu la [[voltatge|taxa d'augment de voltatge]]
* Mesurar la [[freqüència ressonant]] d'un [[circuit ressonant]] LC format amb la capacitància
* Aplicar un voltatge de CA i mesurar el flux de corrent
En particular, l'últim mètode s'utilitza als dispositius de mesura de capacitància, en els quals no només es registra la mida del corrent sinó també la seva relació de fase amb la tensió. D'aquesta manera, també es pot determinar la impedància i l'angle de pèrdua o el factor de qualitat del condensador.

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* Tipler, Paul (1998). ''Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light'' (4th ed.). W. H. Freeman. {{ISBN|1-57259-492-6}} {{en}}
* Serway, Raymond; Jewett, John (2003). ''Physics for Scientists and Engineers'' (6 ed.). Brooks Cole. {{ISBN|0-534-40842-7}} {{en}}
* Saslow, Wayne M.(2002). ''Electricity, Magnetism, and Light''. Thomson Learning. {{ISBN|0-12-619455-6}}. Vegeu capítol 8, i en especial les pàgines 255-259 per als coeficients de potencial {{en}}

== Vegeu també ==
* [[Inductor]]
* [[Electricitat]]

{{ORDENA:Capacitancia}}
[[Categoria:Electroestàtica]]
[[Categoria:Magnituds electromagnètiques]]