Mostra la font per a Cercle màxim

[[Fitxer:Sphere_halve.png|miniatura|Un cercle màxim divideix l'esfera en dos [[hemisferi]]s iguals.]]
El '''cercle màxim''', denominat també '''cercle major''' o '''gran cercle''', és el cercle resultant d'una secció realitzada a una [[esfera]] mitjançant un pla que passi pel seu centre i la divideixi en dos [[hemisferi]]s idèntics, la secció circular obtinguda té el mateix [[diàmetre]] que l'esfera. La distància més curta entre dos punts de la superfície d'una esfera sempre és l'arc de cercle màxim que els uneix. Aquest arc rep el nom de línia [[ortodròmica]]. En [[geografia]] i [[cartografia]], els cercles màxims que passen pels [[Pol geogràfic|pols]] es determinen les línies de [[Longitud (cartografia)|longitud]] o ([[meridià]]). De les línies que determinen la [[latitud]], en canvi, només hi ha un cercle màxim: l'[[equador terrestre]]. Els altres arcs de latitud estan determinats per cercles menors paral·lels a l'equador o ([[paral·lel]]s).<ref>{{Ref-web|títol=Great Circle|url=https://mathworld.wolfram.com/|consulta=2023-10-18|llengua=en|nom=Eric W.|cognom=Weisstein}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Loxodrome (Rhumb Line), Orthodrome (Great Circle), Great Ellipse and Geodetic Line (Geodesic) in Navigation|url=https://dl.acm.org/doi/abs/10.5555/2788309|consulta=2023-10-18|doi=10.5555/2788309|llengua=EN}}</ref>

[[Radi (geometria)|El radi]] del gran cercle de l'esfera és igual al radi de l'esfera sobre la qual es troba. Un cercle gran és el cercle més gran que es pot dibuixar en una esfera determinada. Qualsevol [[diàmetre]] de qualsevol cercle gran coincideix amb el diàmetre de l'esfera i, per tant, tots els cercles grans tenen el mateix centre i [[Perímetre|circumferència]]. Aquest cas especial del cercle de l'esfera contrasta amb ''el cercle petit'', és a dir, la intersecció de l'esfera i el pla que no passa pel centre. Cada [[cercle]] de [[Espai euclidià|l'espai euclidià]] és un gran cercle d'una esfera exactament.
[[Fitxer:Greatcircle Jetstream routes.svg|miniatura|436px|La trajectòria del gran cercle d'una ruta aèria (línia vermella) <br/> La trajectòria seguint un [[corrent en raig]] (línia verda).]]
En la [[geometria riemanniana]] aquest concepte serveix per il·lustrar com hi ha espais on hi ha punts, com els [[antípodes|antipodals]], que admeten més d'una [[geodèsica]] contrastant el que passa a [[espais euclidians]] on per qualsevol dos punts arbitraris només hi passa una única [[geodèsica]].

Per a la majoria de parells de punts diferents a la superfície de l'esfera, hi ha un gran cercle únic pels dos punts. Una excepció és el parell de punts antípodes,<ref name="EB1911">{{Cita Britannica}}</ref> per als quals hi ha una infinitat de grans cercles. Un petit arc de cercle gran entre dos punts és el camí superficial més curt entre ells. En aquest sentit, l'arc petit és anàleg a les "línies rectes" de la [[geometria euclidiana]]. La longitud de l'arc menor del gran cercle es pren com la distància entre dos punts de la superfície de l'esfera en [[Geometria riemanniana|la geometria riemanniana]] on aquests grans cercles s'anomenen cercles riemannians.<ref>Gromov, M.: "Filling Riemannian manifolds", ''Journal of [[Differential Geometry]]'' 18 (1983), 1&#x2013;147.</ref> Aquests grans cercles són [[Geodèsica|les geodèsiques]] de l'esfera.<ref>{{ref-llibre|cognom=Jost|nom=Jürgen|títol=Riemannian Geometry and Geometric Analysis|editorial=[[Springer-Verlag]]|lloc=Berlin, Nova York|isbn=978-3-540-42627-1|any=2002}}. ''See section 1.4''.</ref><ref>{{ref-llibre|cognom=Kobayashi|nom=Shoshichi|títol=Foundations of Differential Geometry|editorial=Wiley-Interscience|any=1996|isbn=0-471-15733-3}}</ref>

[[Cercle|Un disc]] delimitat per un gran cercle s'anomena ''gran disc'' és la intersecció [[Bola (matemàtiques)|d'una bola]] i un pla que passa pel seu centre. En dimensions superiors, els grans cercles de [[N-esfera|l'esfera]] tallen l'esfera i els 2 plans que passen per l'origen de coordenades a l'espai euclidià.

== Execució dels camins més curts ==
Per demostrar que l'arc menor d'un gran cercle és el camí més curt que connecta dos punts de la superfície de l'esfera, es pot aplicar [[Càlcul de variacions|el càlcul de variacions]].<ref>{{Ref-publicació|article=Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications|url=https://epubs.siam.org/doi/10.1137/16M1060947|publicació=SIAM Review|data=2017-01|issn=0036-1445|pàgines=703–766|volum=59|exemplar=4|doi=10.1137/16M1060947|llengua=en|nom=Barbora|cognom=Benešová|nom2=Martin|cognom2=Kružík}}</ref><ref>[[Oskar Bolza|Bolza, O.]]: [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACM2513 Lectures on the Calculus of Variations]. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, <span> </span>[[Посебно:Штампани извори/978-1-4181-8201-4|978-1-4181-8201-4]].</ref><ref>Cassel, Kevin W.: [https://books.google.com/books?id=pNHFJTKixisC Variational Methods with Applications in Science and Engineering], Cambridge University Press, 2013.</ref><ref>Clegg, J.C.: [https://books.google.com/books/about/Calculus_of_variations.html?id=qTnvAAAAMAAJ Calculus of Variations], Interscience Publishers Inc., 1968.</ref>

Considereu la classe de tots els camins regulars des d'un punt <math>p</math> al segon punt <math>q</math> . Es poden introduir [[Sistema de coordenades esfèriques|coordenades esfèriques]] de manera que <math>p</math> coincideix amb el pol nord. Qualsevol corba de l'esfera que no talli cap pol, excepte potser als extrems, es pot parametritzar mitjançant

<math>\theta = \theta(t),\quad \phi = \phi(t),\quad a\le t\le b</math>

sempre que es permeti <math>\phi</math> pren valors reals arbitraris. [[Mètodes infinitesimals|La longitud de l'arc infinitesimal]] en aquestes coordenades és

<math>
ds=r\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt.
</math>

Per tant, la longitud de la corba <math>\gamma</math> des del <math>p</math> a <math>q</math> és [[Funcional (matemàtiques)|la corba funcional]] donada per

<math>
S[\gamma]=r\int_a^b\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt.
</math>

Segons l'equació d'Euler-Lagrange,<ref>{{Ref-llibre|nom=Charles|cognom=Fox|títol=An introduction to the calculus of variations|editorial=Courier Dover Publications|any=1987|isbn=978-0-486-65499-7}}</ref><ref>Roubicek, T.: ''[https://web.archive.org/web/20150510023928/http://www.wiley-vch.de/books/sample/3527411887_c17.pdf Calculus of variations]. Chap.17 in: [https://web.archive.org/web/20150510021514/http://www.wiley-vch.de/publish/en/books/forthcomingTitles/MA00/3-527-41188-7/?sID=nrgsqk516u2v9ffab8u7io1dq4 Mathematical Tools for Physicists]. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim. {{page|year=2014|isbn=978-3-527-41188-7|pages=551-588}}.''</ref> <math>S[\gamma]</math> es minimitza si i només si

<math> \frac{\sin^2\theta\phi'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=C</math> ,

on és <math>C</math> constant independent de <math>t</math>, i

<math> \frac{\sin\theta\cos\theta\phi'^2}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=\frac{d}{dt}\frac{\theta'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}.</math>

Integrant ambdues parts i tenint en compte la condició de límit, una solució realista per <math>C</math> és zero. Tan, <math>\phi'=0</math> i <math>\theta</math> pot ser qualsevol valor entre 0 i <math>\theta_0</math>, que vol dir que la corba ha de situar-se al meridià de l'esfera. En coordenades cartesianes això és

<math> \phi'=\frac{C\theta'}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-C^2}}</math> .

Integrant ambdues parts i tenint en compte la condició de límit, una solució realista per <math>C</math> és zero. Tan, <math>\phi'=0</math> i <math>\theta</math> pot ser qualsevol valor entre 0 i <math>\theta_0</math>, que vol dir que la corba ha de situar-se al meridià de l'esfera. En coordenades cartesianes això és

<math>x\sin\phi_0 - y\cos\phi_0 = 0</math>

que és un pla que passa per l'origen de coordenades, és a dir el centre de l'esfera.

== Aplicacions ==
Alguns exemples de grans cercles a [[Esfera celeste|l'esfera celeste]] inclouen [[Coordenades horitzontals|l'horitzó celeste]],<ref name="Clarke2003">{{Ref-llibre|cognom=Clarke|nom=A.E. Roy, D.|títol=Astronomy principles and practice|data=2003|editorial=Institute of Physics Pub.|lloc=Bristol|isbn=9780750309172|pàgines=59|edició=4th.|url=http://ciencias.bogota.unal.edu.co/fileadmin/content/oan/documentos/maestria/documentos/coordenadas.pdf}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180710011728/http://ciencias.bogota.unal.edu.co/fileadmin/content/oan/documentos/maestria/documentos/coordenadas.pdf |date=2018-07-10 }}</ref><ref>{{Ref-publicació|cognom=Young|nom=Andrew T.|cognom2=Kattawar|nom2=George W.|cognom3=Parviainen|nom3=Pekka|data=1997|publicació=Applied Optics|volum=36|exemplar=12|pàgines=2689–2700|doi=10.1364/ao.36.002689|pmid=18253261|bibcode=1997ApOpt..36.2689Y}}</ref> [[Equador celeste|l'equador celeste,]]<ref>{{Ref-web|títol=Celestial Equator|url=http://scienceworld.wolfram.com/astronomy/CelestialEquator.html|consulta=5 agost 2011}}</ref><ref>{{Ref-publicació|cognom=Berger|nom=A.L.|data=1976|publicació=[[Astronomy and Astrophysics]]|volum=51|exemplar=1|pàgines=127–135|bibcode=1976A&A....51..127B}}</ref> i [[Eclíptica|l'eclíptica]].<ref name="AA2010">{{Ref-llibre|cognom=[[United States Naval Observatory|USNO]] Nautical Almanac Office|títol=The Astronomical Almanac for the Year 2010|editorial=[[United States Government Publishing Office|GPO]]|data=2008|pàgines=M5|isbn=978-0-7077-4082-9}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=LEVEL 5 Lexicon and Glossary of Terms|url=https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Glossary/Glossary_E.html}}</ref> Els grans cercles també s'utilitzen com a aproximacions força precises de geodèsics a [[Biosfera|la superfície de la Terra]] per a la navegació aèria o marítima (encara que no és una esfera perfecta), així com per als [[Objecte astronòmic|cossos celestes]] esferoïdals.

[[Línia equatorial|L'equador]] de la terra idealitzada és un gran cercle i cada meridià i el seu meridià oposat formen un gran cercle.<ref>{{Ref-llibre|cognom=Millar|nom=William|títol=The Amateur Astronomer's Introduction to the Celestial Sphere|url=https://archive.org/details/amateurastronome0000mill|editorial=[[Cambridge University Press]]|data=2006|isbn=978-0-521-67123-1}}</ref> Un altre gran cercle és el que divideix els hemisferis terrestre i aquàtic. El gran cercle divideix la terra en dos [[Hemisferi|hemisferis]] i si el gran cercle passa per un punt ha de passar pel punt antípoda.

La transformada de Fank integra la funció al llarg de tots els grans cercles de l'esfera.<ref>{{Ref-publicació|article=COMPLEX ANALYSIS AND THE FUNK TRANSFORM|url=http://dx.doi.org/10.4134/jkms.2003.40.4.577|publicació=Journal of the Korean Mathematical Society|data=2003-07-01|issn=0304-9914|pàgines=577–593|volum=40|exemplar=4|doi=10.4134/jkms.2003.40.4.577|nom=T.N.|cognom=Bailey|nom2=M.G.|cognom2=Eastwood|nom3=A.R.|cognom3=Gover|nom4=L.J.|cognom4=Mason}}</ref><ref>{{Ref-publicació|article=Asymptotic Hamiltonian reduction for geodesics on deformed spheres and the Funk-Minkowski transform|url=http://dx.doi.org/10.1134/s0001434611090161|publicació=Mathematical Notes|data=2011-09|issn=0001-4346|pàgines=460–463|volum=90|exemplar=3-4|doi=10.1134/s0001434611090161|nom=D. O.|cognom=Sinitsyn}}</ref><ref>{{Ref-publicació|article=Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien und konjugierten Gegenpunkten|url=http://dx.doi.org/10.1007/bf02950733|publicació=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|data=1925-12|issn=0025-5858|pàgines=297–312|volum=4|exemplar=1|doi=10.1007/bf02950733|nom=C.|cognom=Carathéodory}}</ref>

== Vegeu també ==
* [[Trigonometria esfèrica]]
* [[Loxodromia|Loxodrom]]

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
{{refbegin|30em}}
* {{ref-llibre|cognom= Ball|nom= W.W. Rouse|enllaçautor= W. W. Rouse Ball|títol= A Short Account of the History of Mathematics|url= https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/50|edició= 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]|any= 1960|editorial= Dover Publications|lloc= Nova York|isbn= 0-486-20630-0|pàgines= [https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/50 50–62]}}
* {{ref-llibre|cognom= Coxeter|nom= H.S.M.|enllaçautor= H.S.M. Coxeter|títol= Introduction to Geometry|url= https://archive.org/details/introductiontoge0000hsmc|any= 1961|editorial= Wiley|lloc= Nova York}}
* {{ref-llibre|nom=Howard|cognom= Eves|títol=A Survey of Geometry (Volume One)|editor=Allyn and Bacon|any=1963}}
* {{ref-llibre|cognom= Heath|nom= Thomas L.|enllaçautor= T. L. Heath|títol= The Thirteen Books of Euclid's Elements|url= https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl|url-access= registration|edició= 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]|any= 1956|editorial= Dover Publications|lloc= Nova York}} In 3 vols: vol. 1 {{ISBN|0-486-60088-2}}, vol. 2 {{ISBN|0-486-60089-0}}, vol. 3 {{ISBN|0-486-60090-4}}. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
* {{ref-llibre|nom1=Charles W. |cognom1=Misner |enllaçautor1=Charles W. Misner |nom2=Kip S. |cognom2=Thorne |enllaçautor2= Kip S. Thorne |nom3=John Archibald |cognom3=Wheeler |enllaçautor3=John Archibald Wheeler |títol=[[Gravitation (book)|Gravitation]] |editorial = W.H. Freeman|any= 1973}}
* {{ref-llibre|autor=Mlodinow|títol=Euclid's Window|url=https://archive.org/details/euclidswindowsto00mlod|editorial=The Free Press|any=2001}}
* {{ref-llibre |autor1=Nagel, E. |autor2=Newman, J.R. |títol=Gödel's Proof |url=https://archive.org/details/gdelsproof00nage |editorial=New York University Press |any=1958 }}
* {{ref-llibre|nom1=Alfred |cognom1=Tarski |enllaçautor=Alfred Tarski |any=1951 |títol=A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry |editor=Univ. of California Press}}
* {{ref-llibre|cognom1=Flanders|nom1=Harley|títol=Differential forms with applications to the physical sciences|editor=[[Dover Publications]]|lloc=Nova York|isbn=978-0-486-66169-8|any=1989}}
* {{Ref-llibre|cognom1=Moura|nom1=Eduarda|cognom2=Henderson|nom2=David G.|títol=Experiencing geometry: on plane and sphere|url=https://archive.org/details/experiencinggeom0000hend|editor=[[Prentice Hall]]|isbn=978-0-13-373770-7|any=1996|postscript=(Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces).|11=}}
* {{Ref-llibre|cognom1=Weeks|nom1=Jeffrey R.|enllaçautor1=Jeffrey Weeks (mathematician)|títol=The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds|editor=Marcel Dekker|isbn=978-0-8247-7437-0|any=1985| postscript= (Chapter 14: The Hypersphere).}}
* {{ref-publicació|cognom1=Marsaglia|nom1=G.|títol=Choosing a Point from the Surface of a Sphere|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1972-04_43_2/page/645|publicació=Annals of Mathematical Statistics|Volum=43|pàgines=645–646|any=1972|doi=10.1214/aoms/1177692644|exemplar=2}}
* {{ref-publicació|nom1=Greg|cognom1=Huber|títol=Gamma function derivation of n-sphere volumes|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1982-05_89_5/page/301|publicació=Amer. Math. Monthly|Volum=89|any=1982|pàgines=301–302|mr=1539933|jstor=2321716|exemplar=5|doi=10.2307/2321716}}
* {{ref-publicació|nom1=Nir|cognom1=Barnea|títol=Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction |any=1999|publicació = Phys. Rev. A|doi=10.1103/PhysRevA.59.1135 |Volum=59|number=2 |pàgines=1135–1146| bibcode=1999PhRvA..59.1135B }}
* {{ref-publicació|vauthors=Tarasashvili MV, ((Sabashvili ShA)), Tsereteli SL, Aleksidze NG|data=26 Mar 2013|títol=New model of Mars surface irradiation for the climate simulation chamber 'Artificial Mars'|url=https://www.researchgate.net/publication/258789199|publicació=International Journal of Astrobiology|Volum=12|exemplar=2|pàgines=161–170|doi=10.1017/S1473550413000062|bibcode=2013IJAsB..12..161T}}
* {{ref-web|url=https://www.dlr.de/media/en/desktopdefault.aspx/tabid-4986/8423_page-7//8423_read-12880|títol=Equal length of day and night on Saturn: the start of spring in the northern hemisphere|editor=[[German Aerospace Center]]|consulta=1 Feb 2021|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20210628090055/https://www.dlr.de/media/en/desktopdefault.aspx/tabid-4986/8423_page-7//8423_read-12880|arxiudata=28 de juny 2021}}
{{refend}}

== Enllaços externs ==
* [https://web.archive.org/web/20090422184846/http://br.geocities.com/simaowilson/navisfera.html Instrument per a traçar trencades ortodròmica] {{pt}}
* [http://www.apsalin.com/calculate-great-circle-distance-on-ellipsoid.aspx Cercle màxim: calculadora de distàncies] {{en}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GreatCirclesOnMercatorsChart/ Great Circles on Mercator's Chart] by John Snyder with additional contributions by Jeff Bryant, Pratik Desai, and Carl Woll, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [https://sites.google.com/site/navigationalalgorithms/papersnavigation Navigational Algorithms] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181016042619/https://sites.google.com/site/navigationalalgorithms/papersnavigation |date=2018-10-16 }} Paper: The Sailings.
* [https://sites.google.com/site/navigationalalgorithms/ Chart Work - Navigational Algorithms] Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix.

{{ORDENA:Cercle Maxim}}
[[Categoria:Cartografia]]
[[Categoria:Cercles]]
[[Categoria:Geografia física]]
[[Categoria:Esferes]]