Mostra la font per a Cilindre

{{vegeu3|el cilindre geomètric|la peça del motor|Cilindre (motor)}}
{{Infotaula polítop}}
[[Fitxer:Cylinder (geometry).png|miniatura|Un cilindre de radi ''r'' i altura ''h'']]
[[Fitxer:Cilindro_3D.stl|miniatura|Model 3D d'un cilindre]]
El terme '''cilindre''' refereix a diverses figures geomètriques segons el context.<ref>{{Ref-web|títol=Cylinder|url=https://mathworld.wolfram.com/Cylinder.html|consulta=2020-05-01|llengua=en|nom=Eric W.|cognom=Weisstein}}</ref> En l'accepció més comuna és un [[cos sòlid]] generat a partir de la revolució d'un [[rectangle]], en què l'[[Rotació (matemàtiques)|eix de revolució]] és un costat del rectangle. Així, en contexts no formals el cilindre està limitat per dos cercles, anomenats ''[[base (geometria)|bases]]'', i la [[superfície cilíndrica]] lateral, obtenint un total de tres cares, dues arestes i cap vèrtex<ref>{{Ref-llibre|títol=Understanding Numbers – 3|url=https://books.google.cat/books?id=xQBjDwAAQBAJ&pg=PA204&lpg=PA204&dq=%22a+cylinder+has+2+edges%22&source=bl&ots=mL0gU12_qC&sig=ACfU3U1UcvM6IS_36Ij0SmMY26x8SZvv-Q&hl=ca&sa=X&ved=2ahUKEwjQz9SV5pLpAhXx6OAKHV_eDVMQ6AEwAXoECAoQAQ#v=onepage&q=%22a%20cylinder%20has%202%20edges%22&f=false|editorial=Vikas Publishing House|isbn=978-93-5259-603-4|llengua=en|nom=C. Sailaja, Smita Ratish, Lata|cognom=Wishram}}</ref> o de dues cares i cap vèrtex ni aresta<ref>{{Ref-llibre|títol=Caribbean Primary Mathematics Book 4 6th edition|url=https://books.google.cat/books?id=9NNgDwAAQBAJ&pg=PA49&lpg=PA49&dq=%22a+cylinder+has+no+edges%22&source=bl&ots=V6YUCHufF0&sig=ACfU3U1WMCELYupcPTqW30zmjB1cN6cg3Q&hl=ca&sa=X&ved=2ahUKEwiJmpjK6JLpAhXh8eAKHYFkClYQ6AEwCnoECAoQAQ#v=onepage&q=%22a%20cylinder%20has%20no%20edges%22&f=false|editorial=Hodder Education|data=2018-07-09|isbn=978-1-5104-1057-2|llengua=en|nom=Karen|cognom=Morrison}}</ref> segons la definició triada de cara i aresta.

El desenvolupament d'aquesta superfície corba que uneix les dues bases és un rectangle la base del qual és el [[perímetre]] de la circumferència, i l'[[Altura (dimensió)|altura]], o separació entre els centres de les bases, la del cilindre.
[[Fitxer:Revolución cilindro.gif|miniatura|center|150px|El cilindre recte és una superficie (o sòlid) de revolució.]]
L'[[àrea]] d'un cilindre de radi <math>r</math> i altura <math>h</math> és 
:<math>A=2{\cdot}A_\text{base}+A_\text{lateral}=2{\cdot}\pi{\cdot}r^2+2{\cdot}\pi{\cdot}r{\cdot}h=2{\cdot}\pi{\cdot}r{\cdot}(r+h)</math>

i el seu [[volum]]:
:<math>V=\pi{\cdot}r^2{\cdot}h</math>

El volum d'un cilindre oblic de base circular, de radi <math>r</math> i altura <math>h</math> també és <math>V=\pi{\cdot}r^2{\cdot}h</math>, pel [[principi de Cavalieri]], mentre que la seva àrea és<ref name="pye">{{ref-publicació|cognom=Sapiña |nom=R. |títol=Calculadora de l'àrea i el volum d'un cilindre |url=https://www.problemasyecuaciones.com/geometria3D/cilindro/calculadora-area-volumen-formulas-ejemplos-problemas.html |issn=2659-9899 |consulta= 19 de maig del 2020 |llengua=es |publicació = [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y ecuaciones]}}</ref><ref>{{harvnb|Wentworth|Smith|1913|loc=p. 359}}</ref>
:<math>A=2{\cdot}\pi{\cdot}r{\cdot}(r+sin(\alpha)/h)</math>
on <math>\alpha</math> és l'angle d'inclinació de l'eix del cilindre respecte de la seva base.
[[Fitxer:Cilindres.png|miniatura|center|Cilindre recte i cilindre oblic.]]

== Seccions cilíndriques ==
[[Fitxer:Cylindric section.svg|esquerra|miniatura|Secció cilíndrica]]
[[Fitxer:TychoBrahePlanetarium-Copenhagen.jpg|miniatura|L'edifici del [[Planetari Tycho Brahe]] a [[Copenhaguen]], on la seva teulada és un exemple de secció cilíndrica]]
Les seccions cilíndriques són les interseccions de cilindres amb plans. Per a un cilindre circular recte hi ha quatre possibilitats. Un pla tangent al cilindre interseca amb el cilindre en un sol [[segment lineal]]. Si es mou el pla de manera paral·lela a si mateix, aquest pla o bé no interseca el cilindre, o bé l'interseca en dos segments de línia recta paral·lels. Tots els altres plans intersecant el cilindre en una [[el·lipse]] o, quan són perpendiculars a l'eix del cilindre, en una [[circumferència]].<ref>{{ref-web | títol=MathWorld: Cylindric section| url=http://mathworld.wolfram.com/CylindricSection.html}}</ref>

L'[[excentricitat]] {{math|''e''}} de la secció cilíndrica i el [[semieix major]] {{math|''a''}} de la secció cilíndrica depenen del radi del cilindre {{math|''r''}} i de l'angle {{math|''α''}} entre el pla secant i l'eix del cilindre, amb la següent relació:
:<math>e=\cos\alpha\,</math>
:<math>a=\frac{r}{\sin\alpha}\,</math>

== Altres tipus de cilindres ==
En [[geometria diferencial]], un cilindre es defineix de manera més genèrica com una [[superfície reglada]] generada per una família uniparamètrica de rectes paral·leles. Un cilindre que té una [[Secció (geometria)|secció]] en forma d'[[el·lipse]], [[paràbola]] o [[hipèrbola]] s'anomena '''cilindre el·líptic''', '''cilindre parabòlic''' o '''cilindre hiperbòlic''', respectivament.

[[Fitxer:Elliptic cylinder abh.svg|miniatura|Un cilindre el·líptic amb semieixos ''a'' i ''b'' per a la superfície de l'el·lipse i altura ''h'']]

Un '''cilindre el·líptic''' és una superfície [[quàdrica]], amb la següent equació en [[coordenades cartesianes]]:
:<math>\left(\frac{x}{a}\right)^2+ \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1</math>

Aquesta equació és per a un '''cilindre el·líptic''', una generalització de l'habitual, '''cilindre circular''' ({{math|1=''a'' = ''b''}}). Els cilindres el·líptics també s'anomenen '''cilindroides''', encara que el terme és ambigu, ja que també es pot referir al [[conoide de Plücker]]. El volum d'un cilindre el·líptic amb altura ''h'' és <math>V=\int_0^h A(x)\,dx = \int_0^h \pi ab\,dx = \pi ab \int_0^h dx = \pi abh</math>.

Un cas encara més general és el '''cilindre generalitzat''', on la [[Secció (geometria)|secció]] pot ser qualsevol corba.

El cilindre és una ''[[quàdrica]] degenerada'', perquè almenys una de les coordenades (en aquest cas, {{math|z}}) no apareix en l'equació.

Un '''cilindre oblic''' té les bases superior i inferior desalineades l'una respecte de l'altra.

Existeixen altres tipus de cilindres menys habituals. Aquests són els ''cilindres el·líptics imaginaris'':
:<math>\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1</math>,

el ''cilindre hiperbòlic'':
:<math>\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1</math>,

i el ''cilindre parabòlic'':
:<math> {x}^2+2a{y}=0 \,</math>.

== Al voltant d'un eix arbitrari ==
Considerem un cilindre infinit l'eix del qual està al llarg del vector
:<math> \overrightarrow{v} = (\alpha, \beta, \gamma) \,</math>

Fem servir les [[Sistema de coordenades esfèriques|coordenades esfèriques]]:
:<math>\rho^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\,</math>
:<math>\theta=\arctan\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)</math>
:<math>\phi=\arcsin\left(\frac{\gamma}{\rho}\right)</math>

Aquestes variables es poden fer servir per definir ''A'' i ''B'', els vectors ortogonals que formen la base del cilindre:
:<math>A=-x\sin(\theta)+y\cos(\theta)cos(\phi)+z\cos(\theta)\sin(\phi)</math>
:<math>B = -y\sin(\phi)+z\cos(\phi)</math>

Havent definit això, podem utilitzar la fórmula habitual per a un cilindre:
:<math> A^2 + B^2 = R^2 \,</math>

on ''R'' és el radi del cilindre.

Aquests resultats es poden obtenir a partir de [[Matriu de rotació|matrius de rotació]].

== En geometria projectiva ==
[[Fitxer:Canterra Tower-Calgary.JPG|miniatura|En [[geometria projectiva]], un cilindre és simplement un con que té el vèrtex en l'infinit, la qual cosa correspon visualment a un cilindre en perspectiva que sembla un con cap al cel.]]
En [[geometria projectiva]], un cilindre és senzillament un [[con]] que té el vèrtex a l'infinit. Això és útil en la definició de [[Cònica|còniques]] degenerades.

== Políedres relacionats ==
També es pot veure un cilindre com un cas límit de [[políedre]] en forma de [[Prisma (geometria)|prisma]] de ''n'' costats, quan ''n'' tendeix a [[infinit]]. També es pot veure com el [[Políedre dual|dual]] d'un [[bicon]] com una [[bipiràmide]] d'infinits costats.

== Referències ==
{{referències}}

== Vegeu també ==
* [[Sistema de coordenades cilíndriques]]
* [[Prisma_(geometria)|Prisma]]
* [[Con]]
* [[Superfície de revolució]]

== Enllaços externs ==
{{Projectes germans}}
{{Wiktionary|cilindre}}
* [http://www.mathguide.com/lessons/SurfaceArea.html#cylinders Àrea de la superfície d'un cilindre] a MATHguide
* [http://www.mathguide.com/lessons/Volume.html#cylinders Volum d'un cilindre] a MATHguide
{{Autoritat}}

[[Categoria:Figures geomètriques]]