Mostra la font per a Completar el quadrat

[[Fitxer:Completing_the_square.ogv|miniatura|Animació que representa el procés de completar el quadrat. ([[:Fitxer:Completing the square.ogv|Detalls]], [[:Fitxer:Completing the square.gif|versió GIF animada]])]]
En [[àlgebra elemental]], '''completar el quadrat''' és una tècnica per a convertir un [[Equació de segon grau|polinomi quadràtic o de segon grau]] de la forma
<math display="block">ax^2 + bx + c</math>
a la forma
<math display="block">a(x-h)^2 + k</math>
per a determinats valors de ''k'' i ''h''.

En altres paraules, completar el quadrat implica situar el quadrat d'un binomi dins d'una expressió quadràtica i adequar el terme independent per a que sigui equivalent a l'expressió original.

Aquesta tècnica és útil a l'hora de:

* resoldre [[Equació de segon grau|equacions de segon grau]],

* deduir la fórmula de l'[[equació de segon grau]],

* representar gràficament [[Equació de segon grau|equacions de segon grau]],

* avaluar [[Integral|integrals]], com ara [[Integral de Gauß|integrals gaussianes]] amb un terme lineal a l'exponent,<ref>{{cite book|title=Random Fields for Spatial Data Modeling: A Primer for Scientists and Enginyers|author1=Dionissios T. Hristopulos|publisher=Springer Nature|year=2020|isbn=978-94-024-1918-4|page=267|url=https://books.google.com/books ?id=wivRDwAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=wivRDwAAQBAJ&pg=PA267 Extracte de la pàgina 267]</ref>

* trobar [[Transformada de Laplace|transformades de Laplace]].<ref>{{cita llibre|títol=Equacions diferencials: una introducció a mètodes i aplicacions moderns|autor1=James R. Brannan|autor2=William E. Boyce|edició=3r|editor=John Wiley & Sons|any=2015|isbn=978-1-118-98122-1|page=314|url=https://books.google.com/books?id=Sy2oDwAAQBAJ}} [https:// books.google.com/books?id=Sy2oDwAAQBAJ&pg=PA314 Extracte de la pàgina 314]</ref><ref>{{cite book|title=Introducció a les equacions diferencials amb sistemes dinàmics|author1=Stephen L. Campbell|author2=Richard Haberman|edition=illustrated|publisher=Princeton University Press|any=2011|isbn=978-1-4008-4132-5|page=214|url=https://books.google.com/books?id=Mt3nI- lQKZQC}} [https://books.google.com/books?id=Mt3nI-lQKZQC&pg=PA214 Extracte de la pàgina 214]</ref>

En general '''completar el quadrat''' es pot aplicar a qualsevol càlcul que inclogui polinomis de segon grau.

== Història ==
La tècnica de completar el quadrat ja era coneguda a l'[[Imperi paleobabilònic|Antic Imperi Babilònic]].<ref>Tony Philips, "[https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2020/11/01/fc-2020-10- 2 Completing the Square]", ''American Mathematical Society Feature Column'', 2020.</ref><br/>
[[Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí|Al-Khwarizmi]], el famós [[Homo universalis|polímata]] que va escriure l'[[Compendi de càlcul per reintegració i comparació|Al-Jabr]], el primer tractat [[Algebra|d'àlgebra]], ja va aplicar la tècnica de completar el quadrat a la resolució d'equacions de segon grau.<ref>{{Cite web|last=Hughes|first=Barnabas|title=Completing the Square - Quadratics Using Addition|url=https://www.maa.org/press/periodicals/convergence /completing-the-square-quadratics-using-addition|access-date=2022-10-21|website=[[Math Association of America]]}}</ref>

== Visió general ==
=== Antecedents ===
La fórmula de l'[[àlgebra elemental]] que dóna el [[Quadrat (àlgebra)|quadrat]] d'un [[binomi]] és:
<math display="block">(x + p)^2 \,=\, x^2 + 2px + p^2.</math>

Per exemple:
<math display="block">\begin{alignat}{2}
(x+3)^2 \,&=\, x^2 + 6x + 9 && (p=3)\\[3pt]
(x-5)^2 \,&=\, x^2 - 10x + 25\qquad && (p=-5).
\end{alignat}
</math>

En qualsevol quadrat perfecte, el [[coeficient]] d'''x'' és el doble de ''p'' i el [[terme independent]] és igual a ''p''<sup>2</sup>.

=== Exemple bàsic ===
El següent [[polinomi]] de segon grau:
<math display="block">x^2 + 10x + 28.</math>
no és un quadrat perfecte, ja que 28 no és el quadrat de 5. El quadrat perfecte seria aquest:
<math display="block">x^2 + 10x + 25 \,=\, (x+5)^2.</math>

Tanmateix hom pot escriure el polinomi original com la suma d'aquest quadrat i una constant:
<math display="block">x^2 + 10x + 28 \,=\, (x+5)^2 + 3.</math>

Això és el que s'anomena '''completar el quadrat'''.

=== Descripció general ===
Partint de qualsevol [[polinomi mònic]] de segon grau:
<math display="block">x^2 + bx + c,</math>
és possible d'obtenir un quadrat perfecte que tingui els mateixos dos primers termes:
<math display="block">\left(x+\tfrac{1}{2} b\right)^2 \,=\, x^2 + bx + \tfrac{1}{4}b^2.</math>
i que difereixi de l'inicial només en el terme independent. Per tant, hom pot escriure
<math display="block">x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + k,</math>
on <math>k = c - \frac{b^2}{4}</math>.<br/>
Aquesta operació es coneix amb el nom de '''completar el quadrat'''.

Aquests són alguns exemples:
<math display="block">\begin{alignat}{1}
x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt]
x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt]
x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6.
\end{alignat}
</math>

=== Cas no mònic ===
Donat un polinomi de segon grau de la forma
<math display="block">ax^2 + bx + c</math>
hom pot factoritzar el coeficient ''a'' i després completar el quadrat del [[polinomi mònic]] resultant.<br/>
Exemple:
<math display="block">
\begin{align}
  3x^2 + 12x + 27 &= 3[x^2+4x+9]\\
          &{}= 3\left[(x+2)^2 + 5\right]\\
          &{}= 3(x+2)^2 + 3(5)\\
          &{}= 3(x+2)^2 + 15
\end{align}</math>

La factorització del coeficient ''a'' es pot simplificar encara més factoritzant només els 2 primers termes. El nombre enter al final del polinomi no s'ha d'incloure.<br/>
Exemple:
<math display="block">
\begin{align}
  3x^2 + 12x + 27 &= 3\left[x^2+4x\right] + 27\\[1ex]
          &{}= 3\left[(x+2)^2 -4\right] + 27\\[1ex]
          &{}= 3(x+2)^2 + 3(-4) + 27\\[1ex]
          &{}= 3(x+2)^2 - 12 + 27\\[1ex]
          &{}= 3(x+2)^2 + 15
\end{align}</math>

Això permet d'escriure qualsevol polinomi de segon grau en la forma
<math display="block">a(x-h)^2 + k.</math>

=== Fórmula ===
==== Cas escalar ====
El resultat de completar el quadrat es pot escriure com una fórmula. En el cas general resulta<ref>{{citar llibre|últim=Narasimhan|primer=Revathi|any=2008|title=Precàlcul: Construcció de conceptes i connexions|editor=Cengage Learning|isbn=978-0-618-41301-0|pàgines=133–134|url=https://books.google.com/books?id=hLZz3xcP0SAC}}, [https://books.google.com/books?id=hLZz3xcP0SAC&pg=PA134 Secció ''Fórmula per al vèrtex d'una funció quadràtica'' , pàgines 133–134, figura 2.4.8]</ref>
<math display="block">ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k,</math>
amb
<math display="block">h = -\frac{b}{2a} \quad\text{i}\quad k = c - ah^2 = c - \frac{b^2}{4a}.</math>

En particular, quan {{math|1=''a'' = 1}}:
<math display="block">x^2 + bx + c = (x-h)^2 + k,</math>
amb
<math display="block">h = -\frac{b}{2} \quad\text{i}\quad k = c - h^2 = c - \frac{b^2}{4}.</math>

En resoldre l'equació <math>a(x-h)^2 + k=0</math> en termes de <math>x-h,</math> i reorganitzant l'expressió resultant, hom obté la coneguda fórmula que dóna les arrels de l'[[equació de segon grau]]:
<math display="block">x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math>

==== Cas matricial ====
El cas de la [[Matriu (matemàtiques)|matriu]] és molt semblant:

<math display="block">x^{\mathrm{T}}Ax + x^{\mathrm{T}}b + c = (x - h)^{\mathrm{T}}A(x - h) ) + k </math>

on <math display="inline"> h = -\frac{1}{2}A^{-1}b </math> i <math display="inline"> k = c - \frac{1}{ 4} b^{\mathrm{T}}A^{-1}b</math>.<br/>
Cal tenir en compte que <math>A</math> ha de ser [[Matriu simètrica|simètrica]].

Si <math>A</math> no és simètrica, les fórmules per a <math>h</math> i <math>k</math> s'han de generalitzar així:
<math display="block">h = -(A+A^{\mathrm{T}})^{-1}b \quad\text{i}\quad k = c - h^{\mathrm{T }}A h = c - b^{\mathrm{T}} (A+A^{\mathrm{T}})^{-1} A (A+A^{\mathrm{T}})^{ -1}b</math>

== Representacions gràfiques ==
{{imatge múltiple|alinear=a la dreta|direcció=vertical|amplada=200|imatge1=quartic h shift.svg|alt1=Gràfics de funcions quadràtiques desplaçades cap a la dreta ''h'' = 0, 5, 10 i 15 unitats.|caption1=Gràfics de funcions quadràtiques desplaçades cap a la dreta ''h'' = 0, 5, 10 i 15 unitats.|imatge2=quartic v shift.svg|alt2=Gràfics de funcions quadràtiques desplaçades cap amunt ''k'' = 0, 5, 10 i 15 unitats.|caption2=Gràfics de funcions quadràtiques desplaçades cap amunt ''k'' = 0, 5, 10 i 15.|imatge3=quartic hv shift.svg|alt3=Gràfics de funcions quadràtiques desplaçades cap amunt i cap a la dreta 0, 5, 10 i 15 unitats.|caption3=Gràfics de funcions quadràtiques desplaçades cap amunt i cap a la dreta 0, 5, 10 i 15 unitats.}}
En [[geometria analítica]] el [[Graf d'una funció|gràfic]] de qualsevol polinomi de segon grau és una [[paràbola]] en el pla ''xy''.<br/>
Donat un polinomi de la forma
<math display="block">a(x-h)^2 + k</math>
les constants ''h'' i ''k'' es poden interpretar com les [[coordenades cartesianes]] de l'extrem de la paràbola. És a dir, ''h'' és la coordenada ''x'' de l'eix de simetria (l'eix de simetria té doncs l'equació ''x = h''), i ''k'' és el valor [[Màxims i mínims|mínim]] (o valor [[Màxims i mínims|màxim]], si ''a''&nbsp;&#x3C;&nbsp;0) de la paràbola.

Una manera de veure-ho és observant que el gràfic de la funció {{math|1=''f''(''x'') = ''x''<sup> 2</sup>}} és una paràbola l'extrem de la qual es troba a l'origen (0, 0). Per tant, el gràfic de la funció {{math|1=''f''(''x'' &minus; ''h'') = (''x'' &minus; ''h'')<sup> 2</sup>}} és una paràbola desplaçada cap a la dreta ''h'' unitats i l'extrem de la qual és a (''h'', 0), tal com es mostra a la figura superior. En canvi, el gràfic de la funció {{math|1=''f''(''x'') + ''k'' = ''x''<sup>2</sup> + ''k ''}} és una paràbola desplaçada cap amunt {{mvar|k}} unitats i l'extrem de la qual és el punt {{math|(0, ''k'')}}, tal com es mostra a la figura central. La combinació de desplaçaments horitzontals i verticals s'expressa així: {{math|1=''f''(''x'' &minus; ''h'') + ''k'' = (''x'' &minus; ''h'')<sup>2</sup> + ''k''}}, i genera paràboles desplaçades cap a la dreta {{mvar|h}} i cap amunt {{mvar|k}} unitats amb extrems a {{math|(''h'', ''k'')}}, com es mostra a la figura inferior.

== Resolució d'equacions de segon grau ==
La tècnica de ''completar el quadrat'' es pot utilitzar també per a resoldre qualsevol equació de segon grau. Per exemple:
<math display="block">x^2 + 6x + 5 = 0</math>

El primer pas és "completar el quadrat":
<math display="block">(x+3)^2 - 4 = 0</math>

A continuació cal resoldre el terme al quadrat:
<math display="block">(x+3)^2 = 4</math>
<math display="block">x+3 = -2 \quad\text{o}\quad x+3 = 2</math>
i, per tant,
<math display="block">x = -5 \quad\text{o}\quad x = -1.</math>

Això es pot aplicar a qualsevol equació de segon grau. En cas que la ''x''<sup>2</sup> tingui un coeficient diferent d'1, el primer pas és dividir l'equació per aquest coeficient, tal com s'ha exposat més amunt en el cas no mònic.

=== Arrels irracionals i complexes ===
A diferència dels mètodes que impliquen la [[factorització]] de l'equació, que només és fiable si les arrels són [[Nombre racional|racionals]], la tècnica de ''completar el quadrat'' trobarà les arrels d'una equació de segon grau fins i tot quan aquestes arrels són [[Nombre irracional|irracionals]] o [[Nombre complex|complexes]]. Per exemple, sigui l'equació
<math display="block">x^2 - 10x + 18 = 0.</math>

Completant el quadrat resulta
<math display="block">(x-5)^2 - 7 = 0,</math>
<math display="block">(x-5)^2 = 7.</math>
<math display="block">x-5 = -\sqrt{7} \quad\text{o}\quad x-5 = \sqrt{7}.</math>

O, en notació compacta:
<math display="block">x-5 = \pm \sqrt{7},</math>
I les dues arrels són irracionals:
<math display="block">x = 5 \pm \sqrt{7}.</math>

Les equacions amb arrels complexes es poden tractar de manera anàloga. Per exemple:
<math display="block">\begin{align}
x^2 + 4x + 5 &= 0 \\[3pt]
(x+2)^2 + 1 &= 0 \\[3pt]
(x+2)^2 &= -1 \\[3pt]
x+2 &= \pm i \\[3pt]
x &= -2 \pm i.
\end{align}</math>

=== Cas no mònic ===
Quan una equació de segon grau s'expressa amb un polinomi no [[Polinomi mònic|mònic]], el primer pas per resoldre-la és dividir pel coeficient de ''x''<sup>2</sup>. Per exemple:
<math display="block">\begin{array}{c}
2x^2 + 7x + 6 \,=\, 0 \\[3pt]
x^2 + \tfrac{7}{2}x + 3 \,=\, 0 \\[3pt]
\left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 - \tfrac{1}{16} \,=\, 0 \\[3pt]
\left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 \,=\, \tfrac{1}{16} \\[3pt]
x+\tfrac{7}{4} = \tfrac{1}{4} \quad\text{or}\quad x+\tfrac{7}{4} = -\tfrac{1}{4} \\[3pt]
x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{or}\quad x = -2.
\end{array}
</math>

== Altres aplicacions ==
=== Integració ===
La tècnica de ''completar el quadrat'' es pot utilitzar per a avaluar qualsevol integral de la forma
<math display="block">\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}</math>

utilitzant les integrals bàsiques

<math display="block">\int\frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right | +C \quad\text{i}\quad
\int\frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) +C.</math>

Per exemple, si en la integral

<math display="block">\int \frac{dx}{x^2 + 6x + 13}.</math>

hom completa el quadrat del denominador, resulta:

<math display="block">\int \frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \int\frac{dx}{(x+3)^2 + 2^2 }.</math>

Aplicant la [[Integració per substitució|substitució]]
''u''&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;3 hom obté

<math display="block">\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+3 }{2}\right)+C.</math>

=== Nombres complexos ===
Sigui l'expressió
<math display="block"> |z|^2 - b^*z - bz^* + c,</math>

on ''z'' i ''b'' són [[nombres complexos]], ''z''<sup>*</sup> i ''b''<sup>*</sup> són el [[conjugat complex]] de ''z'' i ''b'', respectivament, i ''c'' és un [[nombre real]]. Utilitzant la identitat |''u''|<sup>2</sup> = ''uu''<sup>*</sup> hom pot reescriure-ho així:
<math display="block"> |z-b|^2 - |b|^2 + c , </math>

que és clarament una quantitat real perquè
<math display="block">\begin{align}
  |z-b|^2 &{}=  (z-b)(z-b)^*\\
          &{}=  (z-b)(z^*-b^*)\\
          &{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\
          &{}=  |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 .
\end{align}</math>

Un altre exemple: l'expressió
<math display="block">ax^2 + by^2 + c ,</math>
on ''a'', ''b'', ''c'', ''x'', ''y'' són nombres reals, amb ''a''&nbsp;&gt;&nbsp;0 i ''b''&nbsp;&gt;&nbsp;0, es pot expressar en termes del quadrat del [[valor absolut]] d'un nombre complex. Només cal definir
<math display="block">z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y </math>
Aleshores
<math display="block">\begin{align}
|z|^2
&{}= z z^*\\[1ex]
&{}= \left(\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y\right) \left(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y\right) \\[1ex]
&{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2 by^2 \\[1ex]
&{}= ax^2 + by^2 ,
\end{align}</math>
i, per tant:
<math display="block"> ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c . </math>

=== Matriu idempotent ===
Una [[Matriu (math)|matriu]] ''M'' és [[Idempotent matriu|idempotent]] quan ''M''<sup>2</sup> = ''M''. Les matrius idempotents generalitzen les propietats idempotents del 0 i de l'1. La tècnica de ''completar el quadrat'' aplicada a l'equació
<math display="block">a^2 + b^2 = a</math>
mostra que algunes matrius idempotents de dimensió 2×2 estan parametritzades per un [[cercle]] en el pla (''a'',''b''):

La matriu <math>\begin{pmatrix}a i b \\ b i 1-a \end{pmatrix}</math> serà idempotent sempre que <math>a^2 + b^2 = a ,</math> que, en ''completar el quadrat'', esdevé
<math display="block">(a - \tfrac{1}{2})^2 + b^2 = \tfrac{1}{4} .</math>

En el pla (''a'',''b''), aquesta és l'equació d'un cercle amb centre (1/2, 0) i radi 1/2.

== Perspectiva geomètrica ==
[[Fitxer:Completing_the_square.svg|754x754px]]
Com aplicar la tècnica de ''completar el quadrat'' a l'equació
<math display="block">x^2 + bx = a.</math> des d'una perspectiva geomètrica?

Com que ''x''<sup>2</sup> representa l'àrea d'un quadrat amb costat de longitud ''x'', i ''bx'' representa l'àrea d'un rectangle amb costats ''b'' i ''x'', el procés de ''completar el quadrat'' es pot considerar com una manipulació visual de rectangles.

En combinar el quadrat ''x''<sup>2</sup> i els rectangles ''bx'' per a obtenir un quadrat més gran hom detecta que falta una cantonada. El terme (''b''/2)<sup>2</sup> afegit a cada costat de l'equació anterior és precisament l'àrea de la cantonada que falta. Això justifica clarament la terminologia "completar el quadrat".<ref>{ {cita el llibre | last1=Carroll | primer1=Maureen T. | last2=Rykken | primer2=Elyn | title=Geometria: la línia i el cercle | editor=American Mathematical Society | sèrie=Llibres de text AMS/MAA | any=2018 | isbn=978-1-4704-4843-1 | url=https://books.google.com/books?id=CmuBDwAAQBAJ&pg=PA162<nowiki> | data d'accés=2024-03-31 | page=162}}</nowiki></ref>

== Una variació de la tècnica ==
Tal com s'ensenya convencionalment, ''completar el quadrat'' consisteix en afegir el tercer terme, ''v^2'' a
<math display="block">u^2 + 2uv</math>
de cara a aconseguir un quadrat. També hi ha casos en què es pot afegir el terme mitjà, ja sigui 2''uv'' o &#x2212;2''uv'', a
<math display="block">u^2 + v^2</math>
per a aconseguir el quadrat.

=== Exemple: suma d'un nombre positiu i el seu recíproc ===
Escrivint
<math display="block">\begin{align}
x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\
                &{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2
\end{align}</math>

hom demostra que la suma d'un nombre positiu ''x'' i el seu recíproc és sempre major o igual a 2, ja que el quadrat d'una expressió real és sempre major o igual a zero. Només quan ''x'' val 1, la suma és igual a 2, ja que el terme quadràtic es fa zero.

=== Exemple: factorització d'un polinomi simple de grau 4 ===
Considerem el problema de factoritzar el polinomi
<math display="block">x^4 + 324, </math>
que es pot escriure:
<math display="block">(x^2)^2 + (18)^2. </math>

Per tant, el terme mitjà és 2(''x''<sup>2</sup>)(18)&nbsp;=&nbsp;36''x''<sup>2</sup>. Així aconseguim
<math display="block">\begin{align}
x^4 + 324
&{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2  \\
&{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 =\text{a difference of two squares} \\
&{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
&{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}</math>
(s'afegeix l'última línia només per seguir la convenció de graus decreixents de termes).

El mateix argument mostra que <math>x^4 + 4a^4 </math> sempre es pot factoritzar com a
<math display="block">x^4 + 4a^4 = \left(x^2+2a x + 2a^2\right) \left(x^2-2 ax + 2a^2\right)</math>

(També coneguda com a [[identitat de Sophie Germain]]).

== Completar el cub ==
''Completar el quadrat'' es basa en remarcar que els dos primers termes d'un polinomi de segon grau són també els primers termes del quadrat d'un polinomi de primer grau, i utilitzar això per a expressar el de segon grau com la suma d'un polinomi de primer grau al quadrat i una constant.

'''Completar el cub''' és una tècnica similar que permet transformar un polinomi cúbic o de tercer grau en un altre sense terme de grau dos.

Concretament, si
: <math>ax^3+bx^2+cx+d</math>
és un polinomi en {{mvar|x}} tal que <math>a\ne 0,</math> els seus dos primers termes són els dos primers termes de la forma expandida de
:<math>a\left(x+\frac b {3a}\right)^3=ax^3+bx^2+x\,\frac{b^2}{3a}+\frac {b^3}{27a^2}.</math>

Així, el [[canvi de variable]]
: <math>t=x+\frac b {3a}</math>
proporciona un polinomi cúbic en <math>t</math> sense terme de [[Grau d'un polinomi|grau]] dos, que s'anomena forma [[Forma cúbica deprimida|deprimida]] del polinomi original.

Aquesta transformació és generalment el primer pas dels mètodes per a resoldre l'equació cúbica general.

De manera més general, es pot utilitzar una transformació similar, anomenada [[transformació de Tschirnhaus]], per a eliminar termes de grau <math>n-1</math> en polinomis de grau <math>n</math>.

== Referències ==
{{Referències}}

* Àlgebra 1, Glencoe, {{ISBN|0-07-825083-8}}, pàgines 539–544

* Àlgebra 2, Saxó, {{ISBN|0-939798-62-X}}, pàgines 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

== Enllaços externs ==
* {{PlanetMath|urlname=completingthesquare|títol=Completant el quadrat}}

[[Categoria:Àlgebra]]