Mostra la font per a Conjugat

En [[matemàtiques]], el '''conjugat''' d'un [[nombre complex]] <math>z</math> és el nombre complex format de la mateixa [[part real]] que <math>z</math> i de la [[part imaginària]] [[Oposat (matemàtiques)|oposada]].

== Definició ==
El conjugat d'un [[nombre complex]] <math>z = a + bi\,</math>, on ''a'' i ''b'' són [[Nombre real|reals]], és <math>\bar z = a - bi</math>.

En el [[pla complex]], el punt d'[[afix (homonímia)|afix]] <math>\bar z</math> és el [[simètric]] del punt d'afix <math>z\,</math> respecte de l'eix de les [[abscissa|abscisses]].

El [[mòdul d'un nombre complex|mòdul]] del conjugat resta inalterat.

Hom pot definir una [[aplicació (matemàtiques)|aplicació]], anomenada conjugació, mitjançant
:<math>\begin{array}{r|ccc} c:& \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}</math>
La conjugació és una operació [[aplicació lineal|lineal]] [[continuïtat|contínua]].

== Propietats ==
Sia <math>(z,w)\in \mathbb{C} ^2</math>.
* <math>\left|\bar z\right| = \left|z\right|</math>

* <math>z+\overline{z} = 2\,\Re(z)</math> (on <math>\Re(z) =a</math> és la part real de <math>z</math>)

* <math>z-\overline{z} = 2i\,\Im(z)</math> (on <math>\Im(z) =b</math> és la part imàginaria de <math>z</math>)

* ''z'' és real si i només si <math>\bar z = z</math>

* ''z'' és imaginari pur si i només si <math>\bar z = -z</math>

* <math>\overline{z+w} = \bar z + \bar w</math>

* <math>\overline{zw} = \bar z \times \bar w</math>; per consegüent : <math>\overline{z^n} = \left(\overline{z}\right)^n</math> si <math>n \in \N</math>

* <math>z \overline{z} = \left|z\right|^2</math>; per consegüent, si <math>z</math> és no nul, <math>z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}}</math>

* <math>\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}</math> si <math>w\,</math> és no nul.

{{Autoritat}}

[[Categoria:Nombres complexos]]