Mostra la font per a Conjunt convex

[[Fitxer:Convex polygon illustration1.svg|miniatura|Un conjunt convex.]]
[[Fitxer:Convex polygon illustration2.svg|miniatura|Un conjunt no convex.]]
En l'[[espai euclidià]], un objecte és '''convex''' si per a tots els parells de punts dins de l'objecte, tots els punts del segment recte que els uneix també estan dins de l'objecte. Per exemple, un [[cub]] sòlid és convex, en canvi un conjunt amb un espai buit interior o que té un bony no ho és, per exemple, una forma de [[mitja lluna]], no és convexa.

Equivalentment, un '''conjunt convex''' o una '''regió convexa''' és un subconjunt que intersecta tota [[recta]] en un únic [[segment lineal]] (possiblement buit).<ref>{{cite book|last1=Morris|first1=Carla C.|last2=Stark|first2=Robert M.|title=Finite Mathematics: Models and Applications|date=24 August 2015|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9781119015383|page=121|url=https://books.google.cat/books?id=ZgJyCgAAQBAJ&q=convex+region&pg=PA121|access-date=5 April 2017|language=en}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kjeldsen|first1=Tinne Hoff|title=History of Convexity and Mathematical Programming|journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians|issue=ICM 2010|pages=3233–3257|doi=10.1142/9789814324359_0187|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM2010.4/Main/icm2010.4.3233.3257.pdf|access-date=5 April 2017|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20170811100026/http://www.mathunion.org/ICM/ICM2010.4/Main/icm2010.4.3233.3257.pdf|archive-date=2017-08-11}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170811100026/http://www.mathunion.org/ICM/ICM2010.4/Main/icm2010.4.3233.3257.pdf |date=2017-08-11 }}</ref>
Per exemple, un [[cub]] sòlid és un conjunt convex, però tot allò que tingui un forat o una indentació, per exemple, una forma [[creixent]], no és convex.

La [[Frontera (topologia)|frontera]] d'un conjunt convex en el pla és sempre una corba convexa. La intersecció de tots els conjunts convexos que contenen un subconjunt donat {{mvar|A}} en l'espai euclidià rep el nom d'[[envolupant convexa]] de {{mvar|A}}. És el conjunt convex més petit que conté {{mvar|A}}.

Una [[funció convexa]] és una [[funció convexa]] definida en un [[Interval (matemàtiques)|interval]] amb la propietat que els seus epigrafs (el conjunt de punts en o sobre la [[Gràfica d'una funció|gràfica]] de la funció) és un conjunt convex. La [[Optimització convexa|minimització convexa]] és un subcamp de l'[[Optimització matemàtica|optimització]] que estudia el problema de minimitzar funcions convexes en conjunts convexos. La branca de les matemàtiques encarregada de l'estudi de les propietats dels conjunts convexos i de les funcions convexes rep el nom d'anàlisi complexa.

Es pot generalitzar la noció de conjunt convex comes mostra més endavant.

== Definicions ==
[[Fitxer:Convex supergraph.svg|miniatura|Una funció (en blau) és convexa [[si i només si]] la regió de damunt de la seva [[gràfica d'una funció|gràfica]] (en verd) és un conjunt convex.]]
Sigui {{mvar|S}} un [[espai vectorial]] o un [[espai afí]] sobre els [[nombre real|nombres reals]], o, més generalment, sobre un cert cos ordenat (això inclou espais euclidians, que són espais afins). Un [[subconjunt]] {{mvar|C}} de {{mvar|S}} és '''convex''' si, per tot {{mvar|x}} i {{mvar|y}} en {{mvar|C}}, el [[segment lineal]] que connecta {{mvar|x}} i {{mvar|y}} és inclòs en {{mvar|C}}.

Això significa que la [[combinació afí]] {{math|(1 − ''t'')''x'' + ''ty''}} pertany a {{mvar|C}} per tot {{mvar|x,y}} en {{mvar|C}} i {{mvar|t}} en l'[[Interval (matemàtiques)|interval]] {{math|[0, 1]}}. Això implica que la convexitat és invariant respecte les [[Transformació afí|transformacions afins]]. A més, implica que un conjunt convex en un [[espai vectorial topològic]] [[nombre real|real]] o [[nombre complex|complex]] és [[Conjunt_connex#Connexió_per_arcs|connex per arcs]] (i per tant també [[Conjunt connex|connex]]).

Un conjunt {{mvar|C}} és '''estrictament convex''' si tot punt en el segment lineal que connecta {{mvar|x}} i {{mvar|y}} a part dels punts finals es troba en l'[[Interior (topologia)|interior topològic]] de {{mvar|C}}. Un subconjunt tancat és estrictament convex si i només si cadascun dels seus [[Frontera (topologia)|punts de frontera]] és un punt extrem.<ref>{{Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982|p=5}}</ref>

Un conjunt {{mvar|C}} és '''absolutament convex''' si és convex i [[conjunt equilibrat|equilibrat]].

=== Exemples ===
Els [[subconjunt|subconjunts]] convexos de {{math|'''R'''}} (el conjunt dels nombres reals) són els intervals i els punts de {{math|'''R'''}}. Alguns exemples de subconjunts convexos del [[pla euclidià]] són els [[polígon regular|polígons regulars]] sòlids, els triangles sòlids, i les interseccions de triangles sòlids. Alguns exemples de subconjunts convexos d'un [[espai euclidià|espai euclidià tridimensional]] són els [[Políedre arquimedià|políedres arquimedians]] i els [[Sòlid platònic|sòlids platònics]]. Els [[Políedre de Kepler-Poinsot|políedres de Kepler-Poinsot]] són exemples de conjunts no convexes.

=== Conjunt no convex ===
Un conjunt que no és convex rep el nom de ''conjunt no convex''. Un [[polígon]] que no és un [[polígon convex]] de vegades rep el nom de [[polígon còncau]],<ref>{{cite book |first=Jeffrey J. |last=McConnell |year=2006 |title=Computer Graphics: Theory Into Practice |isbn=0-7637-2250-2 |page=[https://archive.org/details/computergraphics0000mcco/page/130 130] |url=https://archive.org/details/computergraphics0000mcco/page/130 }}.</ref> i algunes fonts utilitzen més generalment el terme ''conjunt còncau'' per referir-se a un conjunt no convex,<ref>{{MathWorld|title=Concave|id=Concave}}</ref> però en general es descarta l'ús d'aquest terme.<ref>{{cite book|title=Analytical Methods in Economics|first=Akira|last=Takayama|publisher=University of Michigan Press|year=1994|isbn=9780472081356|url=https://books.google.cat/books?id=_WmZA0MPlmEC&pg=PA54|page=54|quote=An often seen confusion is a "concave set". Concave and convex functions designate certain classes of functions, not of sets, whereas a convex set designates a certain class of sets, and not a class of functions. A "concave set" confuses sets with functions.}}</ref><ref>{{cite book|title=An Introduction to Mathematical Analysis for Economic Theory and Econometrics|first1=Dean|last1=Corbae|first2=Maxwell B.|last2=Stinchcombe|first3= Juraj|last3=Zeman|publisher=Princeton University Press|year=2009|isbn=9781400833085|url=https://books.google.cat/books?id=j5P83LtzVO8C&pg=PT347|page=347|quote=There is no such thing as a concave set.}}</ref>

El [[complementari]] d'un conjunt convex, com l'epigraf d'una [[funció còncava]], de vegades rep el nom de ''conjunt convex revertit'', especialment en el context de l'[[optimització matemàtica]].<ref>{{cite journal | last = Meyer | first = Robert | journal = SIAM Journal on Control and Optimization | mr = 0312915 | pages = 41–54 | title = The validity of a family of optimization methods | volume = 8 | year = 1970| doi = 10.1137/0308003 | url = https://minds.wisconsin.edu/bitstream/handle/1793/57508/TR28.pdf?sequence=1 }}.</ref>

== En geometria euclidiana ==
Sia ''C'' un [[conjunt (matemàtiques)|conjunt]] en un [[espai vectorial]] [[nombre real|real]] o [[nombre complex|complex]]. Es diu que ''C'' és convex si, per a tot el ''x'' i ''y'' de C i tot ''t'' en l'interval [0,1], el punt

:(1 − ''t'') ''y'' + ''t x''

pertany a ''C''.<ref>{{ref-llibre |títol=Aproximació numèrica |pàgines=21 |editorial=Universitat de València |any=2002 |isbn=843705513X |url=https://books.google.cat/books?id=9Erq_X31GhkC&pg=PA217&dq=Conjunt+convex+espai+euclidi%C3%A0&hl=ca&sa=X&ved=2ahUKEwjli6CUx8zzAhVNRPEDHSQ7Ax0Q6AF6BAgIEAI#v=onepage&q=convex&f=false |autor=Sergio Amat, Francesc Aràndiga, José Vicente Arnau, Rosa M. Donat Beneito, Pep Mulet Mestre, Rosa Peris Sancho}}</ref> En altres paraules, tots els punts en el [[segment lineal]] que connecta ''x'' i ''y'' són de ''C''. Això implica que un conjunt convex en un [[espai vectorial topològic]] real o complex és [[conjunt connex|connex]].

Es diu que un conjunt ''C'' és [[absolutament convex]] si és convex i [[conjunt equilibrat|equilibrat]].

Els [[subconjunt]]s convexos de '''R''' (el conjunt de nombres reals) són els intervals de '''R'''. Alguns exemples de subconjunts convexos de l'espai euclidià de dues dimensions són els [[polígon regular|polígons regulars]] i les [[corba d'amplada constant|corbes d'amplada constant]]. Alguns exemples de subconjunts convexos de l'espai euclidià de tres dimensions són els [[sòlids arquimedians]] i els [[sòlids platònics]]. Els [[políedres de Kepler-Poinsot]] són exemples de conjunts no convexos.

=== Propietats ===
Si <math>S</math> és un conjunt convex, per a qualsevol <math>u_1,u_2,\ldots,u_r</math> de <math>S</math>, i qualsevol [[nombre negatiu|nombres no negatius]] <math>\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r </math> tals que <math>\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_r=1</math>, es compleix que el vector
<math>\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k</math>
pertany a <math>S</math>. Tot vector d'aquest tipus s'anomena [[combinació convexa]] de <math>u_1,u_2,\ldots,u_r</math>.

La [[intersecció]] de qualsevol col·lecció de conjunts convexos és convexa, així els subconjunts convexos d'un espai vectorial (real o complex) formen un [[reticle]] complet. Això també significa per a qualsevol subconjunt ''A'' de l'espai vectorial existeix el conjunt convex més petit que el conté (anomenat l'[[embolcall convex]] d{{'}}''A''), és a dir que és la intersecció de tots els conjunts convexos que contenen ''A''.

Els conjunts convexos [[conjunt tancat|tancats]] es poden caracteritzar com les interseccions de [[semiespai]]s tancats (conjunts de punts de l'espai que són o bé damunt o bé a un costat d'un hiperplà). A partir del que s'acaba de dir, és clar que tals interseccions són convexes, i també seran conjunts tancats. Per demostrar el reciproc, és a dir que cada conjunt convex es pot representar com una intersecció d'aquest tipus, es necessita el [[teorema de l'hiperplà de suport]] en la forma que per a un conjunt convex tancat ''C'' donat i un punt ''P'' extern al conjunt, hi ha un semiespai tancat ''H'' que conté ''C'' i no ''P''. El teorema de l'hiperplà de suport és un cas especial del [[Teorema de Hahn-Banach|teorema Hahn-Banach]] de l'[[anàlisi funcional]].

== Propietats ==
Donats {{mvar|r}} punts {{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u<sub>r</sub>''}} en un conjunt convex {{mvar|S}}, i {{mvar|r}}
[[Nombre negatiu|nombres no negatius]] {{math|''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ<sub>r</sub>''}} tals que {{math|''λ''<sub>1</sub> + ... + ''λ<sub>r</sub>'' {{=}} 1}}, la combinació convexa 
:<math>\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k</math>
pertany a {{mvar|S}}. Com que la definició de conjunt convex és el cas {{math|1=''r'' = 2}}, aquesta propietat caracteritza els conjunts convexos.

Tal combinació afina rep el nom de [[combinació convexa]] de {{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u<sub>r</sub>''}}.

=== Interseccions i unions ===
La col·lecció de subconjunts convexos d'un espai vectorial, un espai afí, o un [[espai euclidià]] té les següents propietats:<ref name="Soltan" >Soltan, Valeriu, ''Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity'', Ştiinţa, [[Chişinău]], 1984 (in Russian).
</ref><ref name="Singer" >{{cite book|last=Singer|first=Ivan|title=Abstract convex analysis|url=https://archive.org/details/abstractconvexan0000sing|series=Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts|publisher=John Wiley&nbsp;&&nbsp;Sons, Inc.|location=New&nbsp;York|year= 1997|pages=xxii+491|isbn=0-471-16015-6|mr=1461544}}</ref>
# El [[conjunt buit]] i l'espai complet són convexos.
# La intersecció de qualsevol col·lecció de conjunts convexos és convexa.
# La ''[[unió]]'' d'una seqüència de conjunts convexos és convexa, si formen una [[Ordre_total#Cadenes|cadena no decreixent]] amb inclusió. Per aquesta propietat, la restricció de cadenes és important, ja que la unió de dos conjunts convexes no té per què ser convexa.

=== Conjunts convexes tancats ===
Els conjunts convexes [[conjunt tancat|tancats]] són conjunts convexes que contenen tots els seus [[Punt d'acumulació|punts límits]]. Es poden caracteritzar com les interseccions de ''[[Semiespai|semiespais]] tancats'' (conjunts de punts en l'espai que es troben sobre o en un costat d'un [[hiperplà]]).

D'això mateix, és clar que tals interseccions són convexes, i són també conjunts tancats. Per demostrar l'invers, és a dir que es pot representar tot conjunt convex tancat com a tal intersecció, es necessita el teorema de l'hiperplà de suport en la forma que un conjunt convex tancat donat {{mvar|C}} i un punt {{mvar|P}} fora del conjunt, hi ha un semiplà tancat {{mvar|H}} que conté {{mvar|C}} i no {{mvar|P}}. El teorema de l'hiperplà de suport és un cas particular del [[teorema de Hahn-Banach]] d'[[anàlisi funcional]].

=== Conjunts convexos i rectangles ===
Sigui {{mvar|C}} un cos convex en el pla (un conjunt convex l'interior del qual no és buit). Es pot inscriure un rectangle ''r'' en {{mvar|C}} tal que una còpia [[Homotècia|homotècica]] ''R'' de ''r'' sigui circumscrita al voltant de {{mvar|C}}. El ràtio d'homotècia positiu és a tot estirar de 2 i:<ref>{{Cite journal | doi = 10.1007/BF01263495| title = Approximation of convex bodies by rectangles| journal = Geometriae Dedicata| volume = 47| pages = 111–117| year = 1993| last1 = Lassak | first1 = M. | s2cid = 119508642}}</ref>
<math display=block>\tfrac{1}{2} \cdot\operatorname{Area}(R) \leq \operatorname{Area}(C) \leq 2\cdot \operatorname{Area}(r)</math>
<br />

=== Diagrames de Blaschke-Santaló ===
Es pot parametritzar el conjunt <math>\mathcal{K}^2</math> de tots els cossos convexos planars en termes del cos convex [[diàmetre]] ''D'', el seu inradi ''r'' (el cercle més gran contingut en el cos convex) i el seu circumradi ''R'' (el cercle més petit que conté el cos convex). De fet, aquest conjunt pot ser descrit pel conjunt de desigualtat donades per<ref name=":0">{{Cite journal|last=Santaló|first=L.|date=1961|title=Sobre los sistemas completos de desigualdades entre tres elementos de una figura convexa planas|journal=Mathematicae Notae|volume=17|pages=82–104}}</ref><ref name=":1">{{Cite journal|last1=Brandenberg|first1=René|last2=González Merino|first2=Bernardo|date=2017|title=A complete 3-dimensional Blaschke-Santaló diagram|url=http://mia.ele-math.com/20-22|journal=Mathematical Inequalities & Applications|language=en|issue=2|pages=301–348|doi=10.7153/mia-20-22|issn=1331-4343|doi-access=free|arxiv=1404.6808}}</ref>
<math display=block>2r \le D \le 2R</math>
<math display=block>R \le \frac{\sqrt{3}}{3} D</math>
<math display=block>r + R \le D</math>
<math display=block>D^2 \sqrt{4R^2-D^2} \le 2R (2R + \sqrt{4R^2 -D^2})</math>
i es pot visualitzar com la imatge de la funció ''g'' que va del cos convex al punt en <math>\mathbb{R}^2</math> donat per (''r''/''R'', ''D''/2''R''). La imatge d'aquesta funció rep el nom de diagrama Blachke-Santaló (''r'', ''D'', ''R'').<ref name=":1" />
[[Fitxer:Blaschke-Santaló_diagram_for_planar_convex_bodies.pdf|center|miniatura|673x673px|Diagrama Blaschke-Santaló (''r'', ''D'', ''R'') per cossos convexos planars. <math>\mathbb{L}</math> denota el segment lineal, <math>\mathbb{I}_{\frac{\pi}{3}}</math> el triangle equilàter, <math>\mathbb{RT}</math> el [[triangle de Reuleaux]] i <math>\mathbb{B}_2</math> el cercle unitari.]]
Alternativament, també es pot parametritzar el conjunt <math>\mathcal{K}^2</math> a partir de la seva amplada (la distància més petita entre dos hiperplans de suport paral·lels diferents), el perímetre i l'àrea.<ref name=":0" /><ref name=":1" />

=== Altres propietats ===
Sigui ''X'' un espai vectorial topològic i <math>C \subseteq X</math> convex.
* <math>\operatorname{Cl} C</math> i <math>\operatorname{Int} C</math> són ambdós convexos (és a dir, la [[clausura topològica|clausura]] i l'interior de dos conjunts convexos són convexos).
* Si <math>a \in \operatorname{Int} C</math> i <math>b \in \operatorname{Cl} C</math> llavors <math>[a, b[ \, \subseteq \operatorname{Int} C</math> (on <math>[a, b[ \, := \left\{ (1 - r) a + r b : 0 \leq r < 1 \right\}</math>).
* Si <math>\operatorname{Int} C \neq \emptyset</math> llavors:
** <math>\operatorname{cl} \left( \operatorname{Int} C \right) = \operatorname{Cl} C</math>, i 
** <math>\operatorname{Int} C = \operatorname{Int} \left( \operatorname{Cl} C \right) = C^i</math>, on <math>C^{i}</math> és l'interior algebraic de ''C''.

== Conjunts convexos estelats ==
[[Fitxer:Star domain.svg|miniatura|Aquest conjunt no és convex però és un estel convex, perquè el segment entre el punt ''x''<sub>0</sub> i qualsevol altre punt ''x'' del conjunt està contingut al conjunt.]]
Sia ''C'' un conjunt en un espai vectorial real o complex. ''C'' és un '''estel convex''' si existeix un ''x''<sub>0</sub> de ''C'' tal que el segment de recta des de ''x''<sub>0</sub> fins a qualsevol ''y'' de ''C'' està contingut a ''C''. Per tant, un conjunt convex no buit és sempre convex estelat però un conjunt convex estelat no sempre és convex.

== Generalitzacions i extensions de la convexitat ==
La idea de convexitat en l'espai euclidià es pot generalitzar modificant la definició en uns o altres aspectes. Es fa servir el nom de "convexitat generalitzada", perquè els objectes que resulten retenen certes propietats dels conjunts convexos.

=== Convexitat ortogonal ===
Un exemple de convexitat generalitzada és la '''convexitat ortogonal'''.<ref>{{Ref-llibre|títol=Ortho-Convexity and its Generalizations|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/B9780444704672500151|editorial=Elsevier|data=1988|isbn=978-0-444-70467-2|pàgines=137–152|volum=6|doi=10.1016/b978-0-444-70467-2.50015-1|llengua=en|nom=Gregory J.E.|cognom=Rawlins|nom2=Derick|cognom2=Wood}}</ref>

Un conjunt ''S'' en l'[[espai euclidià]] s'anomena '''ortogonalment convex''', si qualsevol segment paral·lel a qualsevol dels eixos de coordenades que connecti dos punts de ''S'' roman totalment dins de ''S''. És fàcil de demostrar que la intersecció de qualsevol col·lecció de conjunts ortogonalment convexos és ortogonalment convexa. Algunes altres propietats dels conjunts convexos també es compleixen.

=== Geometria no euclidiana ===
La definició d'un conjunt convex i d'un embolcall convex s'estén de manera natural a la [[geometria no euclidiana]] definint un [[conjunt convex geodèsic]] com el que conté tots els punts dels segments de [[geodèsica|geodèsiques]] que uneixen qualsevol parella de punts del conjunt.

=== Topologia d'ordre ===
La convexitat es pot estendre per a un espai ''X'' dotat de la [[topologia d'ordre]], fent servir l'[[ordre total]] <math><</math> de 'espai.<ref>{{ref-llibre|nom=James|cognom=Munkres|títol=Topology|editorial=Prentice Hall|edició=2a ed.|data=1999|isbn=0-13-181629-2|llengua=anglès|url=https://www.google.cat/books/edition/Topology/XjoZAQAAIAAJ?hl=ca&gbpv=0&bsq=isbn:0131816292}}</ref>

Sia <math>Y\subseteq X</math>. El subespai <math>Y</math> és un conjunt convex si per a tots els parells de punts <math>a,b\in Y</math> tals que <math>a<b</math>, l'interval <math>\left(a,b \right) = \left\{ x \in X:a<x<b \right\}</math> està contingut en <math>Y</math>. És a dir, <math>Y</math> és convex si i només si <math> \forall a,b\in Y, \left(a,b\right)\subseteq Y</math>.

=== Convexitat abstracta (axiomàtica) ===
La idea de convexitat es pot generalitzar a uns altres objectes, si certes propietats de convexitat se seleccionen com [[axioma|axiomes]].

Donat un conjunt ''X'', una '''convexitat''' sobre ''X'' és una col·lecció \mathcal{C} de subconjunts de X que satisfan els següents axiomes:<ref>{{ref-llibre|cognom=Soltan|nom=Valeriu|títol=Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity|url=https://www.researchgate.net/publication/265926502_Introduction_to_axiomatic_convexity_theory_in_Russian_Chisinau_Stiinta_1984_224_pp|editorial=Ştiinţa|lloc=Chişinău|data=1984|llengua=rus}}</ref>

#El conjunt buit i ''X'' són a <math> \mathcal{C}</math>
#La intersecció de qualsevol col·lecció de conjunts de <math> \mathcal{C}</math> és de <math> \mathcal{C}</math>.
#La unió d'una [[Ordre total|cadena]] (respecte de la [[relació d'inclusió]]) d'elements de <math> \mathcal{C}</math> és de <math> \mathcal{C}</math>.

Els elements de <math> \mathcal{C}</math> s'anomenen conjunts convexos i la parella (''X'', <math> \mathcal{C}</math>) s'anomena un '''espai de convexitat'''. Per a la convexitat ordinària, els primers dos axiomes es compleixen, i el terç un és trivial.

Per a una definició alternativa de convexitat abstracta, més adequada a la [[geometria discreta]], veure les ''geometries convexes'' associades amb [[animatroide]]s.

== Referències ==
{{Referències}}

== Vegeu també ==
* [[Funció convexa]]

{{Commonscat}}
{{Autoritat}}

{{ORDENA:Conjunt Convex}}
[[Categoria:Teoria de conjunts]]
[[Categoria:Anàlisi matemàtica]]
[[Categoria:Geometria convexa]]