Mostra la font per a Connexitat per arcs

En topologia, es diu que un espai (o un subespai) és '''connex per arcs''' o '''arc-connex''' (o també '''connex per camins''') si compleix una propietat que, intuïtivament, pot entendre's com la possibilitat de formar un camí entre dos punts qualssevol de l'espai o subespai. Cadascun dels subespais arc-connexs no continguts en un subespai arc-connex major s'anomena '''component arc-connexa''' de l'espai.

== Definició formal ==
Direm que un conjunt <math> X </math> és connex per camins o arc-connex si donats <math> x_{1}, x_{2}\in X </math> hi ha un camí continu <math > \alpha: [0,1] \rightarrow X </math> tal que <math> \alpha (0) = x_{1}</math> i <math> \alpha (1) = x_{2}</math>.

== Propietats ==
[[Fitxer:Peine.jpg|miniatura|Pinta del topòleg]]
La connexitat per camins implica [[connexitat]], però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat [[pinta del topòleg]], <math> X = A \cup B </math>, on <math> A = \{ 0 \} \times] -1,1 [</math> i <math> B = ([0, 1] \times \{ 0 \}) \cup (\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\}\times [0, 1]) </math>. <math> X </math> és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una [[propietat topològica|propietat hereditària]] (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).

[[Categoria:Topologia]]