Mostra la font per a Covariància i contravariància de vectors

'''Covariància '''i''' contravariància''' són conceptes emprats freqüentment en àrees de la [[matemàtica]] i la [[física teòrica]]. Per regla general es refereixen al fet que certs objectes matemàtics, que poden representar alguna magnitud física, tenen alguna forma d'[[invariància]] de forma, és a dir, la propietat de romandre sense canvi sota un conjunt donat de [[Transformació (matemàtiques)|transformacions]].

En termes matemàtics, aquestes invariància de manera ocorren en una forma fonamental en l'[[àlgebra lineal]] i [[àlgebra multilineal]], [[geometria diferencial]] i altres branques de la [[geometria]], [[teoria de categories]] i [[topologia algebraica]]. En física, són importants en el tractament de [[vector (matemàtiques)|vectors]] i altres quantitats, com els [[tensor|tensors]]. Les teories de [[relativitat especial]] ([[covariància de Lorentz]]) i [[relativitat general]] ([[covariància general]]) fan servir vectors base covariants sota canvis de coordenades.

== Idea general ==
En termes generals, la [[dualitat (matemàtiques)|dualitat]] intercanvia covariància i contravariància, aquest és el motiu pel qual aquests conceptes es presenten junts. Per propòsits del càlcul pràctic de [[matriu (matemàtiques)|matrius]], la [[matriu transposada]] és relativa a dos aspectes (per exemple dos conjunts d'[[equacions simultànies]]). El cas en el qual una [[matriu quadrada]] per la transposada és també la [[matriu inversa]], és a dir, una [[matriu ortogonal]], és un cas en què la covariància i la contravariància que poden ser tractades de la mateixa manera. Això és molt important en l'aplicació pràctica de [[tensor]]s.

Una causa de major confusió és aquesta dualitat covariància/contravariància, que intervé cada vegada en la discussió de si una quantitat vectorial o tensorial és representada per les seves components. Això causa discussions en la literatura física i matemàtica per usar convencions aparentment oposades.

Aquesta no és la convenció que difereix, sinó quan una descripció intrínseca o en el sentit de components és la forma primària de pensar en les quantitats. Com el nom ho suggereix, les quantitats covariants es pensen per moviment o transformacions cap endavant, mentre que les quantitats contravariants es transformen cap enrere. Per la qual cosa depèn de si un està utilitzant qualsevol fons fix - de fet, això canvia el punt de vista.

== Ús informal ==
En l'ús comú de la [[física]], l'adjectiu covariant pot ser usat informalment com a sinònim d'[[invariant]] (o [[equivariant]]), en termes matemàtics). Per exemple, l'[[Equació de Schrödinger]] no manté la seva forma escrita sota les transformacions de coordenades de la [[relativitat especial]], així un pot dir que és no covariant. En contrast, l'[[Equació de Klein-Gordon]] i l'[[Equació de Dirac]] prenen la mateixa manera en qualsevol marc de referència coordinat de la relativitat especial: així, un pot dir que aquestes equacions són covariants o més formalment que hauríeu realment a dir que els equacions de Klein-Gordon i de Dirac són invariants que l'[[equació de Schrödinger]] no ho és, però aquest és no l'ús dominant. És de notar també que cap de les dues equacions (Klein-Gordon i de Dirac) són invariants davant transformacions de [[relativitat general]] (tampoc en el sentit covariant), i en l'ús formal, s'ha d'indicar que la invariància és pel que fa a la relativitat general.

En forma similar l'ús informal és de vegades vist pel que fa a quantitats com la [[massa]] i el [[temps]] en relativitat general: la massa és tècnicament un component del [[quart-moment]] o el [[tensor energia-moment]], però un pot ocasionalment referir-se a la massa covariant, el que significa que és la longitud del quatre-vector moment.

== Exemples ==
=== Vectors base covariants en l'espai euclidià ℝ<sup>3</sup> ===
Si '''e'''¹, '''e'''², '''e'''<sup>3</sup> formen una [[base vectorial]] contravariant de ℝ<sup>3</sup> (vectors no necessàriament ortogonals o de norma u) llavors els vectors base covariants del seu sistema recíproc són:
:<math> \mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\mathbf{e}^1 \cdot (\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)}; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\mathbf{e}^1 \cdot (\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\mathbf{e}^1 \cdot (\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)}</math>
Recordeu que fins i tot si '''e'''<sub>''j''</sub> i '''e'''<sup>''j''</sup> no són ortonormals, això segueix sent vàlid per definició de mútuament ortonormal:
:<math> \mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}_j = \delta^i_j </math>

Llavors les coordenades contravariants de qualsevol vector '''v''' poden ser obtingudes mitjançant l'ús del [[producte escalar]] de '''v''' amb els vectors base contravariants:
:<math> q^1 = \mathbf{v \cdot e^1}; \qquad q^2 = \mathbf{v \cdot e^2}; \qquad q^3 = \mathbf{v \cdot e^3}</math>
De la mateixa manera, les components covariants de '''v''' poden ser obtingudes a partir del producte escalar de '''v''' amb els vectors base covariants.
:<math> q_1 = \mathbf{v \cdot e_1}; \qquad q_2 = \mathbf{v \cdot e_2}; \qquad q_3 = \mathbf{v \cdot e_3}</math>
Llavors '''v''' pot ser expressat en dues formes (recíproques).
: <math> \begin{align} \mathbf{v}&= \sum_i q_i \mathbf{e}^i = q_1 \mathbf{e}^1+q_2 \mathbf{e}^2+q_3 \mathbf{e}^3 \\ \mathbf{v}&= \sum_i q^i \mathbf{e}_i = q^1 \mathbf{e}_1+q^2 \mathbf{e}_2+q^3 \mathbf{e}_3 \end{align}</math>
És a dir, el vector '''v''' és una [[combinació lineal]] dels vectors base del sistema de coordenades corresponent.

Els índexs de les coordenades contravariants, vectors, i tensors són superíndexs (però vegeu dalt, i noteu la convenció en l'ús de la notació). Si els vectors base contravariants són [[ortonormal]]s llavors són equivalents als vectors base covariants, així que no hi ha necessitat de distingir entre coordenades covariants i contravariants i tots els índexs són superíndexs.

== Vegeu també ==
* [[Anàlisi de la covariància]]


{{ORDENA:Covariancia I Contravariancia De Vectors}}
[[Categoria:Relativitat]]
[[Categoria:Àlgebra multilineal]]