Mostra la font per a Cub

{{Infotaula polítop}}
Un '''cub''', '''hexàedre regular''' o '''hexaedre regular''' és un [[políedre regular]] format per sis cares [[Quadrat (polígon)|quadrades]] en el qual en cada [[Vèrtex (geometria)|vèrtex]] hi coincideixen tres [[Aresta (geometria)|arestes]] [[perpendicular]]s entre si. El seu [[volum]] es calcula segons la fórmula ''a''³, on ''a'' és la [[longitud]] d'una aresta.<ref>{{GEC|2=cub-1}}</ref>

El cub és l'únic [[hexàedre]] regular i forma part dels cinc [[sòlids platònics]]. Té 6 cares, 8 vèrtexs i 12 arestes. També és un paral·lelepípede quadrat i un [[cuboide]] equilateral. És un [[Prisma (geometria)|prisma]] quadrat regular en tres orientacions i un [[trapezoedre trigonal]] en quatre orientacions. És el [[Políedre dual|dual]] de l'[[octàedre]] i té [[simetria octaèdrica]] o cúbica. Finalment, és l'únic [[políedre convex]] que té totes les cares quadrades.

== Geometria i fórmules ==
Donat un cub regular d'aresta <math>a</math>:

{|class=wikitable
|-
|[[Àrea (matemàtiques)|Àrea de la superfície]]
|align=center|<math>6 a^2\,</math>
|[[Volum]]
|align=center|<math>a^3\,</math>
|-
|[[Diagonal facial]]
|align=center|<math>\sqrt 2a</math>
|[[Diagonal espacial]]
|align=center|<math display="inline">\sqrt 3a</math>
|-
|Radi de l'[[esfera circumscrita]]
|align=center|<math>\frac{\sqrt 3}{2} a</math>
|Radi de l'esfera tangent a les arestes
|align=center|<math>\frac{a}{\sqrt 2}</math>
|-
|Radi de l'[[esfera inscrita]]
|align=center|<math>\frac{a}{2}</math>
|[[Angle dièdric|Angles entre cares]] (en [[radian]]s)
|align=center|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|}

Com que el volum del cub és la [[potència (matemàtiques)|potència]] tercera de les seves arestes (<math>a \times a \times a</math>), les potències terceres s'anomenen «[[cub (àlgebra)|cub]]» per analogia a «[[quadrat (àlgebra)|quadrat]]» i les potències segones.

El cub té el volum més gros entre tots els [[cuboide]]s amb una mateixa [[àrea superficial]]. A més a més, el cub també té el volum més gros entre els cuboides amb la mateixa longitud d'aresta total (amplada + llargada + alçada).

=== Simetria ===
Un hexaedre regular (o cub) té quinze [[eix de simetria|eixos de simetria]] d'ordre quatre: les rectes perpendiculars a cada parell de cares paral·leles pel seu punt mitjà; quatre eixos de simetria d'ordre dos: les rectes que uneixen els centres d'arestes oposades; nou [[plànol de simetria|plans de simetria]]; tres paral·lels a cada parell de cares paral·leles pel punt mitjà de les arestes que les uneixen, i sis formats pels parells d'arestes oposades; i un [[centre de simetria]]. Això fa que aquest cos tingui un [[ordre de simetria]] total de 48: 2x(3x4+6x2).

Els elements de simetria anteriors defineixen un dels grups de simetria octaèdrics, el denominat ''O<sub>h</sub>'' segons [[notació de Schöenflies]].

=== Punt en l'espai ===
Per un cub l'esfera circumscrita del qual tingui radi ''R'', i per un punt donat del seu espai tridimensional amb distàncies ''d<sub>i</sub>'' respecte els vuit vèrtexs del cub, s'obté:<ref>Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", [[Forum Geometricorum]] 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161010184811/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf|date=2016-10-10}}</ref>

:<math>\frac{\sum_{i=1}^8 d_i^4}{8} + \frac{16R^4}{9} = \left(\frac{\sum_{i=1}^8 d_i^2}{8} + \frac{2R^2}{3}\right)^2. </math>

== Coordenades cartesianes i equació en l'espai tridimensional ==
=== Coordenades cartesianes ===
Per un cub centrat en l'origen, amb arestes paral·leles als eixos i amb una longitud d'aresta de 2, les [[coordenades cartesianes]] dels vèrtexs són:

:(±1, ±1, ±1)

Mentre que l'interior consisteix en tots els punts (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''₂) amb −1 < ''x''<sub>''i''</sub> < 1 per tot ''i''.

=== Equació en l'espai tridimensional ===
En [[geometria analítica]], la superfície d'un cub amb centre (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>) i llargada d'aresta ''2a'' és el [[Locus (matemàtiques)|locus]] de tots els punts (''x'', ''y'', ''z'') tals que
:<math> \max\{ |x-x_0|,|y-y_0|,|z-z_0| \} = a.</math>

== Projeccions ortogonals ==
El cub té quatre [[projecció ortogonal|projeccions ortogonals]] especials: centrada en un vèrtex, aresta o cara, i normal a la seva [[figura de vèrtex]]. La primera i tercera corresponen als [[pla de Coxeter|plans de Coxeter]] A₂ and B₂.

{|class=wikitable width=360
|+ Projeccions ortogonals
|-
!Centratge per
!Cara
!Vèrtex
|- align=center
!Plans de Coxeter
|'''B₂'''<BR>[[Fitxer:2-cube.svg|100px]]
|'''A₂'''<BR>[[Fitxer:3-cube t0.svg|100px]]
|- align=center
!Simetria<BR>projectiva
|[4]
|[6]
|-
!Vistes laterals
|[[Fitxer:Cube t0 e.png|100px]]
|[[Fitxer:Cube t0 fb.png|100px]]
|}

== Políedre esfèric ==
El cub també es pot representar com un [[políedre esfèric]] i ser projectat sobre el pla per mitjà d'una [[projecció estereogràfica]]. Aquesta projecció és [[Transformació conforme|conforme]], és a dir, preserva els angles però no pas les àrees o llargades. Les línies rectes de l'esfera es projecten com a arcs circulars sobre el pla.

{|class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[Fitxer:Uniform tiling 432-t0.png|160px]]
|[[Fitxer:Cube stereographic projection.svg|160px]]
|-
![[Projecció ortogràfica]]
![[Projecció estereogràfica]]
|}

== Problemes clàssics ==
=== La duplicació del cub o problema de Delos ===
<ref name="Klein Beman Smith 1897 p. ">{{ref-llibre|cognom=Klein |nom=F. |cognom2=Beman |nom2=W.W. |cognom3=Smith |nom3=D.E. |títol=Famous Problems of Elementary Geometry: The Duplication of the Cube; the Trisection of an Angle; the Quadrature of the Circle; an Authorized Translation of F. Klein's Vorträge Über Ausgewählte Fragen Der Elementargeometrie, Ausgearbeitet Von F. Tägert |editorial=Ginn & Company |any=1897 | url=https://books.google.cat/books?id=NDMAAAAAYAAJ |consulta=2023-08-09 }}</ref><ref name="Jeans Barroso 2016 p. 37">{{ref-llibre|cognom=Jeans |nom=J.H. |cognom2=Barroso |nom2=M.H. |títol=Historia de la física: Hasta mediados del siglo XX |editorial=FCE - Fondo de Cultura Económica | series=Breviarios |any=2016 | isbn=978-607-16-4483-1 | url=https://books.google.cat/books?id=qQMIDgAAQBAJ&pg=PT37 |llengua=es |consulta=2023-08-09 |pàgina=37}}</ref>

=== Mecanitzar un cub en un torn ===
<ref name="YouTube f373">{{ref-web|títol=Como hacer un cubo en torno | website=YouTube | url=https://www.youtube.com/watch?v=epHuZkgcovs |consulta=2023-08-09}}</ref>

== En la cultura ==
[[Fitxer:Pyrite Cubes.JPG|miniatura| Tres cristalls cúbics de pirita.]]
Des d'anys passats, i en nombroses cultures, el cub és la forma més utilitzada per donar forma als [[dau]]s, utilitzats en molts llocs. En els jocs de rol l'anotació escrita en el dau de sis cares és «D6».

En [[teologia]], els cubs apareixen a les [[religió abrahàmica|religions abrahàmiques]]. La [[Kaaba]] de [[la Meca]] n'és un exemple, ja que significa justament «cub» en àrab. També apareixen al [[judaisme]]: [[teffilin]] i [[Nova Jerusalem]] al [[Nou Testament]] són descrits com a cubs.<ref>{{ref-web| url=https://www.deilataylor.com/symbolism-of-the-cube/ |títol=Symbolism of the Cube • Eve Out of the Garden |data=30 octubre 2020 }}</ref>

El cub representa simbòlicament la veritat. I s'associava amb Hermes.<ref name="Mackey 1882 p. 114">{{ref-llibre|cognom=Mackey |nom=A.G. |títol=The Symbolism of Freemasonry (Esprios Classics) |editorial=Blurb, Incorporated |any=1882 | isbn=978-1-388-97266-0 | url=https://books.google.cat/books?id=bDPUY_GPSYoC&pg=PA114 |consulta=2023-08-09 |pàgina=114}}</ref>

=== En espectacles de fira ===
* La caixa cúbica "màgica".<ref name="Frikell 1875 p. 194">{{ref-llibre|cognom=Frikell |nom=W. |títol=Hanky Panky: A Book of Conjuring Tricks |editorial=Chatto & Windus | series=Secret out" series |any=1875 | url=https://books.google.cat/books?id=wk5JAQAAMAAJ&pg=PA194 |consulta=2023-08-09 |pàgina=194}}</ref>
* Cub sòlid i caixa cúbica.<ref name="Read Books Limited 2015 p. 24">{{ref-llibre|títol=A Collection of Amazing Magic and Card Tricks |editorial=Read Books Limited |any=2015 | isbn=978-1-4733-9536-7 | url=https://books.google.cat/books?id=0m9-CgAAQBAJ&pg=PT24 |consulta=2023-08-09 |pàgina=24}}</ref>

=== En mineralogia ===
<ref name="Salatino 2010 p. 35">{{ref-llibre|cognom=Salatino |nom=A. |títol=La Sabiduría de Los Cristales |editorial=Editorial Kier |any=2010 | isbn=978-950-17-3405-8 | url=https://books.google.cat/books?id=T9usfp2UNEQC&pg=PA35 |llengua=es |consulta=2023-08-09 |pàgina=35}}</ref>

=== Acústica ===
<ref name="Kuleyev Kuleyev Bakharev Ustinov 2020 p. 8">{{ref-llibre|cognom=Kuleyev |nom=I.G. |cognom2=Kuleyev |nom2=I.I. |cognom3=Bakharev |nom3=S.M. |cognom4=Ustinov |nom4=V.V. |títol=Phonon Focusing and Phonon Transport: In Single-Crystal Nanostructures |editorial=De Gruyter | series=Texts and Monographs in Theoretical Physics |any=2020 | isbn=978-3-11-067050-9 | url=https://books.google.cat/books?id=wkj2DwAAQBAJ&pg=PA8 |consulta=2023-08-09 |pàgina=8}}</ref>

== Referències ==
{{referències}}

== Vegeu també ==
* [[Cub Soma]]
* [[Sòlid platònic]]

{{commonscat}}
{{políedres regulars}}
{{Autoritat}}
{{Viccionari-lateral|cub}}

[[Categoria:Sòlids platònics]]