Mostra la font per a Delta de Kronecker

La '''delta de Kronecker''' és una convenció d'escriptura que serveix per expressar i valorar la [[Igualtat matemàtica|igualtat]] o [[Desigualtat matemàtica|desigualtat]] entre dues [[Variable (matemàtiques)|variable]]s. El símbol n'és la lletra grega [[Delta (lletra)|delta]] ''δ'' i pren el nom del [[matemàtic]] [[Leopold Kronecker]]. Els valors de les variables, típicament elements de conjunts d'índexs, se solen posar com a subíndexs, ''δ''<sub>''ij''</sub>, o en un superíndex i un subíndex: ''δ''<sub>''j''</sub><sup>''i''</sup>. Els valors són:

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|<math>\delta_{ij} = \delta^{i}_{j} = \begin{cases}0, & \mbox{si } i \neq j \\
1, & \mbox{si } i = j \end{cases}</math>
|}

S'utilitza en molts àmbits de les [[matemàtiques]], (per exemple la [[matriu identitat]] es pot escriure com a ''δ''<sub>''ij''</sub>) però naturalment, l'ús de la ''delta de Kronecker'' es restringeix a aquells contextos en què els símbols ''0'' i ''1'' tinguin sentit, com són, per exemple, el conjunt ℕ dels [[nombres naturals]], [[anell (matemàtiques)|anells]] amb unitat o [[cos (matemàtiques)|cossos]].

== Processament de senyals digitals ==
En processament de senyals digitals el mateix concepte és representat com una funció damunt <math>\mathbb{Z}</math> (enters)''':'''

<math>
\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0.\end{cases}</math>

La funció es refereix com un impuls, o impuls de la unitat. I quan estimula un element del tractament de senyals, la sortida es diu la resposta d'impuls de l'element.

== Propietats de la funció Delta ==
La Delta de Kronecker té la propietat per la qual <math>j\in\mathbb Z</math>: 
:<math>\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ij} =a_j.</math>
Si els nombres enters es veuen com a espai de mesura, dotat amb la [[mesura de comptar]], després aquesta propietat coincideix amb la propietat definida de la funció de [[delta de Dirac]]''':'''
:<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),</math>
De fet, la delta de Dirac va ser nomenada a causa de la delta de Kronecker a causa d'aquesta propietat anàloga. En el tractament de senyals és generalment el context (temps discret o continu) que distingeix les funcions de Kronecker i Dirac. I pel conveni, <math>\delta(t)\,</math> indica generalment el temps continu (Dirac), mentre que les discussions com a ''i'', ''j'', ''k'', ''l'', ''m'', i ''n'' són generalment reservats per al temps discret (Kronecker). Una altra pràctica comuna és representar seqüències discretes amb els claudàtors; així: <math>\delta[n]\,</math>. És important observar que el delta de Kronecker no és el resultat de mostrejar la funció de delta de Dirac.
El delta de Kronecker s'utilitza en moltes àrees de les matemàtiques.

=== Àlgebra lineal ===
En [[àlgebra lineal]], la [[matriu identitat]] es pot escriure com a <math>(\delta_{ij})_{i,j=1}^n\,</math>.

Si es considera com a [[Tensor (objecte matemàtic)|tensor]], el '''tensor de Kronecker''', pot ser escrit <math>\delta^i_j</math>

Un altre exemple del seu ús a l'àlgebra lineal és per la base canònica d'un espai vectorial, que compleix <math>\vec e_i \cdot \vec e_j = \delta_{ij}</math>

{{ORDENA:Delta De Kronecker}}
[[Categoria:Àlgebra]]