Mostra la font per a Demostració (matemàtiques)

En [[matemàtiques]], una '''demostració''', també dita '''prova''', és un raonament lògic que estableix la veritat d'una [[Proposició (lògica)|proposició]] matemàtica. A partir d'[[axioma|axiomes]] (suposats vertaders per definició) o [[teorema|teoremes]] (altres proposicions matemàtiques demostrades a partir dels axiomes) i en aplicar [[Regla d'inferència|regles d'inferència]] vàlides, hom mostra que una altra proposició també és vertadera.

Com que les matemàtiques són una ciència formal, no [[empíric]]a, la demostració ha de ser un argument que no apel·li a cap fet empíric. Les proves s'obtenen de [[raonament deductiu|raonaments deductius]], en lloc de [[raonament inductiu|raonaments inductius]] o arguments [[empíric]]s. Això vol dir que una prova ha de demostrar que una proposició és certa en tots els casos sense una sola excepció. El rigor de la metodologia matemàtica exigeix que cap proposició no s'accepti com a vàlida fins que hom no en conegui una demostració correcta. Els enunciats matemàtics demostrats que es consideren d'una especial rellevància s'anomenen [[teorema|teoremes]] i els d'importància menor [[lema (matemàtiques)|lemes]] o [[corol·lari]]s. Una proposició matemàtica que no ha estat provada ni refutada i per la qual hi ha algunes intuïcions que fan pensar que és vertadera, és una [[conjectura]] o una [[hipòtesi]].

Les demostracions matemàtiques normalment s'escriuen i s'expliquen en llenguatge natural (amb un cert nivell d'artifici formal propi del quefer matemàtic), i això pot deixar lloc a una certa ambigüitat. És per això que la [[teoria de la demostració]] ha desenvolupat mètodes per formalitzar completament el raonament matemàtic i poder així determinar amb tota precisió la noció de demostració matemàtica vàlida. Aquestes investigacions han tingut sens dubte un gran valor per a la [[fonaments de la matemàtica|fonamentació]] i la [[filosofia de la matemàtica]].

Entre els mètodes de demostració habituals en matemàtiques podem enumerar la [[demostració per deducció|demostració directa]], la [[demostració per inducció]] en els naturals, la [[demostració per contradicció]] o reducció a l'absurd, la demostració per separació de casos, la demostració constructiva, etcètera.

== Història i etimologia ==
Argumentacions plausibles que utilitzen elements heurístics com dibuixos i analogies, precedeixen les demostracions estrictament matemàtiques.<ref name="Krantz"/> La història del concepte de demostració es remunta a les civilitzacions de l'antiga Grècia. [[Tales de Milet]] (640–546 aC) va demostrar alguns teoremes de geometria. [[Èudox de Cnidos]] (408–355 aC) i [[Teetet d'Atenes]] (417–369 aC) va formular teoremes però no els va demostrar. [[Aristòtil]] (384–322 aC) va dir que les definicions haurien de descriure el concepte que s'ha de definir en termes d'altres conceptes que ja són coneguts. [[Euclides]] (300 aC) va ser l'autèntic introductor del mètode deductiu pur en començar la seva obra, els [[Elements d'Euclides|''Elements de Geometria'']], amb 33 [[definició|definicions]] i 10 [[axioma|axiomes]] (proposicions respecte als termes definits, i que s'accepten com a evidentment certes; de la paraula grega "''axios''" que significa "alguna cosa valuosa") i que s'usen per demostrar teoremes utilitzant la [[lògica deductiva]].

La introducció de l'[[aritmètica]] i, sobretot, de l'[[àlgebra]] per part dels [[Llista de matemàtics de l'islam medieval|matemàtics islàmics]] (segles IX a XIV), van permetre generalitzar les demostracions, que ja no van dependre exclusivament de la geometria. Durant el {{segle|XVII}}, amb l'aportació del [[càlcul infinitesimal]] per part de [[Newton]] i [[Leibniz]], es va produir una formalització més estricta de les demostracions, que culminaria a començaments del {{segle|XX}} amb la publicació dels [[Principia Mathematica (Russell-Whitehead)|''Principia Mathematica'']] de [[Bertrand Russell|Russell]] i [[Whitehead]] (1910) i el [[formalisme (matemàtiques)|programa formalista]] de [[David Hilbert|Hilbert]].

La [[teoria de la demostració]] moderna tracta les demostracions com a estructures de dades definides inductivament. En l'actualitat no s'assumeix que els axiomes són ''"certs"'' en algun sentit; això permet fer teories matemàtiques paral·leles construïdes amb conjunts alternatius d'axiomes (vegeu [[Teoria de conjunts#Teoria de conjunts axiomàtica|teoria de conjunts axiomàtica]] i [[geometria no euclidiana]] per exemple).

La paraula ''Prova'' (demostració) prové del verb llatí ''probare'' que significa "provar". Paraules modernes relacionades amb aquesta són les paraules angleses "proof", "probation" i "probability", i la paraula catalana "provar".

== Natura i propòsit ==
Hi ha dues concepcions diferents d'una demostració matemàtica.<ref>Buss, 1997, p. 3</ref> La primera és la demostració informal, una expressió rigorosa del llenguatge natural que intenta convèncer l'audiència de la veracitat d'un teorema. Com que utilitza el llenguatge natural, els estàndards de rigor de les demostracions informals dependran de l'audiència a qui es dirigeix. Malgrat tot, per tal que es consideri vàlida una demostració informal, l'argument ha de ser prou rigorós; un argument vague o incomplet no és una demostració. Les demostracions informals són el tipus de demostracions que es troben típicament en les publicacions matemàtiques. A vegades s'anomenen "demostracions formals" a causa del seu rigor, encara que els lògics utilitzen el terme "demostració formal" per referir-se a un tipus completament diferent de demostració.

La segona concepció, la lògica, és la [[demostració per deducció|demostració formal]] que no està escrita en llenguatge natural, sinó que utilitza un [[llenguatge formal]], que consisteix en certes cadenes de símbols d'un alfabet fix. Això permet definir el concepte de demostració formal sense cap ambigüitat. El camp de la [[teoria de la demostració]] estudia les demostracions formals i les seves propietats.

Malgrat que cada demostració informal es pot convertir, en teoria, en una demostració formal, això no es fa gaire bé mai a la pràctica. L'estudi de les demostracions formals s'utilitza per determinar propietats de demostrabilitat en general, i per veure que algunes [[indecidibilitat|proposicions indecidibles]] no es poden demostrar.

Una qüestió clàssica en filosofia és preguntar-se si les demostracions matemàtiques són analítiques o sintètiques. Kant, qui va introduir la distinció analític/sintètic, creia que les demostracions matemàtiques eren sintètiques.<ref>[[Willard Van Orman Quine]] argumentava que les demostracions matemàtiques eren expressions analítiques, que es basaven en observacions empíriques o fets. {{Versaleta|Quine}}, Two Dogmas of Empiricism</ref>

Les demostracions es poden veure com objectes estètics,<ref>[[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] considerava que no hi havia lloc en el món per a les ''matemàtiques lletges''.</ref> admirats per la seva bellesa matemàtica. El matemàtic [[Paul Erdős]], conegut per descriure demostracions, va trobar especialment elegant com si vingués de "The Book", un hipotètic llibre que contenia els mètodes de demostració més macos per cada teorema. El llibre [http://books.google.cat/books?id=CuTpgZaLahkC ''Proofs from THE BOOK''], publicat el 2003, es dedica a presentar 32 demostracions que els seus editors troben particularment ''maques''.

== Mètodes de demostració ==
=== Demostració elemental ===
Una '''[[demostració elemental]]''' és una demostració en la que s'utilitzen únicament tècniques bàsiques.<ref>{{Versaleta|Mbodje}}, pàgina 5.</ref> Aquest terme s'utilitza en la [[teoria de nombres]] per a referir-se a demostracions que no utilitzen [[anàlisi complexa]]. Durant temps es creia que alguns teoremes com el [[teorema dels nombres primers]] només es podien demostrar utilitzant matemàtiques "d'alt nivell". Amb el temps, molts d'aquests resultats s'han demostrat utilitzant només tècniques elementals.

==== Demostració a dues columnes ====
[[Fitxer:twocolumnproof.png|miniatura|Una demostració a dos columnes publicada el 1913]]

Una forma particular de demostració utilitzant '''dues columnes''' paral·leles s'utilitza sovint en les classes de geometria elemental.<ref>Patricio G. Herbst, Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Demostració in the Early Twentieth Century, Educational Studies in Mathematics, Vol. 49, No. 3 (2002), pp. 283-312,</ref>
La demostració s'escriu com una sèrie de línies en dues columnes. A cada línia, la columna de l'esquerra conté una proposició, mentre que la columna de la dreta conté l'explicació de si aquesta proposició és, o bé un axioma, o bé una hipòtesi, o bé pot ser obtinguda a partir de les línies anteriors.

=== Demostració directa ===
En una '''demostració directa''' (o '''[[demostració per deducció]]'''), la conclusió s'estableix combinant lògicament els axiomes, les definicions i els teoremes prèviament demostrats.<ref>{{Versaleta|Mbodje}}, pàgina 52.</ref> Per exemple, una demostració directa es pot utilitzar per establir que la suma de dos nombres [[nombre enter|enter]]s [[nombre parell|parells]], sempre dona un nombre parell:

:Siguin <math>x</math> i <math>y</math> dos nombres enters parells qualsevol. Com que tots dos són parells, es poden escriure <math>x=2a</math> i <math>y=2b</math> per a alguns enters <math>a</math> i <math>b</math>, ja que tant <math>x</math> com <math>y</math> són múltiples de 2. Però la suma <math>x+y = 2a + 2b = 2(a+b)</math> també és múltiple de 2, per tant és parell per definició.

Aquesta demostració utilitza la definició de nombre parell, la [[clausura]] algebraica dels enters per a la suma i la multiplicació i la [[propietat distributiva]].

=== Demostració per inducció matemàtica ===
{{article principal|Inducció matemàtica}}
La '''inducció matemàtica''' no és una forma de raonament inductiu. En una demostració per '''inducció matemàtica''', primer de tot s'ha de demostrar que un ''"cas inicial"'' és cert, i llavors la s'utilitza la ''"regla d'inducció en els naturals"'' per demostrar un seguit d'altre casos (sovint [[infinit]]s casos).<ref>{{Versaleta|Mbodje}}, pàgina 205 i ss.</ref> Com que s'ha demostrat que el cas inicial és cert, la resta d'infinits altres casos també han de ser certs, encara que tots no es demostrin directament, ja que són un nombre infinit. Un [[subconjunt]] d'inducció és un [[mètode del descens infinit]]. Es va utilitzar un mètode de descens infinit per demostrar que l'[[Nombre real#Irracionalitat de l'arrel quadrada de 2|arrel de 2 és irracional]].

El principi d'inducció matemàtica diu que:
Sigui ℕ = {1, 2, 3, 4, ...} el conjunt dels [[Nombre natural|nombres naturals]] i <math>P(n)</math> una propietat matemàtica en la que intervé el nombre natural <math>n</math> ∈ ℕ, tal que:
:1)<math>P(1)</math> és cert, per exemple, <math>P(n)</math> és cert per <math>n = 1</math>
:2)<math>P(m+1)</math> és cert si <math>P(m)</math> és cert, és a dir, que <math>P(m)</math> és cert implica que <math>P(m+1)</math> és cert.
Aleshores <math>P(n)</math> és cert per a tots els nombres naturals <math>n</math>.

Els matemàtics utilitzen sovint el terme "demostració per inducció" com a abreviatura per a demostració per inducció matemàtica.<ref>(en anglès) [http://www.warwick.ac.uk/AEAhelp/glossary/glossaryParser.php?glossaryFile=Proof%20by%20induction.htm Demostració per inducció] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120218033011/http://www.warwick.ac.uk/AEAhelp/glossary/glossaryParser.php?glossaryFile=Proof%20by%20induction.htm |date=2012-02-18}}, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology</ref> Malgrat això, el terme "demostració per inducció" també es pot utilitzar en lògica per a significar una argumentació que utilitza [[raonament inductiu]].

=== Demostració per transposició ===
La '''demostració per transposició''' s'aprofita del principi lògic anomenat [[modus tollendo tollens]]; mitjançant el qual podem afirmar que si ''p'' aleshores ''q'', però no ''q'', aleshores no ''p'': '''(''p''→''q'') ∧ ¬''q'' → ¬''p''.'''<ref>{{Versaleta|Mbodje}}, pàgina 53.</ref>

Per exemple, la contraposició es pot emprar per demostrar que si <math>x^2</math> és parell, aleshores <math>x</math> també és parell: si <math>x</math> no és parell, aleshores és senar, i <math>x^2 = x x</math> també serà senar. Com que no hi ha cap <math>x</math> no parell que tingui com a quadrat un parell, aleshores tots els quadrats que siguin parells, tenen [[arrel quadrada]] parell.

=== Demostració per reducció a l'absurd ===
{{article principal|Reductio ad absurdum}}
En una '''Demostració per [[reducció a l'absurd]]''' (provinent de l'expressió llatina ''reductio ad absurdum''), es demostra que si una proposició és certa, aleshores se'n dedueix una contradicció lògica, per tant la proposició no pot ser certa.<ref>{{Versaleta|Mbodje}}, pàgina 54.</ref> Aquest mètode és tal vegada el més utilitzat per a les demostracions matemàtiques. Una demostració famosa que utilitza la reducció a l'absurd és la de la [[Nombre real# Irracionalitat de l'arrel quadrada de 2|irracionalitat de <math>\sqrt{2}</math>]]:

:Suposem que <math>\sqrt{2}</math> és un [[nombre racional]], llavors <math>\sqrt{2} = {a\over b}</math>, on <math>a</math> i <math>b</math> són nombres enters diferents de zero [[coprimer|amb cap factor en comú]] (definició de nombre racional). Per tant, <math>b\sqrt{2} = a</math>. Elevant al quadrat les dues bandes obtenim <math>2 b^2 = a^2</math>. Com que 2 divideix al membre de l'esquerra, 2 també ha de dividir al membre de la dreta (ja que tots dos són iguals i enters), Per tant, <math>a^2</math> ha de ser parell (divisible per 2), el que implica que <math>a</math> també ha de ser parell. Per tant, es pot escriure <math>a = 2c</math>, on <math>c</math> és també un nombre enter. Substituint en l'equació inicial obtenim <math>2b^2 = (2c)^2 = 4c^2</math>. Al dividir els dos membres per <math>2</math> obtenim <math>b^2 = 2c^2</math>. Però aleshores, aplicant el mateix argument que abans, <math>2</math> divideix <math>b^2</math>. Per tant, <math>b</math> també ha de ser parell. Però <math>a</math> i <math>b</math>, per definició, no poden compartir cap factor comú, i ja hem vist que tots dos comparteixen el factor 2. Això contradiu les nostres afirmacions inicials i, per tant, hem de concloure que <math>\sqrt{2}</math> és un nombre irracional, perquè no existeix cap <math>a</math> i <math>b</math> que compleixin <math>\sqrt{2} = {a\over b}</math>.

=== Demostració per construcció ===
La '''demostració per construcció''', o demostració per exemple consisteix a construir un exemple concret amb la propietat que demostra que existeix alguna cosa amb una propietat determinada.<ref>{{Versaleta|Mbodje}}, pàgina 58.</ref> Per exemple, [[Joseph Liouville]], va demostrar l'existència dels [[nombre transcendent|nombres transcendents]] construint un exemple explícit.

Aquesta demostració es pot fer servir, per exemple, per demostrar que existeixen nombres irracionals, <math>a</math> i <math>b</math>, tals que <math>a^b</math> és racional:

:Siguin <math>a = \sqrt{2}</math> i <math>b = \log_2 9</math>, tots dos irracionals; però <math>a^b = 3</math>, que és racional.

=== Demostració per exhaustió ===
En una '''[[Mètode d'exhaustió|demostració per exhaustió]]''', s'arriba a la conclusió mitjançant la divisió de l'afirmació en un nombre finit de casos i provant cada cas independentment. El nombre de casos pot ser a vegades molt gran.<ref>{{Versaleta|Mbodje}}, pàgina 56.</ref>

[[Arquimedes]] va ser el primer a utilitzar aquest sistema per aproximar el valor del [[nombre π]], inscrivint i circumscrivint polígons regulars cada vegada amb més costats a una [[circumferència]]. En aquest cas no podia arribar a ser totalment exhaustiu perquè el nombre de costats és potencialment infinit. Però, en algunes proposicions, es pot definir amb seguretat un nombre finit de casos possibles i demostrar cadascun independentment.

Per exemple, la primera demostració del [[teorema dels quatre colors]] es va fer per exhaustió amb 1936 casos. Aquesta prova va ser força controvertida perquè la majoria dels casos van ser comprovats per un programa d'ordinador i no amb llapis i paper. La darrera demostració feta d'aquest teorema fins a l'actualitat (2011) que té menys casos, encara en té més de 600.

=== Demostració no-constructiva ===
Una '''demostració no-constructiva''' estableix que un determinat [[objecte matemàtic]] ha d'existir (p. ex.: ''Algun <math>X</math> satisfà <math>f(X)</math>''), sense explicar com es pot trobar aquest objecte. Sovint aquest tipus de demostracions pren la forma d'una demostració per reducció a l'absurd en la que es demostra la impossibilitat de la no existència de l'objecte. En un demostració constructiva es demostra que aquest objecte existeix donant un mètode per a trobar-lo. Un exemple famós d'una demostració no constructiva demostra que existeixen dos [[nombre irracional|nombres irracionals]] <math>a</math> i <math>b</math> tal que <math>a^b</math> és un [[nombre racional]]:
:O bé <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> és un nombre racional i, llavors, ja hem acabat (prenem <math>a=b=\sqrt{2}</math>), o <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> és irracional, per tant escrivim <math>a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> i <math>b=\sqrt{2}</math>. Això dona <math>\left (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2</math>, que és per tant un nombre racional de la forma <math>a^b.</math>

=== Altres formes de demostració ===
Fins aquí s'han descrit les formes de demostració que són generalment acceptades per la comunitat matemàtica. Això no obstant, en alguns casos s'han emprat altres mètodes de demostració que no tenen el consens de les formes anteriors. A continuació hi ha uns quants exemples:

==== Demostració probabilística ====
Una ''demostració probabilística'' és una demostració en la que es demostra que existeix un exemple, amb seguretat, utilitzant mètodes de la [[Teoria de la probabilitat]]. No s'ha de confondre amb l'afirmació que un teorema és 'probablement' cert. Aquest últim tipus de raonament es pot anomenar 'argument plausible' i no és una demostració; en el cas de la [[conjectura de Collatz]] està clara la diferència entre aquest tipus de demostracions i una demostració autèntica.<ref>Mentre la majoria dels matemàtics no creuen que les evidències probabilístiques comptin com una demostració matemàtica genuïna, uns quants matemàtics i filòsofs han argumentat que, almenys alguns tipus d'evidències probabilístiques (com el [[Test de primalitat de Miller-Rabin]] per a testejar la primalitat) són tan bons com les demostracions matemàtiques clàssiques. Vegeu per exemple, Davis, Philip J. (1972), "Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two?" ''American Mathematical Monthly'' 79:252-63. Fallis, Don (1997), "The Epistemic Status of Probabilístic Proof." ''[[Journal of Philosophy]]'' 94:165-86.</ref> La demostració probabilística, com les demostracions per construcció, és una de les moltes maneres de demostrar teoremes d'existència.

==== Demostració combinatòrica ====
Una '''demostració combinatòrica''' estableix l'equivalència de les diferents expressions demostrant que compten el mateix objecte de diferents maneres. Normalment s'utilitza una [[bijecció]] per demostrar que les dues interpretacions donen el mateix resultat. També es pot utilitzar el mètode de ''doble compteig'', demostrant que hi ha dues formes de comptar el mateix conjunt que donen el mateix resultat.

==== Demostració visual ====
[[Fitxer:Chinese pythagoras.jpg|miniatura|Demostració visual al triangle (3, 4, 5) com en el [[Zhou Bi Suan Ching]] 500–200 BC.]]
Malgrat que no és una demostració formal, una '''demostració visual''' d'un teorema matemàtic pren a vegades el nom de ''demostració sense paraules''. La imatge de la dreta és un exemple d'una demostració visual històrica del [[teorema de Pitàgores]] en el cas del triangle (3,4,5). Abans de la completa axiomatització de la geometria, havia estat molt comú en aquesta branca de les matemàtiques.

Existeix un compendi de demostracions visuals, degut a Roger B. Nelsen, anomenat ''Proofs without words'' (en anglès, «Demostracions sense paraules»).<ref>{{ref-llibre|cognom=Nelsen|nom=Roger B.|títol=Proofs without words : exercises in visual thinking|lloc=Washington, D.C.|editorial=Mathematical Association of America|any=1993|isbn=0883857006|url=http://books.google.cat/books?id=cyyhZr-SffcC&lpg=PP1&hl=ca&pg=PP1#v=onepage&q&f=false|consulta=4 setembre 2013|edició=1993a ed.}}</ref>

==== Demostracions estadístiques en matemàtiques pures ====
L'expressió '''demostració estadística''' es pot utilitzar tècnica o col·loquialment en àrees de les [[matemàtiques pures]] com la [[criptografia]], les [[teoria del caos|sèries caòtiques]] i la [[teoria de nombres]] probabilística o analítica.<ref>''en teoria de nombres i àlgebra commutativa... en particular la '''demostració estadística''' del lema.'' {{ref-web|url=http://www.jstor.org/pss/2686395|títol=JSTOR: The College Mathematics Journal, Vol. 15, No. 4 (Sep., 1984), pp. 309-312<!--Títol generat per bot-->}}</ref><ref>''la contant π (i.e., pi) és normal és un problema confós sense una demostració teòrica estricta excepte per algunes demostracions '''estadístiques''' (Us derogatori.)'' {{ref-web|url=http://www.springerlink.com/content/nj34v59p71m11125/|títol=Analysis of Pi Series and Its Application to Image Encryption - Springer<!--Títol generat per bot-->}}{{Enllaç no actiu|bot=InternetArchiveBot |data=2021}}</ref><ref>''aquestes 
observacions suggereixen una demostració de la [[conjectura de Goldbach]] amb una probabilitat de fracàs que tendeix ràpidament cap a zero en fer E més gran'' {{ref-web|url=http://people.web.psi.ch/gassmann/eneseminare/abstracts/Goldbach1.pdf|títol=Approximation for the number of prime pairs adding up to even integers<!--Títol generat per bot-->}}</ref> S'utilitza menys freqüentment per a referir-se a una demostració matemàtica en la branca d'[[estadística matemàtica]]. Vegeu també la secció "Demostració estadística utilitzant dades" més endavant.

==== Demostracions assistides per ordinador ====
Fins al {{segle|XX}} es creia que tota demostració podia ser, en principi, comprovada per qualsevol matemàtic competent per a confirmar la seva validesa.<ref name="Krantz">[http://www.math.wustl.edu/~sk/eolss.pdf The History and Concept of Mathematical Proof], Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007</ref> Però avui en dia, s'utilitzen els ordinadors tant per demostrar teoremes com per fer càlculs que són massa llargs per a qualsevol persona o grup de persones; la primera demostració del [[teorema dels quatre colors]] és un exemple d'una demostració assistida per ordinador. Alguns matemàtics estan preocupats per la possibilitat d'algun error en el programa d'ordinador o un error en el temps d'execució dels càlculs. Aquests possibles problemes posarien en qüestió la validesa d'aquesta demostració assistida per ordinador. A la pràctica, les possibilitats d'un error que invalidés la demostració assistida per ordinador es poden reduir incorporant redundància i auto-comprovacions en els càlculs, i desenvolupant múltiples i diferents programes, així com aproximacions independents.

== Proposicions indemostrables ==
Una proposició de la qual no se'n pot demostrar ni la veracitat ni la falsedat a partir d'un conjunt d'axiomes s'anomena [[indecidible]] (per aquest conjunt d'axiomes). N'és un exemple el [[Cinquè postulat d'Euclides|postulat de les paral·leles]], que no es pot ni provar ni refutar a partir dels axiomes de la [[geometria euclidiana]].

S'ha demostrat que hi ha moltes proposicions que no són ni demostrables ni refutables en la [[teoria de conjunts|teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel]] amb l'[[axioma de l'elecció]] ('''[[ZFC]]'''),<ref>{{ref-llibre|cognom=Gowers |nom=Timothy |cognom2=Barrow-Green |nom2=June |cognom3=Leader |nom3=Imre |url=http://books.google.cat/books?id=ZOfUsvemJDMC |llengua=anglès|editorial=The Princeton Companion to Mathematics |data=2008 |pàgines=p.623 |isbn=0691118809}}</ref> el sistema estàndard de la teoria dels conjunts en matemàtiques (suposant que '''ZFC''' sigui consistent); com per exemple: la [[Hipòtesi del continu]] o la mateixa consistència de '''ZFC'''.

El [[Teorema d'incompletesa de Gödel|primer teorema d'incompletesa de Gödel]] diu que molts sistemes axiomàtics d'interès matemàtic tenen proposicions [[indecidible]]s.

== Matemàtiques heuristiques i matemàtiques aplicades ==
Mentre matemàtics clàssics com Èudox de Cnidos no utilitzaven demostracions, des d'[[Euclides]] fins als matemàtics que van establir els [[fonaments de les matemàtiques]] cap al tombant del {{segle|XIX}} al {{versaleta|xx}}, les demostracions eren una part essencial de les matemàtiques.<ref>«Què fer amb les imatges? Van aparèixer dues idees: la primera era que no es podien publicar de la manera habitual, no hi havia teoremes, simplement imatges molt suggestives. Feien evident moltes conjectures i donaven peu a exploracions posteriors, però els teoremes eren com monedes en el regne de formigues i les convencions de l'època dictaven que les revistes matemàtiques només publicaven teoremes», David Mumford, Caroline Series and David Wright, ''Indra's Pearls'', 2002</ref> Amb l'increment de la capacitat de càlcul dels ordinadors cap al 1960, es va iniciar un treball significatiu en la recerca d'[[objecte matemàtic|objectes matemàtics]] fora del marc de referència que donen les demostracions de teoremes,<ref>"''Mandelbrot, mentre treballava al IBM Research Laboratory, va fer simulacions per ordenador per a conjunts amb la hipòtesi que, si es vol demostrar alguna cosa, pot ser d'ajuda saber la resposta a priori.''"[http://home.att.net/~fractalia/history.htm ''A Note on the History of Fractals''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090215114618/http://home.att.net/~fractalia/history.htm |date=2009-02-15}}</ref> en les [[matemàtiques aplicades]]. Els primers pioners d'aquests mètodes van intentar que la feina estigués integrada en el marc de referència clàssic de la demostració de teoremes, per exemple el desenvolupament inicial de la [[geometria fractal]],<ref>"''… va portar altre cop a Benoit [Mandelbrot] la idea que hi havia una "matemàtica de l'ull", que la visualització d'un problema era un mètode vàlid com qualsevol altre per a trobar una solució. Sorprenent-ment, va trobar-se sol amb la seva conjectura. L'ensenyament de les matemàtiques a França va ser dominat per un grapat de matemàtics dogmàtics amagats darrera del pseudònim ‘Bourbaki'… ''", Introducing Fractal Geometry, Nigel Lesmoir-Gordon</ref> cosa que finalment es va integrar.

== Conceptes relacionats ==
=== Ús col·loquial de "demostració matemàtica" ===
L'expressió "demostració matemàtica" és usada pels advocats per a referir-se a la utilització de mètodes matemàtics o argumentacions amb [[objectes matemàtics]], com nombres, per a demostrar coses de la vida quotidiana, o quan les dades utilitzades en les argumentacions són nombres. A vegades també s'utilitza amb el significat de "'''demostració estadística'''" (vegeu a baix), especialment quan s'utilitza en argumentacions amb [[dades]].

=== Demostració estadística utilitzant dades ===
La demostració estadística a partir de dades és l'aplicació de l'[[estadística]], l'[[anàlisi de dades]] o l'[[Inferència bayesiana|anàlisi bayesiana]] per a la inferència de proposicions referides a la probabilitat de les dades. Tot i que fa servir la demostració matemàtica per a establir teoremes en l'estadística, habitualment no és una demostració matemàtica, pel fet que les assumpcions d'on es deriven les afirmacions estadístiques necessiten una evidència empírica externa a la matemàtica per a la verificació.
En [[física]], a part dels mètodes estadístics, les "demostracions estadístiques" es poden referir als ''mètodes matemàtics de la física'' que s'apliquen per analitzar dades en un [[experiment]] de [[física de partícules]] o un estudi observacional en [[cosmologia]]. Una "demostració estadística" també es pot referir a dades brutes o a un diagrama convincent que inclou dades, com per exemple els [[núvol de punts|núvols de punts]], quan les dades o el gràfic és suficientment convincent sense una anàlisi posterior.

=== Demostracions utilitzant lògica inductiva i anàlisi bayesiana ===
{{article principal|Lògica inductiva}}
Les demostracions que usen [[lògica inductiva]], encara que es consideren matemàtiques, busquen demostrar proposicions amb un cert grau de certesa, que funciona d'una manera semblant a la [[probabilitat]], i pot ser menor que la certesa. L'[[Inferència bayesiana|anàlisi bayesana]] estableix afirmacions fins al grau de la creença subjectiva personal. No s'ha de confondre la lògica inductiva amb la [[inducció matemàtica]].

=== Demostracions com a objectes mentals ===
{{article principal|Psicologia}}
La psicologia veu les demostracions matemàtiques com a objectes fisiològics o mentals. Els [[filòsof]]s matemàtics, com ara [[Leibniz]], [[Gottlob Frege|Frege]] i [[Carnap]], van intentar desenvolupar una semàntica per a això que ells consideraven el ''llenguatge del pensament'', mentre que els estàndards de la demostració matemàtica es poden aplicar a les [[Empirisme|ciències empíriques]].

=== Influència dels mètodes de demostració matemàtics fora de la matemàtica ===
Filòsofs-matemàtics com [[Spinoza]] o [[Schopenhauer]] van intentar formular arguments filosòfics d'una manera axiomàtica, ja que els estàndards de les demostracions matemàtiques es poden aplicar a les argumentacions en filosofia general. Altres matemàtics-filòsofs van intentar utilitzar els estàndards de la demostració matemàtica i el raonament, sense empirisme, per tal d'arribar a proposicions fora de les matemàtiques, però tenint la seguretat de la validesa de les deduccions de les proposicions a partir d'un sistema axiomàtic, com amb l'argument [[cogito]] de [[Descartes]]. [[Kant]] i [[Gottlob Frege|Frege]] consideraven que la demostració matemàtica era un ''a priori analític''.

== Fi d'una demostració ==
{{article principal|Quod erat demonstrandum}}
A vegades, en acabar una demostració, s'escriu l'abreviació ''"Q.E.D."'', abreviació que prové de ''"Quod Erat Demonstrandum"'', que vol dir (en [[llatí]]) ''"tal com volíem demostrar"'' o ''"tal com volíem veure"''. Una alternativa més comuna és utilitzar un quadrat o un rectangle com {{Unicode|□}} o {{Unicode|∎}}, conegut com a ''tombstone'' o ''halmos''. Sovint es verbalitza ''"com es volia demostrar"'' quan en una presentació oral s'escriu a la pissarra "QED", "{{Unicode|□}}", o "{{Unicode|∎}}".

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* {{Versaleta|Fallis}}, Don (2002) [http://dlist.sir.arizona.edu/1581/ "What Do Mathematicians Want? Probabilistic Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians."] ''Logique et Analyse'' 45:373-88.
* {{Versaleta|Franklin}}, J. i {{Versaleta|Daoud}}, A. [http://books.google.cat/books?id=V_0akgAACAAJ ''Proof in Mathematics: An Introduction'']. Kew Books, 2011. {{ISBN|9780646545097}}
* {{Versaleta|Krantz}}, Steven G. [http://books.google.cat/books?id=mMZBtxVZiQoC ''The Proof is in the Pudding: The Changing Nature of Mathematical Proof'']. Springer. New York, 2011. {{ISBN|9780387489087}}.
* {{Versaleta|Mbodje}}, Brahima. [http://books.google.cat/books?id=ZE1BKX5JO6QC ''Logic, Sets and the Techniques of Mathematical Proofs'']. Autorhouse. Ann Arbor, 2011. {{ISBN|9781463429676}}.
* {{Versaleta|Polya}}, G. [http://books.google.cat/books?id=apw5ZSlnxxsC ''Mathematics and Plausible Reasoning'']. Princeton University Press, 1968. {{ISBN|0-691-08006-2}}. {{en}}
* {{Versaleta|Solow}}, D. [http://books.google.cat/books?id=K3itQwAACAAJ ''How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes'']. Wiley, 2009. {{ISBN|9780470392164}}
* {{Versaleta|Velleman}}, D. [http://books.google.cat/books?id=lptwaMuAtBAC ''How to Prove It: A Structured Approach'']. Cambridge University Press, 2006. {{ISBN|0-521-67599-5}}

== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}
* [http://www.math.uconn.edu/~hurley/math315/proofgoldberger.pdf What are mathematical proofs and why they are important? («Què són les demostracions matemàtiques i per què són importants?]»)] {{en}}
* [http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.html How To Write Proofs («Com escriure proves»)] de Larry W. Cusick {{en}}

{{1000 Ciència}}

{{ORDENA:Demostracio Matematiques}}
[[Categoria:Lògica matemàtica]]