Mostra la font per a Desigualtat d'Abel

En [[matemàtiques]], la '''desigualtat d'Abel''', anomenada amb el nom de [[Niels Henrik Abel]], proporciona una connexió simple al [[valor absolut]] del [[producte interior]] de dos [[Vector (matemàtiques)|vectors]] en un cas especial important.

== Descripció matemàtica ==
Sigui {''a<sub>1</sub>, a₂,...''} una seqüència de [[Nombre real|nombres reals]] que sigui no-creixent o no-decreixent i sigui {''b<sub>1</sub>, b₂,...''} una seqüència de nombres reals o [[Nombre complex|complexos]].

Si {''a<sub>n</sub>''} és no-decreixent, tenim

:<math>
\left |\sum_{k=1}^n a_k b_k \right | \le \operatorname{max}_{k=1,\dots,n} |B_k| (|a_n| + a_n - a_1),
</math>

i si {''a<sub>n</sub>''} és no-creixent, tenim
:<math>
\left |\sum_{k=1}^n a_k b_k \right | \le \operatorname{max}_{k=1,\dots,n} |B_k| (|a_n| - a_n + a_1),
</math>

on

:<math>
B_k =b_1+\cdots+b_k.
</math>

En particular, si la seqüència {{nobreak|{''a''<sub>n</sub>}}} és no-creixent i no-negatiu, tenim

:<math>
\left |\sum_{k=1}^n a_k b_k \right | \le \operatorname{max}_{k=1,\dots,n} |B_k| a_1,
</math>

== Relació amb la transformació d'Abel ==
La desigualtat d'Abel es deriva fàcilment de la [[Sumatori per parts|transformació d'Abel]], que és la versió discreta de la [[integració per parts]]: Si {{nobreak|{''a''<sub>1</sub>, ''a''₂, ...}}} i {{nobreak|{''b''<sub>1</sub>, ''b''₂, ...}}} són seqüències de nombres reals o complexos, tenimr

:<math>
\sum_{k=1}^n a_k b_k = a_n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_{k+1} - a_k).
</math>

== Referènciess ==
* {{mathworld|title=Abel's inequality|urlname=AbelsInequality}}
* ''[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Abel_inequality&oldid=18342 ''Abel's inequality'']'' en ''[[Encyclopedia of Mathematics]]'' {{en}}.

{{Autoritat}}

[[Categoria:Desigualtats|Abel]]