Mostra la font per a Distància

{{Falten referències|data=2020}}
La '''distància''' és la longitud del camí més curt entre dues entitats. En [[matemàtiques]], per a un conjunt d'elements <math>X</math> es defineix formalment la '''distància''' com a qualsevol [[funció matemàtica|funció]] binària <math>d(a,b)</math> de <math>X^{2}</math> en <math>\mathbb{R}</math> que compleixi les següents propietats: 

* No negativitat: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math>
* Simetricitat: <math>d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X</math>
* Identitat dels indiscernibles: <math>d(a,b)=0 \ \Leftrightarrow a=b \ \forall a,b \in X</math>
* Desigualtat triangular: <math>d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X</math>

El conjunt <math>X</math> amb una distància definida sobre ell s'anomena [[espai mètric]].

Aquestes propietats les compleix la distància euclidiana o geomètrica, que és la que correspon al concepte quotidià de distància, però hi ha altres distàncies que s'aparten d'aquest concepte. ''Vegeu exemples d'altres distàncies a l'article [[espai mètric]].

== Generalitzacions ==
{{article principal|Mètrica (matemàtiques)}}
En general, existeixen altres definicions de distància o mètrica en el pla euclidià o en altres conjunts. Una mètrica indueix una topologia sobre aquest conjunt. També és possible definir altres funcions, similars a la distància habitual, però amb condicions més febles, que tenen propietats especials.

== Distància (física) ==
Es denomina '''distància entre dos punts''' A(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) i B(x₂,y₂) a la longitud del [[Segment lineal|segment]] que uneix A i B. S'expressa matemàticament com:

:<math>d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>

La [[Distància d'un punt a una recta|distància entre un punt P i una recta R]] és la longitud del camí més curt que uneix el punt P(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) amb la recta R = Ax + By + C. Matemàticament s'expressa com:

:<math>d=\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>

La distància entre dues rectes paral·leles és la longitud del camí més curt entre una d'elles i un punt qualsevol de l'altra.

La [[Distància entre un punt i un pla|distància entre un punt P i un pla L]] és la longitud del camí més curt entre el punt P(x<sub>1</sub>,i<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) i el pla L = Ax + By + Cz + D. Matemàticament s'expressa:

:<math>d=\frac{Ax_1+By_1+Cz_1+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

== Distància en espai mètric ==
Des d'un punt de vista formal, per a un [[conjunt]] d'elements <math>X</math> es defineix '''distància''' o '''mètrica''' com qualsevol [[funció matemàtica]] o aplicació <math>d(a,b)</math> de <math>X \times X</math> en <math>\mathbb{R}</math> que verifiqui les condicions següents:

* No negativitat:
::<math> \forall a,b \in X \; : \quad d(a,b)\ge 0 </math>
:: 
::<math>a,b \in X, \quad d(a,b)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a = b </math>
:: - És a dir, la distància és zero si i només si s'indueix sobre el mateix punt
* [[Simetria]]:
:: <math>\forall a,b \in X \; : \quad d(a,b)= d(b,a) </math>
* [[Desigualtat triangular]]:
:: <math>\forall a,b,c \in X \; : \quad d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b)</math> <ref>Walter '''Rudin''': ''Principios de análisis matemático''. Libros McGraw-Hill, impreso en México D-F. (1980). Lo traduce Miguel Irán ,o revisa Luis Briseño.</ref>
*

Si deixem d'exigir que <math>\forall a,b \in X, \quad d(a,b)=0 \quad \Longrightarrow \quad a = b </math>, s'obté el concepte de '''[[pseudodistància]]''' o '''pseudomètrica'''.

La distància és el concepte fonamental de la topologia d'espais mètrics. Un [[espai mètric]] no és altra cosa que un parell <math>(X,d)</math>, on <math>X</math> és un conjunt en què definim una distància <math>d</math>.

En cas que tinguéssim un parell <math>(X,d)</math> i <math>d</math> fos una pseudodistància sobre <math>X</math>, llavors diríem que tenim un [[espai pseudomètric]].

Si <math>(X,d)</math> és un espai mètric i <math>E \subset X</math>, podem restringir <math>d</math> a <math>E</math> de la següent forma:
<math>d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}</math> de forma que si <math>x,y \in E</math> llavors <math>d'(x,y)=d(x,y)</math> (és a dir, <math>d'=d|_{E \times E}</math>). L'aplicació <math>d'</math> és també una distància sobre <math>d</math>, i com comparteix sobre <math>E \times E</math> els mateixos valors que <math>d</math>, es denota també de la mateixa manera, és a dir, direm que <math>(E,d)</math> és subespai mètric de <math>(X,d)</math>.

=== Distància dun punt a un conjunt ===
Si <math>(X,d)</math> és un [[espai mètric]], <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> i <math>x \in X</math>, podem definir la distància del punt <math>x</math> al conjunt <math>E</math> de la següent manera:

:<math>d(x,E):= \inf \{d(x,y): y \in E\}</math>.<ref>V.A. Trenoguin; B.M. Pisarievki; T.S. Sóboleva: ''Problemas y ejercicios de análisis funcional''. Editorial Mir, Moscú (1984) ; traduce del ruso, Andriánova M.A ; impreso en la URSS. https://www.academia.edu/44703968/Problemas_y_Ejercicios_de_An%C3%A1lisis_Funcional_V_A_Trenoguin_MIR </ref>

Cal destacar les següents tres propietats:

* En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà aquesta distància, doncs <math>d</math> té per domini <math>X \times X</math>, així que per a qualsevol <math>y \in E</math> existirà un únic valor real positiu <math>d(x,y)</math>. Per la completesa de <math>\mathbb{R}</math> i com que la imatge de d està fitada inferiorment per 0, queda garantida l'existència de l'ínfim d'aquest conjunt, és a dir, la distància del punt al conjunt.

* Si <math> x \in E</math> llavors <math>d(x,E)=0</math>.

* Pot ser que <math>d(x,E)=0</math> però <math>x \notin E</math>, per exemple si <math>x</math> és un [[punt d'adherència]] de <math>E</math>. De fet, la [[Clausura topològica|clausura]] de <math>E</math> és precisament el conjunt dels punts de <math>X</math> que tenen distància 0 a <math>E</math>.

Els casos de distància d‟un punt a una recta o de distància d‟un punt a un pla no són més que casos particulars de la distància d‟un punt a un conjunt, quan es considera la distància euclidiana.

Es pot utilitzar el mètode següent:
Donat un punt (n,m) que no pertany a la recta f(x),
1) Trobeu l'equació de la recta perpendicular a f(x) que passa per (n,m). Això porta dos passos: trobar el pendent (pendent perpendicular) i trobar l'ordenat a l'origen (reemplaçant el punt (n,m) i aclarint).
2) Trobar la intersecció entre aquestes dues rectes. Això comporta dos passos: trobar la x de la intersecció per igualació, trobar la i de la intersecció substituint la x en qualsevol de les dues equacions. Amb això s'obté el punt (o,p)
3) Trobar la distància entre (n,m) i (o,p).

=== Distància entre dos conjunts ===
Si <math>(X,d)</math> és un espai mètric, <math>A \subset X</math> i <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podem definir la distància entre els conjunts <math>A</math> i <math>B</math> de la següent manera:

:<math>d(A,B):= \inf \{d(x,y): x \in A, i \in B\}</math>.<ref>Trenoguin y otros: Op. cit.</ref>

Per la mateixa raó que abans sempre està definida. A més <math>d(A,A)=0</math>, però pot passar que <math>d(A,B)=0</math> i tanmateix <math>A \ne B</math>. És més, podem tenir dos conjunts tancats la distància dels quals sigui 0 i no obstant siguin disjunts, i fins i tot que tinguin clausures disjuntes.

Per exemple, el conjunt <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> i el conjunt <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. D'una banda, <math>A=\operatorname{cl}(A)</math>, <math>B=\operatorname{cl}(B)</math> i <math>A \cap B = \varnothing</math>, i de l'altra <math>d(A,B)=0</math>.

La distància entre dues rectes, la distància entre dos plans, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància euclidiana.

== Distància del camí més curt en una superfície corba ==
[[Fitxer:Greatcircle Jetstream routes.svg|miniatura|400px|Rutes aèries entre [[Los Angeles]] i [[Tòquio]] segueixen aproximadament una ruta directa de [[cercle màxim]] (a dalt), però utilitzen el [[corrent en Jet]] (a baix) quan es dirigeixen cap a l'est. La ruta més curta apareix com una corba en lloc d'una línia recta perquè la [[projecció del mapa]] no escala totes les distàncies per igual en comparació de la superfície esfèrica real de la Terra]].
{{main|Geodèsica}}

La distància en línia recta entre dos punts de la superfície de la Terra no és gaire útil per a la majoria dels propòsits, ja que no podem fer un túnel recte a través del mantell terrestre. En el seu lloc, se sol mesurar el camí més curt al llarg de la [[superfície de la Terra]], [[Distància a vol d'ocell|a vol d'ocell]]. Això s'aproxima matemàticament mitjançant la [[Ortodròmica|distància ortodròmica]] en una esfera.

En termes més generals, el camí més curt entre dos punts al llarg d'una [[superfície (matemàtica)|superfície corba]] es coneix com a geodèsica. La longitud d'arc de les geodèsiques dona una forma de mesurar la distància des de la perspectiva d'una formiga o una altra criatura no voladora que visqui en aquesta superfície.

=== Efectes de la relativitat ===
En la [[teoria de la relativitat]], a causa de fenòmens com la [[contracció de la longitud]] i la [[relativitat de la simultaneïtat]], les distàncies entre objectes depenen de l'elecció del [[Sistema de referència inercial|marc de referència inercial]]. A escales galàctiques i majors, el mesurament de la distància també es veu afectat per l'expansió de l'univers. A la pràctica, s'utilitzen diverses mesures de distància en cosmologia per quantificar aquestes distàncies.

=== Altres distàncies espacials ===
[[Fitxer:Manhattan distance.svg|miniatura|[[Distància Manhattan]] en una quadrícula]]
Les definicions inusuals de distància poden ser útils per modelitzar certes situacions físiques, però també es fan servir en matemàtiques teòriques:
* A la pràctica, sovint s'està interessat en la distància de viatge entre dos punts al llarg de les carreteres, en lloc de vol d'ocell. En un pla quadriculat, la distància de viatge entre els cantons dels carrers ve donada per la [[distància Manhattan]]: el nombre de pomes est-oest i nord-sud que cal travessar per arribar entre aquests dos punts.
* La distància del tauler d'escacs, formalitzada com a [[distància de Txebixov]], és el nombre mínim de moviments que un [[rei (escacs)|rei]] ha de realitzar en un [[tauler d'escacs]] per desplaçar-se entre dues caselles.

== Distàncies metafòriques ==
Moltes nocions abstractes de distància utilitzades en matemàtiques, ciència i enginyeria representen un grau de diferència o de separació entre objectes similars. En aquesta pàgina se'n donen alguns exemples.

=== Distàncies estadístiques ===
En [[estadística]] i [[geometria de la informació]], les ''distàncies estadístiques'' mesuren el grau de diferència entre dues [[distribucions de probabilitat]]. Hi ha molts tipus de distàncies estadístiques, típicament formalitzades com a [[divergència (estadística)|divergències]]; permeten entendre un conjunt de distribucions de probabilitat com un [[Espai euclidià|objecte geomètric]] anomenat ''col·lector estadístic''. La més elemental és la [[Distància euclidiana#Distància euclidiana entre dos conjunts| distància euclidiana al quadrat]], que es minimitza pel mètode de [[mínims quadrats]]; és la [[divergència de Bregman]] més bàsica. La més important en [[teoria de la informació]] és l'entropia relativa o [[divergència de Kullback-Leibler]], que permet estudiar de forma anàloga l'[[Màxima versemblança|estimació de màxima versemblança]] geomètricament; és un exemple tant de [[divergència f|''f''-divergència]] com de divergència de Bregman (i de fet l'únic exemple que és totes dues). Les varietats estadístiques corresponents a les divergències de Bregman són varietats planes en la geometria corresponent, cosa que permet utilitzar un anàleg del [[teorema de Pitàgores]] (que es compleix per a la distància euclidiana al quadrat) per a [[Problema invers#problemes inversos lineals|problemes inversos lineals]] en la inferència per [[Optimització (matemàtica)| teoria de l'optimització]].

Altres distàncies estadístiques importants són la [[distància de Mahalanobis]] i la [[distància d'energia]].

=== Distàncies d'edició ===
En el camp de l'[[informàtica]], una [[distància d'edició]] o «mètrica de cadena» entre dues [[Cadena de caràcters|cadenes]] mesura com són de diferents. Per exemple, les paraules "gat" i "ànec", que difereixen només en una lletra, estan més a prop que "cim" i "tub", que no tenen cap lletra en comú. Aquesta idea s'utilitza en [[corrector ortogràfic|correctors ortogràfics]] i en [[teoria de la codificació]], i es formalitza matemàticament de diverses formes diferents, com [[distància de Levenshtein]], [[distància de Hamming]], [[distància de Lee]] i [[distància de Jaro-Winkler]].

=== Distància en teoria de grafs ===
{{main|Distància (teoria de grafs)}}
En un [[Graf (matemàtiques)|graf]], la [[distància (teoria de grafs)|distància]] entre dos vèrtexs es mesura per la longitud del [[camí (teoria de grafs)|camí d'aresta]] més curt entre ells. Per exemple, si el graf representa una xarxa social, llavors la idea de si graus de separació es pot interpretar matemàticament com que la distància entre dos vèrtexs sigui com a màxim sis. De la mateixa manera, el [[número d'Erdős]] i el [[número de Bacon]]—el nombre de relacions de col·laboració que separen una persona del prolífic matemàtic [[Paul Erdős]] i de l'actor [[Kevin Bacon]] (vegeu [[Sis graus de Kevin Bacon]]), respectivament—són distàncies en els grafs les arestes dels quals representen col·laboracions matemàtiques o artístiques.

=== A les ciències socials ===
En la psicologia, la geografia humana i les ciències socials, la distància es teoritza sovint no com una mesura numèrica objectiva, sinó com una descripció qualitativa d'una experiència subjectiva.<ref>{{Cite web|title=DISTANCIAS SOCIALES|url=https://www.hawaii. edu/powerkills/TCH.CHAP16.HTM|access-date=2020-07-20|website=www.hawaii.edu}}</ref> Per exemple, la [[distància psicològica]] és "les diferents formes en què un objecte pot estar allunyat" del jo al llarg de dimensions com "el temps, l'espai, la distància social i la hipotètica".<ref name=psych>{{cite journal | author = Trope Y, Liberman N | title = Construal-level theory of psychological distance | url = https://archive.org/details/sim_psychological-review_2010-04_117_2/page/440 | journal = Psychological Review | volume = 117 | issue = 2 | pages = 440-63 | date = April 2010 | pmid = 20438233 | pmc = 3152826 }}</ref> En [[sociologia]], la [[distància social]] descriu la separació entre individus o [[grups socials]] en [[societat]] al llarg de dimensions com [[classe social]], [[Raça (classificació) dels éssers humans)|raça]]/[[ètnia]], [[Gènere (ciències socials)| gènere]] o [[sexualitat humana|sexualitat]].

== Formalització matemàtica ==
{{main|Espai mètric}}
La majoria de les nocions de distància entre dos punts o objectes descrites anteriorment són exemples de la idea matemàtica d'un [[espai mètric|mètric]]. Una ''funció mètrica'' o ''funció de distància'' és una [[funció (matemàtica)|funció]] {{mvar|d}} que pren parells de punts o objectes a [[números reals]] i satisfà les regles següents:
# La distància entre un objecte i si mateix és sempre zero.
# La distància entre objectes diferents és sempre positiva.
# La distància és [[relació simètrica|simètrica]]: la distància de {{mvar|x}} a {{mvar|y}} és sempre la mateixa que la distància de {{mvar|y}} a {{mvar|x}}.
# La distància satisfà la [[desigualtat del triangle]]: si {{mvar|x}}, {{mvar|y}} i {{mvar|z}} són tres objectes, llavors <math display="block">d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z).</math> Aquesta condició es pot descriure informalment com “les parades intermèdies no et poden accelerar."
Com a excepció, moltes de les [[divergència (estadística)|divergències]] utilitzades en estadística no són mètriques.

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia addicional ==
* {{cita web|título=Distance|autor= Weisstein, Eric W.|url=https://mathworld.wolfram.com/Distance.html|obra=Wolfram Mathworld|idioma=inglés|fechaacceso=5 de octubre de 2022}}
* {{cita web|título=Distance Between 2 Points|url=https://mathsisfun.com/algebra/distance-2-points.html|obra=Math is fun|idioma=inglés|fechaacceso=5 de octubre de 2022|}}
* {{cita publicación|apellidos1=Chan|nombre1=T.|apellidos2=Zhu|nombre2=W.|título=Level Set Based Shape Prior Segmentation|publicación=2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05)|fecha=de de 2005|volumen=2|páginas=1164–1170|doi=10.1109/CVPR.2005.212|idioma=inglés}}
* {{cite web |title=The Directed Distance |url=http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/220/handouts/The%20Directed%20Distance.pdf |website=Information and Telecommunication Technology Center |publisher=University of Kansas |access-date=2018-09-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161110044317/http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/220/handouts/The%20Directed%20Distance.pdf |archive-date=2016-11-10| idioma = inglés}}
* {{cita publicación|apellidos1=Malladi|nombre1=R.|apellidos2=Sethian|nombre2=J.A.|apellidos3=Vemuri|nombre3=B.C.|título=Shape modeling with front propagation: a level set approach|publicación=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence|fecha=de de NaN|volumen=17|número=2|páginas=158–175|doi=10.1109/34.368173| url= https://ieeexplore.ieee.org/document/368173|idioma=inglés}}
* {{cite book | author = Elena Deza, Michel Deza |author2-link=Michel Deza|title=Dictionary of Distances| url = https://archive.org/details/dictionaryofdist0000deza |year=2006|publisher=Elsevier|isbn=0-444-52087-2|idioma=inglés}}

{{Commonscat}}
{{Viccionari-lateral|distància}}{{Glossari de la geopolítica}}
{{Autoritat}}

{{ORDENA:Distancia}}
[[Categoria:Distància| ]]