Mostra la font per a Distribució binomial de Poisson

{{Distribució de probabilitat|
 nom = ''' Distribució binomial de Poisson '''|
 imagen_fp = |
 cdf_image = |
 paràmetres =<math>\mathbf{p}\in [0,1]^n</math> — probabilitats d'èxit per cadascun dels ''n'' assajos|
 domini = ''k'' ∈ {&thinsp;0, …, ''n''&thinsp;}|
 fp = <math>\sum\limits_{A\in F_k} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j)</math>|
 cdf = <math>\sum\limits_{l=0}^k \sum\limits_{A\in F_l} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j)</math>|
 mitjana = <math>\sum\limits_{i=1}^n p_i</math> |
 mediana = |
 moda = |
 variància = <math> \sigma^2 =\sum\limits_{i=1}^n (1 - p_i)p_i</math>|
 simetria = <math>\frac{1}{\sigma^3}\sum\limits_{i=1}^n (1-2p_i) (1-p_i) p_i</math>|
 curtosi = <math>\frac{1}{\sigma^4}\sum\limits_{i=1}^n (1 - 6(1 - p_i)p_i)(1 - p_i)p_i</math>|
 entropia = |
 mgf = <math>\prod\limits_{j=1}^n (1-p_j+p_j e^t)</math>|
 car = <math>\prod\limits_{j=1}^n (1-p_j+p_j e^{it})</math>
}}
En [[teoria de la probabilitat]] i [[estadística]], la '''distribució binomial de Poisson''' és la distribució de probabilitat discreta d'una suma d'[[assaig de Bernoulli|assajos de Bernoulli]] [[Independència estadística|estadísticament independents]] que no estan distribuïts necessàriament de manera idèntica. El concepte rep el nom del matemàtic i físic francès [[Siméon Denis Poisson]].

En altres paraules, és la distribució de probabilitat del nombre d'èxits en una següència d'''n'' assajos [[Independència estadística|independents]] amb [[probabilitat]]s d'èxit <math>p_1, p_2, \dots, p_n</math>. La [[distribució binomial]] és un cas especial de distribució binomial de Poisson, en què totes les probabilitats d'èxit són iguals, és a dir <math>p_1 = p_2 = \cdots = p_n</math>.

== Mitjana i variància ==
Com que la variable distribuïda binomial de Poisson és una suma de ''n'' variables distribuïdes independents de Bernoulli, la seva mitjana i variància són simplement les sumes de les mitjanes i les variàncies de ''n'' distribucions de Bernoulli:

: <math>\mu = \sum\limits_{i=1}^n p_i</math>

: <math>\sigma^2 =\sum\limits_{i=1}^n (1-p_i) p_i</math>

Per valors fixats de la mitjana (<math>\mu</math>) i la mida de la mostra (''n''), la variància és màxima quan totes les probabilitats d'èxit són iguals i es té una distribució binomial. Quan la mitjana està fixada, la variància està fitada per dalt per la variància de la [[distribució de Poisson]] amb la mateixa mitjana que s'obté asimptòticament a mesura que ''n'' tendeix a infinit.

== Funció de massa de probabilitat ==
La probabilita de tenir ''k'' assajos exitosos d'un total de ''n'', es pot escriure com la suma:
<ref>
{{ref-publicació|volum= 3
|exemplar= 2
|pàgines= 295–312
|cognom= Wang
|nom= Y. H.
|títol= On the number of successes in independent trials
|publicació= Statistica Sinica
|any= 1993
| url = http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/oldpdf/A3n23.pdf
}}
</ref>

:<math>\Pr(K=k) = \sum\limits_{A\in F_k} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j) </math>

on <math>F_k</math> és el conjunt de tots els subconjunts de ''k'' enters que es poden seleccionar de {1,2,3,...,''n''}. Per exemple, si ''n'' =&nbsp;3 i ''k'' =&nbsp;2, llavors <math>F_2=\left\{ \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\} \right\}</math>. <math>A^c</math> és el complement de <math>A</math>, és a dir <math>A^c =\{1,2,3,\dots,n\}\setminus A</math>.

<math>F_k</math> contindrà <math>n!/((n-k)!k!)</math> elements, la suma sobre el qual no és factible de calcular a la pràctica llevat que el nombre d'assajos ''n'' sigui petit (per exemple si ''n'' =&nbsp;30, <math>F_{15}</math> conté uns 10<sup>20</sup> elements). Tanmateix, hi ha altres maneres més eficients de calcular <math>\Pr(K=k)</math>.

Sempre que cap de les probabilitats d'èxit sigui igual a u, es pot calcular la probabilitat de ''k'' assajos exitosos usant la fórmula recursiva:<ref>
{{ref-publicació|volum= 27
|exemplar= 3
|pàgines= 123–124
|cognom= Shah
|nom= B. K.
|títol= On the distribution of the sum of independent integer valued random variables
|publicació= American Statistician
|any= 1994
| jstor=2683639
}}
</ref>
<ref>
{{ref-publicació|volum= 81
|exemplar= 3
|pàgines= 457
|cognom= Chen
|nom= X. H.
|autor2=A. P. Dempster |autor3=J. S. Liu
 |títol= Weighted finite population sampling to maximize entropy
|publicació= Biometrika
|any= 1994
| url = http://www.people.fas.harvard.edu/~junliu/TechRept/94folder/cdl94.pdf
| doi=10.1093/biomet/81.3.457
}}
</ref>

:<math>\Pr (K=k)= \begin{cases}
\prod\limits_{i=1}^n (1-p_i) & k=0 \\ 
\frac{1}{k} \sum\limits_{i=1}^k (-1)^{i-1}\Pr (K=k-i)T(i) & k>0 \\ 
\end{cases} </math>

on:

: <math> T(i)=\sum\limits_{j=1}^n \left(\frac{p_j}{1-p_j} \right)^i.</math>

La fórmula recursiva no és numèricament estable, i s'hauria d'evitar si <math>n</math> és més gran que aproximadament 20. Una altra mètode és usant la [[transformada discreta de Fourier]]:
.<ref>
{{ref-publicació|volum= 46
|exemplar= 2
|pàgines= 803–817
|cognom= Fernandez
|nom= M.
|autor2=S. Williams
|títol= Closed-Form Expression for the Poisson-Binomial Probability Density Function
|publicació= IEEE Transactions on Aerospace Electronic Systems
|any= 2010
| doi = 10.1109/TAES.2010.5461658
| bibcode = 2010ITAES..46..803F
}}
</ref>

:<math>\Pr (K=k)=\frac{1}{n+1} \sum\limits_{l=0}^n C^{-lk} \prod\limits_{m=1}^n \left(1+(C^l-1) p_m \right) </math>

on <math>C=\exp \left(\frac{2i\pi }{n+1} \right)</math> and <math>i=\sqrt{-1}</math>.

Altres mètodes que es poden usar estan descrits a:
<ref>{{ref-publicació
|volum= 7
|pàgines= 875–892
|cognom= Chen
|nom= S. X.
|autor2= J. S. Liu
|títol= Statistical Applications of the Poisson-Binomial and conditional Bernoulli distributions
|publicació= Statistica Sinica
|any= 1997
|url= http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/password.asp?vol=7&num=4&art=4
}}{{Enllaç no actiu|date=de desembre 2024 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>

== Entropia ==
No hi ha cap fórmula per l'entropia de la distribució binomial de Poisson, però l'entropia està fitada superiorment per l'entropia d'una distribució binomial amb el mateix paràmetre ''n'' i la mateixa mitjana. Per tant, l'entropia també està fitada superiorment per una distribució de Poisson amb la mateixa mitjana.<ref>{{ref-publicació
|volum= 47
|exemplar= 5
|pàgines= 2039–2041
|cognom= Harremoës
|nom= P.
|títol= Binomial and Poisson distributions as maximum entropy distributions
|publicació= IEEE Transactions on Information Theory
|any= 2001
|url= http://www.harremoes.dk/Peter/poisson.pdf
|doi= 10.1109/18.930936
|consulta= 2018-09-03
|arxiuurl= https://web.archive.org/web/20200921090940/http://www.harremoes.dk/Peter/poisson.pdf
|arxiudata= 2020-09-21
}}</ref>

La conjectura de Shepp–Olkin, proposada per [[Lawrence Shepp]] i [[Ingram Olkin]] l'any 1981, exposa que l'entropia d'una distribució binomial de Poisson és una funció còncava de les probabilitats d'èxit<math>p_1, p_2, \dots, p_n</math>.<ref>{{ref-enciclopèdia|editor1-first = J.
|editor1-last = Gani
|editor2-first = V.K.
|editor2-last = Rohatgi
|author1-last = Shepp
|author1-first = Lawrence
|author2-last = Olkin
|author2-first = Ingram
|títol= Entropy of the sum of independent Bernoulli random variables and of the multinomial distribution
|enciclopèdia= Contributions to probability: A collection of papers dedicated to Eugene Lukacs
|pàgines= 201–206
|editorial= Academic Press
|lloc= New York
|any= 1981
|mr = 0618689
|url = https://books.google.cat/books?id=9qziBQAAQBAJ
|isbn = 0-12-274460-8 
}}</ref> This conjecture was proved by Erwan Hillion and Oliver Johnson in 2015.<ref>{{ref-publicació|cognom=Hillion|nom=Erwan|cognom2=Johnson|nom2=Oliver|data=2015-03-05|títol=A proof of the Shepp-Olkin entropy concavity conjecture |publicació=Bernoulli|volum= 23|pàgines= 3638-3649 | arxiv=1503.01570 |doi=10.3150/16-BEJ860}}</ref>

== Vegeu també ==
* [[Teorema de Le Cam]]
* [[Distribució binomial]]
* [[Distribució de Poisson]]

== Referències ==
{{Referències}}

{{Distribucions de probabilitat}}

[[Categoria:Distribucions de probabilitat]]