Mostra la font per a Enter d'Eisenstein

[[Fitxer:Eisenstein integer lattice.png|miniatura|Els enters d'Eisenstein són els punts d'intersecció d'un enreixat triangular en el pla complex]]
En [[matemàtiques]], els '''enters d'Eisenstein''', anomenats així en honor del matemàtic [[Ferdinand Eisenstein]], són [[nombre complex|nombres complexos]] de la forma

:<math>z = a + b\,\omega</math>

on ''a'' i ''b'' són [[nombre enter|enters]] i

:<math>\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}</math>

és una [[arrel de la unitat|arrel cúbica de la unitat]] complexa. Els enters d'Eisenstein formen un [[enreixat (geometria)|enreixat]] triangular en el [[pla complex]]. Contrasten amb els [[enter de Gauss|enters de Gauss]] que formen un enreixat quadrat en el pla complex. Corresponen a un exemple d'[[enter quadràtic|enters quadràtics]] que, com totes les [[enter algebraic|clausures íntegres]] d'una [[extensió finita]] dels nombres racionals forma un [[anell de Dedekind]].

Els enters d'Eisenstein s'utilitzen en [[aritmètica modular]] per a la resolució d'[[equació diofàntica|equacions diofàntiques]], per exemple en les [[demostracions de l'últim teorema de Fermat]] en el cas on l'[[exponent]] és igual a 3. L'equació ''x''² + 3.''y''² que es tracta a l'article [[Teorema dels dos quadrats de Fermat]] també té un mètode de resolució utilitzant aquests enters.

== Propietats ==
Els enters d'Eisenstein formen un [[anell commutatiu]] d'[[enter algebraic|enters algebraics]] en el [[cos de nombres algebraics]] <math>\mathbb{Q}\sqrt{-3}\,</math>. També formen un [[anell euclidià]].

Per veure que els enters d'Eisenstein són enters algebraics, fixeu-vos que cada <math>z = a + b\,\omega\,</math> és una arrel del [[monomi]]
:<math>z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2)\,</math>.
En particular, <math>\omega\,</math> satisfà l'equació
:<math>\omega^2 + \omega + 1 = 0\,</math>.

El [[Grup de les unitats d'un anell d'enters quadràtics|grup de les unitats]] a l'anell d'Eisenstein és el [[grup cíclic]] format per les sis [[arrel de la unitat|arrels de la unitat]] en el pla complex. Més precisament, són les següents :

:{<math>\pm\,1\, </math>, <math>\pm\,\omega\,</math>, <math>\pm\,\omega^2\,</math>}
Que són simplement els enters d'Eisenstein amb [[mòdul d'un nombre complex|mòdul]] igual a 1.

== Nombres primers d'Eisenstein ==
Si ''x'' i ''y'' són enters d'Eisenstein, es diu que ''x'' ''divideix'' ''y'' si existeix un cert enter d'Eisenstein ''z'' tal que
: <math>y = z x\,</math>.
Això estén la noció de [[divisibilitat]] dels [[nombre enter|enters]] ordinaris. Per tant, també es pot estendre la noció de [[nombre primer]]. Un enter d'Eisenstein no unitari x s'anomena [[nombre primer d'Eisenstein]] si els seus únics divisors són de la forma ''ux'' i ''u'' on ''u'' és una de les sis unitats.

Es pot demostrar que un [[nombre primer]] ordinari que sigui 3 o congruent amb 1 mòdul 3 és de la forma <math> x^2 - xy + y^2\,</math> per a certs enters x,y i, per tant, pot ser factoritzat en <math> (x + \omega y)(x + \omega^2 y) \,</math>, a causa d'això, no és primer en els enters d'Eisenstein. Els nombres primers ordinaris congruents amb 2 mòdul 3 no poden pas ser factoritzats d'aquesta manera i, per tant, també són primers en els enters d'Eisenstein. Un nombre de la forma <math>x^2 - xy + y^2\,</math> és un nombre primer racional si i només si <math>x + \omega\,y\,</math> és un nombre primer d'Eisenstein.

== Anell euclidià ==
L'anell dels enters d'Eisenstein forma un [[anell euclidià]] de [[norma (matemàtiques)|norma]] ''v'' igual a
:<math>v(a + \omega b) = a^2 - a b + b^2\,</math>

Això es pot deduir incloent els enters d'Eisenstein dins dels nombres complexos. Ja que
:<math>v(a + i b) = a^2 + b^2\,</math>
I com que
:<math> a + \omega b = \left(a - {1\over 2}b\right) + i {\sqrt{3}\over 2} b</math>
Resulta que
:<math> v(a + \omega b) = \left(a - {1\over 2}b\right)^2 + {3\over 4} b^2 </math>

:::<math> = a^2 - a b + {1\over 4}b^2 + {3\over 4}b^2 = a^2 - a b + b^2</math>.

== Vegeu també ==
* Els [[Nombre primer d'Eisenstein|nombres primers d'Eisenstein]]
* Els [[enters de Gauss]]
* L'[[anell de Kummer]]

== Enllaços externs ==
* [http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html Entiers d'Eisenstein--sur MathWorld]


{{ORDENA:Enter D'Einsenstein}}
[[Categoria:Teoria d'anells]]
[[Categoria:Teoria de nombres]]