Mostra la font per a Espai T1

{{DISPLAYTITLE:Espai T<sub>1</sub>}}
En [[topologia]], un '''espai T<sub>1</sub>''' o '''de Fréchet''' es un cas particular d'[[espai topològic]].

== Definició ==
Un [[espai topològic]] <math>E</math> és <math>T_1</math> si per a cada parella d'elements diferents ''<math>x</math>'' i ''<math>y</math>'' d'<math>E</math> existeix un [[conjunt obert|obert]] que conté ''<math>x</math>'' i no ''<math>y</math>'' i un obert que conté ''<math>y</math>'' i no ''<math>x</math>''. Noti's que no es necessari que aquests dos oberts siguin disjunts, cas en què estaríem parlant d'[[espai de Hausdorff|espais de Hausdorff]] o <math>T_2</math>).

== Propietats ==
Sigui <math>E</math> un espai topològic. Són equivalents:

* <math>E</math> és un espai <math>T_1</math>.
* <math>E</math> és un [[Espai de Kolmogórov|espai <math>T_0</math>]] i un [[Espai R0|espai <math>R_0</math>]].
* Per a cada ''<math>x</math>'' d'<math>E</math>, <math>\{x\}</math> és [[Conjunt tancat|tancat]].
* Tot conjunt d'un únic punt és la intersecció dels seus [[Veïnat|entorns]].
* Tot subconjunt d'<math>E</math> és la intersecció dels seus entorns.
* Tot subconjunt finit d'<math>E</math> és tancat.
* Tot [[subconjunt cofinit]] d'<math>E</math> és obert.
* L'[[ultrafiltre]] principal d'''<math>x</math>'' convergeix només a ''<math>x</math>''.
* Per a cada punt ''<math>x</math>'' d'<math>E</math> i tot subcojunt <math>S</math> d'<math>E</math>, <math>x</math> és un [[punt adherent]] de <math>S</math> si i només si és un [[punt d'acumulació]] de <math>S</math>.

A més a més, la propietat de separació T<sub>1</sub> és [[topologia traça#Propietats hereditàries|hereditària]], la qual cosa significa que els [[topologia traça|subespais]] d'un espai T<sub>1</sub> també són T<sub>1</sub>.<ref name="mtf2">{{ref-publicació|cognom=Llopis |nom=José L. |article=Propietats topològiques hereditàries |url=https://www.matesfacil.com/topologia/subespacio/propiedades-topologicas-hereditarias-1AN-2AN-Hausdorff-metrizable-demostracion.html |issn=2659-8442 |consulta= 11 d'octubre de 2019 |llengua=castellà |publicació = [https://www.matesfacil.com/ Matesfacil]}}</ref>

== Nota i casos ==
* Sigui <math>(\mathbb{N}, \tau)</math>, on <math>\tau = \{A \subset \mathbb{N}; x \in A</math> i <math>\mathbb{N} - A</math> és finit<math>\}</math>. Aleshores T es una [[Espai topològic|estructura topològica]] sobre ℕ, anomenada ''estructura topològica cofinita'' que és T<sub>1</sub> però no T₂.<ref>Ayala y otros: "Elementos de topología general" {{ISBN|84-7829-006-0}}</ref>

* Qualsevol espai T<sub>1</sub> finit és un espai topològic discret.<ref name="Simmons_1">Simmons: Introduction to Topology and Modern Analysis</ref>

* Sigui <math>X = \{a, b, c\}</math> i la topologia que consisteix dels subconjunts de X següents: <math>\emptyset</math>, <math>\{b\}</math>, <math>\{a,b\}</math>, <math>\{b,c\}</math>, <math>X</math> no és T<sub>1</sub>, ja que <math>\{b\}</math> no és tancat.<ref name="mtf3">{{ref-publicació|cognom=Llopis |nom=José L. |article=Exemples i propietats dels espais topològics finits |url=https://www.matesfacil.com/topologia/espacio-finito/espacio-topologico-finito-ejemplos-abiertos.html |issn=2659-8442 |consulta= 11 d'octubre de 2019 |llengua=castellà |publicació = [https://www.matesfacil.com/ Matesfacil]}}</ref>

=== Teorema ===
Un espai topològic és T<sub>1</sub> si i només si cada punt és un conjunt tancat.<ref name="Simmons_1">Simmons: Introduction to Topology and Modern Analysis</ref><ref>{{ref-publicació|cognom=Llopis |nom=José L. |article=Espai topològic de Fréchet T1 |url=https://www.matesfacil.com/topologia/separacion/espacio-topologico-frechet-axioma-separacion-T1-ejemplos-propiedades.html |issn=2659-8442 |consulta= 13 d'octubre de 2019 |llengua=castellà |publicació = [https://www.matesfacil.com/ Matesfacil]}}</ref>

== Exemples ==
* La [[topologia cofinita]] sobre un conjunt infinit és T<sub>1</sub>, però no és [[Espai de Hausdorff|T₂]].<ref>{{ref-publicació|cognom=Sapiña |nom=R. |títol=Topología cofinita |url=https://www.problemasyecuaciones.com/topologia/Cofinita/propiedades-definicion-T1-T2-compacto.html |issn=2659-9899 |consulta= 13 d'octubre de 2019 |llengua=castellano |publicació= [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y Ecuaciones]}}</ref>
* L'[[espai de Sierpinski|espai topològic de Sierpinski]] és [[Espai de Kolmogórov|T<sub>0</sub>]], però no és T<sub>1</sub>.<ref>{{ref-publicació|cognom=Sapiña |nom=R. |títol=Espacio de Sierpinski |url=https://www.problemasyecuaciones.com/topologia/Sierpinski/espacio-topologico-Sierpinski-propiedades-abiertos-cerrados.html |issn=2659-9899 |consulta= 13 d'octubre de 2019 |llengua=castellano |publicació= [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y Ecuaciones]}}</ref>

== Referències ==
{{referències}}

== Vegeu també ==
* [[Axioma de separació]]
* [[Espai de Kolmogórov]] (T<sub>0</sub>)
* [[Espai de Hausdorff]] (T₂)

== Enllaços externs ==
* [https://www.matesfacil.com/topologia/separacion/espacio-topologico-frechet-axioma-separacion-T1-ejemplos-propiedades.html Propietats dels espais de Fréchet] {{es}}

[[Categoria:Axiomes de separació]]