Mostra la font per a Espai compacte

[[Fitxer:Compact.svg|miniatura|upright=1.6|Quant als criteris de compacte dels espais euclidians en el [[teorema de Heine–Borel]], l'interval {{math|''A'' {{=}} (−∞, −2]}} no és compacte ja que no és fitat.
L'interval {{math|''C'' {{=}} (2, 4)}} no és compacte ja que no és tancat.
L'interval {{math|''B'' {{=}} [0, 1]}} és compacte ja que és tancat i fitat.]]
En [[topologia]], un [[subconjunt]] <math> K </math> d'un [[espai topològic]] <math> X </math> es diu ''' compacte ''' si tot [[recobriment obert]] seu té un subrecobriment finit, és a dir, si per a tot <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> tal que <math> U_i </math> són tots oberts i <math>\cup_{i\in I}U_i\supset K </math>, hi ha <math> F\subset I </math> finit tal que <math>\cup_{i\in F}U_i\supset K </math>. Noti's que, en particular, <math> K </math> podria ser <math> X </math>. En aquest cas es parla d'un '''espai compacte'''. Es verifica llavors que <math> K\subset X </math> és compacte [[si i només si]] és un espai compacte per a la [[Topologia Traça|topologia traça]].

Que un espai sigui compacte és una propietat que intenta generalitzar la noció d'un subconjunt de l'[[espai euclidià]] [[conjunt tancat|tancat]] i [[conjunt fitat|fitat]]<ref>{{ref-web|url=https://www.britannica.com/science/compactness|títol=Compactness {{!}} mathematics|website=Encyclopedia Britannica|llengua=en|consulta=2019-11-25}}</ref> per mitjà de la idea que un espai no tingui "forats" i que no "faltin els punts finals", és a dir que l'espai no exclogui cap punt de "valor límit". Per exemple, l'interval "no tancat" (0,1) no seria compacte ja que exclou els valors límits de 0 i 1, que mentre que l'interval tancat [0,1] ''seria'' compacte. Similarment, l'espai de nombres racionals <math>\mathbb{Q}</math> no és compacte ja que té un nombre infinit de "forats" que corresponen als nombres irracionals, i l'espai de nombres reals <math>\mathbb{R}</math> no és compacte ja que exclou els valors límits <math>\infty</math> i <math>-\infty</math>. Tanmateix, la recta ''extensa'' de nombre reals ''seria'' compacte, ja que conté tots dos infinits. Hi ha moltes maneres de precisar en aquesta noció heurística. Els diferents plantejaments coincideixen en l'espai euclidià, però poden no ser equivalents en altres [[espai topològic|espais topològics]].

Una d'aquestes generalitzacions és la que diu que un espai topològic és [[espai successionalment compacte|''successionalment'' compacte]] si tota [[Successió (matemàtiques)|successió infinita]] de punts mostrejats en l'espai té una [[subsuccessió]] que convergeix en algun punt de l'espai.<ref>{{ref-llibre|cognom=Engelking |nom=Ryszard. |títol=General topology |editorial=PWN |any=1977 |lloc=Warsaw |pàgines=266 }}</ref> El [[teorema de Bolzano-Weierstrass]] afirma que un subconjunt de l'espai euclidià és compacte en aquest sentit successional si i només si és tancat i fitat. Per tant, si es tria un nombre infinit de punts en l'[[interval unitat]] tancat, {{math|[0, 1]}}, alguns dels seus punts s'aproparan arbitràriament a algun nombre real en aquest espai. Per exemple, alguns dels nombres en la seqüència {{nowrap|1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ...}} s'acumulen en el 0 (mentre que d'altres ho fan a l'1). El mateix conjunt de punts no s'acumularien a cap punt de l'interval unitat obert {{math|(0, 1)}}, així doncs l'interval unitat obert no és compacte. Tot i que subconjunts (subespais) de l'espai euclidià poden ser compactes, l'espai sencer en si no és compacte ja que no és fitat. Per exemple, considerant <math>\mathbb{R}^1</math>, la recta de nombres reals sencera, la successió de punts {{nowrap|0, 1, 2, 3, ...}}, no té cap subseqüència que convergeixi a cap nombre real.

La idea d'espai compacte va ser introduïda formalment per [[Maurice Fréchet]] l'any 1906 per generalitzar el teorema de Bolzano–Weierstrass d'espais de punts geomètrics a [[espai funcional|espais de funcions]]. El [[Teorema d'Arzelà–Ascoli]] i el [[teorema d'existència de Peano]] exemplifiquen aplicacions d'aquesta noció d'espai compacte a l'anàlisi real clàssica. Seguint la seva introducció inicial, diferents nocions equivalents d'espais compactes, inclosa la d'espai successionalment compacte i la d'espai compacte de punts límit van ser desenvolupades en [[espai mètric|espais mètrics]] generals.<ref name=:0>{{ref-web|url=http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/~john/MT4522/Lectures/L22.html|títol=Sequential compactness|website=www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk|consulta=2019-11-25|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20220813041230/http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/~john/MT4522/Lectures/L22.html|arxiudata=2022-08-13}}</ref> En espais topològics generals, tanmateix, aquestes nocions d'espais compactes no són necessàriament equivalents. La noció més útil -i la definició estàndard del terme espai ''compacte''- és descrita en termes de l'existència de famílies finites de [[conjunt obert|conjunts oberts]] que [[Recobriment (topologia)|recobreixen]] l'espai en el sentit que tot punt de l'espai pertany a algun conjunt contingut dins de la família. Aquesta noció més subtil, introduïda per [[Pàvel Aleksàndrov]] i [[Pàvel Urysohn]] l'any 1929, presenta els espais compactes com a generalitzacions de [[conjunt finit|conjunts finits]].

S'utilitza sovint el terme '''conjunt compacte''' com a sinònim d'espai compacte, però sol fer referència també a subespais compactes d'espais topològics.

== Algunes propietats ==
Es compleix que si <math> X </math> és varietat afí, aleshores <math> K </math> és connex per camins. Es compleix a més que tot subconjunt acotat d'un precompacto serà també paracompacte.

* Un subconjunt compacte d'un [[espai de Hausdorff]] {{mvar|X}} és tancat.
** Si {{mvar|X}} no és Hausdorff llavors un subconjunt compacte de {{mvar|X}} pot no ser un subconjunt tancat de {{mvar|X}} (vegeu l'exemple en la nota a peu de pàgina).{{efn|
Sigui {{math|1=''X'' = {''a'', ''b''}<!---->}} i doti's {{mvar|X}} de la topologia {{math|{''X'', ∅, {''a''}<!---->}<!---->}}. Llavors {{math|{''a''}<!---->}} és un conjunt compacte però no és tancat.
}}
** Si {{mvar|X}} no és Hausdorff llavors l'adherència d'un conjunt compacte pot no ser compacte (vegi's exemple).{{efn|
Sigui {{mvar|X}} el conjunt de enters no negatius. Dotem {{mvar|X}} amb la topologia de punt particular definint un subconjunt {{math|''U'' ⊆ ''X''}} com obert si i només si {{math|0 ∈ ''U''}}. Llavors {{math|1=''S'' := {0}<!---->}} és compacte, l'adherència de {{mvar|S}} és tot {{mvar|X}}, però {{mvar|X}} no és compacte ja que la col·lecció de subconjunts oberts {{math|{<!---->{0, ''x''} : ''x'' ∈ ''X''}<!---->}} no té un subrecobriment finit.
}}
* En qualsevol [[espai vectorial topològic]] (EVT), un subconjunt compacte és [[Espai complet|complet]]. Tanmateix, tot EVT no-Hausdorff conté subconjunts compactes (i per tant complets) que són ''no'' tancats.
* Siguin {{mvar|A}} i {{mvar|B}} subconjunts compactes disjunts d'un espai de Hausdorff {{mvar|X}}, llavors existeixen conjunts oberts disjunts {{mvar|U}} i {{mvar|V}} en {{mvar|X}} tals que {{math|''A'' ⊆ ''U''}} i {{math|''B'' ⊆ ''V''}}.
* Una bijecció contínua entre un espai compacte i un espai de Hausdorff és un [[homeomorfisme]].
* Un espai compacte Hausdorff és [[espai normal|normal]] i [[espai regular|regular]].
* Si un subconjunt d'un espai mètric {{math|(''X'', ''d'')}} és compacte, llacros és fitada per {{mvar|d}}.

=== Funcions i espai compactes ===
Com que la imatge [[Funció contínua|contínua]] d'un espai compacte és compacte, el [[Teorema de Weierstrass|teorema dels valors extrems]] aplica en tals espais: una funció contínua real en un espai compacte no buit és fitada per sobre i arriba al seu supremum.<ref>{{harvnb|Arkhangel'skii|Fedorchuk|1990|loc=Corollary 5.2.1}}</ref>
(De forma lleugerament més general, això és veritat per una funció semicontínua per dalt.) Com a inverse de les afirmacions anteriors, la pre-imatge d'un espai compacte sota l'aplicació pròpia és compacta.


== Exemples bàsics ==
Qualsevol espai finit és compacte; es pot obtenir un subrecobriment seleccionant, per cada punt, un conjunt obert que el contingui. Un exemple no trivial d'un espai compacte és l'[[interval unitat]] (tancat) [0,1] dels [[nombre real|nombres reals]]. Si es tria un nombre infinit de punts diferents en l'interval unitat, llavors hi ha d'haver algun [[punt d'acumulació]] entre aquests punts en l'interval. Per exemple, els termes imparells de la seqüència {{nowrap|1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ...}} van a parar arbitràriament a prop del 0, mentre que els termes parells tendeixen a&nbsp;1. Aquest exemple de seqüència mostra la importànica d'incloure els punts de la [[Frontera (topologia)|frontera]] de l'interval, ja que els [[Convergència (successió matemàtica)|punts límit]] han de ser en l'espai mateix — un interval obert (o mig obert) dels nombres reals no és compacte.
És també crucial que l'interval sigui [[Conjunt fitat|fitat]], ja que en l'interval [0,∞), es podria agafar la seqüència de punts {{nowrap|0, 1, 2, 3, ...}}, de la qual no hi ha cap subseqüència que arribi arbitràriament a prop de que cap nombre real donat.

En dues dimensions, els [[Cercle|cercles]] tancats són compactes ja que per tot nombre infinit de punts mostrejats en el disc, alguns subconjunt d'aquests punts ha d'arribar arbitràriament a prop ja sigui a un punt del disc, o en un punt de la frontera. Tanmateix, un cercle obertr no és compacte, ja que una seqüència de punts pot tendir a la frontera — sense arribar arbitràriament a prop de cap punt de l'interior. De forma similar, les esferes són compactes, però una esfera que li falti un punt no ho és ja que una seqüència de punts pot seguir tendint al punt que falta, no arribant per tant arbitràriament a prop al punt ''de dins'' de l'espai. Les línies i els plans no són compactes, ja que es pot prendre un conjunt de punts equi-espaiats en qualsevol direcció sense que es tendeixi a cap punt.

== Compacitat en espais mètrics ==
Si <math> (X, d) </math> és un [[espai mètric]], llavors, per <math> K\subset X </math>, les següents proposicions són totes equivalents:
#<math> K </math> és compacte
#<math> K </math> és [[Conjunt seqüencialment compacte|seqüencialment compacte]]
#<math> K </math> és [[Completesa|complet]] i [[totalment tancat]]

A més, <math> K </math> serà sempre tancat i acotat.

El [[teorema de Heine-Borel]] dona una caracterització útil en els [[espais vectorials normats]] de dimensió finita: <math> K </math> és compacte si i només si és tancat i fitat. Tanmateix, en dimensió infinita, això no és veritat, i, de fet, en aquest context la bola unitària tancada mai serà compacta, pel mateix,{{què}} és molt més difícil verificar compacitat. Un resultat important en els espais de funcions contínues és el [[teorema de Arzelá-Ascoli]].

== Importància dels Conjunts Compactes ==
Els conjunts compactes tenen gran importància en diversos resultats de l'anàlisi, sent un dels més importants el [[teorema de Weierstrass]]: tota funció real contínua definida en un espai compacte assoleix el seu màxim i el mínim.

Un altre resultat important és el [[teorema de Heine]], que indica que tota funció contínua el domini sigui un conjunt compacte, serà [[Continuïtat uniforme|uniformement contínua]].

== Notes ==
{{notes}}

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* {{ref-publicació|cognom1=Alexandrov |nom1=Pavel |author-link1=Pavel Alexandrov |cognom2=Urysohn |nom2=Pavel |author-link2=Pavel Urysohn |any=1929 |títol=Mémoire sur les espaces topologiques compacts |publicació=Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Mathematical Sciences |volum=14}}
* {{ref-llibre|cognom1=Arkhangel'skii |nom1=A.V. |cognom2=Fedorchuk |nom2=V.V. |any=1990 |citació=The basic concepts and constructions of general topology |editor1=Arkhangel'skii, A.V. |editor2=Pontrjagin, L.S. |títol=General Topology I |editorial=Springer |isbn=978-0-387-18178-3 |series=Encyclopedia of the Mathematical Sciences |volum=17}}.
* {{springer |id=C/c023530 |title=Compact space |first=A.V. |last=Arkhangel'skii}}.
* {{ref-llibre|nom=Bernard |cognom=Bolzano |enllaçautor=Bernard Bolzano |any=1817 |títol=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege |url=https://books.google.cat/books?id=EoW4AAAAIAAJ&q=%22Rein%20analytischer%20Beweis%20des%20Lehrsatzes%22&pg=PA2-IA3 |editorial=Wilhelm Engelmann}} (''Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation'').
* {{ref-publicació|cognom=Borel |nom=Émile |enllaçautor=Émile Borel |any=1895 |títol=Sur quelques points de la théorie des fonctions |publicació=[[Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure]] |series= 3 |volum=12 |pàgines=9–55 |jfm=26.0429.03 |doi=10.24033/asens.406 |doi-access=free }}
* {{ref-llibre|cognom1=Bourbaki |nom1=Nicolas |títol=Topologie générale. Chapitres 1 à 4 |data=2007 |editorial=Springer |lloc=Berlín|isbn=978-3-540-33982-3 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-33982-3}}
* {{ref-llibre|cognom=Boyer |nom=Carl B. |enllaçautor=Carl Benjamin Boyer |any=1959 |títol=The history of the calculus and its conceptual development |editorial=Dover Publications |lloc=Nova York| mr=0124178}}
* {{ref-llibre|cognom1=Boyer |nom1=Carl Benjamin |author-link1=Carl Benjamin Boyer |cognom2=Merzbac h|nom2=Uta C|enllaçautor2=Uta Merzbach |any=1991 |títol=A History of Mathematics |edició=2a edició|editorial=John Wiley & Sons |isbn=978-0-471-54397-8|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye}}
* {{ref-publicació|nom=Cesare |cognom=Arzelà |enllaçautor=Cesare Arzelà |any=1895 |títol=Sulle funzioni di linee |publicació=Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. |volum=5 |exemplar=5 |pàgines=55–74}}
* {{ref-llibre|cognom=Arzelà |nom=Cesare |enllaçautor=Cesare Arzelà |any=1882–1883 |títol=Un'osservazione intorno alle serie di funzioni |publicació=Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. dell'Istituto di Bologna |pàgines=142–159}}
* {{ref-publicació|cognom=Ascoli |nom=G. |enllaçautor=Giulio Ascoli |any=1883–1884 |títol=Le curve limiti di una varietà data di curve |publicació=Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. |volum=18 |exemplar=3 |pàgines=521–586}}
* {{ref-publicació|cognom=Fréchet |nom=Maurice |enllaçautor=Maurice Fréchet |any=1906 |títol=Sur quelques points du calcul fonctionnel |publicació=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] |volum=22 |exemplar=1 |pàgines=1–72 |doi=10.1007/BF03018603 |hdl=10338.dmlcz/100655 |s2cid=123251660 |url=https://zenodo.org/record/1428464 }}
* {{ref-llibre|cognom1=Gillman|nom1=Leonard |cognom2=Jerison |nom2=Meyer |any=1976 |títol=Rings of continuous functions |editorial=Springer-Verlag}}
* {{Howes Modern Analysis and Topology 1995}} <!-- {{sfn | Howes | 1995 | p=}} -->
* {{ref-llibre|cognom=Kelley |nom=John |any=1955 |títol=General topology |editorial=Springer-Verlag |series=Graduate Texts in Mathematics |volum=27}}
* {{ref-llibre|cognom1=Kline |nom1=Morris |enllaçautor1=Morris Kline |orig-year=1972 |any=1990 |títol=Mathematical thought from ancient to modern times |editorial=Oxford University Press |edició=3rd | isbn=978-0-19-506136-9 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/mathematicalthou00klin }}
* {{ref-llibre|nom=Henri |cognom=Lebesgue |any=1904 |títol=Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives |editorial=Gauthier-Villars |url=https://books.google.cat/books?id=VfUKAAAAYAAJ&q=%22Lebesgue%22%20%22Le%C3%A7ons%20sur%20l'int%C3%A9gration%20et%20la%20recherche%20des%20fonctions%20...%22&pg=PA1}}
* {{ref-llibre|cognom1=Robinson |nom1=Abraham |enllaçautor1=Abraham Robinson |any=1996 |títol=Non-standard analysis |editorial=Princeton University Press | isbn=978-0-691-04490-3 |mr=0205854}}
* {{ref-publicació|nom1=C.T. |cognom1= Scarborough |nom2= A.H. |cognom2= Stone |any=1966 |títol= Products of nearly compact spaces |publicació= Transactions of the American Mathematical Society |volum= 124 |exemplar=1 |pàgines= 131-147 |doi=10.2307/1994440 |editorial=Transactions of the American Mathematical Society |jstor=1994440 |url=https://www.ams.org/tran/1966-124-01/S0002-9947-1966-0203679-7/S0002-9947-1966-0203679-7.pdf |doi-access=free }}.
* {{ref-llibre|cognom1=Steen |nom1=Lynn Arthur |enllaçautor1=Lynn Arthur Steen |cognom2=Seebach |nom2=J. Arthur Jr. |enllaçautor2=J. Arthur Seebach, Jr. |any=1995 |títol=Counterexamples in Topology | orig-year=1978 |editorial=Springer-Verlag |lloc=Berlin, New York |edició=Dover Publications reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446 | title-link=Counterexamples in Topology }}
* {{ref-llibre|cognom=Willard |nom=Stephen |any=1970 |títol=General Topology |editorial=Dover publications |isbn=0-486-43479-6}}

== Vegeu també ==
* [[Espai localment compacte]]
* [[Suport compacte]]

{{Autoritat}}

{{ORDENA:Espai Compacte}}
[[Categoria:Topologia]]