Mostra la font per a Espiral d'Arquimedes

[[Fitxer:Archimedean_spiral.png|miniatura|Tres voltes de 360° d'un braç d'una espiral d'Arquimedes]]

Una '''espiral d'Arquimedes''' (anomenada també '''espiral aritmètica'''), és una [[espiral]] anomenada en honor del matemàtic Grec del {{segle|III}} abans de la nostra era [[Arquimedes]]; és el [[lloc geomètric]] dels punts que corresponen a les posicions recorregudes al llarg del temps per un punt que s'allunya d'un punt fix a velocitat constant al llarg d'una recta que gira a [[velocitat angular]] constant respecte d'aquest mateix punt fix. En [[coordenades polars]] (''r'', θ) es pot descriure per l'equació

:<math>\, r=a+b\theta</math>

On ''a'' i ''b'' són nombres reals. En canviar el paràmetre ''a'' es fa girar l'espiral, mentre que ''b'' controla la distància entre dues voltes successives.

Arquimedes va descriure aquesta espiral en el seu llibre ''De les espirals''.

L'espiral d'Arquimedes es diferencia de l'[[espiral logarítmica]] pel fet que les voltes successives de l'espiral tenen una separació contant (igual a 2[[π]]''b'' si θ es mesura en [[radian]]s), mentre que en una espiral logarítmica aquestes distàncies formen una [[progressió geomètrica]].

Fixeu-vos que l'espiral d'Arquimedes té dues branques, una per θ > 0 i l'altra per θ < 0. Les dues branques es connecten suaument a l'origen. A la figura del costat només es mostra una de les branques. Prenent una imatge especular d'aquesta branca respecte de l'eix y s'obté l'altre branca.

Un mètode per trobar la [[quadratura del cercle]], a base de relaxar les estrictes limitacions que imposa el fet no poder fer servir més que el regle i el compàs en les demostracions geomètriques gregues antigues, fa servir una espiral d'Arquimedes.

De vegades l'expressió ''espiral d'Arquimedes'' es fa servir per a designar un grup d'espirals més general

:<math>r=a+b\theta^{1\!/\!x}.</math>

L'espiral d'Arquimedes normal s'obté quan ''x'' = 1. Altres espirals que cauen dins d'aquest grup inclouen l'[[espiral hiperbòlica]], l'[[espiral de Fermat]], i l'[[espiral de lituus]]. Pràcticament, totes les espirals estàtiques que apareixen a la natura són [[espirals logarítmiques]], no espirals d'Arquimedes. Moltes espirals dinàmiques (com ara l'[[espiral de Parker]] del [[vent solar]], o el patró produït per les [[roda de Santa Caterina|rodes de Santa Caterina]], són espirals d'Arquimedes.

== Llei de les àrees ==
L'[[àrea]] escombrada per un radi que segueix l'espiral d'Arquimedes sobre l'interval <math>[0;\theta]</math> és 

<center> <math>\frac{a^2\theta^3}{6}</math></center>

Compte que aquesta fórmula no correspon pas a l'àrea de l'espiral, ja que hi ha el risc que el radi escombri diversos cop la mateixa porció del pla.

== Problemes cèlebres ==
=== Trisecció de l'angle ===
[[Fitxer:archimedspir2.png|miniatura|Trisecció de l'angle|500px]]
Una espiral d'Arquimedes permet de resoldre el problema de la [[trisecció de l'angle]]: per un angle <math>\theta</math> donat, és possible construir amb el regle i el compàs l'angle <math>\theta/3</math>. N'hi ha prou amb localitzar el punt M de l'espiral associat a l'angle <math>\theta</math>, construir un cercle de centre O i de radi OM/3. Aquest cercle talla l'espiral en un punt P associat a l'angle <math>\theta/3</math>.

=== Quadratura del cercle ===
La rectificació del cercle és un problema anàleg a la seva quadratura. Cercar la [[quadratura del cercle]] és cercar el quadrat que té la mateixa àrea que un cercle donat. Cercar la rectificació del cercle és cercar un segment de recta que té la mateixa llargada que el perímetre del cercle. En un cas (la quadratura) s'ha de representar <math>\sqrt{\pi}</math> per una longitud, en l'altre cas (la rectificació), s'ha de representar <math>\pi</math> per una longitud. L'espiral d'Arquimedes permet de realitzar la segona construcció i a partir d'aquí resoldre la primera.
{{-}}
=== Rectificació del cercle ===
[[Fitxer:Archimede.jpg|miniatura|Rectificació del cercle|400px]]

A la seva obra [[De les espirals]], s'hi llegeix: 
{{cita| '''PROPOSICIÓ 18''': Si una línia recta és tangent a una espiral, a la primera volta, al punt final [H] de l'espiral i si del punt on comença l'espiral es traça una recta perpendicular a la recta inicial de la rotació, la recta així traçada, troba la tangent, i el segment de recta comprès entre la tangent i el principi de l'espiral serà igual a la longitud de la circumferència de la primera volta.}}

D'aquesta forma, Arquimedes transforma el problema de la rectificació de la circumferència en el problema de traçar la tangent a l'espiral, cosa que no és possible de resoldre fent ús només de regle i compàs.

=== Problemes no resolts ===
Els dos paràgrafs precedents podrien donar a entendre que Arquimedes gràcies a la seva espiral, hauria resolt els dos problemes clàssics de la trisecció de l'angle i de la quadratura del cercle. Però no és el cas. Els matemàtics de l'època buscaven mètodes de resolucions ''amb regle i compàs '' i menyspreaven les resolucions mecàniques ''. És per això què l'espiral d'Arquimedes no ha estat considerada com una eina de resolució i ha estat rebutjada com ho han estat d'altres quadratures i d'altres trisectrius.

A més, el traçat de la tangent a l'espiral no feia més que desplaçar el problema.

== Aplicacions ==
[[Fitxer:Two moving spirals scroll pump.gif|frame|Mecanisme d'una bomba d'espiral]]
L'espiral d'Arquimedes té una gran quantitat d'aplicacions al món real. Els [[compressors d'espiral]], es fan amb dues espirals d'Arquimedes de la mateixa mida separant els centres una distància igual al pas de l'espiral, es fan servir per a comprimir líquids i gasos.<ref>{{ref-web| url = http://www.freepatentsonline.com/5603614.html| títol = Fluid compressing device having coaxial spiral members| consulta = 2006-11-25| autor = Sakata, Hirotsugu and Masayuki Okuda
}}</ref> Les espirals de les [[molles d'equilibratge]] dels [[rellotge]]s i les ranures dels primers [[gramòfon]]s eren espirals d'Arquimedes, fent que les ranures estiguessin equidistants i maximitzant la quantitat de música que es podia emmagatzemar en cada disc, (tot i que més tard això es va canviar per permetre una millor quantitat de so).<ref>{{ref-web| url = http://ronpenndorf.com/journalofrecordedmusic5.html| títol = Early Development of the LP| consulta = 2005-11-25| autor = Penndorf, Ron| arxiuurl = https://web.archive.org/web/20171210123844/http://ronpenndorf.com/journalofrecordedmusic5.html| arxiudata = 2017-12-10}}</ref> Demanar a un pacient que dibuixi una espiral d'Arquimedes és una forma de quantificar el temor humà; aquesta informació ajuda en el diagnòstic de malalties neurològiques. Les espirals d'Arquimedes també es fan servir en els sistemes de projecció [[DLP]] per tal de minimitzar l'efecte "Arc de San Martí", fent que sembli com si múltiples colors s'estiguessin projectant al mateix temps quan en realitat el vermell, el verd i el blau es projecten cíclicament de forma extremadament ràpida.<ref>{{ref-web| url = http://electronics.howstuffworks.com/dlp1.htm| títol = Adding Color and the Reliability of DLP| consulta = 2005-11-25| autor = Wilson, Tracy V.
}}</ref>

== Vegeu també ==
* [[Espiral hiperbòlica]]
* [[Espiral de Fermat]]
* [[Espiral logarítmica]]

== Referències ==
{{Referències}}

== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}
* [http://webs.ono.com/rpe/espiral.htm Pàgina que permet variar els paràmetres de l'espiral] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080512093158/http://webs.ono.com/rpe/espiral.htm |date=2008-05-12}}
* http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesSpiral.html
* http://planetmath.org/encyclopedia/ArchimedeanSpiral.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110815060722/http://planetmath.org/encyclopedia/ArchimedeanSpiral.html |date=2011-08-15}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Java/Spiral.html Pàgina amb una aplicació en Java per explorar interactivament l'espiral d'Arquimedes i les seves corbes relacionades]
* {{la}} [http://www.dm.unipi.it/pages/maurolic/edizioni/archimed/spirali/spir-19.htm Archimedis de lineis spiralibus liber] Llibre sobre les línies espirals. Arquimedes. Proposició 18.

{{ORDENA:Espiral D'Arquimedes}}
[[Categoria:Espirals|Arquimedes]]
[[Categoria:Arquimedes]]