Mostra la font per a Eudox de Cnidos

{{confusió|Eudox (poeta còmic)|Eudox de Cízic|Eudox de Rodes}}
{{Infotaula persona}}
{{IniciBio}}, fill d'Esclines, fou un [[geòmetra]], [[astrònom]] i [[metge]] grec, que va viure vers el [[366 aC]].<ref name="Eudoxus-Oxford-Dict-Philosophy">{{Ref-llibre|cognom=Blackburn|nom=Simon|enllaçautor=Simon Blackburn|títol=The Oxford Dictionary of Philosophy|any=2008|editorial=[[Oxford University Press]]|lloc=[[Oxford, United Kingdom]]|isbn=9780199541430|edició=2a revisada|url=https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110803095800103}}</ref><ref name="Eudoxus-St-Andrew">{{Ref-web|títol=Eudoxus of Cnidus|cognom=O'Connor|nom=J. J.|obra=[[University of St Andrews]]|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Eudoxus/|consulta= 30 novembre 2020}}</ref> L'esmenta [[Diògenes Laerci]] i la seva fama deriva de la seva condició d'astrònom més que de cap altra. Va introduir l'esfera a l'astronomia grega clàssica i va corregir alguns conceptes egipcis sobre la durada de l'any.<ref>{{GEC|0025486}}</ref> Totes les seves obres originals s'han perdut, encara que alguns fragments es conserven en el comentari d'[[Hiparc de Nicea|Hiparc]] al poema d'[[Arat]] sobre l'[[astronomia]].<ref>Lasserre, François (1966) ''Die Fragmente des Eudoxos von Knidos'' (de Gruyter: Berlin)</ref> El llibre ''[[Esfèriques (Teodosi de Bitínia)|Esfèriques]]'' de [[Teodosi de Bitínia]] es pot basar en una obra d'Eudox.<ref>{{ref-llibre|cognom=Morritt|nom=Robert D.|títol=Echoes from the Greek Bronze Age|url=https://books.google.cat/books?id=CoMnBwAAQBAJ|editorial=Cambridge Scholars Publishing|any=2010|pàgina=72|isbn=978-1-4438-2489-7}}</ref>

Eudox fou deixeble d'[[Arquites de Tàrent]] en geometria, i de [[Plató]]; va anar a [[Egipte]] on va rebre la protecció de [[Nectabeu I]]. Després va ensenyar filosofia a [[Cízic]] i a la [[Propòntida]], i va anar a [[Atenes]] a 23 anys. Va tenir un grup de deixebles a l'[[Acadèmia platònica]]. Va tenir un fill i algunes filles i va escriure alguns llibres sobre astronomia i geometria. Va morir a 53 anys.

[[Aristòtil]] diu que va fer esferes separades per les estrelles, el sol, la lluna i els planetes; [[Arquimedes]] diu que va mesurar el diàmetre del sol com 9 vegades més gran que el de la lluna; [[Vitrubi]] li atribueix la invenció d'un dial solar anomenat ἀράχνη (aranya); i es tenen diverses notícies fragmentàries més; però l'únic cert és el que diu el [[poema]] d'[[Arat de Cnidos]] i el comentari d'[[Hiparc de Nicea|Hiparc]]. Les seves obres són:
* {{lang|grc|Γεωμετροίμενα}} (''Geometria''), (equivalent al {{lang|grc|Ὀργανική}} (''Orgànica'') esmentat per [[Plutarc]]
* {{lang|grc|Ἀστρονομία δι᾽ ὲπῶν}} (''Astronomia de la Lluna''), en dos llibres.
* {{lang|grc|Ἐνοπτρον o Κάτοπτρον i Φαινόμενα}} (''Espectacle o Mirall dels fenòmens'')<ref>{{ref-llibre|cognom=Taub|nom=Liba|títol=Ancient Greek and Roman Science|url=https://books.google.cat/books?id=pXG7EAAAQBAJ|editorial=Oxford University Press|any=2023|pàgina=51|isbn=978-0-19-873699-8}}</ref>
* {{lang|grc| Γῆς Περίοδος}} (''Període terrestre''), (dubtós)

== Biografia ==
Eudox va néixer i va morir a [[Cnidos]],<ref name="Eudoxus-St-Andrew">{{Ref-web|títol=Eudoxus of Cnidus|cognom=O'Connor|nom=J. J.|obra=[[University of St Andrews]]|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Eudoxus/|consulta= 30 novembre 2020}}</ref> que era una ciutat a la costa sud-oest de l'[[Anatòlia]]. Els anys del naixement i la mort d'Eudox no es coneixen completament, però el rang podria haver estat c. 408 – c. 355 BC,<ref name="Eudoxus-Oxford-Dict-Philosophy"/><ref name="Eudoxus-St-Andrew"/> o c. 390 – c. 337 BC. El seu nom Eudox significa "honrat" o "de bona reputació" ({{Lang|grc|εὔδοξος}}, de ''eu'' "bo" i ''doxa'' "opinió, creença, fama"). És anàleg al nom llatí [[wiktionary:Benedictus|Benedictus]].

Al pare d'Eudox, Esquines de [[Cnidos]], li encantava veure les estrelles a la nit. Eudox va viatjar per primera vegada a [[Tàrent]] per estudiar amb [[Arquites de Tàrent]], de qui va aprendre [[matemàtiques]]. Mentre estava a [[Itàlia]], Eudox va visitar [[Sicília]], on va estudiar medicina amb [[Filistió (metge)|Filistió]].

Als 23 anys viatjà amb el metge Teomedó —que (segons [[Diògenes Laerci]]) alguns creien que era el seu amant<ref>Diogenes Laertius; VIII.87</ref> a [[Atenes]] per estudiar amb els seguidors de [[Sòcrates]]. Finalment va assistir a conferències de [[Plató]] i d'altres filòsofs durant uns quants mesos, però a causa d'un desacord van tenir un conflicte. Eudox era bastant pobre i només podia permetre's un apartament al [[El Pireu|Pireu]]. Per assistir a les conferències de Plató, havia de caminar 10 km en cada sentit cada dia. A causa de la seva pobresa, els seus amics van recaptar fons suficients per enviar-lo a [[Heliòpolis (antic Egipte)|Heliòpolis]], [[Egipte (província romana)|Egipte]], per continuar els seus estudis d'astronomia i matemàtiques. Va viure allà durant 16 mesos. Des d'Egipte, va viatjar al nord fins a [[Cízic]], situat a la riba sud del [[Mar de Màrmara]]. Va viatjar cap al sud fins a la cort de [[Mausol]]. Durant els seus viatges va reunir molts estudiants propis.

Cap al 368 aC, Eudox va tornar a Atenes amb els seus alumnes. Segons algunes fonts, cap al 367 va assumir la direcció ([[Escolarca|erudits]]) de l'Acadèmia durant el període de Plató a Siracusa, i va ensenyar [[Aristòtil]]. Finalment, va tornar al seu Cnidos natal, on va servir a l'assemblea de la ciutat. Mentre era a Cnidos, va construir un observatori i va continuar escrivint i donant conferències sobre [[teologia]], astronomia i [[meteorologia]]. Va tenir un fill, Aristàgores, i tres filles, Actis, Filtis i Delfos.

En astronomia matemàtica, la seva fama es deu a la introducció de les esferes concèntriques i a les seves primeres contribucions a la comprensió del moviment dels [[Planeta|planetes]].

El seu treball sobre les [[Proporcionalitat|proporcions]] mostra una visió [[Nombre real|dels nombres reals]]; permet un tractament rigorós de magnituds contínues i no només de [[Nombre enter|nombres enters]] o fins i tot [[Nombre racional|de nombres racionals]]. Quan va ser reviscut per [[Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]] i altres al {{segle|XVI}}, es va convertir en la base del treball quantitatiu en ciència i va inspirar el treball de [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|Richard Dedekind]].<ref>Milenko Nikolić (2012) "The ancient idea of real number in Eudoxus' theory of ratios", page 226, and "The analogy between Eudoxus' theory of ratios and Dedekind's theory of cut", page 238 in ''For Jan Struik'', Cohen-Stachel-Wartofsky editors, [[Springer books]]</ref>

[[Cràter d'impacte|Cràters]] de [[Llista de cràters de Mart|Mart]] i la [[Èudox (cràter)|Lluna]] reben el seu nom. Una [[corba algebraica]] (la [[Càmpila d'Eudoxe]]) també porta el seu nom.

== Matemàtiques ==
Eudox és considerat per alguns com el més gran dels matemàtics grecs clàssics; [[Arquimedes]] el considerava el més important de l'[[Antiga Grècia|Antiguitat]] abans d'ell mateix.<ref name="calinger">{{Ref-llibre|cognom=Calinger|nom=Ronald|títol=Classics of Mathematics|editorial=Moore Publishing Company, Inc.|any=1982|lloc=Oak Park, Illinois|pàgines=75|isbn=0-935610-13-8}}</ref><ref>{{ref-llibre|cognom=Bochner|nom=Salomon|títol=Role of Mathematics in the Rise of Science|url=https://books.google.cat/books?id=naH_AwAAQBAJ|editorial=Princeton University Press|any=1981|pàgina=325|isbn=0-691-02371-9}}</ref> Eudox va ser probablement la font de la major part del llibre V dels [[Elements d'Euclides]].{{sfn|Ball|1908|p=54}} Va desenvolupar amb rigor el [[mètode d'exhaustió]] d'[[Antifont (sofista)|Antifon]], un precursor del [[Integració|càlcul integral]] que també va ser utilitzat de manera magistral per Arquimedes al segle següent. En aplicar el mètode, Eudox va demostrar afirmacions matemàtiques com: les àrees dels cercles són entre si com els quadrats dels seus radis, els volums de les esferes són els uns amb els altres com els cubs dels seus radis, el volum d'una piràmide és un terç del volum d'un [[Prisma (geometria)|prisma]] amb la mateixa base i altitud, i el volum d'un con és un terç del cilindre corresponent.<ref name="Kline">Morris Kline, ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'' Oxford University Press, 1972 pp. 48–50</ref>

Eudox va introduir la idea de la [[Magnitud (matemàtiques)|magnitud]] matemàtica no quantificada per descriure i treballar amb entitats geomètriques contínues com ara línies, angles, àrees i volums, evitant així l'ús de [[Nombre irracional|nombres irracionals]]. En fer-ho, va revertir l'èmfasi [[Pitagòrics|pitagòric]] en el nombre i l'aritmètica, centrant-se, en canvi, en els conceptes geomètrics com a base de les matemàtiques rigoroses. Alguns pitagòrics, com el professor d'Eudox [[Arquites de Tàrent|Arquites]], havien cregut que només l'aritmètica podia proporcionar una base per a les demostracions. Induït per la necessitat d'entendre i operar amb magnituds incommensurables, Eudox va establir la que podria haver estat la primera organització deductiva de les matemàtiques sobre la base d'[[Axioma|axiomes]] explícits. El canvi d'enfocament d'Eudox va estimular una divisió en matemàtiques que va durar dos mil anys. En combinació amb una actitud intel·lectual grega sense preocupar-se pels problemes pràctics, es va produir una retirada significativa del desenvolupament de tècniques d'aritmètica i àlgebra.<ref name="Kline">Morris Kline, ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'' Oxford University Press, 1972 pp. 48–50</ref>

Els pitagòrics havien descobert que la diagonal d'un quadrat no té una unitat de mesura comuna amb els costats del quadrat; aquest és el famós descobriment que l'[[arrel quadrada de 2]] no es pot expressar com la relació de dos nombres enters. Aquest descobriment havia anunciat l'existència de magnituds incommensurables més enllà dels nombres enters i les fraccions racionals, però al mateix temps va posar en dubte la idea de mesura i càlculs en el conjunt de la geometria. Per exemple, [[Euclides]] proporciona una demostració elaborada del teorema de Pitàgores (''Elements'' I.47), utilitzant la suma d'àrees i només molt més tard (''Elements'' VI.31) una demostració més senzilla a partir de triangles similars, que es basa en les proporcions dels segments de línia.

Els matemàtics grecs antics no calculaven amb quantitats i equacions com ho fem avui, sinó que feien servir proporcionalitats per expressar la relació entre quantitats. Així, la proporció de dues magnituds semblants no era només un valor numèric, com ho pensem avui; la relació de dues magnituds semblants era una relació primitiva entre elles.

Eudox va ser capaç de restaurar la confiança en l'ús de proporcionalitats introduint una definició sorprenent del significat de la igualtat entre dues proporcions. Aquesta definició de proporció forma el tema del llibre V d'Euclides.

A la definició 5 del llibre V d'Euclides llegim:
{{Cita|Es diu que les magnituds estan en la mateixa proporció, la primera a la segona i la tercera a la quarta quan, si es pren algun equimúltiple del primer i del tercer, i qualsevol equimúltiple del segon i del quart, els primers equimúltiples superen igualment, són iguals o no són iguals per a aquests últims equimúltiples, respectivament, en l'ordre corresponent}}

Fent servir la notació moderna, això s'aclareix de la següent manera. Si prenem quatre magnituds: ''a'', ''b'', ''c'' i ''d'', aleshores la primera i la segona tenen una relació <math>a/b</math>; de la mateixa manera el tercer i el quart tenen una proporció <math>c/d</math>.

Ara si <math>a/b = c/d</math> fem el següent: Per a dos nombres enters arbitraris qualsevol, ''m'' i ''n'', formen els equimúltiples ''m'' · ''a'' i ''m'' · ''c'' del primer i del tercer; també formen els equimúltiples ''n'' · ''b'' i ''n'' · ''d'' del segon i del quart.

Si passa que ''m'' · ''a'' > ''n'' · ''b'', també hem de tenir ''m'' · ''c'' > ''n'' · ''d''. Si passa que ''m'' · ''a'' = ''n'' · ''b'', també hem de tenir ''m'' · ''c'' = ''n'' · ''d''. Finalment, si passa que ''m'' · ''a'' < ''n'' · ''b'', també hem de tenir ''m'' · ''c'' < ''n'' · ''d''.

Observeu que la definició depèn de comparar les magnituds semblants ''m'' · ''a'' i ''n'' · ''b'', i les magnituds semblants ''m'' · ''c'' i ''n'' · ''d'', i no depèn de l'existència d'una unitat comuna de mesura d'aquestes magnituds.

La complexitat de la definició reflecteix la profunda innovació conceptual i metodològica implicada. Recorda el famós [[cinquè postulat d'Euclides]] sobre els paral·lels, que és més extens i complicat en la seva redacció que els altres postulats.

La definició eudoxiana de proporcionalitat utilitza el quantificador, "per a cada..." per aprofitar l'infinit i l'infinitesimal, igual que les definicions modernes d'èpsilon-delta de límit i continuïtat.

A més, l'[[Axioma d'Arquimedes]] declarada com a definició 4 del llibre V d'Euclides no es deu originalment a Arquimedes sinó a Eudox.<ref name="Knopp1951">{{Ref-llibre|cognom=Knopp|nom=Konrad|enllaçautor=Konrad Knopp|títol=Theory and Application of Infinite Series|url=https://archive.org/details/theoryapplicatio00knop_888|edició=English 2nd|pàgines=[https://archive.org/details/theoryapplicatio00knop_888/page/n16 7]|any=1951|editorial=Blackie & Son, Ltd.|lloc=London i Glasgow}}</ref>

== Astronomia ==
A l'[[antiga Grècia]], l'astronomia era una branca de les matemàtiques; els astrònoms van intentar crear models geomètrics que poguessin imitar les aparences dels moviments celestes. Identificar el treball astronòmic d'Eudox com una categoria separada és, per tant, una conveniència moderna. Alguns dels textos astronòmics d'Eudox els noms dels quals han sobreviscut inclouen:
* ''Desaparicions del Sol'', possiblement en els eclipsis
* ''Oktaeteris'' (Ὀκταετηρίς), en un cicle lunisolar-Venus de vuit anys del calendari
* ''Phaenomena'' (Φαινόμενα) i ''Enoptron'' (Ἔνοπτρον), sobre astronomia esfèrica, probablement basant-se en observacions fetes per Eudox a Egipte i Cnidus
* ''Sobre velocitats'', sobre moviments planetaris

Hi ha prou informació sobre el contingut de ''Phaenomena'', perquè el text en prosa d'Eudox va ser la base d'un poema homònim d'[[Arat]]. [[Hiparc de Nicea|Hiparc]] va citar el text d'Eudox en el seu comentari a Arat.

=== Models planetaris eudoxans ===
Una idea general del contingut de ''Sobre velocitats'' es pot extreure de la ''Metafísica'' XII, 8 d'[[Aristòtil]] i un comentari de [[Simplici (filòsof)|Simplici de Cilícia]] (segle VI dC) sobre ''De caelo'', una altra obra d'Aristòtil. Segons una història publicada per Simplici, Plató va plantejar una pregunta als astrònoms grecs: "A partir del supòsit de quins moviments uniformes i ordenats es poden explicar els moviments aparents dels planetes?"<ref>{{Ref-llibre|cognom=Lloyd|nom=GER|títol=Early Greek Science: Thales to Aristotle|url=https://archive.org/details/earlygreekscienc00gerl|editorial=W.W. Norton|any=1970|isbn=9780393005837|pàgines=84}}</ref> Plató va proposar que els moviments errants aparentment caòtics dels planetes es podien explicar per combinacions de moviments circulars uniformes centrats en una Terra esfèrica, aparentment una idea nova al {{segle|IV|-}}.

En la majoria de les reconstruccions modernes del model eudoxà, a la Lluna se li assignen tres esferes:
* La més exterior gira cap a l'oest una vegada cada 24 hores.
* La segona gira cap a l'est una vegada al mes, explicant el moviment mensual de la Lluna a través del [[zodíac]].
* La tercera també completa la seva revolució en un mes, però el seu eix s'inclina en un angle lleugerament diferent, explicant el moviment en latitud (desviació de l'[[eclíptica]]), i el moviment dels [[Nodes de la Lluna|nodes lunars]].

Al Sol també se li assignen tres esferes. La segona completa el seu moviment en un any en lloc d'un mes. La inclusió d'una tercera esfera implica que Eudox creia erròniament que el Sol es movia en latitud.
[[Fitxer:Animated_Hippopede_of_Eudoxus.gif|miniatura|Animació que representa el model d'Eudox del moviment planetari retrògrad. Les dues esferes homocèntriques més íntimes del seu model es representen aquí com anells, cadascun girant amb el mateix període però en direccions oposades, movent el planeta al llarg d'una corba en forma de vuit, o hipopede.]]
[[Fitxer:Eudoxus'_Homocentric_Spheres.png|miniatura|Model d'Eudox del moviment planetari. Cadascuna de les seves esferes homocèntriques es representa aquí com un anell que gira sobre l'eix mostrat. L'esfera més externa (groga) gira una vegada al dia; el segon (blau) descriu el moviment del planeta a través del zodíac; el tercer (verd) i el quart (vermell) junts mouen el planeta al llarg d'una corba de vuit (o hipòpede) per explicar el moviment retrògrad.]]
Els cinc planetes visibles ([[Mercuri (planeta)|Mercuri]], [[Venus (planeta)|Venus]], [[Mart (planeta)|Mart]], [[Júpiter (planeta)|Júpiter]] i [[Saturn (planeta)|Saturn]]) tenen assignades quatre esferes cadascun:
* El més exterior explica el moviment diari.
* El segon explica el moviment del planeta a través del zodíac.
* El tercer i el quart junts expliquen la [[Retrogradació dels planetes|retrogradació]], quan un planeta sembla alentir-se i després invertir breument el seu moviment a través del zodíac. Inclinant els eixos de les dues esferes l'un respecte a l'altre i fent-los girar en direccions oposades però amb períodes iguals, Eudoxe podria fer que un punt de l'esfera interior tracés una forma de vuit, o [[Hipopede de Booth|hipopede]].

=== Importància del sistema Eudoxià ===
[[Cal·lip de Cízic]], un astrònom grec del segle IV, va afegir set esferes a les 27 originals d'Eudox (a més de les esferes planetàries, Eudox va incloure una esfera per a les estrelles fixes). Aristòtil va descriure ambdós sistemes, però va insistir a afegir esferes "desenrotllables" entre cada conjunt d'esferes per cancel·lar els moviments del conjunt exterior. Aristòtil estava preocupat per la naturalesa física del sistema; sense desenrotlladors, els moviments exteriors es transferirien als planetes interiors.

Un defecte important del sistema eudoxià és la seva incapacitat per explicar els canvis en la brillantor dels planetes vists des de la Terra. Com que les esferes són concèntriques, els planetes romandran sempre a la mateixa distància de la Terra. Aquest problema va ser assenyalat a l'Antiguitat per [[Autòlic de Pítana]]. Els astrònoms van respondre introduint el [[Epicicle|deferent i l'epicicle]], fet que va fer que un planeta variés la seva distància. No obstant això, la importància d'Eudox per a l'astronomia i en particular per a [[Astronomia de l'antiga Grècia|l'astronomia grega]] és considerable.

== Ètica ==
[[Aristòtil]], a l’''[[Ètica a Nicòmac]]'',<ref>Largely in Book Ten.</ref> atribueix a Eudox un argument a favor de l'[[hedonisme]], és a dir, que el plaer és el bé últim pel qual pretén l'activitat. Segons Aristòtil, Eudox va proposar els següents arguments per a aquesta posició:
# Totes les coses, racionals i irracionals, tenen com a objectiu el plaer; les coses apunten al que creuen que és bo; una bona indicació de quin és el bé principal seria el que apunten la majoria de les coses.
# De la mateixa manera, s'evita universalment el contrari del plaer, el dolor, la qual cosa proporciona suport addicional a la idea que el plaer es considera universalment bo.
# La gent no busca el plaer com un mitjà per a una altra cosa, sinó com un fi per dret propi.
# Qualsevol altre bé que se t'ocorre seria millor si s'hi afegia el plaer, i només amb el bé es pot augmentar el bé.
# De totes les coses que són bones, la felicitat és peculiar per no ser elogiada, cosa que pot mostrar que és la coronació del bé.<ref>This particular argument is referenced in Book One.</ref>

== Referències ==
{{Referències}}

== Enllaços externs ==
* {{MacTutor Biography|id=Eudoxus}} {{en}}
* {{ref web|cognom=Huxley|nom=G.L.|títol=Eudoxus of Cnidus|editor=Complete Dictionary of Scientific Biography|any=2008|url=https://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-thesauruses-pictures-and-press-releases/eudoxus-cnidus#2830901352|consulta= 9 febrer 2024|llengua=en}}
* {{ref web|títol=Eudoxus of Cnidus|editor=Encyclopaedia Britannica|any=2005|url=https://www.britannica.com/biography/Eudoxus-of-Cnidus|consulta= 9 febrer 2024|llengua=en}}

{{Matemàtics de l'antiga Grècia}}
{{autoritat}}

{{ORDENA:Eudox De Cnidos}}
[[Categoria:Astrònoms de l'antiga Grècia]]
[[Categoria:Cnidis]]
[[Categoria:Geòmetres de l'antiga Grècia]]
[[Categoria:Morts a Turquia]]
[[Categoria:Deixebles de Plató]]
[[Categoria:Astrònoms turcs]]
[[Categoria:Filòsofs grecs de l'antiga Àsia Menor]]
[[Categoria:Matemàtics grecs de l'antiga Àsia Menor]]
[[Categoria:Escriptors grecs de l'antiga Àsia Menor]]
[[Categoria:Persones de la província de Muğla]]