Mostra la font per a Fórmula de càlcul per a la variància

En [[teoria de la probabilitat]] i [[estadística]] l'expressió '''fórmula de càlcul per a la [[variància]] ''' Var (''X'') d'una [[variable aleatòria]] '' X '' és la fórmula

:<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - [\operatorname{E}(X)]^2\,</math>


on E (''X '') és el [[valor esperat]] de ''X''.

La identitat d'una estreta relació es pot utilitzar per calcular la variància de la mostra, que s'utilitza sovint com una estimació [[biaix (estadística)|sense biaix]] de la variància de població:

:<math>
\hat{\sigma}^2 \equiv \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2 = \frac{N}{N-1} \left(\frac{1}{N}(\sum_{i=1}^N x_i^2) - \bar{x}^2\right) 
</math>

Aquests resultats són d'ús freqüent en la pràctica per al càlcul de la variància, quan no és adequat centrar una [[variable aleatòria]], restant el seu [[valor esperat]] o per a centrar un conjunt de [[dades]] restant la [[mitjana|mitjana de la mostra]].

== Prova ==
La fórmula de càlcul per a la variància de la població segueix d'una forma directa la [[valor esperat#linealitat|linealitat dels valors esperats]] i la definició de variància:

:<math>
\begin{array}{ccl}
\operatorname{Var}(X)&=&\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}(X))^2\right]\\
 &=&\operatorname{E}\left[X^2 - 2X\operatorname{E}(X) + [\operatorname{E}(X)]^2\right]\\
 &=&\operatorname{E}(X^2) - \operatorname{E}[2X\operatorname{E}(X)] + [\operatorname{E}(X)]^2\\
 &=&\operatorname{E}(X^2) - 2\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(X) + [\operatorname{E}(X)]^2\\
 &=&\operatorname{E}(X^2) - 2[\operatorname{E}(X)]^2 + [\operatorname{E}(X)]^2\\
 &=&\operatorname{E}(X^2) - [\operatorname{E}(X)]^2
\end{array}
</math>

== Generalització de la covariància ==
Aquesta fórmula es pot generalitzar per a la [[covariància]], amb dues variables aleatòries X <sub> i </sub> i X <sub> j </sub>:

:<math>\operatorname{Cov}(X_i, X_j) = \operatorname{E}(X_iX_j) -\operatorname{E}(X_i)\operatorname{E}(X_j)</math>

així com per la [[matriu de covariància]], de dimensió ''n '' per ''m '', d'un [[vector aleatori]] de longitud '' n '':

:<math> \operatorname{Var}(\mathbf{X}) = \operatorname{E}(\mathbf{X X^\top}) - \operatorname{E}(\mathbf{X})\operatorname{E}(\mathbf{X})^\top</math>

i per a la matriu de [[covariància creuada]] de dimensió ''n '' per ''m '', ''entre '' 2 vectors aleatoris de longitud '' n '' i '' m '':
:<math>
\operatorname{Cov}(\textbf{X},\textbf{Y})=
\operatorname{E}(\mathbf{X Y^\top}) - \operatorname{E}(\mathbf{X})\operatorname{E}(\mathbf{Y})^\top</math>

on les expectatives són preses respecte als elements i 
<math>\mathbf{X}=\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}</math> and <math>\mathbf{Y}=\{Y_1,Y_2,\ldots,Y_m\}</math> són vectors aleatoris de longituds respectives '' n '' i '' m ''.

== Aplicacions ==
Les seves aplicacions en la [[geometria sistòlica]] inclouen la [[desigualtat del tor de Loewner]]

== Vegeu també ==
* [[Algorismes de càlcul per a la variància]]

== Nota ==
{{Referències}}

{{ORDENA:Formula De Calcul Per A La Variancia}}
[[Categoria:Estadística paramètrica]]