Mostra la font per a Factorió

Una '''factorió''' és un [[nombre natural]] que equival a la [[suma]] dels [[Factorial|factorials]] dels seus dígits. Per exemple, <math>145</math> és una factorió perquè <math>1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145</math>.

Només hi ha quatre factorions (en [[Nombre decimal|base 10]]) i són <math>1</math>, <math>2</math>, <math>145</math> i <math>40.585</math> {{OEIS|id=A014080}}.

«Factorió» és un terme creat per [[Clifford A. Pickover]], autor del llibre ''Keys to Infinity'', al capítol 22 del llibre titulat ''The Loneliness of Factorions'' (La solitud dels factorions).

== Límit superior (en base 10) ==
Si <math>n</math> és un nombre natural de <math>d</math> dígits que és un factorió, llavors <math>10^{d - 1} \leq n \leq 9!d </math>. Això no es manté per <math>d\geq8</math>, per tant, <math>n</math> té com a màxim set dígits, i el primer límit superior és <math>9.999.999</math>.

Però la suma màxima dels factorials dels dígits per a un número de set dígits és <math>9!\times 7 = 2.540.160 </math>, que estableix el segon límit superior.

Anar més enllà, ja que no hi ha cap número més gran que <math>2.540.160</math>, el primer dígit d'un número de set dígits pot ser com a màxim <math>2</math>. Per tant, només sis posicions poden variar entre <math>9</math> i <math>2! + 6 \times 9! = 2.177.282 </math>, que es converteix en un tercer límit superior.

Això implica que si <math>n</math> és un número de set dígits, el segon dígit és <math>0</math> o <math>1</math> o el primer dígit és <math>1</math>. Si el primer dígit és <math>2</math> i, per tant, el segon dígit és <math>0</math> o <math>1</math>, els nombres estan limitats per <math>2! +1! + 5 \times 9! = 1.814.403 </math>, una contradicció amb el primer dígit que és <math>2</math>. Així, un número de set dígits pot ser com a màxim <math>1.999.999</math>, establint el nostre quart límit superior.

Tots els factorials dels dígits, com a mínim <math>5</math>, tenen els factors <math>5</math> i <math>2</math> i, per tant, finalitzen en <math>0</math>. Fem que <math>1abcdef</math> denoti el nostre número de set dígits. Si tots els dígits <math>abcdef</math> són almenys <math>5</math>, la suma dels factorials (que se suposa que és igual a <math>1abcdef</math>) finalitzarà en <math>1</math> (que ve del <math>1</math> al principi). Aquesta és una contradicció amb la suposició que <math>f</math> sigui almenys <math>5</math>. Així, almenys un dels dígits <math>abcdef</math> pot ser com a màxim <math>4</math>, que estableix <math>1! + 4! + 5 \times 9! = 1.814.425 </math> com el cinquè límit superior.

Suposant que <math>n</math> és un nombre de set dígits, el segon dígit és com a màxim <math>8</math>. Hi ha dos casos, si <math>a</math> és almenys <math>5</math>, pel mateix argument que un dels dígits restants, <math>bf</math> ha de ser com a màxim <math>4</math>. Això implica un límit superior (ja que un és com a màxim <math>8</math>) d'<math>1! + 8! + 4! + 4 \times 9! = 1.491.865</math>, una contradicció amb un que sigui almenys <math>5</math>. Així, <math>a</math> és com a màxim <math>4</math> i el sisè límit superior és <math>1.499.999</math>.

Un [[ordinador]] pot comprovar tots els números de <math>40.585</math> a <math>1.499.999</math>, verificant que <math>40.585</math> és el factorió més gran de la base 10.

== Altres bases ==
Si la definició s'amplia per incloure altres bases, hi ha un nombre infinit de factorions. Per veure això, s'ha de tenir en compte que per a qualsevol nombre enter <math>n>3</math> els nombres <math>n! + 1</math> i <math>n! + 2</math> són factorions en base <math>(n-1)!</math>, en què es denoten les cadenes de dos dígits «n1» i «n2». Per exemple, 25 i 26 són factorions a la base 6, en què es denoten per 41<sub>(6)</sub> i 42<sub>(6)</sub>; 121 i 122 són factoions en la base 24, en què es denoten per 51<sub>(24)</sub> i 52<sub>(24)</sub>.

Per a <math>n>2</math>, <math>n! + 1</math> també és un factorió a la base <math>n! - n + 1</math>, en què es denota mitjançant la cadena de 2 dígits «1n». Per exemple, 25 és una factorió en la base 21, en què es denota 14<sub>(21)</sub>; 121 és una factorió en la base 116, en la qual es denota 15<sub>(116)</sub>.

Tots els enters positius són factorions en la base 1. <math>1</math> i <math>2</math> són factorions en cada base.

La següent taula recull tots els factorions en bases fins a la [[Sistema hexadecimal|base 16]]. {{OEIS|id=A193163}}
{| class="wikitable centre"
! |Base
! |Nombre màxim de dígits
! |Factorions ''<small>(en base n)</small>''
|-
|1
|Tots els nombres enters positius
|1, 11, 111, 1111,...
|-----
| [[Base 2|2]]
| 2
| 1, 10
|-----
| 3
| 2
| 1, 2
|-----
| 4
| 3
| 1, 2, 13
|-----
| 5
| 3
| 1, 2, 144
|-----
| 6
| 4
| 1, 2, 41, 42
|-----
| 7
| 5
| 1, 2
|-----
| 8
| 5
| 1, 2
|-----
| 9
| 6
| 1, 2, 62558
|-----
| style="background: yellow|[[Base 10|10]]
| style="background: yellow|7
| style="background: yellow|1, 2, 145, 40585
|-----
| 11
| 8
| 1, 2, 24, 44, 28453
|-----
| 12
| 8
| 1, 2
|-----
| 13
| 9
| 1, 2, 83790C5B
|-----
| 14
| 10
| 1, 2, 8B0DD409C
|-----
| 15
| 11
| 1, 2, 661, 662
|-
| [[Base16|16]]
| 11
| 1, 2, 260F3B66BF9
|+
|}

== Referències ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Factorion.html Factorió a Wolfram MathWorld] {{en}}

== Bibliografia ==
* {{ref-llibre|nom=George D |cognom=Poole |títol=Integers and the Sum of the Factorials of Their Digits |editorial=Mathematics Magazine |volum=44 |data=Novembre de 1971 |pàgina=278-279 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre|nom=Martin |cognom=Gadner |títol=Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American |lloc=Nova York |editorial=Vintage |any=1978 |pàgina=Capítol 4: Factorial Oddities |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre|nom=Joseph S |cognom=Madachy |títol=Madachy's Mathematical Recreations |lloc=Nova York, Dover |any=1979 |pàgina=167 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre|nom= Clifford A |cognom=Pickover |enllaçautor=Clifford A. Pickover |títol=Keys to Infinity |editorial=John Wiley & Sons |any=1995 |pàgina=Capítol 22: The Loneliness of the Factorions |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre|nom= Eric W |cognom=Weisstein |títol=Factorion |editorial=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall/CRC |any=1999 |llengua=anglès}}

{{Autoritat}}

[[Categoria:Teoria de nombres]]