Mostra la font per a Forma bilineal

Siguin <math>V \,</math> i <math>W \,</math> objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte <math>K</math> amb estructura aritmètica. Típicament <math>V \,</math> i <math>W \,</math> són dos <math>K</math>-[[mòdul]]s, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un [[anell (matemàtiques)|anell]] <math>K</math>, o dos [[espai vectorial|espais vectorials]], igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un [[cos (matemàtiques)|cos]] <math>K</math>. Una '''forma bilineal''' <math>\omega</math> és una [[Funció matemàtica|aplicació]]

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|<math>\omega: V \times W \longrightarrow K \,</math>
|-
|}

del [[producte cartesià]] dels objectes <math>V \,</math> i <math>W \,</math> a l'objecte <math>K \,</math> que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:


{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\omega(\lambda x + \mu y, z) = \lambda \omega(x, z) + \mu \omega(y, z)
\,,\quad x, y \in V \,,\quad z \in W \,,\quad \lambda, \mu \in K
\,</math>
|-
|align=center|
<math>
\omega(x, z\lambda + t\mu) = \omega(x, z)\lambda + \omega(x, t)\mu
\,,\quad x \in V \,,\quad z, t \in W \,,\quad \lambda, \mu \in K
\,</math>
|-
|}

== Notació ==
Si <math>\omega</math> és una forma bilineal i <math>x \in V</math> i <math>y \in W</math>, hom sol usar la notació

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\langle x, y \rangle_{\omega}
\,</math>
|-
|}

per expressar el valor <math>\omega(x, y)\,</math> de la forma <math>\omega\,</math> en la parella <math>(x, y)\,</math>, és a dir, <math>\langle x, y \rangle_{\omega} = \omega(x, y) \,</math> i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma <math>\omega</math> :

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\langle x, y \rangle
\,</math>
|-
|}

== Formes bilineals degenerades i no degenerades ==
Els conjunts

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
N_{V} = \left\{x \in V, \forall y \in W, \langle x, y \rangle = 0\right\}
\,,\quad
N_{W} = \left\{y \in W, \forall x \in V, \langle x, y \rangle = 0\right\}
\,</math>
|-
|}

són els '''submòduls nuls''' ('''subespais nuls''') de la forma bilineal. Si <math>N_{V} = \{0\} \,</math> i <math>N_{W} = \{0\} \,</math> aleshores la forma bilineal es diu '''no degenerada''' i '''degenerada''' en cas contrari. Si la forma és degenerada i <math>\pi_{V}: V \longrightarrow V/N_{V} \,</math> i <math>\pi_{W}: W \longrightarrow W/N_{W} \,</math> són les respectives [[projecció canònica|projeccions canòniques]], la forma bilineal

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\tilde{\omega}: V/N_{V} \times W/N_{W} \longrightarrow K
\,</math>
|-
|align=center|
<math>
\langle \pi_{V}(x), \pi_{W}(y) \rangle = \langle x, y \rangle
\,</math>
|-
|}

és no degenerada.

== Formes bilineals simètriques i alternades ==
Si <math>V = W \,</math> i <math>K \,</math> és commutatiu, té sentit definir com a '''forma bilineal simètrica''' aquella que compleix

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle
\,</math>
|-
|}

i com a '''forma bilineal alternada''' la que compleix

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\forall x \in V, \quad \langle x, x \rangle = 0 \in K
\,</math>
|-
|}

Per a una forma bilineal alternada, si <math>x, y \in V \,</math>, tenim

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\begin{align}
0 &= \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x + y \rangle + \langle y, x + y \rangle = \\
&= \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle = \\
&= \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle
\end{align}
\,</math>
|-
|}

que implica

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\langle x, y \rangle = - \langle y, x \rangle
\,</math>
|-
|}

En canvi, de l'última igualtat ''no'' es pot deduir que <math>\langle x, x \rangle = 0 \,</math>, si no és que la [[característica]] de <math>K \,</math> és diferent de 2: la condició <math>\langle x, x \rangle = 0 \,</math> és, doncs, més restrictiva que la condició <math>\langle x, y \rangle = - \langle y, x \rangle</math>.

== Matriu d'una forma bilineal ==
Si <math>V \,</math> i <math>W \,</math> són [[mòdul lliure|mòduls lliures]] finitament generats, o bé, [[espai vectorial|espais vectorials]] de [[dimensió]] finita i <math>\mathcal{B}_V = \left\{v_1, \ldots v_m \right\}</math> i <math>\mathcal{B}_W = \left\{w_1, \ldots w_n \right\}</math> en són bases respectives, una forma bilineal <math>\omega: V \times V^{\ast} \longrightarrow K \,</math> queda determinada pels <math>m \times n</math> valors

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\langle v_i, w_j \rangle_{\omega}
\,,\quad
i = 1, \ldots, m
\,,\quad
j = 1, \ldots, n
\,</math>
|-
|}

Si es disposen aquests <math>m \times n</math> valors en una matriu de <math>n</math> files i <math>m</math> columnes,

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
M = \left(\langle v_i, w_j \rangle_{\omega}\right)
\,,\quad
i = 1, \ldots, m
\,,\quad
j = 1, \ldots, n
\,</math>
|-
|}

aleshores el càlcul de <math>\langle v, w \rangle_{\omega}</math> és

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\langle v, w\rangle = w^{T} M v
\,</math>
|-
|}

on <math>w^{T}</math> és el [[matriu transposada|transposat]] de <math>w</math>, és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.

En canvi, si la matriu és de <math>m</math> files i <math>n</math> columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu <math>M</math>, el càlcul és

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\langle v, w\rangle = v^{T} M^{T} w
\,</math>
|-
|}

== Exemples ==
=== L'àrea d'un paral·lelogram ===
Sigui <math>V_2</math> l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui <math>\mathcal{B} \,</math> una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base <math>\mathcal{B} \,</math> com a unitat de mesura és una ''forma bilineal'' <math>V_2 \times V_2 \longrightarrow \mathbb{R} </math>. Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal ''alternada'', que no és altra que el [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] de dos vectors de <math>V_2</math>.

=== El producte escalar euclidià ===
El [[producte escalar]] en un [[espai euclidià]] és una ''forma bilineal simètrica''. En efecte, si escrivim el producte <math>\vec{x} \cdot \vec{y} \,</math> en la forma <math>\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle \,</math>, pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la commutativitat de <math>\mathbb{R}</math>,

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z
\,,\quad
x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z
\,</math>
|-
|align=center|
<math>
(\lambda x) \cdot y = x \cdot (\lambda y) = \lambda (x \cdot y)
\,</math>
|-
|align=center|
<math>
x \cdot y = y \cdot z
\,</math>
|-
|}

obtenim

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle 
\,,\quad
\langle x, (y + z) \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle 
\,</math>
|-
|align=center|
<math>
\langle \lambda x, y \rangle = \langle x, \lambda y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle 
\,</math>
|-
|align=center|
<math>
\langle x, y \rangle = \langle y, z \rangle
\,</math>
|-
|}

i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.

=== Còniques i quàdriques ===
Una [[quàdrica]] o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial ''n''-dimensional pels punts que anul·len un [[polinomi]] quadràtic de ''n'' variables:

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} P_{ij} x_{i} x_{j} + \sum_{k=1}^{n} Q_{k} x_{k} + R = 0
\,</math>
|-
|}

L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la ''forma bilineal simètrica'' de matriu 

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\begin{pmatrix}
P_{11} & P_{12}/2 & \ldots & P_{1n}/2 \\
P_{21}/2 & P_{22} & \ldots & P_{2n}/2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
P_{n1}/2 & P_{n2}/2 & \ldots & P_{nn}
\end{pmatrix}
\,</math>
|-
|}

obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.

=== Mòduls o espais duals ===
Si <math>V</math> és un <math>>K</math>-mòdul i <math>V^{\ast}</math> és el seu [[estructures lineals duals|mòdul dual]], l'aplicació

{| style="width:100%" border="0" cellpadding=2
|-
|align=center|
<math>
\omega: V \times V^{\ast} \longrightarrow K
\,</math>
|-
|align=center|
<math>
\langle x, \varphi \rangle_{\omega} = \langle x, \varphi \rangle
\,</math>
|-
|}

que a la parella <math>(x, \varphi)</math> li fa correspondre el valor <math>\langle x, \varphi \rangle</math> de la forma <math>\varphi</math> en l'element <math>x \in V</math> és òbviament una forma bilineal.

== Vegeu també ==
* [[Estructures lineals duals]].
* El [[producte escalar]] en un [[espai euclidià]].

{{ORDENA:Forma Bilineal}}
[[Categoria:Àlgebra lineal]]