Mostra la font per a Forma tancada

Es diu que una [[equació]] és una solució en '''forma tancada''' si resol un problema donat en termes de funcions i operacions matemàtiques triades d'un conjunt limitat i generalment acceptat. La qualificació d'una forma tancada és una cosa arbitrària, ja que depèn en gran manera del conjunt d'operacions i funcions predefinit. Per exemple, una [[sèrie matemàtica|sèrie]] (el sumatori de tots els termes d'una [[successió matemàtica|successió]] infinita) no se sol considerar forma tancada, a menys que s'inclogui en el conjunt d'operadors un operador de sumatòria d'[[infinit|infinits]] termes d'una sèrie.

Hom diu que un problema és '''tractable''' si es pot resoldre en termes d'una expressió en forma tancada.

== Exemple: arrels de polinomis ==
Les solucions de qualsevol [[equació quadràtica]] a [[coeficient]]s [[Nombre complex|complexos]] es pot expressar de forma tancada en termes d'[[Addició|addicions]], [[Subtracció|subtraccions]], [[Multiplicació|multiplicacions]], [[Divisió|divisions]] i extracció d'[[Arrel quadrada|arrels quadrades]], on cadascuna d'aquestes operacions es considera una [[funció elemental]]. Per exemple, l'equació quadràtica:
:<math>ax^2+bx+c=0,\,</math>

és tractable, perquè les seves solucions es poden expressar en forma tancada, és a dir, en termes de funcions elementals:
:<math>x={-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2a}</math>.

De manera semblant, les solucions d'equacions cúbiques i quàrtiques (de tercer i quart grau, respectivament) es poden expressar amb operacions aritmètiques, arrels quadrades i [[Arrel cúbica|arrels cúbiques]], o també es poden expressar en termes d'operacions aritmètiques i funcions trigonomètriques. Però existeixen [[Equació quíntica|equacions quíntiques]] sense solucions expressables en forma tancada emprant funcions elementals, com per exemple ''x''⁵&nbsp;− ''x'' +&nbsp;1 =&nbsp;0.

L'àrea d'estudi de les matemàtiques coneguda com a [[teoria de Galois]] tracta del fet que no existeixen expressions en forma tancada per a certs contextos, basada en l'exemple central de solucions en forma tancada per a polinomis.

== Definicions alternatives ==
Si es canvia la definició de "ben coneguda" per tal d'incloure funciona addicionals, es canvia el conjunt d'equacions que admeten una solució en forma tancada. Moltes [[Funció de distribució|funcions de distribució]] no es poden expressar en forma tancada, llevat que es considerin com a ben conegudes algunes [[Funció especial|funcions especials]] com la [[funció error]] o la [[funció gamma]]. És possible resoldre l'equació quíntica si s'hi inclouen [[Sèrie hipergeomètrica|funcions hipergeomètriques]] generals, encara que la solució és massa complicada per ser útil. Per a moltes aplicacions pràctiques en computació, és força raonable assumir que la funció gamma i altres funcions especials són ben conegudes, ja que disposen d'implementacions numèriques.

== Expressió analítica ==
Una '''expressió analítica''' (o '''expressió en forma analítica''') és una [[expressió matemàtica]] construïda emprant operacions ben conegudes que permeten un càlcul ràpid. De la mateixa manera que les expressions en forma tancada, el conjunt d'operacions ben conegudes pot variar d'acord amb el context, però sempre inclou les [[Aritmètica#Operacions|operacions aritmètiques bàsiques]] (addició, subtracció, multiplicació i divisió), exponenciació a un exponent real (la qual cosa inclou l'extracció d'[[Arrel enèsima|arrels enèsimes]], logaritmes i funcions trigonomètriques.

Tot i això, la classe de les expressions que es consideren analítiques tendeix a ser més ampli que la de les expressions en forma tancada. En particular, s'hi permet l'ús de les [[Funció especial|funcions especials]] com les [[Funció de Bessel|funcions de Bessel]] i la [[funció gamma]], i de vegades es permet també l'ús de [[Sèrie (matemàtiques)|sèries infinites]] i [[Fracció contínua|fraccions contínues]]. D'altra banda, s'acostuma a excloure la possibilitat d'emprar [[Convergència (successió matemàtica)|límits]] i [[Integració|integrals]].

Si una expressió analítica es compon de només les operacions algebraiques (addició, substracció, multiplicació, divisió, i exponenciació a un exponent racional) i constants racionals, hom diu que es tracta d'una [[expressió algebraica]].

== Comparació de diferents classes d'expressions ==
Les expressions en forma tancada són una subclasse important de les expressions analítiques, que contenen un nombre indeterminat d'aplicacions de funcions ben conegudes. Al contrari que les expressions analítiques en general, les expressions en forma tancada no inclouen les [[Sèrie (matemàtiques)|sèries infinites]] ni les [[Fracció contínua|fraccions contínues]]; tampoc no inclouen les [[Integració|integrals]] ni els [[Convergència (successió matemàtica)|límits]]. De fet, pel [[Teorema de Stone–Weierstrass]], qualsevol [[funció contínua]] es pot expressar com a límit de polinomis, de tal manera que qualsevol classe de funcions que contingui els polinomis i que sigui tancada per límits ha d'incloure necessàriament totes les funciona contínues.

De la mateixa manera, es diu que una [[equació]] o [[sistema d'equacions]] té una '''solució en forma tancada''' [[si i només si]] alments una [[Resolució d'equacions|solució]] es pot expressar en forma tancada; i es diu que té una '''solució analítica''' si i només si almenys una solució es pot expressar en forma analítica. Hi ha una diferèncie subtil entre una "''funció'' en forma tancada" i un "[[#Nombre en forma tancada|''nombre'' en forma tancada]]" segons {{harvnb|Chow|1999}}. De vegades es diu que una forma tancada o una solució analítica és una '''solució explícita'''.

{| class="navbox" style="text-align:center;"
|-
 ! style="text-align:left; padding-left:0.5em;" | {{navbar|Mathematical expressions|mini=1}}
 ! [[Expressió (matemàtiques)|Expressions aritmètiques]]
 ! [[Polinomi|Expressions polinòmiques]]
 ! [[Expressió algebraica|Expressions algebraiques]]
 ! Expressions en forma tancada
 ! [[#Expressió analítica|Expressions analítiques]]
 ! [[Expressió (matemàtiques)|Expressions matemàtiques]]
|-
! [[Constant (matemàtiques)|Constant]]
| {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Variable (matemàtiques)|Variable]]
| {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Aritmètica|Operació aritmètica elemental]]
| {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Factorial]]
| {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Exponenciació| Exponent enter]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Arrel enèsima]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Exponenciació| Exponent racional]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Exponenciació| Exponent irracional]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Logaritme]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Funció trigonomètrica]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Inverses de les funcions trigonomètriques]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Funció hiperbòlica]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Funció hiperbòlica inversa]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Funció gamma]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Funció de Bessel]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Funció especial]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Fracció contínua]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Sèrie (matemàtiques)|Sèrie infinita]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Sèrie formal de potències]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Diferencial (càlcul)|Diferencial]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Límit]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}}
|-
! [[Integració|Integral]]
| {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la no}} || {{cel·la sí}}
|-
|}

== Tractament d'expressions en forma no tancada ==
=== Transformació en expressions en forma tancada ===
L'expressió
:<math>f(x) = \sum_{i=0}^\infty {x \over 2^i}</math>

no està en forma tancada, perquè el sumatori conté un nombre infinit d'operacions. Tot i això, si se suma una sèrie geomètrica, aquesta expressió es pot deixar en forma tancada:<ref>{{ref-web|cognom=Holton|nom=Glyn|títol=Numerical Solution, Closed-Form Solution|url=http://www.riskglossary.com/link/closed_form_solution.htm|consulta=31 desembre 2012}}</ref>
:<math>f(x) = 2x</math>

=== Teoria diferencial de Galois ===
{{article principal|Teoria diferencial de Galois}}
La integral d'una expressió en forma tancada pot ser que es pugui o no expressar en forma tancada. Aquesta àrea d'estudi es coneix com a [[Teoria diferencial de Galois]], per analogia amb la teoria algebraica de Galois.

El teorems bàsic de la Teoria diferencial de Galois es deu a [[Joseph Liouville]] en les [[Dècada del 1830|dècades del 1830]] i [[Dècada del 1840|1840]], i per això es coneix com a '''[[Teorema de Liouville (àlgebra diferencial)|Teorema de Liouville]]'''.

Un exemple estàndard d'una funció elemental l'antiderivada de la qual no admet una expressió en forma tancada és:
:<math>e^{-x^2}</math>,

l'antiderivada de la qual és (llevat de constants) la [[funció error]]:
:<math>\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.</math>

=== Models matemàtics i simulació per computador ===
Les equacions o els sistemes massa complexos per admetre una expressió en forma tancada o bé solucions analítiques sovint es poden analitzar mitjançant [[Model matemàtic|models matemàtics]] i [[Simulació d'ordinador|simulació per computador]].

== Nombre en forma tancada ==
S'han suggerit tres subcossos dels nombres complexos '''C''' per il·lustrar la noció de "nombre en forma tancada"; en ordre ascendent de generalitat, són els [[Nombre EL|nombres EL]], els [[Nombre de Liouville (forma tancada)|nombres de Liouville]] i els [[Nombre elemental|nombres elementals]]. Els '''nombres de Liouville''', denotats per '''L''' (cal no confondre'ls amb els [[Nombre de Liouville|nombres de Liouville]] en el sentit d'aproximació racional) formen el [[Cos algebraicament tancat|subcòs algebraicament tancat]] més petit de '''C''' tancat per exponenciació i logaritmes (formalment, és la intersecció de tots aquests subcossos; és a dir, nombres que es poden expressar mitjançant exponenciacions i logaritmes ''explícits'', però permeten polinomis (arrels de polinomis)) explícits i ''implícits''.{{sfn|Ritt|1948|p=60}} Originalment, hom anomenava '''L''' els '''nombres elementals''', però aquest terme s'utilitza actualment per a nombres que es defineixen explícitament o implícitament en termes d'operacions algebraiques, exponenciacions i logaritmes. Una definició més restringida,{{sfn|Chow|1999|pp=441-442}} denotada per '''E''' i anomenada '''nombres EL''', és el subcòs de '''C''' més petit tancat per exponenciació i logaritmes; aquest subcòs no té per què ser algebraicament tancat, i correspon a operacions ''explícites'' de tipus algebraic, exponencial i logarítmic. "EL" significa tant "Exponencial-Logarítmic" com una abreviació d'"elemental".

El fet de discernir si un nombre està en forma tancada està relacionat amb el fet de discriminar si un nombre és [[Nombre transcendent|transcendent]]. Formalment, els nombres de Liouville i els nombres elementals contenen els [[Nombre algebraic|nombres algebraics]], i també inclouen alguns nombres transcendents, però no tots. Per altra banda, els nombres EL no contenen tots els nombres algebraics, però inclouen alguns nombres transcendents. Els nombres en forma tancada es poden estudir mitjançant la [[teoria de nombres transcendents]], de la qual el [[Teorema de Gelfond-Schneider]] n'és un resultat important, i la [[conjectura de Schanuel]] n'és un problema sense resoldre.

== Càlculs numèrics ==
De cara a les computacions numèriques, el fet que una expressió estigui en forma tancada no és, en general, necessari, ja que molts límits i integrals es poden calcular de manera eficient.

== Conversió a partir de formes numèriques ==
Existeix programari que intenta trobar expressions en forma tancada per a valors numèrics, com RIES,<ref>{{ref-web |cognom = Munafo |nom = Robert |títol = RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution |url = http://mrob.com/pub/ries/index.html |consulta = 30 abril 2012}}</ref> <tt>identify</tt> de [[Maple (programari)|Maple]]<ref>{{ref-web |títol = identify |url = http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=identify |obra = Maple Online Help |editor = Maplesoft |consulta = 30 abril 2012}}</ref> i [[SymPy]],<ref>{{ref-web |títol = Number identification |url = http://docs.sympy.org/latest/modules/mpmath/identification.html |obra = SymPy documentation |consulta = 2016-03-26 |arxiuurl = https://web.archive.org/web/20150921225440/http://docs.sympy.org/latest/modules/mpmath/identification.html |arxiudata = 2015-09-21}}</ref> Plouffe's Inverter,<ref>{{ref-web |títol = Plouffe's Inverter |url = http://pi.lacim.uqam.ca/eng/server_en.html |consulta = 30 abril 2012 |arxiuurl = https://web.archive.org/web/20120419132713/http://pi.lacim.uqam.ca/eng/server_en.html |arxiudata = 19 d’abril 2012}}</ref> i la [[Inverse Symbolic Calculator]].<ref>{{ref-web |títol = Inverse Symbolic Calculator |url = http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/ |consulta = 30 abril 2012 |arxiuurl = https://web.archive.org/web/20120329145758/http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/ |arxiudata = 29 de març 2012}}</ref>

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
* {{ref-publicació | títol = Closed Forms: What They Are and Why We Care | nom = Jonathan M. | cognom=Borwein |nom2=Richard E. |cognom2=Crandall | volum = 60 | exemplar = 1 | pàgines = 50–65 | publicació = [[Notices of the American Mathematical Society]] | data = gener 2013 | doi= 10.1090/noti936}}
* {{ref-publicació | títol = What is a Closed-Form Number? | nom = Timothy Y. | cognom = Chow | volum = 106 | exemplar = 5 | pàgines = 440–448 | jstor = 2589148 | publicació = [[American Mathematical Monthly]] |data=maig 1999|any=1999 | doi=10.2307/2589148}}
* {{ ref-llibre | títol = Integration in finite terms | cognom = Ritt | nom = Joseph F. | enllaçautor = Joseph Ritt | any = 1948}}

== Vegeu també ==
* [[Anàlisi numèrica]]
* [[Funció elemental]]
* [[Simulació d'ordinador]]

== Enllaços externs ==
* {{MathWorld | urlname = Closed-FormSolution | title = Closed-Form Solution}}

{{ORDENA:Forma Tancada}}
[[Categoria:Àlgebra]]
[[Categoria:Funcions especials]]
[[Categoria:Anàlisi matemàtica]]