Mostra la font per a Funció beta

[[Fitxer:Beta function contour plot.png|miniatura|<center>[[Isolínia]] de la funció beta</center>]]
En [[matemàtiques]], la '''funció beta''', també anomenada '''funció beta d'Euler''' o '''integral d'Euler de primera classe''', és un tipus d'[[integral d'Euler]] definida, per a dos [[Nombre complex|nombres complexos]] <math>x</math> i <math>y</math> de [[Part real|parts reals]] estrictament positives (<math>\mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0</math>), per:
<center><math> \Beta(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math></center>

La funció beta va ser estudiada per [[Leonhard Euler|Euler]] i [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], però va ser [[Jacques Philippe Marie Binet|Jacques Binet]] qui li va posar el nom; el símbol, ''Β'', és una [[beta]] majúscula [[Alfabet grec|grega]], que és semblant a la majúscula [[Alfabet llatí|llatina]] [[B]].

Es relaciona amb la [[Funció gamma|funció gamma d'Euler]].
:<math> \Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.</math>

També hi ha una versió de la funció beta incompleta (la '''funció beta incompleta)''' i una versió regularitzada de la mateixa (la '''funció beta incompleta regularitzada''').

== Definició ==
[[Fitxer:Beta function on real plane.png|miniatura|<center>Una [[Gràfica d'una funció|gràfica]] de la funció beta per a ''x'' i ''y'' positius</center>]]
Donada una funció ''f'', moltes vegades és útil expressar ''f (x +y)'' en termes de ''f (x)'' i ''f (y)''. Per exemple, per l'[[Funció exponencial|exponencial]] es té
:<math>e^{x+y} = e^x\,e^y.</math>

Aquesta anàlisi, aplicat a la funció gamma, condueix a la definició de la funció beta. Per <math>x</math> i <math>y</math>, dos nombres complexos amb les seves parts reals positives (<math>\mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0</math>), considerem el producte <math>\Gamma(x) \Gamma(y)</math>:
:<math>\Gamma(x)\,\Gamma(y) = \int_0^\infty s^{x-1}\,e^{-s}\,ds\,\int_0^\infty t^{y-1}\,e^{-t}\,dt = \int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty s^{x-1}t^{y-1}\,e^{-s-t}\,ds\,dt </math>
Per escriure aquesta [[Integral múltiple|integral doble]] en [[coordenades polars]], fem primer el canvi de variables <math>s = u^2</math> i <math>t = v^2</math>:
:<math>\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty u^{2x-1}v^{2y-1}\,e^{-(u^2+v^2)}\,du\,dv. </math>
Passant a coordenades polars <math>u = r\cos\theta</math>, <math>v=r\sin\theta</math> s'obté d'aquesta integral doble
:<math>\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\,\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}r^{2(x+y-1)}e^{-r^2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,r\,dr\,d\theta</math>
Fent <math>t = r^2</math> obtenim
:<math>\begin{align}\Gamma(x)\,\Gamma(y) &= 2\,\int_0^\infty t^{x+y-1}e^{-t}\,dt \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta)\,d\theta\\
&= 2\Gamma(x+y)\int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta
\end{align}</math>
Definint la funció beta
<blockquote style="padding: 1em; border: 1px solid #ccc; text-align:center;">
<math>\Beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta,</math>
</blockquote>
s'obté
:<math>\Gamma(x)\Gamma(y) = \Gamma(x+y)\,\Beta(x,y).</math>

== Propietats ==
La funció beta és [[Funció simètrica|simètrica]], el que significa que{{sfn|Davis|1972|p=258}}
:<math> \Beta(x,y) = \Beta(y,x).</math>

Una propietat fonamental de la funció beta és la seva relació amb la funció gamma; la prova es dona a continuació, en la secció sobre la relació entre la funció gamma i funció beta{{sfn|Davis|1972|p=258}}
:<math> \Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.</math>

Quan <math>x</math> i <math>y</math> són [[Nombre enter|nombres enters]] [[Nombre positiu|positius]], es desprèn de la definició de la funció gamma Γ que:{{sfn|Davis|1972|p=258}}
:<math>\begin{align}
\Beta(x,y)&=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!} \\[6pt]
\Beta(x,y) &= 2\int_0^{\pi / 2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta, && \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0 \\[6pt]
\Beta(x,y) &= \int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, && \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0 \\[6pt]
\Beta(x,y) &= \sum_{n=0}^\infty \frac\binom{n-y}{n} {x+n}, \\[6pt]
\Beta(x,y) &= \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left(1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\end{align}</math>

La funció beta satisfà diverses identitats interessants, incloent:
:<math>\begin{align}
&\Beta(x,y) = \Beta(x, y+1) + \Beta(x+1, y), \\[6pt]
&\Beta(x+1,y) = \Beta(x, y) \cdot \dfrac{x}{x+y}, \\[6pt]
&\Beta(x,y+1) = \Beta(x, y) \cdot \dfrac{y}{x+y}, \\[6pt]
&\Beta(x,1-x) =\frac{\pi}{\sin(\pi x)}, \quad x\not\in \mathbb Z, \\ [6pt]
&\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \frac{\pi}{x \sin(\pi y)},\\ [6pt]
&\Beta(x,y) \cdot\left(t \mapsto t_+^{x+y-1}\right) = \Big(t \to t_+^{x-1}\Big)
* \Big(t \to t_+^{y-1}\Big),\quad x\ge 1, y\ge 1.
\end{align}</math>
<!-- :<math> \Beta(x,y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{y^{n+1}}{n!(x+n)}</math> -->
on {{math|''t'' ↦ ''t''{{su|b=+|p=''x''}}}} és la [[funció exponencial truncada]], i <math>*</math> designa la [[convolució]].

La identitat relativa a <math>\Beta(x,1-x)</math> mostra en particular que <math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>. Algunes d'aquestes identitats, per exemple la fórmula [[Trigonometria|trigonomètrica]], es pot aplicar al [[Derivada|derivar]] el [[volum d'una n-esfera]] en [[Sistema de coordenades cartesianes|coordenades cartesianes]].

La integral d'Euler integral de la funció beta pot ser convertida en una integral {{mvar|C}} sobre el [[contorn de Pochhammer]] com
:<math>\left(1-e^{2\pi i\alpha}\right)\left(1-e^{2\pi i\beta}\right)\Beta(\alpha,\beta) =\int_C t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} \, dt.</math>

Aquesta integral del contorn de Pochhammer convergeix per a tots els valors de ''α'' i ''β'', i així dona la [[continuació analítica]] de la funció beta.

De la mateixa manera que la funció gamma per a enters descriu [[Factorial|factorials]], la funció beta pot definir un [[coeficient binomial]] després d'ajustar els índexs:
:<math>\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}.</math>

Si <math>x</math> i ''y'' són nombres enters positius, aquesta equació pot reescriure en termes de factorials o coeficient binomial:
:<math>\frac{x+y}{xy\Beta(x,y)}=\frac{(x+y)!}{x!~y!}={x+y\choose x}.</math>

D'altra banda, per al sencer ''n'', ''Β'' pot ser un factor per donar una forma tancada, una funció d'interpolació per a valors continus de ''k'':
:<math>\binom{n}{k} = (-1)^n\, n! \cdot\frac{\sin (\pi k)}{\pi \displaystyle\prod_{i=0}^n (k-i)}.</math>

Si <math>x</math> i <math>y</math> són [[Nombre racional|racionals]] i si <math>x</math> o <math>y</math>, o <math>x</math> ''+'' <math>y</math> no són nombres enters, llavors ''Β (x, y)'' és un [[nombre transcendent]].{{sfn|Schneider|1941|p=110-128}}

La funció beta va ser la primera [[Matriu S|amplitud de dispersió]] coneguda en la [[teoria de cordes]], conjecturada per primera vegada per [[Gabriele Veneziano]]. També es presenta en la teoria del procés de [[connexió preferencial]], un tipus de [[Problema d'urna|procés d'urna]] estocàstic.

== Relació entre la funció gamma i funció beta ==
Una simple derivació de la relació es pot trobar en el llibre d'Emil Artin ''The Gamma Function'', pàgina 18-19.<ref>{{ref-llibre|cognom1=Artin|nom1=Emil|títol=The Gamma Function|pàgines=18–19|url=http://www.plouffe.fr/simon/math/Artin%20E.%20The%20Gamma%20Function%20(1931)(23s).pdf|consulta=2017-02-25|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20161112081854/http://www.plouffe.fr/simon/math/Artin%20E.%20The%20Gamma%20Function%20(1931)(23s).pdf|arxiudata=2016-11-12}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161112081854/http://www.plouffe.fr/simon/math/Artin%20E.%20The%20Gamma%20Function%20(1931)(23s).pdf |date=2016-11-12 }}</ref>

Per a derivar la representació integral de la funció beta, s'escriu el producte de dos factorials com
:<math>\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) &= \int_{u=0}^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \cdot\int_{v=0}^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv \\[6pt]
 &=\int_{v=0}^\infty\int_{u=0}^\infty\ e^{-u-v} u^{x-1}v^{y-1}\,du \,dv.
\end{align}</math>

Canviant les variables {{math|''u'' {{=}} ''f''(''z'',''t'') {{=}} ''zt''}} i {{math|''v'' {{=}} ''g''(''z'',''t'') {{=}} ''z''(1 − ''t'')}}, mostra que això és
:<math>\begin{align}
\Gamma(x)\Gamma(y) &= \int_{z=0}^\infty\int_{t=0}^1 e^{-z} (zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}\big|J(z,t)\big|\,dt \,dz \\[6pt]
 &= \int_{z=0}^\infty\int_{t=0}^1 e^{-z} (zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt \,dz \\[6pt]
 &= \int_{z=0}^\infty e^{-z}z^{x+y-1} \,dz\cdot\int_{t=0}^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\\
 &=\Gamma(x+y)\,\Beta(x,y),
\end{align}</math>

on ''|J(z,t)|'' és el [[valor absolut]] del [[Jacobià|determinant jacobià]] de {{math|''u'' {{=}} ''f''(''z'',''t'')}} i {{math|''v'' {{=}} ''g''(''z'',''t'')}}.

La identitat indicada pot ser vista com un cas particular de la identitat de la [[Convolució|integral d'una convolució]]. Prenent
:<math>\begin{align}f(u)&:=e^{-u} u^{x-1} 1_{\R_+} \\ g(u)&:=e^{-u} u^{y-1} 1_{\R_+}, \end{align}</math>

s'obté
:<math> \Gamma(x) \Gamma(y) = \int_{\R}f(u)\,du\cdot \int_{\R} g(u) \,du = \int_{\R}(f*g)(u)\,du =\Beta(x, y)\,\Gamma(x+y).</math>

== Derivades ==
Tenim
:<math>\frac{\partial}{\partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left(\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} - \frac{\Gamma'(x + y)}{\Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) \big(\psi(x) - \psi(x + y)\big),</math>
on {{math|''ψ''(''x'')}} és la [[funció digamma]].

== Integrals ==
La [[integral de Nørlund-Rice]] és una [[Integral curvilínia|integral de contorn]] que conté la funció beta.
:<math>\sum_{k=\alpha}^n {n \choose k} (-1)^{k} f(k) = 
-\frac{1}{2\pi i}
\oint_\gamma B(n+1, -z) f(z)\, \mathrm{d}z</math>

== Aproximació ==
L'[[aproximació de Stirling]] dona la [[fórmula asimptòtica]]
:<math>\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{x^{x - 1/2} y^{y - 1/2} }{({x + y})^{x + y - 1/2} }</math>

per a <math>x</math> i <math>y</math> grans. Si per contra <math>x</math> és gran i <math>y</math> és fixa, llavors
:<math>\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.</math>

== La funció beta incompleta ==
La '''funció beta incompleta''', una generalització de la funció beta, es defineix com
:<math> \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. </math>

Per ''x = 1'', la funció beta incompleta coincideix amb la funció beta completa. La relació entre les dues funcions és com la que hi ha entre la funció gamma i la seva generalització de la funció gamma incompleta.

La '''funció beta incompleta regularitzada''' (o funció beta regularitzada per abreujar) es defineix en termes de la funció beta incompleta i la funció beta completa:
:<math> I_x(a,b) = \frac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. </math>

La funció beta incompleta regularitzada és la [[funció de distribució acumulativa]] de la [[distribució Beta]], i es relaciona amb la funció de distribució acumulativa d'una [[variable aleatòria]] ''X'' d'una [[distribució binomial]], on la «probabilitat d'èxit» és ''p'' i la mida de la mostra és ''n'':
:<math>F(k;\,n,p) = \Pr\left(X \le k\right) = I_{1-p}(n-k, k+1) = 1 - I_p(k+1,n-k). </math>

=== Propietats ===
:<math>\begin{align}
I_0(a,b) &= 0 \\
I_1(a,b) &= 1 \\
I_x(a,1) &= x^a \\
I_x(1,b) &= 1 - (1-x)^b \\
I_x(a,b) &= 1 - I_{1-x}(b,a) \\
I_x(a+1,b) &= I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x)^b}{a \Beta(a,b)} \\
I_x(a,b+1) &= I_x(a,b)+\frac{x^a(1-x)^b}{b \Beta(a,b)}
\end{align}</math>

== Funció beta multivariable ==
La funció beta es pot estendre a una funció amb més de dos arguments:
:<math>\Beta(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n) = \frac{\Gamma(\alpha_1)\,\Gamma(\alpha_2) \cdots \Gamma(\alpha_n)}{\Gamma(\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n)} .</math>

Aquesta funció beta multivariable s'utilitza en la definició de la [[distribució de Dirichlet]].

== Implementació al programari ==
Fins i tot si no estan disponibles directament, els valors de la funció beta completa i incompleta es poden calcular utilitzant les funcions que se solen incloure en els sistemes de [[Full de càlcul|fulls de càlcul]] o [[àlgebra computacional]]. Per exemple, en [[Microsoft Excel|Excel]], el valor de la funció beta completa es pot calcular a partir de la funció<code>GammaLn</code>:
:<code>Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))</code>
El valor de la funció beta incompleta es pot calcular com:
:<code>Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))</code>.
Aquests resultats es dedueixen de les propietats esmentades anteriorment.

De la mateixa manera, <code>betainc</code> (funció beta incompleta) en [[MATLAB]] and [[GNU Octave]], <code>pbeta</code> (probabilitat de distribució beta) en [[R (llenguatge de programació)|R]], o <code>special.betainc</code> en paquet [[SciPy]] de [[Python]], calcula la funció beta incompleta, que és de fet, la distribució beta acumulativa regularitzada i així, per obtenir la funció beta incompleta real, cal multiplicar el resultat de <code>betainc</code> pel resultat retornat per la funció <code>beta</code> corresponent.

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
{{Div col|cols=2}}
* {{Ref-llibre |cognom=Askey |nom=R. A |cognom2=Roy |nom2=R |títol=Beta function (en ''Handbook of Mathematical Functions'')|llengua=anglès |editorial=Cambridge University Press |lloc=Nova York |data=2010 |isbn=978-0521192255}}
* {{Ref-llibre |cognom=Davis |nom=Philip J |títol=Gamma function and related functions (en ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'') |llengua=anglès |editorial=Cambridge University Press |lloc=Nova York |url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm |data=1972 |isbn=978-0-486-61272-0}}
* {{Ref-llibre |cognom=Paris |nom=R. B |títol=Incomplete beta functions (en ''Handbook of Mathematical Functions'')|llengua=anglès |editorial=Cambridge University Press |lloc=Nova York |data=2010 |isbn=978-0521192255}}
* {{Ref-llibre |cognom=Press |nom=W. H |cognom2=Teukolsky |nom2=SA |cognom3=Vetterling |nom3=WT |cognom4=Flannery |nom4=BP |títol=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |capítol=Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials |urlcapítol=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=256 |llengua=anglès |editorial=Cambridge University Press |lloc=Nova York |data=2007 |isbn=978-0-521-88068-8}}
* {{Ref-llibre |cognom=Schneider |nom=Theodor |enllaçautor=Theodor Schneider|títol=Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale |llengua=alemany |editorial=Journal für die reine und angewandte Mathematik, 128 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0183&DMDID=dmdlog12}}
* {{Ref-llibre |cognom=Zelen |nom=M |cognom2=Severo |nom2=N. C |títol=Probability functions (en ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'')|llengua=anglès |editorial=Dover Publications |data=1972 |isbn=978-0-486-61272-0| pàgina=925–995}}
{{Div col end}}

== Vegeu també ==
* [[Distribució beta]]
* [[Distribució binomial]]
* [[Distribució binomial negativa]]
* [[Distribució de Dirichlet]]
* [[Distribució uniforme contínua]]
* [[Funció gamma]]

== Enllaços externs ==
* {{springer|title=Beta-function|id=p/b015960}}
* {{planetmath reference|id=6206|title=Evaluation of beta function using Laplace transform}}
* Arbitràriament es poden obtenir valors exactes a partir de: [http://functions.wolfram.com The Wolfram Functions Site]: [http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=BetaRegularized Evaluate Beta Regularized Incomplete beta]

{{Autoritat}}

[[Categoria:Funcions especials]]