Mostra la font per a Funció cúbica

{{Millorar traducció|data=2016|Traducció automàtica amb el Content Translator, sense revisar}}
[[Fitxer:Polynomialdeg3.svg|miniatura|Gràfica d'una funció cúbica amb 3 [[Arrel d'una funció|arrels]] [[Nombre real|reals]] (on la corba travessa l'eix horitzontal—on ''y'' = 0). El cas mostrat té dos [[Punt crític (matemàtiques)|punts crítics.]] Aquí la funció és ƒ(x)&nbsp;= (x3 +&nbsp;3x2 −&nbsp;6x&nbsp;&#x2212;&nbsp;8)&nbsp;/&nbsp;4.]]
En l'[[àlgebra]], una '''funció cúbica''' és una [[funció]] de la forma
: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\,</math>
On a és nonzero. En altres paraules, una funció cúbica és definida per un [[polinomi]] de [[Grau d'un polinomi|grau]] tres.

Enquadrament ƒ(x)&nbsp;=&nbsp;0 productes una '''equació cúbica''' de la forma:
: <math>ax^3+bx^2+cx+d=0.\,</math>
Normalment, els [[Coeficient|coeficients]] ''a'', ''b'', c, ''d'' és nombres reals. Tanmateix molt de la teoria d'equacions cúbiques de veritat els coeficients aplica a altres tipus de coeficients (com complex uns).<ref>Exceptions include [[Cos (matemàtiques)|fields]] of [[Característica|characteristic]] 2 and&nbsp;3.</ref>

Solucionant l'equació cúbica és equivalent a trobar el valor particular (o valors) de ''x'' per quin ƒ(x)&nbsp;=&nbsp;0. Hi ha diversos mètodes per solucionar equacions cúbiques. Les solucions d'una equació cúbica, també va cridar [[Arrel d'una funció|arrels]] de la funció cúbica, sempre pot ser trobat [[Funció algebraica|algebraicament]]. (Això és també cert d'un segon grau o un quartic (quart grau) equació, però cap equació de grau alt, per l'Abel–Ruffini teorema). Les arrels també poden ser trobades [[Trigonometria|trigonomètricament.]]&nbsp;Alternativament, es pot trobar una aproximació numèrica de les arrels en el camp dels nombres reals o complexos, com ara mitjançant l'ús d'algoritmes de recerca d'arrel com el mètode de Newton.

== Història ==
Les equacions cúbiques van ser sabudes als babilonis antics, grecs, Xinès, Indis, i Egipcis.<ref>British Museum BM 85200</ref><ref name="oxf">{{ref-llibre|cognom=Crossley|nom=John|cognom2=W.-C. Lun|nom2=Anthony|títol=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary|url=http://books.google.cat/?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA176|any=1999|editorial=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853936-0|pàgina=176}}</ref><ref name="wae">Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 {{ISBN|0-387-12159-5}}</ref> [[Babilònia|Babiloni]] (20è a 16è BC de segles) les pastilles cuneïformes han estat trobades amb taules per calcular cubs i arrels de cub.<ref>{{ref-llibre|cognom=Cooke|nom=Roger|títol=The History of Mathematics|url=http://books.google.cat/?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63|data= 8 novembre 2012|editorial=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-46029-0|pàgina=63}}</ref><ref name="nen">{{ref-llibre|cognom=Nemet-Nejat|nom=Karen Rhea|títol=Daily Life in Ancient Mesopotamia|url=http://books.google.cat/?id=lbmXsaTGNKUC&pg=PA306|any=1998|editorial=Greenwood Publishing Group|isbn=978-0-313-29497-6|pàgina=306}}</ref> Els babilonis podrien haver-hi utilitzat les taules per solucionar equacions cúbiques, però cap evidència existeix per confirmar que van fer.<ref name="co">{{ref-llibre|cognom=Cooke|nom=Roger|títol=Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses|url=http://books.google.cat/?id=JG-skeT1eWAC&pg=PA64|any=2008|editorial=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-27797-3|pàgina=64}}</ref> El problema de [[Duplicació del cub|doblar el cub]] implica el més senzill i equació cúbica estudiada més vella, i un per quins els egipcis antics no van creure una solució va existir.<ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=8}} states that "the Egyptians considered the solution impossible, but the Greeks came nearer to a solution."</ref> En el {{segle|V|-}}, [[Hipòcrates de Quios|Hippocrates]] va reduir aquest problema a allò de trobar dos roí proportionals entre un ratlla i un altre de dues vegades la seva longitud, però no podria solucionar això amb un [[Construcció amb regle i compàs|compàs i construcció de regla]], una tasca que és ara sabut per ser impossible.<ref name="Guilbeau">{{Harvtxt|Guilbeau|1930|pp=8–9}}</ref> Mètodes per solucionar les equacions cúbiques apareixen en ''[[Els nou capítols de les arts matemàtiques|Els Nou Capítols en l'Art Matemàtic]]'', un text matemàtic xinès compilat al voltant del {{segle|II|-}} i comentat damunt per [[Liu Hui]] en el {{segle|III}}.<ref name="oxf">{{ref-llibre|cognom=Crossley|nom=John|cognom2=W.-C. Lun|nom2=Anthony|títol=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary|url=http://books.google.cat/?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA176|any=1999|editorial=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853936-0|pàgina=176}}</ref> En el {{segle|III}}, el matemàtic [[Matemàtiques de l'antiga Grècia|grec antic]] [[Diofant d'Alexandria|Diophantus]] enter trobat o solucions racionals per algun bivariate equacions cúbiques (Diophantine equacions).<ref name="wae">Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 {{ISBN|0-387-12159-5}}</ref><ref>{{ref-llibre|títol=Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra|cognom=Heath|nom=Thomas L.|enllaçautor=Thomas_Little_Heath|pàgines=87–91|url=https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala|data= 30 abril 2009|isbn=978-1578987542|editorial=Martino Pub}}</ref> [[Hipòcrates de Quios|Hippocrates]], [[Menecme|Menaechmus]] i [[Arquimedes|Archimedes]] és cregut per tenir apropat a solucionar el problema de doblar el cub que utilitza encreuant [[Cònica|conic seccions]], encara que historiadors com Reviel Netz disputa si els grecs pensaven sobre equacions cúbiques o problemes justs que poden dirigir a equacions cúbiques.<ref name="Guilbeau">{{Harvtxt|Guilbeau|1930|pp=8–9}}</ref> Alguns altres com T. L. Heath, qui va traduir tot les feines d'[[Arquimedes|Archimedes]], discrepa, posant endavant evidència que Archimedes realment les equacions cúbiques solucionades que utilitzen interseccions de dos [[Con|cons]], però també parlat les condicions on les [[Arrel (botànica)|arrels]] són 0, 1 o 2.<ref>{{ref-llibre|títol=The works of Archimedes|autor=Archimedes|enllaçautor=Archimedes|others=Translation by T. L. Heath|data= 8 octubre 2007|isbn=978-1603860512|editorial=Rough Draft Printing}}</ref>
[[Fitxer:Graph_of_cubic_polynomial.svg|miniatura|esquerra|gràfic de dues dimensions d'un cúbic, el [[polinomi]] ƒ(x) = ²x3 −&nbsp;3x2 &#x2212;&nbsp;3x&nbsp;+&nbsp;2.]]
En el {{segle|VII}}, a dinastia Tang astrònom matemàtic Wang Xiaotong en el seu tractat matemàtic titulat Jigu Suanjing&nbsp;sistemàticament establert i va solucionar 25 equacions cúbiques de la forma, 23 d'ells amb, i dos d'ells amb .<math>x^3+px^2+qx=N</math><math>p,q \ne 0</math><math>q = 0</math><ref>{{citar ref|nom=Yoshio|cognom=Mikami|enllaçautor=Yoshio Mikami|títol=The Development of Mathematics in China and Japan|capítol=Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations|pàgines=53–56|editorial=Chelsea Publishing Co.|lloc=Nova York|any=1974|edició=2a edició|any original=1913|isbn=978-0-8284-0149-4}}</ref>

En el {{segle|XI}}, el poeta persa-matemàtic, [[Omar Khayyam|Omar Khayyám]] (1048–1131), va fer progrés significatiu en la teoria d'equacions cúbiques. En un paper primerenc, va descobrir que una equació cúbica pot tenir més d'una solució i va declarar que no pugui ser solucionat utilitzant compàs i construccions de regla. Ell també trobat una [[solució geomètrica]].<ref>A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337</ref><ref>In {{MacTutor|id=Khayyam|title=Omar Khayyam}} one may read ''This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation'' ''x''<sup>3</sup> + 200''x'' = 20''x''² + 2000 ''and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. ''</ref> En la seva feina més tardana, el ''Treatise damunt Manifestació de Problemes d'Àlgebra'', va escriure una classificació completa d'equacions cúbiques amb les solucions geomètriques generals trobades mitjançant encreuar [[Cònica|l]]<nowiki/>es seccions còniques.<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html Omar Khayyam], MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."</ref><ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=9}} states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."</ref>

En el {{segle|XII}}, el matemàtic indi Bhaskara II va intentar la solució d'equacions cúbiques sense èxit general. Tanmateix, va donar un exemple d'una equació cúbica:<ref>Datta and Singh, History of Hindu Mathematics, p. 76,Equation of Higher Degree; Bharattya Kala Prakashan, Delhi, India 2004 {{ISBN|81-86050-86-8}}</ref>
: <math>x^3+12x=6x^2+35 \, </math>
En el {{segle|XII}}, un altre matemàtic persa, [[Xàraf-ad-Din at-Tussí|Sharaf al-Dīn al-Tūsī]] (1135–1213), va escriure l'Al-Mu'adalat (''Treatise en Equacions''), el qual va tractar vuit tipus d'equacions cúbiques amb solucions positives i cinc tipus d'equacions cúbiques que no poden tenir solucions positives. Va utilitzar el que més tard seria sabut com el "Ruffini-Horner mètode" a [[Anàlisi numèrica|numèricament]] aproximar l'arrel d'una equació cúbica. Ell també desenvolupat els conceptes d'una funció [[derivada]] i els [[màxims i mínims]] de corbes per tal de solucionar equacions cúbiques que no poden tenir solucions positives.<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> Va entendre la importància del [[discriminant]] de l'equació cúbica per trobar solucions algebraiques a tipus segurs d'equacions cúbiques.<ref>{{citar ref|nom=J. L.|cognom=Berggren|any=1990|títol=Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat|publicació=Journal of the American Oriental Society|volum=110|exemplar=2|pàgines=304–309|doi=10.2307/604533}}</ref>

Leonardo de Pisa, també conegut com a [[Leonardo de Pisa|Fibonacci]] (1170–1250), era capaç a de prop aproximar la solució positiva a l'equació cúbica x3 +&nbsp;2x2 +&nbsp;10x&nbsp;=&nbsp;20, utilitzant els [[Numeració babilònica|nombres babilònics.]] Va donar el resultat mentre 1,22,7,42,33,4,40 (equivalent a 1 +&nbsp;22/60 +&nbsp;7/602 +&nbsp;42/603 +&nbsp;33/604 +&nbsp;4/605 +&nbsp;40/606), el qual difereix del valor correcte per únic aproximadament tres trillionths.<ref>{{citar ref|títol=The life and numbers of Fibonacci|url=http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html|magazine=Plus Magazine|authors=R. N. Knott and the Plus Team|data= 4 novembre 2013}}</ref>

En el {{segle|XVI}} primerenc, el matemàtic italià [[Scipione del Ferro]] (1465–1526) trobat un mètode per solucionar una classe d'equacions cúbiques, és a dir aquells de la forma x3 + ''mx'' = n. De fet, tot les equacio''n''s cúbiques poden ser reduïdes a aquesta for''m''a si permetem m i n per ser negatiu, però els [[Nombre negatiu|nombres negatius]] no van ser sabuts a ell en aquell temps. Del Ferro va mantenir el seu secret de consecució fins a just abans de la seva mort, quan va dir el seu estudiant Antonio Fiore aproximadament el.
[[Fitxer:Niccolò_Tartaglia.jpg|miniatura|Niccolò Fontana Tartaglia]]
En 1530, [[Niccolo Fontana Tartaglia|Niccolò Tartaglia]] (1500–1557) va rebre dos problemes en equacions cúbiques de Zuanne da Coi i va anunciar que els podria solucionar. Sigui aviat desafiat per Fiore, el qual va dirigir a una competició famosa entre el dos. Cadascú contestant va haver de cap amunt d'una quantitat segura de diners i per proposar un nombre de problemes pel seu rival de solucionar. Qui sigui va solucionar més problemes dins 30 dies aconseguirien tots els diners. Tartaglia Va rebre qüestio''n''s en la forma x3 + ''mx'' = n, per quin hi hagi sortit un mètode general. Fiore va rebre qüestio''n''s en la forma x3 + mx2 = n, el qual va provar per ser massa difícil per ell per solucionar, i Tartaglia va guanyar la competició.

Més tard, Tartaglia va ser persuadit per [[Girolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (1501–1576) per revelar el seu secret per solucionar equacions cúbiques. Dins 1539, Tartaglia va fer tan només en la condició que Cardano mai el revelaria i que si va escriure un llibre sobre cubics, doni Tartaglia temps per publicar. Alguns anys més tard, Cardano va aprendre aproximadament la feina prèvia de Ferro i va publicar el mètode de Ferro en el seu llibre ''Ars Magna'' dins 1545, significat Cardano va donar Tartaglia 6 anys per publicar els seus resultats (amb abonar donat a Tartaglia per una solució independent). Cardano promesa amb Tartaglia va declarar que no publiqui Tartaglia feina, i Cardano sentia publiqui del Ferro és, a fi d'aconseguir al voltant de la promesa. No obstant això, aquest dirigit a un repte a Cardano per Tartaglia, el qual Cardano va negar. El repte era finalment acceptat per Cardano estudiant [[Lodovico Ferrari]] (1522–1565). Ferrari més ben que Tartaglia en la competència, i Tartaglia va perdre tots dos el seu prestigi i ingrés.<ref>{{ref-llibre|cognom=Katz|nom=Victor|títol=A History of Mathematics|pàgina=220|lloc=Boston|editorial=Addison Wesley|any=2004|isbn=9780321016188}}</ref>

Cardano Va notar que Tartaglia el mètode de vegades li va requerir per extreure l'arrel quadrada d'un nombre negatiu. Ell fins i tot inclòs un càlcul amb aquests [[Nombre complex|nombres complexos]] en ''Ars Magna'', però no realment l'entengui. Rafael Bombelli va estudiar aquest tema en detall i, per tant, sovint es considera com el descobridor dels nombres complexos.

[[François Viète]] (1540–1603) independentment derivat la solució trigonomètrica pel cúbic amb tres arrels reals, i [[René Descartes]] (1596–1650) va estendre la feina de Viète.<ref name="Nickalls">{{citar ref|cognom=Nickalls|nom=R. W. D.|títol=Viète, Descartes and the cubic equation|url=http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/descartes2006.pdf|publicació=[[Mathematical Gazette]]|volum=90|data= juliol 2006|pàgines=203-208}}</ref>

== Punts crítics d'una funció cúbica ==
Els [[Punt crític (matemàtiques)|punts crítics]] d'una equació cúbica són aquells valors de ''x'' on el pendent de la funció cúbica és zero. Són trobats per posar [[Derivada|derivat]] de l'igual d'equa''c''ió cúbic a zero obtenint: ''f'' ′(x)&nbsp;= 3ax2 +&nbsp;2bx&nbsp;+&nbsp;c = 0. Les solucions d'aquella equació són els punts crítics de l'equació cúbica i és donat per: (utilitzant la fórmula quadràtica)
: <math style="vertical-align:-70%;">x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac}}{3a}.</math>
Si b2 &#x2212;&nbsp;3ac&nbsp;&#x3E;&nbsp;0, llavors la funció cúbica té un màxim local i un [[Màxims i mínims|mínim local.]] Si b2 &#x2212;&nbsp;3ac&nbsp;=&nbsp;0, llavors el cúbic [[punt d'inflexió]] és el punt crític únic. Si b2 &#x2212;&nbsp;3ac&nbsp;&#x3C;&nbsp;0, llavors no hi ha cap punt crític. En els casos on b2 &#x2212;&nbsp;3ac&nbsp;≤&nbsp;0, la funció cúbica és estrictament [[Funció monòtona|monotonic]].

== Arrels d'una funció cúbica ==
L'equació cúbica general té la forma
: <math>ax^3+bx^2+cx+d=0 \qquad(1)</math>
&nbsp;Amb&nbsp;<math>a\neq 0\,.</math>

Aquesta secció descriu com les arrels de tal una equació poden ser computades. Els ''c''oeficients ''un'', ''b'', c, ''d'' és generalment assumit per ser [[Nombre real|nombres reals]], però la majoria dels resultats apliquen quan pertanyen a qualsevol [[Cos (matemàtiques)|camp]] de [[Característica|característic]] no 2 o 3.

=== La naturalesa de les arrels ===
Cada equació cúbica (1) amb els coeficients reals ha com a mínim una solució ''x'' entre els nombres [[Nombre real|reals]]; això és una conseqüència del [[Teorema del valor intermedi|teorema de valor intermedi.]] Podem distingir diversos casos possibles que utilitzen el [[discriminant]],
:: <math> \Delta = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2. \,</math>
La necessitat de casos següent per ser considerat:<ref>{{citar ref|títol=Integers, polynomials, and rings|nom1=Ronald S.|cognom1=Irving|editorial=Springer-Verlag New York, Inc.|any=2004|isbn=0-387-40397-3|url=http://books.google.cat/?id=B4k6ltaxm5YC}}, [http://books.google.cat/?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 Chapter 10 ex 10.14.4 and 10.17.4, pp. 154–156]</ref>
* Si Δ > 0, llavors l'equació té tres arrels reals distintes.
* Si Δ = 0, llavors l'equació té una [[Multiplicitat|arrel múltiple]] i totes les seves arrels són reals.
* Si Δ < 0, llavors l'equació té un arrel real i dos nonreal complex conjugate arrels.
''Per informació sobre la ubicació en l'avió complex de les arrels d'un polinomi de qualsevol grau, incloent grau tres, veure Propietats d'arrels polinòmiques i [[criteri d'estabilitat de Routh-Hurwitz]]''

=== Fórmula general per arrels ===
Per l'equació cúbica general
: <math>a x^3 + b x^2 + c x + d = 0</math>
La fórmula general per les arrels, en termes dels coeficients, és de la manera següent:<ref>{{ref-llibre|títol=Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing|nom1=William H.|cognom1=Press|nom2=William T.|cognom2=Vetterling|editorial=[[Cambridge University Press]]|any=1992|isbn=0-521-43064-X|pàgina=179|url=http://books.google.cat/?id=gn_4mpdN9WkC}}</ref>
: <math>x_k = - \frac{1}{3a}\left(b\ +\ u_k C\ +\ \frac{\Delta_0}{u_kC}\right)\, \qquad k \in \{1,2, 3\}</math>
On
: <math>u_1 = 1\ ,\qquad u_2 = {-1 + i\sqrt{3} \over 2}\ ,\qquad u_3 = {-1 - i\sqrt{3} \over 2}</math>
Són les tres [[Arrel de la unitat|arrels de cub d'unitat]], i on
: (Veu a sota per casos especials)<math>C = \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3}}{2}} \qquad \qquad {\color{white}.}</math>
Amb
: <math>\begin{align}
 \Delta_0 &= b^2-3 a c \\
 \Delta_1 &= 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d
\end{align}</math>
I
: On és el [[discriminant]] va parlar damunt.<math>\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3 = -27\,a^2\,\Delta\ ,</math><math>\Delta</math>

== Notes ==
{{Referències}}

[[Categoria:Funcions|Cubica]]
[[Categoria:Polinomis]]