Mostra la font per a Funció d'error

{{Funcions matemàtiques
| name = Funció d'error
| image = Error Function.svg
| imagesize = 400px
| imagealt = Gràfic de la funció d'error
| caption = Gràfic de la funció d'error
| general_definition = <math>\operatorname{erf} z = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^z e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>
| fields_of_application = Probabilitat, termodinàmica
| domain = <math>\mathbb{C}</math>
| range = <math>\left(-1,1 \right)</math>
| parity = Senar
| root = 0
| derivative = <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\operatorname{erf} z = \frac{2}{\sqrt\pi} e^{-z^2} </math>
| antiderivative = <math>\int \operatorname{erf} z\,dz = z \operatorname{erf} z + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi} + C</math>
| taylor_series = <math>\operatorname{erf} z = \frac{2}{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{z}{2n+1} \prod_{k=1}^n \frac{-z^2}{k}</math>
}}

En matemàtiques, la '''funció d'error''' (també anomenada '''funció d'error de Gauss'''), sovint denotada per '''{{Math|erf}}''', és una funció complexa d'una variable complexa definida com: <ref>{{Ref-llibre|cognom=Andrews|nom=Larry C.|url=https://books.google.cat/books?id=2CAqsF-RebgC&pg=PA110|títol=Special functions of mathematics for engineers|pàgines=110|editorial=SPIE Press|data=1998|isbn=9780819426161}}</ref>

<math>\operatorname{erf} z = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^z e^{-t^2}\,\mathrm dt.</math>

Aquesta integral és una funció [[Funció sigmoide|sigmoide]] [[Funció especial|especial]] (no [[Funció elemental|elemental]]) que apareix sovint en equacions de [[probabilitat]], [[Estadística|estadístiques]] i [[Equació diferencial en derivades parcials|en derivades parcials]]. En moltes d'aquestes aplicacions, l'argument de la funció és un nombre real. Si l'argument de la funció és real, llavors el valor de la funció també és real.<ref>{{Ref-web|url=http://nlpc.stanford.edu/nleht/Science/reference/errorfun.pdf|títol=Error functions|consulta=6-1-2023|llengua=anglès|editor=http://nlpc.stanford.edu|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20191101073712/http://nlpc.stanford.edu/nleht/Science/reference/errorfun.pdf|arxiudata=2019-11-01}}</ref>

En estadística, per a valors no negatius de {{Mvar|x}}, la funció d'error té la següent interpretació: per a una [[variable aleatòria]] {{Mvar|Y}} que té una [[distribució normal]] amb una [[mitjana]] {{Mvar|μ}} igual a 0 i una [[Desviació tipus|desviació estàndard]] {{Mvar|σ}} igual a <math>1/\sqrt{2}</math>, erf(x) és la probabilitat que Y caigui en el rang [−x, x].

<gallery mode="packed" heights="200">
Fitxer:Plot_of_the_error_function_Erf(z)_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg|Gràfic de la funció d'error Erf(z) en el pla complex de -2-2i a 2+2i amb colors creats amb la funció de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.
</gallery>

Dues funcions estretament relacionades són la '''funció d'error complementària''' ('''{{Math|erfc}}''') definida com

<math>\operatorname{erfc} z = 1 - \operatorname{erf} z,</math>

i la '''funció d'error imaginari''' ('''{{Math|erfi}}''') definida com

<math>\operatorname{erfi} z = -i\operatorname{erf} iz,</math>

on {{Mvar|i}} és la [[unitat imaginària]].<ref>{{ref-llibre |cognom=Abramowitz |nom=Milton |títol=Handbook of Mathematical Functions |editor=Dover |data=1972 |pàgines=295-309 |coautors=Irene A. Stegun}}</ref>

El nom "funció d'error" i la seva abreviatura {{Math|erf}} van ser proposats per [[James Whitbread Lee Glaisher|JWL Glaisher]] l'any 1871 a causa de la seva connexió amb "la teoria de la probabilitat, i sobretot la teoria dels [[Error aleatori|errors]]".<ref name="Glaisher1871a">{{Ref-publicació|cognom=Glaisher|nom=James Whitbread Lee|publicació=London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|data=juliol 1871|volum=42|pàgines=294–302|consulta=6 desembre 2017|url=https://books.google.cat/books?id=8Po7AQAAMAAJ&pg=RA1-PA294|doi=10.1080/14786447108640568}}</ref> El complement de la funció d'error també va ser discutit per Glaisher en una publicació separada el mateix any.<ref name="Glaisher1871b">{{Ref-publicació|cognom=Glaisher|nom=James Whitbread Lee|publicació=London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|data=setembre 1871|volum=42|pàgines=421–436|consulta=6 desembre 2017|url=https://books.google.cat/books?id=yJ1YAAAAcAAJ&pg=PA421|doi=10.1080/14786447108640600}}</ref> Per a la "llei de la facilitat" dels errors la [[Funció de densitat de probabilitat|densitat]] dels quals ve donada per

<math>f(x)=\left(\frac{c}{\pi}\right)^\frac12 e^{-cx^2}</math>

== Aplicacions ==
Quan els resultats d'una sèrie de mesures es descriuen mitjançant una [[distribució normal]] amb [[Desviació tipus|desviació estàndard]] {{Mvar|σ}} i [[Esperança matemàtica|valor esperat]] 0, llavors <math>erf(a/\sigma/\sqrt{2})</math> és la probabilitat que l'error d'una sola mesura estigui entre −a i +a, per a a positiva. Això és útil, per exemple, per determinar la taxa d'error de bits d'un sistema de comunicació digital.

== Referències ==
{{Referències}}

{{ORDENA:Error, Funcio d'}}
{{Autoritat}}

[[Categoria:Probabilitat]]