Mostra la font per a Funció de Green

En [[matemàtiques]], una '''funció de Green''' és la [[resposta a l'impuls]] d'un [[operador diferencial]] lineal [[Equació diferencial ordinària|no homogeni]] definit en un [[Domini (matemàtiques)|domini]] amb condicions inicials o condicions de contorn especificades.

Això vol dir que si ''L'' és l'operador diferencial lineal, aleshores
* la funció de Green ''G'' és la solució de l'[[equació]] ''LG = δ'', on ''δ'' és la [[Delta de Dirac|funció delta de Dirac]];
* la solució del problema de valor inicial ''Ly = f'' és la [[convolució]] ''(G ⁎ f)'', on ''G'' és la funció de Green.

Mitjançant el [[principi de superposició]], donada una [[equació diferencial ordinària]] [[Equació diferencial lineal|lineal]] (EDO), ''L(solució) = font'', primer es pot resoldre L''(verd)'' = δs, per a cada ''s'', i adonant-se que, ja que la font és una suma de [[Delta de Dirac|funcions delta]], la solució també és una suma de les funcions de Green, per linealitat de ''L''.

<gallery mode="packed" heights="600">
Fitxer:Green's function animation.gif|Si es coneix la solució d'una equació diferencial subjecta a una font puntual <math display="inline">\hat{L}(x) G(x,y) = \delta(x-y)</math> i l'operador diferencial <math display="inline">\hat{L}(x)</math> és lineal, llavors es pot superposar per trobar la solució <math display="inline">u(x) = \int f(y) G(x,y) \, dy</math> per a una font general <math display="inline">\hat{L}(x) u(x) = f(x)</math>|alt=Si es coneix la solució d'una equació diferencial subjecta a una font puntual <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> L <nowiki> </nowiki> ^ <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> x <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> G <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> x <nowiki> </nowiki> , <nowiki> </nowiki> y <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> = <nowiki> </nowiki> δ <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> x <nowiki> </nowiki> − <nowiki> </nowiki> y <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki><nowiki> {\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,y)=\delta (x-y)} </nowiki><nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki>i l'operador diferencial <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> L <nowiki> </nowiki> ^ <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> x <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki><nowiki> {\textstyle {\hat {L}}(x)} </nowiki><nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki>és lineal, llavors es pot superposar per trobar la solució <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> u <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> x <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> = <nowiki> </nowiki> ∫ <nowiki> </nowiki> f <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> y <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> G <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> x <nowiki> </nowiki> , <nowiki> </nowiki> y <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> d <nowiki> </nowiki> y <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> {\textstyle u(x)=\int f(y)G(x,y)\,dy} <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki>per a una font general <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> L <nowiki> </nowiki> ^ <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> x <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> u <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> x <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> = <nowiki> </nowiki> f <nowiki> </nowiki> ( <nowiki> </nowiki> x <nowiki> </nowiki> ) <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki> <nowiki> </nowiki><nowiki> {\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}</nowiki>
</gallery>

Les funcions de Green reben el nom del [[matemàtic]] [[Regne Unit|britànic]] [[George Green]], que va desenvolupar el concepte per primera vegada a la [[dècada del 1820]]. En l'estudi modern de les [[Equació diferencial en derivades parcials|equacions diferencials en derivades parcials]] lineals, les funcions de Green s'estudien en gran part des del punt de vista de les [[Solució fonamental|solucions fonamentals]].

Sota la [[Funció de Green (teoria de molts cossos)|teoria de molts cossos]], el terme també s'utilitza en [[física]], específicament en [[teoria quàntica de camps]], [[aerodinàmica]], [[aeroacústica]], [[Electrodinàmica clàssica|electrodinàmica]], [[sismologia]] i [[teoria estadística de camps]], per referir-se a diversos tipus de [[Funció de correlació (teoria quàntica de camps)|funcions de correlació]], fins i tot aquelles que no s'ajusten a la definició matemàtica. En la teoria quàntica de camps, les funcions de Green prenen el paper de [[Propagador|propagadors]].

== Definició i aplicacions ==
Una funció de Green, ''G(x,s)'', d'un [[operador diferencial]] lineal <math>\operatorname{L} = \operatorname{L}(x)</math> actuant sobre [[Distribució (matemàtiques)|distribucions]] sobre un [[subconjunt]] de l'[[espai euclidià]] <math>\R^n</math>, en un [[Punt (geometria)|punt]] ''s'', és qualsevol solució de
{{NumBlk|1=|2=<math display="block">\operatorname{L}\,G(x,s)=\delta(s-x)\,,</math>|3={{EquationRef|1}}}}
on {{mvar|δ}} és la [[Delta de Dirac|funció delta de Dirac]]. Aquesta propietat de la funció de Green es pot aprofitar per resoldre [[Equació diferencial|equacions diferencials]] de la forma
{{NumBlk|1=|2=<math display="block">\operatorname{L}\,u(x)=f(x)~.</math>|3={{EquationRef|2}}}}

Si el [[Nucli (àlgebra lineal)|nucli]] de L no és [[Trivial (matemàtica)|trivial]], aleshores la funció de Green no és única. Tanmateix, a la pràctica, alguna combinació de [[simetria]], [[Condició de frontera|condicions de contorn]] i/o altres criteris imposats externament donaran una funció única de Green. Les funcions de Green es poden classificar, segons el tipus de condicions de contorn satisfetes, pel [[nombre de la funció de Green]]. A més, les funcions de Green en general són [[Distribució (matemàtiques)|distribucions]], no necessàriament [[Funció|funcions]] d'una [[Variable (matemàtiques)|variable]] [[Nombre real|real]].

Les funcions de Green també són eines útils per resoldre [[Equació d'ona|equacions d'ona]] i [[Equació de difusió|equacions de difusió]]. En [[mecànica quàntica]], la funció de Green del [[Formulació hamiltoniana|Hamiltonià]] és un concepte clau amb vincles importants amb el concepte de [[densitat d'estats]].

La funció de Green tal com s'utilitza a la [[física]] es defineix normalment amb el signe oposat. És a dir,

<math display="block">\operatorname{L} \, G(x,s) = \delta(x-s)~.</math>

Aquesta definició no canvia significativament cap de les propietats de la funció de Green a causa de la uniformitat de la funció delta de Dirac.

Si l'[[Operador matemàtic|operador]] és [[Simetria de translació|invariant de translació]], és a dir, quan <math>\operatorname{L}</math> té [[Coeficient|coeficients]] [[Constant matemàtica|constants]] respecte a ''x'', llavors la funció de Green es pot considerar un [[Convolució|nucli de convolució]], és a dir,

<math display="block">G(x,s) = G(x-s)~.</math>

En aquest cas, la funció de Green és la mateixa que la resposta d'[[Impuls (física)|impuls]] de la teoria de [[Sistema LTI|sistemes lineals invariants en el temps]].

== Motivació ==
{{VT|Teoria espectral|Equacions integrals de Volterra}}
En termes generals, si es pot trobar una [[funció]] ''G'' per a l'[[Operador matemàtic|operador]] <math>\operatorname{L}</math>, aleshores, si multipliquem l'equació ({{EquationNote|1}}) per a la funció de Green per ''f(s)'', i després [[Integració|integrem]] respecte a ''s'', obtenim

,<math display="block">\int \operatorname{L}\,G(x,s)\,f(s) \, ds = \int \delta(x-s) \, f(s) \, ds = f(x)~.</math>

Perquè l'operador <math>\operatorname{L} = \operatorname{L}(x)</math> és lineal i actua només sobre la [[Variable (matemàtiques)|variable]] ''x'' (i no sobre la variable d'integració ''s''), es pot prendre l'operador <math>\operatorname{L}</math> fora de la integració, cedint

<math display="block">\operatorname{L}\,\left(\int G(x,s)\,f(s) \,ds \right) = f(x)~.</math>Això vol dir que
{{NumBlk|1=|2=<math display="block">u(x)=\int G(x,s)\,f(s) \,ds</math>|3={{EquationRef|3}}}}
és una solució de l'equació <math>\operatorname{L} u(x) = f(x)~.</math>

Així, es pot obtenir la funció ''u(x)'' a través del coneixement de la funció de Green a l'equació ({{EquationNote|1}}) i del terme font a la part dreta de l'equació ({{EquationNote|2}}). Aquest procés es basa en la [[linealitat]] de l'operador <math>\operatorname{L}</math>.

En altres paraules, la solució de l'equació ({{EquationNote|2}}), ''u(x)'', es pot determinar mitjançant la integració donada a l'equació ({{EquationNote|3}}). Tot i que es coneix ''f(x)'', aquesta integració no es pot realitzar a menys que també es conegui ''G''. El problema ara rau a trobar la funció de Green ''G'' que satisfà l'equació ({{EquationNote|1}}). Per aquest motiu, la funció de Green també s'anomena de vegades ''la [[solució fonamental]] associada a l'operador <math>\operatorname{L}</math>''.

No tots els operadors <math>\operatorname{L}</math> admeten una funció de Green. La funció de Green també es pot considerar com una [[Funció inversa|inversa per la dreta]] de <math>\operatorname{L}</math>. A part de les dificultats de trobar una funció de Green per a un operador particular, la integral de l'equació ({{EquationNote|3}}) pot ser força difícil d'avaluar. Tanmateix, el mètode dóna un resultat teòricament exacte.

Això es pot pensar com una expansió de ''f'' segons una [[Base (àlgebra)|base]] de funció [[delta de Dirac]] (projectant ''f'' sobre <math>\delta(x - s)</math>; i una superposició de la solució a cada [[Projecció (matemàtiques)|projecció]]. Aquesta [[equació integral]] es coneix com a [[equació integral de Fredholm]], l'estudi de la qual constitueix la [[teoria de Fredholm]].

== Funcions de Green per a la resolució de problemes de valors de contorn no homogenis ==
L'ús principal de les funcions de Green en matemàtiques és resoldre [[Condició de frontera|problemes de valors de contorn]] no homogenis. En la [[física teòrica]] moderna, les funcions de Green també s'utilitzen normalment com a [[Propagador|propagadors]] en [[Diagrama de Feynman|diagrames de Feynman]]; el terme funció de Green s'utilitza sovint per a qualsevol [[Funció de correlació (teoria quàntica de camps)|funció de correlació]].

=== Àmbit ===
Sigui <math>\operatorname{L}</math> l'[[Teoria de Sturm-Liouville|operador de Sturm–Liouville]], un operador diferencial lineal de la forma

<math display="block">\operatorname{L}=\dfrac{d}{dx}\left[p(x) \dfrac{d}{dx}\right]+q(x)</math>

i sigui <math>\vec\operatorname{D}</math> l'operador de [[Condició de frontera|condicions de contorn]] amb valors vectorials

<math display="block">\vec\operatorname{D}\,u= \begin{bmatrix}
\alpha_1 u'(0)+\beta_1 u(0) \\
\alpha_2 u'(\ell)+\beta_2 u(\ell)
\end{bmatrix} ~.</math>

Sigui <math>f(x)</math> una [[funció contínua]] en <math>[0,\ell]\,.</math> Suposem, a més, que el problema

<math display="block">\begin{align}
 \operatorname{L}\,u &= f \\
 \vec\operatorname{D}\,u &= \vec{0}
\end{align}</math>

és ''«regular»'', és a dir, l'única solució per a <math>f(x) = 0</math> per a tot {{mvar|x}} és <math>u(x) = 0</math>.<ref group="Nota">En l'[[argot]] tècnic ''«regular»'' significa que només existeix la solució [[Trivial (matemàtica)|trivial]] (<math>u(x) = 0</math>) per al problema d'[[Homogeneïtzació asimptòtica|homogeneïtat]] (f(x) = 0).</ref>

=== Teorema ===
Hi ha una i només una solució <math>u(x)</math> que satisfà

<math display="block"> \begin{align}
 \operatorname{L}\,u & = f\\
 \vec\operatorname{D}\,u & = \vec{0}
\end{align}</math>

i ve donada per

<math display="block">u(x)=\int_0^\ell f(s) \, G(x,s) \, ds~,</math>

on <math>G(x,s)</math> és una funció de Green que compleix les condicions següents:
# <math>G(x,s)</math> és contínua en <math>x</math> i <math>s</math>.
# Per a <math>x \ne s~</math>, <math>\quad \operatorname{L}\,G(x,s) = 0~</math>.
# Per a <math>s \ne 0~</math>, <math>\quad \vec\operatorname{D}\,G(x,s) = \vec{0}~</math>.
# [[Derivada]] ''«salt»'': <math>\quad G'(s_{0+},s) - G'(s_{0-},s) = 1 / p(s)~</math>.
# Simetria: <math>\quad G(x,s) = G(s,x)~</math>.

=== Funcions avançades i retardades de Green ===
La funció de Green no és necessàriament única, ja que l'addició de qualsevol solució de l'equació homogènia a una funció de Green dóna lloc a una altra funció de Green. Per tant, si l'equació homogènia té solucions no trivials, existeixen múltiples funcions de Green.

En alguns casos, és possible trobar una funció de Green que només <math>s \leq x</math> no s'esvaeix, que s'anomena f''unció de Green retardada'', i una altra funció de Green que només <math>s \geq x </math> no s'esvaeix, que s'anomena ''funció avançada de Green''. En aquests casos, qualsevol [[combinació lineal]] de les dues funcions de Green també és una funció de Green vàlida.

La terminologia ''avançada'' i ''retardada'' és especialment útil quan la variable ''x'' correspon al [[temps]]. En aquests casos, la solució proporcionada per l'ús de la funció de Green retardada depèn només de les fonts passades i és [[Causalitat (física)|causal]], mentre que la solució proporcionada per l'ús de la funció de Green avançada depèn només de les fonts futures i és causal. En aquests problemes, sovint es dóna el cas que la solució causal sigui la físicament important.

L'ús de la funció de Green avançada i retardada és especialment comú per a l'anàlisi de solucions de l'[[equació d'ones electromagnètiques no homogènies]].

== Trobar les funcions de Green ==
=== Unitats ===
Tot i que no soluciona de manera única la forma que prendrà la funció de Green, realitzar una [[anàlisi dimensional]] per trobar les [[Unitat de mesura|unitats]] que ha de tenir una funció de Green és una comprovació important d'un control de seny de qualsevol funció de Green trobada per altres mitjans. Un examen ràpid de l'equació definidora,

<math display="block"> L G(x, s) = \delta(x - s), </math>

demostra que les unitats de <math>G</math> depenen no només de les unitats de <math>L</math>, però també sobre el nombre i les unitats de l'espai de què són els [[Vector (matemàtiques)|vectors]] de posició <math>x</math> i <math>s</math> són elements. Això condueix a la relació:

<math display="block"> [[G]] = [[L]]^{-1} [[d x]]^{-1}, </math>

on <math>[[G]]</math> es defineix com ''«les unitats físiques de <math>G</math>»'', i <math>d x</math> és l'[[element de volum]] de l'espai (o [[espaitemps]]).

Per exemple, si <math>L = \partial_t^2</math> i el [[temps]] és l'única [[Variable (matemàtiques)|variable]], aleshores:

<math display="block">[[L]] = [[\text{temps}]]^{-2},</math><math display="block">[[d x]] = [[\text{temps}]],\ \text{i}</math><math display="block">[[G]] = [[\text{temps}]].</math>

Si <math>L = \square = \frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2</math>, l'[[operador de d'Alembert]], i l'[[Espai tridimensional|espai té 3 dimensions]] llavors:

<math display="block">[[L]] = [[\text{longitud}]]^{-2},</math><math display="block">[[dx]] = [[\text{temps}]] [[\text{longitud}]]^3,\ \text{i}</math><math display="block">[[G]] = [[\text{temps}]]^{-1} [[\text{longitud}]]^{-1}.</math>

=== Expansions de valors propis ===
Si un [[operador diferencial]] ''L'' admet un conjunt de [[Valor propi, vector propi i espai propi|vectors propis]] {{math|Ψ<sub>''n''</sub>(''x'')}} (per exemple, un conjunt de [[Funció|funcions]] {{math|Ψ<sub>''n''</sub>}} i [[Escalar (física)|escalars]] {{math|''λ''<sub>''n''</sub>}} tal que {{math|1=''L''Ψ<sub>''n''</sub> = ''λ''<sub>''n''</sub> Ψ<sub>''n''</sub>}} ) que està complet, llavors és possible construir una funció de Green a partir d'aquests vectors propis i [[Valor propi, vector propi i espai propi|valors propis]].

''«Complet»'' significa que el conjunt de funcions {Ψ<sub>''n''</sub>} satisfà la següent [[Càlcul funcional de Borel|relació de completesa]],

<math display="block">\delta(x-x') = \sum_{n=0}^\infty \Psi_n^\dagger(x) \Psi_n(x').</math>

Aleshores es compleix el següent,

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>G(x, x')=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{\Psi_n^\dagger(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n},</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
on <math>\dagger</math> representa una conjugació complexa.

L'aplicació de l'operador ''L'' a cada costat d'aquesta equació dóna com a resultat la relació de completesa, que es va suposar.

L'estudi general de la funció de Green escrita en la forma anterior, i la seva relació amb els [[Espai funcional|espais funcionals]] formats pels vectors propis, es coneix com a [[teoria de Fredholm]].

Hi ha diversos altres mètodes per trobar les funcions de Green, inclòs el [[mètode d'imatges]], la [[Mètode de separació de variables|separació de variables]] i les [[Transformada de Laplace|transformades de Laplace]].{{sfn|Cole|2011}}

=== Combinant les funcions de Green ===
Si l'operador diferencial <math>L</math> es pot [[Factorització|factoritzar]] com <math>L = L_1 L_2</math>, llavors la funció de Green <math>L</math> es pot construir a partir de les funcions de Green per <math>L_1</math> i <math>L_2</math>:

<math display="block"> G(x, s) = \int G_2(x, s_1)\, G_1(s_1, s) \, d s_1. </math>

La identitat anterior segueix immediatament de la presa <math>G(x, s)</math> per ser la representació de l'operador dret invers de <math>L</math>, de manera anàloga a l'[[Matriu invertible|operador lineal invertible]] <math>C</math>, definit per <math>C = (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}</math>, es representa pels seus elements [[Matriu (matemàtiques)|matricials]] <math>C_{i,j}</math>.

Segueix una identitat addicional per als operadors diferencials que són [[Polinomi|polinomis]] [[Escalar (física)|escalars]] de la [[derivada]], <math>L = P_N(\partial_x)</math>. El [[teorema fonamental de l'àlgebra]], combinat amb el fet que <math>\partial_x</math> es [[Propietat commutativa|desplaça amb si mateix]], garanteix que el polinomi es pot factoritzar, posant <math>L</math> en la forma:

<math display="block"> L = \prod_{i=1}^N (\partial_x - z_i),</math>

on <math>z_i</math> són els zeros de <math>P_N(z)</math>. Prenent la [[transformada de Fourier]] de <math>L G(x, s) = \delta(x - s)</math> respecte a tots dos (<math>x</math> i <math>s</math>) obtenim:

<math display="block"> \widehat{G}(k_x, k_s) = \frac{\delta(k_x - k_s)}{\prod_{i=1}^N (ik_x - z_i)}. </math>

Aleshores, la [[fracció]] es pot dividir en una [[suma]] mitjançant una [[descomposició en fraccions parcials]] abans de la transformació de Fourier respecte a <math>x</math> i <math>s</math>. Aquest procés produeix [[Igualtat (matemàtiques)|identitats]] que relacionen [[Integració|integrals]] de les funcions de Green i sumes de les mateixes. Per exemple, si <math>L = (\partial_x + \gamma) (\partial_x + \alpha)^2</math> aleshores una forma per a la seva funció de Green és:

<math display="block"> \begin{align}
G(x, s) & = \frac{1}{(\alpha - \gamma)^2}\Theta(x-s) e^{-\gamma(x-s)} - \frac{1}{(\alpha - \gamma)^2}\Theta(x-s) e^{-\alpha(x-s)} + \frac{1}{\gamma-\alpha} \Theta(x - s) \, (x - s) e^{-\alpha(x-s)} \\[5pt]
& = \int \Theta(x - s_1) (x - s_1) e^{-\alpha(x-s_1)} \Theta(s_1 - s) e^{-\gamma (s_1 - s)} \, ds_1.
\end{align} </math>

Tot i que l'exemple presentat és tractable analíticament, il·lustra un procés que funciona quan la integral no és trivial (per exemple, quan <math>\nabla^2</math> és l'operador del polinomi).

=== Taula de les funcions de Green ===
La taula següent ofereix una visió general de les funcions de Green dels operadors diferencials que apareixen amb freqüència, on <math display="inline"> r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>, <math display="inline"> \rho = \sqrt{x^2+y^2}</math>, <math display="inline"> \Theta(t)</math> és la [[Funció esglaó de Heaviside|funció esglaò de Heaviside]], <math display="inline"> J_\nu(z)</math> és una [[funció de Bessel]], <math display="inline"> I_\nu(z)</math> és una [[Funció de Bessel|funció de Bessel modificada del primer tipus]], i<math display="inline"> K_\nu(z)</math> és una [[Funció de Bessel|funció de Bessel modificada del segon tipus]].{{sfn|Schulz|2001}} Quan el temps ''(t)'' apareix a la primera columna, es mostra la funció avançada (causal) de Green.

{| class="wikitable"
|-
! Operador diferencial {{mvar|L}} !! Funció de Green {{mvar|G}} !! Exemple d'aplicació
|-
| <math>\partial_t^{n+1}</math> || <math>\frac{t^n}{n!} \Theta(t)</math> ||
|-
| <math>\partial_t + \gamma </math> || <math>\Theta(t) e^{-\gamma t}</math> ||
|-
| <math>\left(\partial_t + \gamma \right)^2</math> || <math>\Theta(t)t e^{-\gamma t}</math> ||
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t + \omega_0^2</math> on <math> \gamma < \omega_0 </math> || <math>\Theta(t) e^{-\gamma t}~\frac{\sin(\omega t)}{\omega}</math> amb <math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}</math>|| [[Oscil·lador harmònic|Oscil·lador harmònic 1D subamortit]]
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t + \omega_0^2</math> on <math> \gamma > \omega_0 </math> || <math>\Theta(t) e^{-\gamma t}~\frac{\sinh(\omega t)}{\omega}</math> amb <math>\omega=\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}</math>|| Oscil·lador harmònic 1D subamortit
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t + \omega_0^2</math> on <math> \gamma = \omega_0 </math> || <math>\Theta(t) e^{-\gamma t}t</math> || Oscil·lador harmònic 1D amortit
|-
| [[Operador laplacià|Operador laplacià 2D]] <math>\nabla^2_{\text{2D}} = \partial_x^2 + \partial_y^2</math>|| <math>\frac{1}{2 \pi}\ln \rho </math> amb <math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math>|| Equació de Poisson 2D
|-
| [[Operador laplacià|Operador laplacià 3D]] <math>\nabla^2_{\text{3D}} = \partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2</math>|| <math>\frac{-1}{4 \pi r}</math> amb <math> r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} </math> || [[Equació de Poisson]]
|-
| [[Equació de Helmholtz|Operador de Helmholtz]] <math>\nabla^2_{\text{3D}} + k^2</math>|| <math>\frac{-e^{-ikr}}{4 \pi r}= i \sqrt{\frac{k}{32 \pi r}}</math>[[Bessel function#Hankel functions: H.CE.B1.281.29.2C H.CE.B1.282.29|<math> H^{(2)}_{1/2}(kr)</math>]]<math>=i \frac{k}{4\pi}\, </math>[[Bessel function#Spherical Hankel functions: hn.281.29.2C hn.282.29|<math>h^{(2)}_{0}(kr)</math>]]; on &nbsp; <math>H_\alpha^{(2)}</math> és la [[Funció de Bessel|funció de Hankel del segon tipus]], i, &nbsp; i &nbsp; <math>h_0^{(2)}</math> és la [[Funció de Bessel|funció de Hankel esfèrica del segon tipus]]|| [[Equació de Schrödinger|Equació estacionària de Schrödinger]] 3D per a una [[partícula lliure]]
|-
| <math>\nabla^2 - k^2</math> en <math>n</math> dimensions || <math>- (2\pi)^{-n/2} \left(\frac{k}{r}\right)^{n/2-1} K_{n/2-1}(kr)</math> || [[Potencial de Yukawa]], [[Propagador|propagador de Feynman]], [[equació de Poisson apantallada]]
|-
| <math>\partial_t^2 - c^2\partial_x^2</math> || <math>\frac{1}{2c}\Theta(t - |x/c|)</math> || [[Equació d'ona]] 1D
|-
| <math>\partial_t^2 - c^2\,\nabla^2_{\text{2D}}</math> || <math>\frac{1}{2\pi c\sqrt{c^2t^2 - \rho^2}}\Theta(t - \rho/c)</math> || Equació d'ona 2D
|-
| [[Operador de d'Alembert|Operador de D'Alembert]] <math>\square = \frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2_{\text{3D}}</math>|| <math>\frac{\delta(t-\frac{r}{c})}{4 \pi r}</math> || Equació d'ona 3D
|-
| <math>\partial_t - k\partial_x^2</math> || <math>\Theta(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)^{1/2} e^{-x^2/4kt}</math> || [[Difusió]] 1D
|-
| <math>\partial_t - k\,\nabla^2_{\text{2D}}</math> || <math>\Theta(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right) e^{-\rho^2/4kt}</math> || Difusió 2D
|-
| <math>\partial_t - k\,\nabla^2_{\text{3D}}</math> || <math>\Theta(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)^{3/2} e^{-r^2/4kt}</math> || Difusió 3D
|-
| <math>\frac{1}{c^2}\partial_t^2 - \partial_x^2+\mu^2</math> || <math>\frac{1}{2}\left[\left(1-\sin{\mu ct}\right)(\delta(ct-x) + \delta(ct+x)) + \mu\Theta(ct - |x|)J_0(\mu u)\right] </math> amb <math> u=\sqrt{c^2t^2-x^2}</math> || [[Equació de Klein-Gordon]] 1D
|-
| <math>\frac{1}{c^2}\partial_t^2 - \nabla^2_{\text{2D}}+\mu^2</math> || <math>\frac{1}{4\pi}\left[(1+\cos(\mu ct)) \frac{\delta(ct-\rho)}{\rho} + \mu^2\Theta(ct - \rho) \operatorname{sinc}(\mu u) \right] </math> amb <math> u=\sqrt{c^2t^2-\rho^2} </math> || Equació de Klein-Gordon 2D
|-
| <math>\square+\mu^2</math> || <math>\frac{1}{4\pi}\left[\frac{\delta\left(t-\frac{r}{c}\right)}{r}+\mu c\Theta(ct - r)\frac{J_1\left(\mu u\right)}{u}\right] </math> amb <math> u=\sqrt{c^2t^2-r^2}</math> || Equació de Klein-Gordon 3D
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t - c^2\partial_x^2</math> || <math>\frac{1}{2}e^{-\gamma t} \left[\delta(ct-x)+\delta(ct+x)+\Theta(ct - |x|)\left(\frac{\gamma}{c}I_0\left(\frac{\gamma u}{c}\right)+\frac{\gamma t}{u}I_1\left(\frac{\gamma u}{c}\right)\right)\right] </math> amb <math> u=\sqrt{c^2t^2-x^2}</math> || [[Equacions del telègraf]]
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t - c^2\,\nabla^2_{\text{2D}}</math> || <math>\frac{e^{-\gamma t}}{4\pi} \left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t)\frac{\delta(ct-\rho)}{\rho}+\Theta(ct - \rho)\left(\frac{\gamma\sinh\left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{cu}+\frac{3\gamma t\cosh\left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{u^2}-\frac{3ct\sinh\left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{u^3}\right)\right] </math> amb <math> u=\sqrt{c^2t^2-\rho^2}</math> || [[Conducció de calor relativista]] 2D
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t - c^2\,\nabla^2_{\text{3D}}</math> || <math>\frac{e^{-\gamma t}}{20\pi} \left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma^2t^2\right)\frac{\delta(ct-r)}{r^2}+\frac{\gamma^2}{c}\Theta(ct - r)\left(\frac{1}{cu}I_1\left(\frac{\gamma u}{c}\right)+\frac{4 t}{u^2}I_2\left(\frac{\gamma u}{c}\right)\right)\right]</math> amb <math> u=\sqrt{c^2t^2-r^2}</math> || [[Conducció de calor relativista]] 3D
|}

== Funcions de Green per al Laplacià ==
{{VT|Equació de Poisson}}
Les funcions de Green per a operadors diferencials lineals que impliquen el [[Operador laplacià|Laplacià]] es poden utilitzar fàcilment utilitzant la [[Identitats de Green|segona identitat de Green]].

Per derivar el teorema de Green, comencem pel [[teorema de la divergència]] (també conegut com a [[teorema de Gauss]]),

<math display="block">\int_V \nabla \cdot \vec A\ dV=\int_S \vec A \cdot d\widehat\sigma ~.</math>

Fem que <math>\vec A=\varphi\,\nabla\psi-\psi\,\nabla\varphi</math> i substituim a la llei de Gauss.

Computem <math>\nabla\cdot\vec A</math> i apliquem la [[regla del producte]] per a l'[[Operador nabla|operador ∇]],

<math display="block">\begin{align}
 \nabla\cdot\vec A &=\nabla\cdot(\varphi\,\nabla\psi \;-\; \psi\,\nabla\varphi)\\
 &=(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi) \;+\; \varphi\,\nabla^2\psi \;-\; (\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi) \;-\; \psi\nabla^2\varphi\\
 &=\varphi\,\nabla^2\psi \;-\; \psi\,\nabla^2\varphi.
\end{align}</math>

En connectar-ho al [[teorema de la divergència]] es produeix el [[teorema de Green]],

<math display="block">\int_V (\varphi\,\nabla^2\psi-\psi\,\nabla^2\varphi) \, dV = \int_S (\varphi\,\nabla\psi-\psi\nabla\,\varphi)\cdot d\widehat\sigma.</math>

Suposem que l'operador diferencial lineal ''L'' és el [[Operador laplacià|Laplacià]], ∇<sup>2</sup>, i que hi ha una funció de Green ''G'' per al Laplacià. La propietat definidora de la funció de Green encara es manté,

<math display="block">L G(x,x')=\nabla^2 G(x,x')=\delta(x-x').</math>

Sigui <math>\psi=G</math> a la segona identitat de Green (vegeu les [[identitats de Green]]). Aleshores,

<math display="block">\int_V \left[ \varphi(x') \delta(x-x')-G(x,x') \, {\nabla'}^2\,\varphi(x')\right]\ d^3x' = \int_S \left[\varphi(x')\,{\nabla'} G(x,x')-G(x,x')\,{\nabla'}\varphi(x')\right] \cdot d\widehat\sigma'.</math>

Amb aquesta expressió, és possible resoldre l'[[equació de Laplace]] ∇<sup>2</sup>''φ''(''x'') = 0 o l'[[equació de Poisson]] ∇<sup>2</sup>''φ''(''x'') = −''ρ''(''x''), subjecte a les condicions de contorn de Neumann o Dirichlet. En altres paraules, podem resoldre per a ''φ(x)'' a tot arreu dins d'un volum on (1) el valor de ''φ(x)'' s'especifica a la superfície límit del volum ([[condició de contorn de Dirichlet]]), o (2) la [[Derivada direccional|derivada normal]] de ''φ(x)'' s'especifica a la superfície de límit ([[condició de contorn de Neumann]]).

Suposem que el problema és resoldre per ''φ(x)'' dins de la regió. Després la integral

<math display="block">\int_V \varphi(x')\delta(x-x')\, d^3x'</math>

es redueix a simplement ''φ(x)'' a causa de la propietat definidora de la funció [[delta de Dirac]] i tenim

<math display="block">\varphi(x) = -\int_V G(x,x') \rho(x')\ d^3x' + \int_S \left[\varphi(x') \, \nabla' G(x,x')-G(x,x') \,\nabla'\varphi(x')\right] \cdot d\widehat\sigma'.</math>

Aquesta forma expressa la propietat coneguda de les [[Funció harmònica|funcions harmòniques]], que ''si el valor o la derivada normal es coneix en una superfície limitant, llavors el valor de la funció dins del volum es coneix a tot arreu.''

En [[electroestàtica]], ''φ(x)'' s'interpreta com el [[potencial elèctric]], ''ρ(x)'' com la [[densitat de càrrega]] [[Càrrega elèctrica|elèctrica]] i la derivada normal <math>\nabla\varphi(x')\cdot d\widehat\sigma'</math> com a component [[Normal (geometria)|normal]] del [[camp elèctric]].

Si el problema és resoldre un problema de valors de límit de Dirichlet, la funció de Green s'hauria d'escollir de manera que ''G(x,x′)'' s'esvaeixi quan ''x'' o ''x′'' es troben a la superfície limitant. Així només queda un dels dos termes de la [[integral de superfície]]. Si el problema és resoldre un problema de valor de límit de Neumann, la funció de Green s'escull de manera que la seva derivada normal s'esvaeixi a la superfície limitant, ja que sembla que és l'opció més lògica. Tanmateix, l'aplicació del teorema de Gauss a l'[[equació diferencial]] que defineix la funció de Green produeix

<math display="block">\int_S \nabla' G(x,x') \cdot d\widehat\sigma' = \int_V \nabla'^2 G(x,x') d^3x' = \int_V \delta (x-x') d^3x' = 1 ~,</math>

és a dir, la derivada normal de ''G(x,x′)'' no pot desaparèixer a la superfície, perquè s'ha d'integrar a 1 a la superfície.

La forma més simple que pot adoptar la derivada normal és la d'una constant, és a dir, ''1/S'', on ''S'' és l'[[àrea]] superficial de la superfície. El terme ''«superficial»'' de la solució esdevé<math display="block">\int_S \varphi(x') \, \nabla' G(x,x')\cdot d\widehat\sigma' = \langle\varphi\rangle_S </math>

on <math>\langle\varphi\rangle_S </math> és el valor mitjà del [[Potencial elèctric|potencial]] a la superfície. Aquest nombre no es coneix en general, però sovint no té importància, ja que sovint l'objectiu és obtenir el [[camp elèctric]] donat pel [[Gradient (matemàtiques)|gradient]] del potencial, més que el potencial en si.

Sense condicions de límit, la funció de Green per al Laplacià ([[funció de Green per a l'equació de Laplace de tres variables]]) és

<math display="block">G(x,x')=-\dfrac{1}{4 \pi |x-x'|}.</math>

Suposant que la superfície de delimitació surt a l'[[infinit]] i connectant aquesta expressió per a la funció de Green, finalment es produeix l'expressió estàndard per al potencial elèctric en termes de densitat de càrrega elèctrica com

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>\varphi(x)=\int_V \dfrac{\rho(x')}{4 \pi \varepsilon |x-x'|} \, d^3x' ~.</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}

== Exemple ==
Trobeu la funció de Green per al problema següent, el [[número de la funció de Green]] és X11:

<math display="block">\begin{align}
 Lu & = u'' + k^2 u = f(x)\\
 u(0)& = 0, \quad u\left(\tfrac{\pi}{2k}\right) = 0.
\end{align}</math>

'''Primer pas:''' La funció de Green per a l'operador lineal en qüestió es defineix com la solució a
{{NumBlk||<math display="block">G''(x,s) + k^2 G(x,s) = \delta(x-s). </math>|Eq. {{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}

Si <math>x\ne s</math>, aleshores la funció delta dóna zero, i la solució general és

<math display="block">G(x,s)=c_1 \cos kx+c_2 \sin kx.</math>

Per a <math>x<s</math>, la condició d'entorn a <math>x=0</math> implica

<math display="block">G(0,s)=c_1 \cdot 1+c_2 \cdot 0=0, \quad c_1 = 0</math>

Si <math>x < s</math> i <math>s \ne \tfrac{\pi}{2k}</math>.

Per a <math>x>s</math>, la condició d'entorn a <math>x=\tfrac{\pi}{2k}</math> implica

<math display="block">G\left(\tfrac{\pi}{2k},s\right) = c_3 \cdot 0+c_4 \cdot 1=0, \quad c_4 = 0 </math>

L'equació de <math>G(0,s)=0</math> s'omet per motius similars.

Per resumir els resultats fins ara:

<math display="block">G(x,s)= \begin{cases}
 c_2 \sin kx, & \text{per a }x<s, \\
 c_3 \cos kx, & \text{per a }s<x.
\end{cases}</math>

'''Segon pas:''' La següent tasca és determinar <math>c_2</math> i <math>c_3</math>.

Garantir la continuïtat en la funció de Green a <math>x=s</math> implica

<math display="block">c_2 \sin ks=c_3 \cos ks</math>

Es pot assegurar una discontinuïtat adequada en la primera derivada integrant l'equació diferencial definidora (és a dir, {{EquationNote|*|Eq. *}}) de <math>x=s-\varepsilon</math> a <math>x=s+\varepsilon</math> i prenent el [[límit]] com 𝜀 va a zero. S'ha de tenir en compte que només integrem la segona derivada ja que el terme restant serà continu per construcció.<math display="block">c_3 \cdot (-k \sin ks)-c_2 \cdot (k \cos ks)=1</math>

Es poden resoldre les dues equacions de (dis)continuïtat <math>c_2</math> i <math>c_3</math> per obtenir

<math display="block">c_2 = -\frac{\cos ks}{k} \quad;\quad c_3 = -\frac{\sin ks}{k}</math>

Així que la funció de Green per a aquest problema és:

<math display="block">G(x,s)=\begin{cases}
 -\frac{\cos ks}{k} \sin kx, & x<s, \\
 -\frac{\sin ks}{k} \cos kx, & s<x.
\end{cases}</math>

== Més exemples ==
* Sigui {{math|1=''n'' = 1}} i que el [[subconjunt]] sigui tot '''R'''. Sigui {{mvar|L}} sent <math display="inline">\frac{d}{dx}</math>. Aleshores, la [[funció esglaó de Heaviside]] {{math|''H''(''x'' − ''x''<sub>0</sub>)}} és una funció de Green de ''L'' en {{math|''x''<sub>0</sub>}}.
* Sigui {{math|1=''n'' = 2}} i fem que el subconjunt sigui el mig [[semiplà]] {{math|1={(''x'', ''y'') : ''x'', ''y'' ≥ 0}<nowiki/>}} i {{mvar|L}} sigui el [[Operador laplacià|Laplacià]]. A més, suposem que una [[Condició de frontera de Dirichlet|condició de contorn de Dirichlet]] s'imposa a ''x = 0'' i una [[Condició de frontera de Neumann|condició de contorn de Neumann]] s'imposa a ''y = 0''. Aleshores la funció de X10Y20 de Green és<math display="block"> \begin{align}
G(x, y, x_0, y_0) =\dfrac{1}{2\pi} &\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2} \right. \\[5pt]
&\left. {} + \ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}- \ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2} \, \right].
\end{align}</math>
* Sigui <math> a < x < b </math>, i tots tres són elements dels [[Nombre real|nombres reals]]. Aleshores, per a qualsevol funció <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> amb una 𝑛-èsima derivada que és integrable en l'interval <math>[a, b]</math>: <math display="block">\begin{align}
f(x) & = \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(x - a)^m}{m!} \left[ \frac{d^m f}{d x^m} \right]_{x=a} + \int_a^b \left[\frac{(x - s)^{n-1}}{(n-1)!} \Theta(x - s)\right] \left[ \frac{d^n f}{dx^n} \right]_{x=s} ds
\end{align} ~.</math>La funció de Green a l'equació anterior, <math>G(x,s) = \frac{(x - s)^{n-1}}{(n-1)!} \Theta(x - s)</math>, no és únics. Com es modifica l'equació si <math>g(x-s)</math> s'afegeix a <math>G(x,s)</math>, on <math>g(x)</math> satisfà <math display="inline">\frac{d^n g}{d x^n} = 0</math> per a tot <math>x \in [a, b]</math> (per exemple, <math>g(x) = -x/2</math> amb {{nowrap|<math>n=2</math>)}} . A més, compareu l'equació anterior amb la forma d'una [[sèrie de Taylor]] centrada en <math>x = a</math>.

== Notes ==
<references group="Nota"/>

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliogragia ==
{{Div col|cols=2}}
* {{ref-llibre |nom=S. S |cognom=Bayin |any=2006 |títol=Mathematical Methods in Science and Engineering |editorial=Wiley |pàgina= capítol 18 i 19 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |nom=K. D |cognom=Cole |nom2=J. V |cognom2=Beck |nom3=A |cognom3=Haji-Sheikh |nom4=B |cognom4=Litkouhi |capítol=Methods for obtaining Green's functions |títol=Heat Conduction Using Green's Functions |editorial=Taylor and Francis |any=2011 |pàgina=101-148 |isbn=978-1-4398-1354-6 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Eyges |nom=Leonard |títol=The Classical Electromagnetic Field |editorial=Dover Publications |lloc=Nova York, NY |any=1972 |isbn=0-486-63947-9 |llengua=anglès}} ''El capítol 5 conté una explicació molt llegible de l'ús de les funcions de Green per resoldre problemes de valors de límit en electroestàtica.''
* {{ref-llibre |nom=M |cognom=Faryad |enllaçautor2=Akhlesh Lakhtakia |nom2=A |cognom2=Lakhtakia |títol=Infinite-Space Dyadic Green Functions in Electromagnetism |lloc=Londres, UK / San Rafael, CA |editorial=IoP Science (UK) / Morgan and Claypool (US) |any=2018 |bibcode=2018idgf.book..... |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |nom=G. B |cognom=Folland |enllaçautor=Gerald Folland |títol=Fourier Analysis and its Applications |editorial=Wadsworth and Brooks/Cole |col·lecció=Mathematics Series |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Green |nom=G |enllaçautor=George Green |títol=An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism |lloc=Nottingham, Anglaterra |editorial=T. Wheelhouse |any=1828 |pàgina=10-12 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Mathews |nom=Jon |cognom2=Walker |nom2=Robert L. |any=1970 |títol=Mathematical methods of physics |lloc=Nova York |editorial=W. A. Benjamin |isbn=0-8053-7002-1 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |nom=A. D |cognom=Polyanin |títol=Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists |editorial=Chapman & Hall/CRC Press |lloc=Boca Raton, FL |any=2002 |isbn=1-58488-299-9 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |nom=A. D |cognom=Polyanin |nom2=V. F |cognom2=Zaitsev |títol=Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations |editorial=Chapman & Hall/CRC Press |lloc=Boca Raton, FL |any=2003 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre | cognom=Schulz |nom=Hermann |títol= Physik mit Bleistift |lloc=Frankfurt am Main |llengua=alemany |any=2001}}
{{Div col end}}

== Vegeu també ==
{{Div col|cols=2}}
* [[Equacions integrals de Volterra]]
* [[Funció de transferència]]
* [[Identitats de Green]]
* [[Potencial de Bessel]]
* [[Resolvent (anàlisi matemàtica)|Resolvent]]
* [[Resposta a l'impuls]] – l'[[Senyal analògic|analògic]] de la funció de Green en el [[Processament de senyals]]
* [[Teoria espectral]]
{{Div col end}}

== Enllaços externs ==
* {{MathWorld | urlname=GreensFunction |títol=Green's Function}}
* {{ref-web |url=http://en.citizendium.org/wiki/Green%27s_function |lloc=Citizendium |títol=Green's function |llengua=anglès}}
* {{ref-web|cognom=Bowley|nom=Roger|títol=George Green & Green's Functions|url=http://www.sixtysymbols.com/videos/georgegreen.htm|work=Sixty Symbols|editorial=Brady Haran |lloc=[[Universitat de Nottingham]] |llengua=anglès}}

{{Autoritat}}

{{ORDENA:Green, Funció De}}
[[Categoria:Equacions diferencials]]
[[Categoria:Mecànica quàntica]]