Mostra la font per a Funcions de Baer

Les '''funcions de Baer''' <math>B_p^q(z)</math> i <math>C_p^q(z)</math> són solucions de l'[[equació diferencial]] de Baer

:<math>
\frac{d^2B}{dz^2} + \frac{1}{2}\left[\frac{1}{z-b} + \frac{1}{z-c} \right]\frac{dB}{dz} - \left[\frac{p(p+1)z + q(b+c)}{(z-b)(z-c)} \right]B = 0
</math>

que sorgeix quan s'aplica la [[separació de variables]] a l'[[equació de Laplace]] en [[coordenades paraboloidals]]. Les funcions de Baer es defineixen com les sèries de solucions sobre <math>z = 0</math> que satisfan <math>B_p^q(0) = 0</math>, <math>C_p^q(0) = 1</math>.{{sfn|Willatzen|Lew Van Yoon|2011| p=305}} Substituint una sèrie de potències d'Ansatz a l'equació diferencial, es poden construir sèries formals per a les funcions de Baer.{{sfn|Moon|Spencer|1961|p=194–197}} Per a valors especials de <math>p</math> i <math>q</math>, poden existir solucions més senzilles. Per exemple, 

:<math>
B_0^0(z) = \ln \left[ \frac{z+\sqrt{(z-b)(z-c)}-(b+c)/2}{\sqrt{bc} - (b+c)/2} \right]
</math>

A més, les [[funcions de Mathieu]] són solucions de casos especials de l'equació de Baer, ja que aquesta es redueix a l'equació diferencial de Mathieu quan <math>b = 0</math> i <math>c = 1</math>, i fent el [[Canvi de variables en equacions diferencials en derivades parcials|canvi de variable]] <math>z = \cos^2 t</math>.

Igual que l'equació diferencial de Mathieu, l'equació de Baer té dos [[Singularitat matemàtica|punts singulars]] regulars (en <math>z = b</math> i <math>z = c</math>), i un punt singular ''irregular'' a l'[[infinit]]. Així, en contrast amb moltes altres [[Funció especial|funcions especials]] de la [[física matemàtica]], les funcions de Baer no es poden expressar en general en termes de [[Funció hipergeomètrica|funcions hipergeomètriques]].

L{{'}}'''equació d'ones de Baer''' és una generalització que resulta de separar variables en l'[[equació de Helmholtz]] en coordenades paraboloidals:

:<math>
\frac{d^2B}{dz^2} + \frac{1}{2}\left[\frac{1}{z-b} + \frac{1}{z-c} \right]\frac{dB}{dz} + \left[\frac{k^2 z^2 - p(p+1)z - q(b+c)}{(z-b)(z-c)} \right]B = 0
</math>

que redueix a l'equació de Baer original quan <math>k = 0</math>.

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
* {{ref-publicació| cognom = Duggen| nom= L| cognom2 = Willatzen| nom2= M| cognom3 = Voon| nom3 = L C Lew Yan| any = 2012| article = Laplace boundary-value problem in paraboloidal coordinates| publicació=European Journal of Physics| volum = 33(3)| pàgina = 689–696| doi = 10.1088/0143-0807/33/3/689 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre|cognom=Lew Yan Voon |nom=LC |cognom2=Willatzen |nom2=M | any = 2011| títol = Separable Boundary-Value Problems in Physics | editorial = Wiley-VCH| isbn = 978-3-527-41020-0|llengua=anglès}}
* {{ref-llibre | nom=Parry |cognom=Moon|nom2=Domina E. |cognom2=Spencer|títol=Field Theory Handbook: Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions|llengua=anglès|data=6 de desembre de 2012|editorial=Springer|isbn=978-3-642-53060-9}}

== Enllaços externs ==
* {{mathworld|urlname=BaerDifferentialEquation |title=Baer differential equation}}

{{Autoritat}}

[[Categoria:Equacions diferencials ordinàries]]
[[Categoria:Funcions especials]]