Mostra la font per a Geometria

[[Fitxer:Geometria_02.svg|miniatura|Geometria plana]]
La '''geometria''' (del [[Grec modern|grec]] γεωμετρία; γη = 'terra', μετρώ = 'mesurar') és la branca del [[coneixement]] que s'ocupa dels [[Objecte|objectes]] o [[Figura geomètrica|figures]] i de les seves relacions en l'[[espai]], és a dir: [[distància]], [[posició]], [[superfície]], [[volum]], [[Forma geomètrica|forma]], [[desplaçament]], [[Projecció gràfica|projecció]], [[representació]], etc. Fou un dels dos camps de les [[matemàtica|matemàtiques clàssiques]]; l'altre camp n'és l'[[aritmètica]] o estudi dels [[nombres]].
[[Fitxer:Cardona_02.jpg|miniatura|esquerra|Geometria descriptiva. Làmina d'un [[Tractat (literatura)|tractat]] de geometria descriptiva del {{segle|XIX}} ]]

A l'[[edat moderna]], el [[filòsof]] [[René Descartes]] reformulà el concepte de [[coordenades cartesianes]], que donà pas a la [[geometria analítica]] que va introduir els mètodes de [[Càlcul infinitesimal|càlcul]] algebraics en la geometria. Actualment, els conceptes geomètrics s'han generalitzat fins a assolir un elevat grau d'[[Abstracció (filosofia)|abstracció]] i [[complexitat]], consegüentment podem parlar d'una "geometria tradicional" o "clàssica", que és la que tothom coneix, ja que s'ensenya a les [[escola primària|escoles primàries]]. Les altres geometries, en general, són [[ciència|disciplines]] fonamentades, en part, en els [[concepte]]s en certa forma [[intuïció|intuïtius]] de la geometria clàssica, a partir dels quals es formulen altres [[hipòtesi]]s, es desenvolupen mètodes alternatius o s'estableixen vinculacions amb altres disciplines o matemàtiques.

La [[geometria clàssica]] s'ocupa de les figures i objectes que existeixen o podem [[imaginació|imaginar]], tant en el [[pla]] com en l'espai, així com de les seves principals relacions, aplicacions, extensions, etc., com són:

* La forma de les figures, la seva generació i [[paràmetre]]s. Per exemple: la [[circumferència]] es defineix com una [[corba]] tancada i plana, els punts de la qual equidisten d'un punt anomenat [[Centre (geometria)|centre]].
* Les mesures sobre les figures com són la superfície, el volum o d'altres. Per exemple, el volum de l'[[esfera]] segons l'expressió: <math>\text{Volum}=\frac{4}{3}\,\pi\,r^3</math>
* Les [[relació|relacions]] entre les figures com: distància, [[proporció|proporcions]], [[Igualtat matemàtica|igualtat]] o [[semblança]], punts mitjans, [[bisectriu]], etc.
* Les [[operació matemàtica|operacions]] entre figures, o a partir de les figures com: [[paral·lela|paral·lelisme]], [[perpendicular]]itat, [[simetria]], [[Homologia (àlgebra)|homologia]], [[unió]], [[intersecció]], etc.
* Les [[Funció matemàtica|aplicacions]] a la resolució de [[problema|problemes]] entre figures o a partir de les figures, com trobar [[tangent]]s comunes a dues circumferències, trobar la projecció sobre un pla, etc.

Entre les aplicacions notables hi ha la [[resolució de triangles]], en què a partir d'un [[costat]] i dos [[angle]]s, dos costats i un angle o dels tres costats, es poden deduir els altres costats i angles. Aquesta aplicació és la base de la [[geodèsia]] i de la [[topografia]].

La geometria clàssica és euclidiana, anomenada així en honor del matemàtic grec [[Euclides]], que formulà el famós cinquè postulat o [[postulat d'Euclides]], en el qual es basa aquesta ciència.

== Història de la geometria ==
[[Fitxer:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg|miniatura|[[Papirs d'Oxirrinc|Papir d'Oxirrinc]] (P. Oxirrinc, I 29) que mostra fragments dels ''[[Elements d'Euclides|Elements]]'' [[Elements d'Euclides|d'Euclides]] ]]
[[Fitxer:Woman teaching geometry.jpg|miniatura|Una dona ensenyant geometria. Il·lustració al començament d'una traducció medieval dels [[Elements d'Euclides|''Elements'' d'Euclides]], ([[1310]])]]
[[Fitxer:Cartesian_coordinates_2D.svg|miniatura|Geometria analítica plana. Sistema de [[coordenades cartesianes]] ]]
=== Antiguitat ===
Les nocions de geometria més antigues de les quals es té constància remunten a l'antiga [[Mesopotàmia]], [[antic Egipte|l'antic Egipte]] i a l'anomenada [[civilització de la vall de l'Indus]], a partir del [[3000 aC]]. La geometria primitiva era un recull de principis descoberts empíricament referits a llargades, angles, àrees i volums, que es van desenvolupar per obtenir-ne un ús pràctic en [[agrimensura]], [[construcció]], [[astronomia]] i diverses aplicacions artesanes. Els primers texts coneguts sobre geometria són els papirs egipcis de [[Papir Rhind|Rhind]] i de [[Papir de Moscou|Moscou]], així com les tauletes d'argila babilòniques i el [[Shulba Sutras]] indi, mentre que els xinesos tenien els treballs de [[Mozi]], [[Zhang Heng]] i ''[[Els nou capítols de les arts matemàtiques]]'' (九章算术) de [[Liu Hui]].

=== Grècia clàssica ===
Els ''[[Elements d'Euclides|Elements]]'' [[Elements d'Euclides|d'Euclides]] (c. [[300 aC]]) és un dels texts antics més importants sobre geometria, ja que a partir d'aquí es presenta la geometria d'una manera [[axioma|axiomàtica]] ideal; aquesta geometria és la que es coneix com a [[geometria euclidiana]]. Aquest tractat, en contra del que de vegades es creu, no és un compendi de tot el que els matemàtics [[Antiga Grècia|grecs]] sabien sobre geometria en aquella època, sinó que és una introducció elemental a la geometria.<ref>{{ref-llibre|cognom=Boyer |nom=Carl Benjamin |enllaçautor=Carl Boyer |cognom2=Merzbach |nom2=Uta C. |capítol=Euclid of Alexandria |títol=A history of mathematics |llengua= anglès|editorial=Wiley | data=1991 |isbn=978-0-471-54397-8 |citació=l’''[[Elements d’Euclides|Elements]]'' no era, com es pensa de vegades, un compendi de tot el coneixement geomètric, sinó que era un llibre de text introductori que cobreix totes les matemàtiques elementals''}}</ref> El mateix Euclides va escriure vuit llibres més avançats sobre geometria. Es tenen referències que els llibres d'Euclides no van ser els primers llibres de text elementals sobre geometria, però els altres no es varen fer servir i s'han perdut.

=== Edat mitjana ===
A l'[[edat mitjana]], els matemàtics del [[món islàmic]] van contribuir de manera decisiva al desenvolupament de la geometria, en especial de la [[geometria algebraica]]<ref>{{ref-llibre|cognom=Rāshid|nom=Rushdī |títol=The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra|url=http://books.google.cat/books?id=vSkClSvU_9AC |consulta=7 de març de 2012 |llengua= anglès|editorial=Springer |lloc=Londres |data=1994 |isbn=978-0-471-54397-8}}</ref><ref name=MacTutor>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Arabic_mathematics|title=Arabic mathematics: forgotten brilliance?|year=1999}}</ref> i de l'[[àlgebra geomètrica]].<ref name="Boyer Omar Khayyam positive roots">{{ref-llibre|cognom=Boyer |nom=Carl Benjamin |cognom2=Merzbach |nom2=Uta C. |capítol=The Arabic Hegemony |títol=A history of mathematics |llengua= anglès|editorial=Wiley |data=1991 |pàgines=241-242 |isbn=978-0-471-54397-8 |citació=[[Omar Khayyam]] (ca. 1050-1123),el "fabricant de tendes", va escriure ''Àlgebra'' que anava més enllà que la de [[Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí]] per incloure equacions de tercer grau. Igual que els seus predecessors àrabs, Omar Khayyam proporcionen per a [[Equació de segon grau|equacions de segon grau]], solucions tant [[Aritmètica|aritmètiques]] com geomètriques; Per les [[Equació de tercer grau|equacions cúbiques]] generals, ell creia (erròniament, Tal com es va demostrar posteriorment al {{segle|XVI}}) que donar solucions aritmètiques era impossible, de manera que només va donar solucions geomètriques. L'esquema de la utilització de les interseccions còniques per resoldre equacions cúbiques havia estat utilitzat anteriorment per Menecmo, Arquimedes i Alhazen, però Omar Khayyam va fer un pas digne d'elogi de generalitzar el mètode per cobrir totes les equacions de tercer grau ... Per a les equacions de grau superior al tercer, Omar Khayyam, evidentment, no preveu similars mètodes geomètrics, donat que l'espai no conté més de tres dimensions, ... Una de les aportacions més fecundes de l'[[eclecticisme]] àrab va ser la tendència a tancar la bretxa entre l'àlgebra numèrica i geomètrica. El pas decisiu en aquesta direcció va arribar molt més tard amb [[Descartes]], però Omar Khayyam s'estava movent en aquesta direcció quan va escriure: "Qui pensi àlgebra és un truc en l'obtenció de desconeguts ho pensa en va. No s'ha de prestar atenció al fet que l'àlgebra i la geometria són diferents en aparença. L'Àlgebra són fets geomètrics provats."}}</ref> [[Al-Mahaní]] (n. [[853]]) va concebre la idea de reduir problemes geomètrics, com duplicar el cub, a problemes d'àlgebra.<ref name="MacTutor"/> [[Thàbit ibn Qurra]] (en [[llatí]] conegut com a Thebit) ([[836]]-[[901]]) va tractar amb operacions [[aritmètica|aritmètiques]] aplicades a [[Raó aritmètica|proporcions]] de quantitats geomètriques, i va contribuir al desenvolupament de la [[geometria analítica]].<ref>{{MacTutor Biography|id=Thabit|title=Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani}}</ref> [[Omar Khayyam]] ([[1048]]-[[1131]]) va trobar solucions geomètriques a [[equació de tercer grau|equacions cúbiques]], i els seus estudis extensius sobre el [[postulat de les paral·leles]] van contribuir al desenvolupament de la [[geometria no euclidiana]].<ref>{{MacTutor Biography|id=Khayyam|title=Omar Khayyam}}</ref> Els teoremes d'[[Ibn al-Hàytham]] (Alhazen), Omar Khayyam i [[Nassir-ad-Din at-Tussí]] sobre [[quadrilàter]]s, incloent-hi el [[quadrilàter de Lambert]] i el [[quadrilàter de Saccheri]], van ser els primers teoremes sobre [[geometria el·líptica]] i [[geometria hiperbòlica]], i conjuntament amb els seus postulats alternatius, com l'axioma de [[John Playfair|Playfair]], aquests treballs van tenir una influència considerable sobre el desenvolupament de la geometria no euclidiana entre geòmetres europeus posteriors, entre ells [[Witelo]], [[Levi ben Gerson]], [[Alfonso]], [[John Wallis]], i [[Giovanni Girolamo Saccheri]].<ref>Boris A. Rosenfeld and [[Adolf Iuixkévitx|Adolf P. Youschkevitch]] (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., ''Encyclopedia of the History of Arabic Science'', Vol. 2, p. 447-494 [470], Routledge, Londres i Nova York: {{Cita|"Tres científics, [[Ibn al-Hàytham]], [[Omar Khayyam|Khayyam]] i [[Nassir-ad-Din at-Tussí|At-Tussí]], havien fet la contribució més important en aquesta branca de la geometria, aquesta importància va arribar a ser completament reconeguda només en el {{segle|XIX}}. En essència, les seves propostes sobre les propietats dels [[quadrilàter]]s que, els tres, assumeixen que alguns dels angles d'aquestes figures eren aguts d'obtús, encarnaven els primers teoremes de la [[geometria hiperbòlica|hiperbòlica]] i de les [[geometria el·líptica|geometries el·líptiques]]. les seves altres propostes van mostrar que diverses declaracions geomètriques eren equivalents al postulat V d'Euclides. És extremadament important que aquests estudiosos establissin la connexió mútua entre aquest postulat i la suma dels angles d'un triangle i d'un quadrilàter. Pels seus treballs sobre la [[postulat de les paral·leles|teoria de les línies paral·leles]] els matemàtics àrabs influïren directament en les investigacions pertinents dels seus homòlegs europeus. El primer intent d'Europa per provar el postulat de línies paral·leles (realitzades per Witelo, científic polonès del {{segle|XIII}}, mentre revisava el''[[Llibre d'òptica]]'' (''Kitab al-Manazir'')de Ibn al-Haytham) va ser motivada sens dubte per les fonts àrabs. Les proves presentades al {{segle|XIV}} per l'erudit jueu [[Levi ben Gerson]], que va viure al sud de França, i per l'esmentat Alfons d'Espanya entronquen directament amb la demostració d'Ibn al-Haytham. Anteriorment, hem demostrat que el "Pseudo-exposició de Tusi a Euclides'', havia estimulat els estudis Borth J. Wallis i G. Saccheri sobre la teoria de línies paral·leles. "}}</ref>

=== Renaixement ===
A començaments del {{segle|XVII}}, es van produir dos desenvolupaments importants en geometria. El primer, i més important, va ser la creació de la [[geometria analítica]], o geometria amb [[sistema de coordenades|coordenades]] i [[equació|equacions]], per part de [[René Descartes]] ([[1596]]-[[1650]]) i [[Pierre de Fermat]] ([[1601]]-[[1665]]). Això és un precursor necessari per al desenvolupament del càlcul infinitesimal i per fer de la física una ciència quantitativa i precisa. El segon desenvolupament geomètric d'aquest període va ser l'estudi sistemàtic de la [[geometria projectiva]] per part de [[Girard Desargues]] ([[1591]]-[[1661]]). La geometria projectiva és l'estudi de geometria sense mesures, només l'estudi de com s'alineen els punts entre si.

=== Època moderna ===
Dos desenvolupaments en geometria al {{segle|XIX}} van canviar la manera en què s'havia estudiat prèviament. Aquests van ser el descobriment de [[geometria no euclidiana|geometries no euclidianes]] per [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky|Lobachevsky]], [[János Bolyai|Bolyai]] i [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] i el de la formulació de la [[simetria]] com la consideració central del [[programa d'Erlangen]] de [[Felix Klein]] (que generalitzava les geometries euclidianes i no euclidianes). Dos dels geòmetres principals del temps van ser [[Bernhard Riemann]], que va treballar principalment amb eines d'[[anàlisi matemàtica]] i va presentar la [[superfície de Riemann]], i [[Henri Poincaré]], el fundador de la [[topologia algebraica]] i la teoria geomètrica dels [[sistema dinàmic|sistemes dinàmics]].

Com a conseqüència d'aquests canvis essencials en la concepció de la geometria, el concepte d'[[espai]] es va convertir en una cosa més rica i variada, i la base natural per a teories tan diferents com l'[[anàlisi complexa]] i la [[mecànica clàssica]]. El tipus tradicional de geometria s'identificava amb [[espai homogeni|espais homogenis]], aquells espais que tenen prou simetria, de manera que tinguin el mateix aspecte des de qualsevol punt.

== Classes de geometria ==
[[Fitxer:Hypercube_construction_fr.png|miniatura|Geometria d'ena dimensions. El [[Tesseractis]] o hipercub de quatre dimensions]]
Les disciplines matemàtiques que tracten temes geomètrics es poden classificar seguint diversos criteris:

* En funció del tipus d'espai que s'estudia: la [[geometria euclidiana]], que estudia l'espai usual amb les nocions de distància i d'angle. La [[geometria afí]], que estudia els punts i les rectes però sense les nocions de distàncies i angles. La [[geometria projectiva]], que afegeix als espais de la geometria afí punts a l'infinit. La [[geometria no euclidiana]], que és una variació de la geometria euclidiana, que comprén la [[geometria hiperbòlica]], [[geometria el·líptica|el·líptica]] i [[geometria esfèrica|esfèrica]]. Aquestes geometries es poden generalitzar, principalment, augmentant la dimensió de l'espai.

* En funció de la manera en què s'estudia o axiomatitza la geometria: la [[geomtria sintètica|geometria sintètica]], que parteix d'axiomes i dedueix teoremes seguint les regles de la lògica. La [[geometria analítica]], que fa servir sistemes de coordenades per a establir una correlació entra els punts de l'espai i ternes de nombres reals. L'[[àlgebra lineal]], que generalitza la geometria analítica substituint les coordenades per espais vectorials. El [[programa d'Erlangen]], que fa servir les nocions de [[introducció a la teoria de grups|grup]] i [[acció de grup]].

També hi ha altres branques de les matemàtiques que fan servir les figures que procedeixen dels espais euclidians, però que estudien espais que no són necessàriament espais euclidians: la [[topologia]], la [[geometria diferencial]], la [[geometria algebraica]] i la [[geometria no commutativa]].

=== Classificació en funció del tipus d'espai ===
Per a [[Henri Poincaré]],<ref>{{Cita llibre
|editor=Champs Flammarion
|títol=La science est l'hypothèse
|autor=Henri Poincaré
|any=1902
}}</ref> l'espai geomètric té les propietats següents:

# És continu.
# És infinit.
# Té tres dimensions.
# És homogeni, és a dir, que tots els seus punts són idèntics entre si.
# És isòtrop, és a dir, que totes les línies que passen per un mateix punt són idèntiques entre si.

Les geometries [[geometria euclidiana|euclidiana]] i [[geometria no euclidiana|no euclidiana]] corresponen a aquesta definició ''stricto sensu'' de l'espai. Construir aquesta geometria consisteix a enunciar les regles de manipulació dels quatre objectes fonamentals: el punt, la línia, el pla i l'espai.

Una manera de generalitzar aquest espai és augmentant el nombre de dimensions.

==== Geometria euclidiana ====
{{article principal|Geometria euclidiana}}
La geometria euclidiana estudia els espais on es compleixen els cinc postulats d'Euclides:
# Dos punts diferents es poden unir per una recta.
# Un [[Segment lineal|segment]] rectilini pot ser allargat indefinidament mitjançant una recta.
# Donats un segment rectilini i un punt qualssevol, existeix una circumferència de centre aquest punt i radi el segment donat.
# Tots els angles rectes són iguals.
# Si dues rectes intersequen amb una tercera de manera que la suma dels angles interiors a un costat és menor de dos [[angle recte|angles rectes]], llavors les dues rectes inevitablement es tallen en el mateix costat si s'allarguen suficientment.

L'estudi de la geometria euclidiana normalment comença per l'estudi de les figures en el pla (un espai de dues dimensions) i després s'estén a l'estudi de l'espai de tres dimensions. Per representar en un pla els objectes de tres dimensions es fa servir la geometria descriptiva.

* [[Geometria plana]]: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en el pla. Els elements físics plans, és a dir, amb una [[dimensió]] reduïda enfront de les altres dos, com per exemple: una [[paret]] o un [[paviment]], una [[pàgina]] d'un [[llibre]] o el full d'un bloc, etc., constitueixen el suport de l'espai de dues dimensions on es desenvolupa aquesta geometria.
* [[Geometria de l'espai]]: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en l'espai de tres dimensions, és a dir, l'espai físic del qual en tenim una experiència intuïtiva directa.
* [[Geometria descriptiva]]: és una aplicació de la geometria clàssica que té per objecte representar sobre un o més plans, les figures de l'espai. Va néixer per satisfer la necessitat de representar sobre un full de [[paper]] (o qualsevol suport bidimensional) els [[plànol]]s o [[dibuix]]os dels [[projecte]]s dels edificis o les [[obres públiques]] així com els [[enginy (artefacte)|ginys]], les [[màquina|màquines]], etc., els quals són objectes de tres dimensions. Els mètodes de la geometria descriptiva permeten, a partir dels plànols, [[deducció|deduir]] i, per tant, [[construcció|construir]] amb seguretat allò que s'ha dibuixat, amb la seva forma, [[mesura|mesures]] i totes les relacions geomètriques per complexes que siguin.

==== Geometria afí ====
{{article principal|Geometria afí}}

En la geometria afí no es consideren ni el tercer ni el quart postulats d'Euclides. Els seus resultats són vàlids en els espais de la geometria euclidiana, però també, per exemple en l'[[espai de Minkowski]].

La geometria afí estudia les propietats geomètriques que es mantenen inalterades per les [[transformació afí|transformacions afins]], és a dir, per les [[transformacions lineals]] i les [[translació (matemàtiques)|translacions]]. No es poden mesurar angles ni comparar distàncies sobre rectes que tinguin direccions diferents.

==== Geometria projectiva ====
{{article principal|Geometria projectiva}}
La geometria projectiva estudia les nocions intuïtives de "perspectiva" i d'"horitzó". Analitza les propietats de les figures invariants per projecció. L'espai sobre el qual treballa la geometria projectiva és l'[[espai projectiu]]. Intuïtivament respon a la idea d'un espai afí completat amb l'afegit d'un hiperplà que representa els punts situats a l'infinit, és a dir, allà on es tallen les rectes paral·leles.

==== Geometria no euclidiana ====
[[Geometries no euclidianes]]: a partir del {{segle|XIX}}, alguns matemàtics neguen el cinquè postulat d'Euclides i parteixen del fet que hi ha més d'una recta paral·lela que passi per un punt exterior d'una recta. Això permeté formular una sèrie de conceptes geomètrics coherents en què, per exemple, la suma dels angles d'un triangle és menor que l'arc de la semicircumferència (180°). Aquestes teories tan sorprenents van modificar molt la comprensió del paper de les matemàtiques, en postular la geometria com un esquema formal sense referència immediata en l'espai físic. Les geometries [[geometria hiperbòlica|hiperbòlica]] (amb dues paral·leles) o l'[[geometria el·líptica|el·líptica]] (sense paral·leles) foren antecedents d'aquestes formulacions.

==== Generalització ====
[[Geometria n-dimensional]]: el concepte d'espai d'ena dimensions neix en aplicar la correspondencia entre l'àlgebra i la geometria, pròpia de la geometria analítica, a les equacions algebraiques de més de tres variables, la qual cosa, per analogia conceptual, implica un espai de tantes dimensions com variables té l'equació estudiada. La part científica d'aquesta disciplina va des de la geometria de quatre dimensions que fonamenta la [[teoria de la relativitat]], fins a la [[teoria de cordes]] amb les seves [[onze]] o [[vint-i-tres]] dimensions, i es contraposa a una variant més lúdica que s'ha desenvolupat àmpliament en la [[literatura]], els [[còmics]] i el [[cinema]] de [[ciència-ficció]].

=== Classificació en funció de les tècniques emprades ===
==== Geometria sintètica ====
La geometria sintètica o geometria pura es basa en l'enfocament axiomàtic de la geometria en oposició a la geometria analítica. Parteix dels axiomes i dedueix els teoremes emprant les regles de la lògica; refusa sistemàticament de fer servir les propietats analítiques de les figures i fer servir les coordenades.

==== Geometria analítica ====
La [[geometria analítica]] és la part de les matemàtiques que fa ús de l'[[àlgebra]] per a descriure i estudiar les figures geomètriques i les seves relacions. La geometria analítica es basa en la [[correspondència biunívoca]] que es pot establir entre el conjunt de [[Nombre|nombres reals]] i el conjunt de [[punt (geometria)|punts]] d'una [[recta]]. Consegüentment, dues o tres rectes perpendiculars representen els [[eix de revolució|eixos]] d'un sistema de coordenades cartesianes al pla o a l'espai de tres dimensions respectivament. Les [[equació|equacions]] algebraiques de dues o tres [[Variables dependents i independents|variables]] representen corbes planes (p. ex: l'[[el·lipse]]) o l'espai (corbes de tres dimensions com l'[[hèlix (geometria)|hèlix]] o figures tridimensionals com el [[cilindre]] o el [[paraboloide hiperbòlic]]).

==== Àlgebra lineal ====
{{article principal|Àlgebra lineal}}

L'àlgebra lineal fa servir els [[espais vectorials]] per a modelitzar l'espai. Els espais vectorials provenen de la geometria afí, mitjançant la introducció de sistemes de coordenades en l'espai pla o tridimensional.

Els espais vectorials sense estructura addicional (sense [[norma (matemàtiques)|norma]] o [[mòdul (matemàtiques)|mòdul]]) no permeten mesurar angles. D'alguna manera, l'àlgebra lineal és a la geometria afí allò que la geometria analítica és a la geometria euclidiana.

==== Programa d'Erlangen ====
El batibull generat per la irrupció de les geometries no euclidianes fou aclarit l'any [[1872]] pel matemàtic [[Felix Klein|F. C. Klein]] en el [[programa d'Erlangen]],<ref>{{ref-web|url=http://valle.fciencias.unam.mx/titulacion/4e.pdf|títol=Programa d'Erlangen<!--Títol generat per bot-->}}</ref> segons el qual, la '''geometria''' és la branca de la '''matemàtica''' que estudia els [[invariants]] i el conjunt de les transformacions que tenen lloc en l'espai base. Un [[Grup (matemàtiques)|grup]] és un [[conjunt]] en el qual hi ha definida una [[operació matemàtica|operació]], és a dir, una aplicació en què a cada [[parell]] d'elements del conjunt li assigna altre element del conjunt (que serà el resultat d'operar els dos elements donats). Per exemple, l'operació de ''donar el punt mitjà'' consisteix a assignar a cada parell de punts el [[punt mitjà]] del [[Segment lineal|segment]] que els uneix. Per successives especialitzacions del grup s'obté la [[geometria afí]], la [[geometria mètrica]] i les no euclidianes: això fa que la geometria projectiva sigui considerada, avui dia, com la geometria bàsica.

=== Branques de la matemàtica estretament relacionades amb la geometria ===
La '''[[topologia]]''' estudia les deformacions dels objectes de l'espai per deformacions contínues. Identifica els objectes que poden ser obtinguts els uns a partir dels altres per aquest tipus de transformacions i estudia les propietats de les classes d'objectes que en resulten.

La '''[[geometria diferencial]] i [[geometria algebraica]]''' tenen per objecte l'estudi de les corbes i superfícies definides per les equacions algebraiques. Aquestes geometries no s'ocupen tant de l'espai o el pla, que són el suport de la geometria analítica, com de les mateixes corbes considerades per si mateixes, en les quals cerquen els punts singulars (màxims, mínims o punts d'inflexió, etc.) i els invariants de les transformacions. La geometria algebraica, mitjançant el ''[[llenguatge espectral]]'', permet obtenir una visió geomètrica dels problemes algèbrics.

La '''[[geometria no commutativa]]''' estudia les possibles interpretacions espacials de les estructures algebraiques que no compleixen la [[propietat commutativa]].

== Àmbits de recerca rellevants en geometria ==
=== Geometria riemanniana ===
La [[geometria riemanniana]] es pot veure com una extensió de la geometria euclidiana. El seu estudi es basa en les propietats geomètriques d'espais [[varietat (matemàtiques)|(varietats]]) que presenten una noció de vectors tangents, i que estan equipats amb una [[mètrica (matemàtiques)|mètrica]] ([[mètrica riemanniana]]) que permet mesurar aquests vectors. Els primers exemples que se'n troben són les superfícies de l'espai euclidià de dimensió 3 les propietats mètriques de les quals van ser estudiades per Gauss en els anys 1820. El producte euclidià indueix una mètrica sobre la superfície estudiada per restricció en els diferents plans tangents. La definició intrínseca de mètrica va ser formalitzada en dimensions superiors per Riemann. La noció de transport paral·lel autoritza la comparació dels espais tangents en dos punts diferents de la varietat: permet transportar de manera coherent un vector al llarg d'una corba traçada sobre la varietat riemanniana. La curvatura d'una varietat riemanniana mesura per definició la dependència del transport paral·lel d'un punt a un altre respecte a la corba que els enllaça.

La mètrica dona lloc a la definició de la longitud de les corbes, d'on deriva la definició de la distància riemanniana. Però les propietats mètriques dels triangles poden diferir de la trigonometria euclidiana. Aquesta diferència s'estudia en part pel [[teorema de comparació de Toponogov]], que permet comparar almenys localment la varietat riemanniana estudiada en els espais models, segons les inequacions suposades conegudes sobre la curvatura de la secció. Entre els espais modelats hi ha:
* L'[[espai euclidià]] és una varietat riemanniana de curvatura nul·la; 
* L'[[esfera]] de dimensió ''n'' és una varietat riemanniana de curvatura positiva constant 1;
* L'[[espai hiperbòlic]] de dimensió ''n'' és una varietat riemanniana de curvatura negativa -1.

=== Geometria complexa ===
La [[geometria complexa]] comporta les propietats d'espais que es poden identificar localment amb <math>\mathbb C^n</math>. Aquests objectes ([[varietat complexa]]) presenten una certa rigidesa, que es desprén de la unicitat d'un prolongament analític d'una funció de diverses variables.

=== Geometria simplèctica ===
La [[geometria simplèctica]] es pot introduir com una generalització en dimensió superior de la noció d'àrea que es troba en dimensió 2. Com la geometria complexa, els seus objectes d'estudi, les varietats simplèctiques, són força rígids.

== Aplicacions de la geometria ==
Durant molt de temps, la geometria i l'[[astronomia]] han estat lligades. A un nivell elemental, el càlcul de les mides de la [[Lluna]], del [[Sol]] i de les seves distàncies respectives a la [[Terra]] fa servir el [[teorema de Tales]]. En els primers models del sistema solar, a cada planeta se li associava un [[sòlid platònic]]. Des de les observacions astronòmiques de [[Johannes Kepler|Kepler]], confirmades pels treballs de [[Isaac Newton|Newton]], s'ha vist que els planetes segueixen una [[òrbita el·líptica]] que té el Sol en un dels seus focus. Aquestes consideracions de natura geomètrica es fan servir habitualment en [[mecànica clàssica]] per a descriure'n qualitativament les [[Trajectòria (cinemàtica)|trajectòries]].

En aquest sentit, la geometria intervé en [[enginyeria]] en l'estudi de l'estabilitat d'un sistema mecànic. També intervé de forma encara més natural en el [[dibuix tècnic]]. El dibuix tècnic presenta les seccions o les [[Projecció gràfica|projeccions]] d'un objecte tridimensional, i en conté anotades les longituds i els angles. És la primera etapa de la realització d'un projecte de [[disseny industrial]]. Recentment, l'aplicació de la [[informàtica]] a la geometria ha permès l'arribada del [[disseny assistit per ordinador]] (CAD), i del [[Anàlisi d'elements finits|càlcul per elements finits]].

La [[trigonometria]] euclidiana intervé en [[òptica]] per estudiar, per exemple, la [[difracció]] de la llum. La geometria també és a l'origen del desenvolupament de la [[navegació aquàtica]] basant-se en les estrelles (amb els [[Sextant astronòmic|sextants]]), [[cartografia]], navegació aèria (pilotatge d'instruments a partir dels senyals de les balises).

Els nous avenços en geometria al segle XIX troben aplicació en física. Sovint es diu que la [[geometria de Riemann]] ha estat motivada inicialment per les interrogacions de Gauss sobre la cartografia de la Terra. Dona compte en particular de la geometria de les superfícies en l'espai. Una de les seves extensions, la [[geometria Lorenz]], ha subministrat el formalisme ideal per formular les lleis de la [[relativitat general]]. La [[geometria diferencial]] troba noves aplicacions en la física postnewtoniana amb la [[teoria de cordes]] o la de les [[Teoria de membranes|membranes]].

La [[geometria no commutativa]], inventada per [[Alain Connes]], s'està imposant per oferir les estructures matemàtiques adequades amb les quals treballar per establir noves teories físiques.

Dins la relació entre [[matemàtiques i futbol]], es pot fer servir la geometria per construir les proporcions perfectes d'un [[estadi de futbol]], d'una [[pilota]] o usant la [[proporció àuria]], i [[Optimització matemàtica|optimitzant]] el [[joc]].

== Geòmetres ==
{{categoria principal|Geòmetres}}
* [[Euclides]] (''c''. 300 aC)
* [[Al-Mahaní]] (853 -)
* [[Thàbit ibn Qurra]] (836 - 901)
* [[Abu-l-Wafà Muhàmmad al-Buzajaní|Al-Buzajaní]]
* [[Ibn al-Hàytham]] (~965 - 1040)
* [[Omar Khayyam]] (1048 - 1131)
* [[Jàbir ibn Àflah |Geber]]
* [[Nassir-ad-Din at-Tussí]] (1201– 1274)
* [[Erazmus Ciolek Witelo |Witelo]] (''c''. 1230)
* [[Levi ben Gerson]] (1288 - 1344)
* [[Oronce Finé]]
* [[Pedro Nunes]]. ''De erratis Orontii Finei'' (Coïmbra, 1546).<ref>{{ref-llibre|títol=Literatura Moderna: 4-6|url=https://books.google.cat/books?id=oMVaAAAAcAAJ&pg=PA261|any=1789|editorial=En La Imprenta De Don Pedro Marin|pàgines=261–}}</ref>
* [[Girard Desargues]] (1591-1661)
* [[René Descartes]] (1596-1650)
* [[Pierre de Fermat]] (1601-1665)
* [[John Wallis]] (1616 – 1703)
* [[Giovanni Girolamo Saccheri]] (1667 – 1733)
* [[Carl Friedrich Gauss]] (1777 – 1855)
* [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky]] (1792 - 1856)
* [[János Bolyai]] (1802 - 1860)
* [[Ludwig Schläfli]] (1814 - 1895)
* [[Bernhard Riemann]] (1826 – 1866)
* [[Felix Klein]] (1849 – 1925)
* [[Henri Poincaré]] (1854 – 1912)

== Referències i notes ==
{{Referències}}

== Enllaços externs ==
{{Projectes germans|Viccionari= geometria}}
* [http://www.geometriafractal.com Geometria fractal].
* [http://traduccionssimoneweil.cat/pdf/esbosdunahistoriadelacienciagrega.pdf Esbós d'una història de la ciència grega (Simone Weil)].

{{1000 Ciència}}
{{Autoritat}}


[[Categoria:Geometria| ]]