Mostra la font per a Integral trigonomètrica

''Per integrals simples de funcions trigonomètirques, vegi [[Primitives de funcions trigonomètriques]].''[[Fitxer:Sine_cosine_integral.svg|miniatura|Si(x) (Blau) i Ci(x) (verd) representats en el mateix gràfic.]]
Les '''integrals trigonomètriques''' són una [[Família (matemàtiques)|família]] de les [[Integració|integrals]] que impliquen [[Funció trigonomètrica|funcions trigonomètriques]].

== Integral del sinus ==
[[Fitxer:Sine_integral.svg|miniatura|Trama de Si('''''x''''') per {{Math|0 ≤ ''x'' ≤ 8 ''π''}}.]]
Les definicions d'integral sinus són

:: <math>\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt</math>
:: <math>\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt~.</math>

L'integrand {{frac|{{math|sin ''x''}}|{{math|''x''}}}} és la [[funció sinc]], i també el zero de la [[funció de Bessel]].
{{Math|sinc}} és una [[funció entera]] [[parell]] ([[Funció holomorfa|holomorfa]] sobre tot el pla complex), per tant, Si és entera, senar, i la integral en la seva definició pot ser anar per [[Teorema de la integral de Cauchy|qualsevol camí]] que connecta el extrems.

Per definició, Si(x) és la [[primitiva]] de {{Math|sin ''x'' / ''x''}}, el valor de la qual és zero a x = 0, i si(x) és la [[primitiva]] el valor de la qual és zero a x = ∞. La seva diferència és donada per l'integral de Drichlet ,

:: <math>\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2} \quad \text{ or } \quad \operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{si}(x) ~.</math>

== Integral del cosinus ==
[[Fitxer:Cosine_integral.svg|miniatura|Gràfic de Ci({{Math|Ci(''x'')}}) per {{Nowrap|0 < {{mvar|x}} ≤ 8{{mvar|π}} .}} x {{Nowrap|0 < {{mvar|x}} ≤ 8{{mvar|π}} .}} 8π .]]
Les diferents definicions de l'integral [[cosinus]] són:

:: <math>\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\operatorname{d}t~,</math>

:: <math>\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\operatorname{d}t = \gamma + \ln x - \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\operatorname{d}t
\qquad ~\text{ per } ~\left|\operatorname{Arg}(x)\right| < \pi~,</math>

On {{Mvar|γ}} ≈ 0.57721566 ... és la [[Constant d'Euler-Mascheroni|constant d'Euler–Mascheroni]].

{{Math|Ci(''x'')}} és la primitiva de {{Math|cos ''x'' / ''x''}} (que desapareix a mesura que <math>x \to \infty</math>). Les dues definicions estan relacionades per

:: <math>\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Cin}(x)~.</math>

{{Math|Cin}} és una [[funció entera]] parell. Per aquest motiu, alguns textos tracten {{Math|Cin}} com a la funció primària i deriven Ci a partir de Cin.

== Integral del sinus hiperbòlic ==
La integral del [[Funció hiperbòlica|sinus hiperbòlic]] és defineix com 

:: <math>\operatorname{Shi}(x) =\int_0^x \frac {\sinh (t)}{t}\,dt.</math>

Esta relacionada a l'integral de sinus per

:: <math>\operatorname{Si}(ix) = i\operatorname{Shi}(x).</math>

== Integral del cosinus hiperbòlic ==
La integral del [[cosinus hiperbòlic]] és

: <math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\;\cosh t-1\;}{t}\operatorname{d}t \qquad ~ \text{ per } ~ \left| \operatorname{Arg}(x) \right| < \pi~,</math>

On <math>\gamma </math> és la [[Constant d'Euler-Mascheroni]].

Té l'expansió de sèrie

: <math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12}).</math>

== Funcions auxiliars ==
Les integrals trigonomètriques poden ser enteses en termes de "funcions auxiliars"

: <math>
\begin{array}{rcl}
f(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \mathrm{d}t &=& \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \mathrm{d}t 
 &=& \quad \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~, \qquad \text{ i } \\
g(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \mathrm{d}t &=& \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \mathrm{d}t 
 &=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~.
\end{array}
</math>

Utilitzant aquestes funcions, les integrals trigonomètriques poden expressar-se com 
(cf. Abramowitz & Stegun, p. 232)

: <math>
\begin{array}{rcl}
\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x) &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ i } \\
\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\
\end{array}
</math>

== Espiral de Nielsen ==
[[Fitxer:Nielsen's_spiral.png|miniatura|Espiral de Nielsen]]
L'espiral format per la representació dels paramètres de si, ci es coneix com espiral de Nielsen.

: <math>x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)</math><br /> <math>y(t) = a \times \operatorname{si}(t)</math>

L'espiral de Nielsen està relacionat amb les [[Integral de Fresnel|integrals de Fresnel]] i l'espiral d'Euler. Té aplicacions dins el processament de la visió, la construcció de carreteres i altres camps.<ref>{{Ref-llibre|cognom=Gray|títol=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces.|any=1993|lloc=Boca Raton,|pàgines=119}}</ref>

== Expansió ==
Es poden utilitzar diverses expansions per avaluar les integrals trigonomètriques, depenent en el rang de l'argument.

=== Sèrie asimptòtica (per argument gran) ===
: <math>\operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2} 
 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)</math>
: <math>\operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.</math>

Aquestes sèries són [[Sèrie asimptòtica|asimptòtiques]] i divergents, tot i que poden ser utilitzades per fer estimacions i avaluacions parells precises en ℜ(x) ≫ 1.

=== Sèries convergents ===
: <math>\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots</math>
: <math>\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots</math>

Aquestes sèries són convergents a qualsevol {{Mvar|x}} complexa, tot i que per | ''x'' | {{math|≫ 1}}, la sèrie convergirà lentament en l'inici, requerint molts termes per obtenir una precisió alta.

=== Derivació d'expansió de Sèries ===
(Expansió de sèrie Maclaurin)<math>\sin\,x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\,...
</math>

<math>\frac{\sin\,x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}- \frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\,...
</math>

<math>\therefore\int \frac{\sin\,x}{x}dx = x - \frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}- \frac{x^7}{7!\cdot7}+\frac{x^9}{9!\cdot9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot11}+\,...
</math>

== Relació amb la integral exponencial d'argument imaginari ==
La funció

: <math display="block">
\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad~\text{ per }~ \Re(z) \ge 0 </math>

s'anomena [[Exponencial integral|integral exponencial]]. Està relacionada a {{Math|Si}} i Ci,

: <math display="block">
\operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad ~\text{ for }~ x > 0 ~.
</math>

Les funcions són analítiques excepte en el tall dels valors negatius de l'argument, per aquesta raó l'àrea de la validesa de la relació s'hauria d'estendre més enllà d'aquest rang.

Casos d'arguments imaginaris de la funció generalitzada integro-exponencial són

: <math display="block">
\int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx =
-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2}
+\sum_{n\ge 1} \frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2} ~,
</math>

que és la part real de

: <math display="block">
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x} \, \operatorname{d}x = 
-\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2} 
-\frac{\pi}{2}i\left(\gamma+\ln a\right) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2} ~.
</math>

De manera semblant

: <math display="block">
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}\, \operatorname{d}x = 
 1 + ia\left[ -\frac{\;\pi^2}{24} + \gamma \left(\frac{\gamma}{2} + \ln a - 1 \right) + \frac{\ln^2 a}{2} - \ln a + 1 \right]
+ \frac{\pi a}{2} \Bigl(\gamma+\ln a - 1 \Bigr) 
 + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}~.
</math>

== Avaluació eficaç ==
== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* {{Cite arXiv|first=R.J.|last=Mathar|title=Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(''iπx'')&middot;''x''<sup>1/''x''</sup> between 1 and ∞|year=2009}}
* {{Ref-llibre|cognom=Press|nom=W.H.|any=2007|títol=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing|edició=3rd|editorial=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-88068-8|capítol=Section 6.8.2 – Cosine and Sine Integrals|urlcapítol=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=300}}
* {{Ref-web|nom=Dan|cognom=Sloughter|url=http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf|títol=Sine Integral Taylor series proof|obra=Difference Equations to Differential Equations|consulta=2021-02-09|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20151105185931/http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf|arxiudata=2015-11-05}}

== Enllaços externs ==
* [http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html http://mathworld.wolfram.com/sineintegral.html]
* {{Springer|title=Integral sine}}
* {{Springer|title=Integral cosine}}

[[Categoria:Integrals]]
[[Categoria:Funcions especials]]
[[Categoria:Trigonometria]]