Mostra la font per a Integrals comuns en teoria quàntica de camps

'''Les integrals comunes en la teoria quàntica de camps''' són totes les variacions i generalitzacions de [[Integral de Gauß|les integrals gaussianas]] al [[pla complex]] i a dimensions múltiples.<ref name="Zee2">{{Ref-llibre|cognom=A. Zee|títol=Quantum Field Theory in a Nutshell|editorial=Princeton University|any=2003|isbn=0-691-01019-6|llengua=anglès}}</ref>  Altres integrals es poden aproximar mitjançant versions de la integral gaussiana. També es consideren integrals de Fourier.<ref>{{Ref-web|url=https://assets.cambridge.org/97811088/38801/excerpt/9781108838801_excerpt.pdf|títol=Quantum Field Theory Basics|consulta=25-2-2024|llengua=anglès}}</ref>

== Variacions sobre una integral gaussiana simple ==
=== Integral gaussiana ===
La primera integral, amb una àmplia aplicació fora de la teoria quàntica de camps, és la integral gaussiana.<math display="block"> G \equiv \int_{-\infty}^{\infty} e^{-{1 \over 2} x^2}\,dx</math>En [[física]] el factor 1/2 en l'argument de l'exponencial és comú.

=== Integrals amb un terme lineal imaginari a l'argument de l'exponent ===
La integral<math display="block"> \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -{1 \over 2} a x^2 +iJx\right ) dx = \left ({2\pi \over a } \right ) ^{1\over 2} \exp\left( -{ J^2 \over 2a }\right ) </math>és proporcional a la [[transformada de Fourier]] de la Gaussiana on {{Mvar|J}} és la [[Variables conjugades|variable conjugada]] de {{Mvar|x}}. Completant de nou el quadrat veiem que la transformada de Fourier d'un gaussià també és gaussiana, però en la variable conjugada. Com més gran {{Mvar|a}}, més estret és el gaussià en {{Mvar|x}} i més ample és el gaussià en {{Mvar|J}}. Aquesta és una demostració del [[Principi d'incertesa de Heisenberg|principi d'incertesa]].

Aquesta integral també es coneix com la [[transformació Hubbard-Stratonovich]] utilitzada en la teoria de camps.<ref>{{Ref-web|títol=Some Useful Integrals In Quantum Field Theory {{!}} Physics Forums|url=https://www.physicsforums.com/insights/useful-integrals-quantum-field-theory/|data=2015-07-04|consulta=2024-02-25|llengua=en-US|nom=Bill|cognom=Hobba}}</ref>

=== Integrals amb un argument complex de l'exponent ===
La integral d'interès és (per a un exemple d'aplicació vegeu [[Relació entre l'equació de Schrödinger i la formulació integral del camí de la mecànica quàntica|Relació entre l'equació de Schrödinger i la formulació de la integral del camí de la mecànica quàntica]])<math display="block"> \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( {1 \over 2} i a x^2 + iJx\right ) dx. </math>Ara suposem que {{Mvar|a}} i {{Mvar|J}} poden ser complexos.

Completant el quadrat<math display="block"> \left( {1 \over 2} i a x^2 + iJx\right ) = {1\over 2} ia \left (x^2 + {2Jx \over a} + \left ({ J \over a} \right )^2 - \left ({ J \over a} \right )^2 \right ) = -{1\over 2} {a \over i} \left (x + {J\over a} \right )^2 - { iJ^2 \over 2a}. </math>Per analogia amb les integrals anteriors

<math display="block"> \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( {1 \over 2} i a x^2 + iJx\right ) dx = \left ({2\pi i \over a } \right ) ^{1\over 2} \exp\left( { -iJ^2 \over 2a }\right ). </math>Aquest resultat és vàlid com a integració en el pla complex sempre que {{Mvar|a}} sigui diferent de zero i tingui una part imaginària semipositiva. Vegeu [[Integral de Fresnel|la integral de Fresnel]].

== Integrals gaussianes en dimensions superiors ==
Les integrals unidimensionals es poden generalitzar a múltiples dimensions.<ref>{{Ref-llibre|cognom=Frederick W. Byron and Robert W. Fuller|títol=Mathematics of Classical and Quantum Physics|editorial=Addison-Wesley|any=1969|isbn=0-201-00746-0|llengua=anglès}}</ref><math display="block">\int \exp\left( - \frac 1 2 x \cdot A \cdot x +J \cdot x \right) d^nx = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \exp \left( {1\over 2} J \cdot A^{-1} \cdot J \right)</math>Aquí {{Mvar|A}} és una [[matriu simètrica]] definida positiva real.

Aquesta integral es realitza mitjançant [[Matriu diagonalitzable|la diagonalització]] de {{Mvar|A}} amb una [[Matriu ortogonal|transformació ortogonal]]<math display="block">D= O^{-1} A O = O^T A O</math>on {{Mvar|D}} és una [[matriu diagonal]] i {{Mvar|O}} és una [[matriu ortogonal]]. Això desacobla les variables i permet que la integració es realitzi com {{Mvar|n}} integracions unidimensionals.

Això s'il·lustra millor amb un exemple bidimensional.

=== Exemple: Integració gaussiana simple en dues dimensions ===
La integral gaussiana en dues dimensions és<math display="block">\int \exp\left( - \frac 1 2 A_{ij} x^i x^j \right) d^2x = \sqrt{\frac{(2\pi)^2}{\det A}}</math>on {{Mvar|A}} és una matriu simètrica bidimensional amb components especificats com

<math display="block"> A = \begin{bmatrix} a&c\\ c&b\end{bmatrix}</math>i hem utilitzat la [[Conveni de sumació d'Einstein|convenció de suma d'Einstein]].

Fent els següents procediments:

* Diagonalitzar la matriu

* Valors propis d''<nowiki/>'A''

* Vectors propis d'''A''

* Construcció de la matriu ortogonal

* Matriu diagonal

Les integracions ja es poden realitzar i queda:<math display="block">\begin{align}
\int \exp\left( - \frac{1}{2} x^\mathsf{T} A x \right) d^2x
={}& \int \exp\left( - \frac 1 2 \sum_{j=1}^2 \lambda_{j} y_j^2 \right) d^2y \\[1ex]
={}& \prod_{j=1}^2 \left( { 2\pi \over \lambda_j } \right)^{1/2} \\ 
={}& \left( { (2\pi)^2 \over \prod_{j=1}^2 \lambda_j } \right)^{1/2} \\[1ex]
={}& \left( { (2\pi)^2 \over \det{ \left( O^{-1}AO \right)} } \right)^{1/2} \\[1ex]
={}& \left( { (2\pi)^2 \over \det{ \left( A \right)} } \right)^{1/2}
\end{align}</math>

== Referències ==
{{Referències}}

[[Categoria:Matemàtica aplicada]]