Mostra la font per a Introducció a la teoria de grups

{{vegeu lliure|Aquest article conté una introducció a les nocions bàsiques. Per un enfocament tècnic avançat es desenvolupa a l'article [[teoria de grups]].}}
[[Fitxer:Rubik's cube.svg|miniatura|Les possibles manipulacions del [[Cub de Rubik]] formen un grup.]]
En [[matemàtiques]], la '''teoria de grups''' estudia els grups. Un '''grup''' és una [[estructura algebraica]] que consta d'un [[conjunt]] juntament amb una [[operació binària|operació]] que combina qualsevol parella dels seus elements per a formar un tercer element. Perquè es pugui qualificar de grup, el conjunt i operació han de satisfer unes quantes condicions anomenades [[axioma|axiomes]] de grup, aquestes condicions són: tenir la [[propietat associativa]], tenir [[element identitat]] i [[element invers]]. Mentre que aquestes característiques són familiars a moltes [[estructures matemàtiques]], com ara els diferents sistemes de [[nombres]] (per exemple els enters dotats de l'operació d'addició formen una estructura de grup), la formulació dels axiomes se separa de la natura concreta del grup i el seu funcionament. Això permet, en [[àlgebra abstracta]] i altres camps, manejar entitats d'orígens matemàtics molt diferents d'una manera flexible, mentre es conserven aspectes estructurals essencials de molts objectes. La ubiqüitat dels grups en nombroses àrees (tant dintre com fora de les matemàtiques) els converteix en un principi central entorn del qual s'organitzen les matemàtiques contemporànies.<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2, pàg. 26|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Hall|year = 1967|loc = §1.1, pàg. 1|nb = yes}}: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."</ref>

Els grups comparteixen un parentiu fonamental amb la noció de [[simetria]]. Un [[grup de simetria]] codifica les característiques de simetria d'un objecte [[geometria|geomètric]]: consisteix en el conjunt de transformacions que deixen inalterat l'objecte, i l'operació de combinar dues d'aquestes transformacions realitzant-ne una després de l'altre. Tals grups de simetria, especialment els [[Grups de Lie]] continus, tenen un paper important en moltes disciplines acadèmiques. Els [[grup de matrius|grups de matrius]], per exemple, es poden fer servir per entendre les lleis [[física|físiques]] fonamentals en què es basen la [[relativitat especial|relativitat]] i els fenòmens de simetria en la [[química]] molecular.

El concepte d'un grup va sorgir de l'estudi d'[[equacions polinòmiques]], començant amb [[Évariste Galois]] durant els anys 1830. Després de contribucions des d'uns altres camps com la [[teoria de nombres]] i la geometria, la noció de grup es va generalitzar i s'establí fermament al voltant de 1870. La moderna [[teoria de grups]] (una disciplina matemàtica molt activa) estudia els grups per se.{{efn|A [[Mathematical Reviews]] surten 3.224 articles de recerca sobre teoria de grups i les seves generalitzacions escrits durant l'any 2005.|nom=a}} per a explorar els grups, els matemàtics han ideat diverses nocions dividir grups en trossos més petits, més comprensibles, com ara [[subgrup]]s, [[grup quocient|grups quocient]] i [[grup simple|grups simples]]. A més a més de les seves propietats abstractes, els teòrics dels grups també estudien les maneres diferents en què un grup es pot expressar en forma concreta (les seves [[representació d'un grup|representacions de grup]]), tant des d'un punt de vista [[teoria de la representació|teòric]] com d'un punt de vista [[teoria de grups computacional|computacional]]. Una teoria especialment rica s'ha desenvolupat per a [[grup finit|grups finits]], que va culminar amb la [[classificació dels grups simples finits]] completada el 1983.

{{TOClimit|limit=3}}

== Definició i il·lustració ==
=== Primer exemple: els enters ===
Un dels grups més familiar és el conjunt dels [[nombres enters]] '''Z''' que consisteix en els nombres
:..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2005|loc = Ap. 2, pàg. 360|nb = yes}}</ref>
Les propietats següents de l'[[addició]] d'enters serveixen com a model per als axiomes de grup abstractes que es donen en la definició de més avall.

# Per a qualsevol parell d'enters ''a'' i ''b'', la suma ''a'' + ''b'' és també un enter. En altres paraules, el procés d'addició d'enters dos alhora mai no pot produir un resultat que no sigui un enter. Aquesta propietat es coneix com a [[clausura]] respecte a l'addició.
# Per a tots els enters ''a'', ''b'' i ''c'', (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c''). Expressat en paraules, sumant primer ''a'' i ''b'', i llavors sumant el resultat amb ''c'' dona el mateix resultat final que sumant ''a'' al resultat de sumar ''b'' i ''c'', aquesta propietat es coneix com a ''[[propietat associativa]]''.
# Si ''a'' és un enter qualsevol, llavors 0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a''. Del [[zero]] se'n diu que és l'[[element identitat]] de l'addició perquè en sumar-lo a qualsevol enter dona el mateix enter.
# Per a cada enter ''a'', hi ha un enter ''b'' tal que ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' = 0. L'enter ''b'' s'anomena l'[[element invers]] de l'enter ''a'' i es nota −''a''.

=== Definició ===
Els enters, juntament amb l'operació "+", formen un objecte matemàtic que pertany a una classe vasta en la qual hi ha altres objectes que comparteixen aspectes estructurals similars. Per entendre apropiadament aquestes estructures sense tractar amb cada cas concret per separat, es desenvolupa la [[definició]] abstracta següent que inclou l'exemple citat junt amb molts altres, un dels quals és el grup de simetria detallat més avall.

Un grup és un [[conjunt]], ''G'', conjuntament amb una [[operació binària]] "•" que combina dos [[Element (matemàtiques)|elements]] qualssevol ''a'' i ''b'' de ''G'' per formar un altre element notat {{nowrap|''a'' • ''b''}}. El símbol "•" és un element general per a representar una operació concretament donada qualsevol, com ara l'addició de més amunt. Per a poder-se qualificar de grup, el conjunt i l'operació {{nowrap|(''G'', •)}}, han de satisfer quatre requisits coneguts com els ''axiomes de grup'':<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2.1, pàg. 27|nb = yes}}</ref>
:{|
| 1. || style="width:150pt;"| Clausura. || Per a tot ''a'', ''b'' de ''G'', el resultat de l'operació ''a'' • ''b'' també pertany a ''G''.{{efn|L'axioma de clausura ja ve implícit per la condició que • sigui una operació. Per això alguns autors ometen aquest axioma.{{sfn|Lang|2002}}}}
|-
| 2. || Propietat associativa. || Per a tots ''a'', ''b'' i ''c'' de ''G'', es compleix l'equació (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'').
|-
| 3. || Element identitat. || Existeix un element ''e'' de ''G'', tal que per a tots els elements ''a'' de ''G'', es compleix l'equació {{nowrap begin}}''e'' • ''a'' = ''a'' • ''e'' = ''a''{{nowrap end}}.
|-
| 4. || Element invers. || Per a tot ''a'' de ''G'', existeix un element ''b'' de ''G'' tal que ''a'' • ''b'' = ''b'' • ''a'' = ''e'', on ''e'' és l'element identitat.
|}

L'ordre en el qual es fa l'operació de grup pot ser significatiu. En altres paraules, el resultat d'operar l'element ''a'' amb l'element ''b'' no ha de donar necessàriament el mateix que operant ''b'' amb ''a''; l'equació
:{{nowrap begin}}''a'' • ''b'' = ''b'' • ''a''{{nowrap end}}
pot no ser sempre certa. Aquesta equació sempre es compleix al grup d'enters amb l'addició, perquè {{nowrap begin}}''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''{{nowrap end}} per a dos enters qualssevol ([[propietat commutativa]] de l'addició). Tanmateix, no es compleix sempre al grup de simetria de més avall. Els grups en què l'equació {{nowrap begin}}''a'' • ''b'' = ''b'' • ''a''{{nowrap end}} sempre es compleix s'anomenen [[grup abelià|abelians]] (en honor de [[Niels Henrik Abel]]). Així, el grup dels enters amb l'addició és abelià, però el grup de simetria següent no ho és.

=== Segon exemple: un grup de simetria ===
Les [[simetria|simetries]] (és a dir, les [[Rotació (matemàtiques)|rotacions]] i les [[reflexió|reflexions]]) d'un [[Quadrat (polígon)|quadrat]] formen un grup anomenat un [[grup dièdric]], i es nota D₄.<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2.6, pàg. 54|nb = yes}}</ref> Té les següents simetries:
{| class=wikitable style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"
|-
| [[Fitxer:Group D8 id.svg|140px|Identitat]] <br /> id (deixar-ho com estava) || [[Fitxer:Group D8 90.svg|140px|r<sub>1</sub> (rotació de 90° a la dreta)]] <br /> r<sub>1</sub> (rotació de 90° a la dreta) || [[Fitxer:Group D8 180.svg|140px|r2 (rotació de 180° a la dreta)]] <br /> r₂ (rotació de 180° a la dreta) || [[Fitxer:Group D8 270.svg|140px|r3 (rotació de 270° a la dreta)]] <br /> r₃ (rotació de 270° a la dreta)
|-
| [[Fitxer:Group D8 fv.svg|140px|fv (reflexió vertical)]] <br /> f<sub>v</sub> (reflexió vertical) || [[Fitxer:Group D8 fh.svg|140px|fh (reflexió horitzontal)]] <br /> f<sub>h</sub> (reflexió horitzontal)|| [[Fitxer:Group D8 f13.svg|140px|fd (reflexió diagonal)]] <br /> f<sub>d</sub> (reflexió diagonal) || [[Fitxer:Group D8 f24.svg|140px|fc (reflexió contradiagonal)]] <br /> f<sub>c</sub> (reflexió contradiagonal)
|-
|style="text-align:left" colspan=4 | Els elements del grup de simetria del quadrat (D₄). Els vèrtexs es pinten i es numeren només per visualitzar les operacions.
|}
:* L'[[operació identitat]] que ho deixa tot tal com estava, notada id;
:* rotacions del quadrat de 90° a la dreta, 180° a la dreta, i 270° a la dreta, notades r<sub>1</sub>, r₂ i r₃, respectivament;
:* reflexions respecte dels eixos vertical i horitzontal (f<sub>v</sub> i f<sub>h</sub>), o respecte de les dues [[diagonal]]s (f<sub>d</sub> i f<sub>c</sub>).

{{clear}}
Dues simetries qualssevol ''a'' i ''b'' es poden compondre, és a dir aplicar una després de l'altre. El resultat de fer primer ''a'' i llavors ''b'' s'escriu simbòlicament ''d'esquerra a dreta'' com
:{{nowrap begin}}''b'' • ''a''{{nowrap end}} ("apliqueu la simetria ''b'' després d'haver aplicat la simetria ''a''". La notació de dreta a esquerra prové de la notació per a la [[composició de funcions]]).
La [[taula de Cayley|taula de grup]] a la dreta presenta els resultats de totes les composicions possibles. Per exemple, girar 270° a la dreta (r₃) i llavors fer una reflexió horitzontal (fh) és el mateix que fer una reflexió al llarg de la diagonal (fd). Utilitzant els símbols citats, ombrejat en blau a la taula de grup:
:{{nowrap begin}}f<sub>h</sub> • r₃ = f<sub>d</sub>.{{nowrap end}}

{| class=wikitable style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ [[taula de Cayley|Taula de grup]] de D₄
|-
! style="width:12%; background:#fdd; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"| •
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| id
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r<sub>1</sub>
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r₂
! style="background:#fdd; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r₃
! style="width:11%;"| f<sub>v</sub> !! style="width:11%;"| f<sub>h</sub> !! style="width:11%;"| f<sub>d</sub> !! style="width:11%;"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | id
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;" | r₂
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r₃ || f<sub>v</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>d</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r₂
|style="background:#FDD;"| r₃
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| id || f<sub>c</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>v</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>h</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | r₂
|style="background:#FDD;"| r₂
|style="background:#FDD;"| r₃
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>1</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>c</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>d</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | r₃
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r₃
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| id
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| r₂ || f<sub>d</sub> || f<sub>c</sub>
|| f<sub>h</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| f<sub>v</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>v</sub>
| f<sub>v</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub>|| id || r₂ || r<sub>1</sub> || r₃
|- style="height:10%"
! f<sub>h</sub>
| f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> ||style="background:#DDF;border:solid black 2px;"| f<sub>d</sub> || r₂ || id || r₃ || r<sub>1</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>d</sub>
| f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> || r₃ || r<sub>1</sub> || id || r₂
|- style="height:10%"
! f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>v</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>d</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | f<sub>h</sub> || r<sub>1</sub> || r₃ || r₂ || id
|-
| colspan=9 style="text-align:left"| Els elements: id, r<sub>1</sub>, r₂, i r₃ formen un [[subgrup]], ombrejat en vermell (regió de l'esquerra superior). Una [[classe lateral]] esquerra i dreta d'aquest subgrup és presenta ombrejada en verd (a l'última fila) i groc (última columna), respectivament.
|}
Donats aquest conjunt de simetries i l'operació descrita, els axiomes de grup es poden entendre de la manera següent:

:1. L'axioma de clausura demana que la composició {{nowrap begin}}''b'' • ''a''{{nowrap end}} de dues simetries qualssevol ''a'' i ''b'' sigui també una simetria. Un altre exemple per a l'operació de grup és
:{{nowrap begin}}r₃ • f<sub>h</sub> = f<sub>c</sub>,{{nowrap end}}
és a dir, girar 270° a la dreta després d'una reflexió horitzontal és el mateix que fer una reflexió al llarg de la contradiagonal (f<sub>c</sub>). En efecte cada dues combinacions de dues simetries donen una simetria, com es pot comprovar fent servir la taula de grup.

:2. La condició d'associativitat tracta amb compondre més de dues simetries: donats tres elements ''a'', ''b'' i ''c'' de D₄, hi ha dues maneres possibles de calcular "''a'' llavors ''b'' llavors ''c''". El requisit
:{{nowrap begin}}(''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c''){{nowrap end}}
vol dir que la composició dels tres elements és independent de la prioritat de les operacions, és a dir, component ''a'' amb ''b'', i després ''c'' amb {{nowrap|''a'' • ''b''}} equival a fer ''a'' després de la composició de ''b'' i ''c''. Per exemple {{nowrap begin}} (f<sub>d</sub> • f<sub>v</sub>) • r₂ = f<sub>d</sub> • (f<sub>v</sub> • r₂){{nowrap end}} com es pot comprovar fent servir la taula de grup de la dreta
:{|style="text-align:center"|
|(f<sub>d</sub> • f<sub>v</sub>) • r₂|| = ||r₃ • r₂|| = ||r<sub>1</sub>, que és igual a
|-
|f<sub>d</sub> • (f<sub>v</sub> • r₂)|| = ||f<sub>d</sub> • f<sub>h</sub>|| = ||r<sub>1</sub>.
|}

:3. L'element identitat és la simetria id que ho deixa tot inalterat: per a qualsevol simetria ''a'', realitzant id després de ''a'' (o ''a'' després d'id) és igual a ''a'', de forma simbòlica,
: {{nowrap begin}}id • ''a'' = ''a'',{{nowrap end}}
: {{nowrap begin}}''a'' • id = ''a''.{{nowrap end}}

:4. Un element invers desfà la transformació d'algun altre element. Totes les simetries es poden desfer: cada una de les transformacions: id, f<sub>h</sub>, f<sub>v</sub>, f<sub>d</sub>, f<sub>c</sub> i r₂ són la seva pròpia inversa, perquè actuant cada una dues vegades porta el quadrat a la seva orientació original. Les rotacions r₃ i r<sub>1</sub> són la inversa una de l'altre, perquè girant cap a un cantó i llavors el mateix angle cal a l'altre cantó deixa al quadrat inalterat. En símbols,
:{{nowrap begin}}f<sub>h</sub> • f<sub>h</sub> = id,{{nowrap end}}
:{{nowrap begin}}r₃ • r<sub>1</sub> = r<sub>1</sub> • r₃ = id.{{nowrap end}}

A diferència del grup d'enters de damunt, on l'ordre de l'operació és irrellevant, en D₄ sí que importa: {{nowrap begin}}f<sub>h</sub> • r<sub>1</sub> = f<sub>c</sub>{{nowrap end}} però {{nowrap begin}}r<sub>1</sub> • f<sub>h</sub> = f<sub>d</sub>{{nowrap end}}. En altres paraules, D₄ [[grup no abelià|no és abelià]], això fa l'estructura del grup més difícil que la dels enters presentada abans.

== Història ==
El concepte modern de grup abstracte es va desenvolupar a través d'uns quants camps de les matemàtiques.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Wussing|year = 2007}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Kleiner|year = 1986|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Smith|year = 1906|nb = yes}}</ref> La motivació original per al desenvolupament de la teoria de grups va ser buscar solucions d'[[equació polinòmica|equacions polinòmiques]] de grau superior a 4. El matemàtic francès del {{segle|XIX}} [[Évariste Galois]], estenent el treball previ de [[Paolo Ruffini]] i [[Joseph-Louis Lagrange]], va donar un criteri per a la resolubilitat d'una equació polinòmica particular en termes del [[grup de simetria]] de les seves [[arrel (matemàtiques)|arrels]] (solucions). Els elements d'aquest [[grup de Galois]] corresponen a certes [[permutació|permutacions]] de les arrels. Al principi, les idees de Galois foren rebutjades pels seus contemporanis, i es publicaren només pòstumament.<ref>{{Harvard citations|last = Galois|year = 1908|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Kleiner|year = 1986|loc = pàg. 202|nb = yes}}</ref> Més en general els grups de permutació foren investigats en particular per [[Augustin Louis Cauchy]]. [[Arthur Cayley]] a l'obra ''Sobre la teoria de grups que depenen de l'equació simbòlica θ<sup>n</sup> = 1'' ([[1854]]) dona la primera definició abstracta de [[grup finit]].<ref>{{Harvard citations|last=Cayley|year=1889|nb=yes}}</ref>

La geometria va ser el segon camp en el qual els grups es van fer servir sistemàticament, especialment els [[grup de simetria|grups de simetria]] com a part del [[programa Erlangen]] de [[Felix Klein]] de 1872.<ref>{{Harvard citations|last = Wussing|year = 2007|loc = §III.2|nb = yes}}</ref> Després que emergissin noves geometries com la [[geometria hiperbòlica|hiperbòlica]] i la [[geometria projectiva]], Klein feia servir la teoria de grups per organitzar-les d'una manera més coherent. Avançant més aquestes idees, [[Sophus Lie]] fundava l'estudi dels [[Grups de Lie]] el [[1884]].<ref>{{Harvard citations|last=Lie|year=1973|nb=yes}}</ref>

El tercer camp que va contribuir a la teoria de grups va ser la [[teoria de nombres]]. Certes estructures de [[grup abelià]] havien estat utilitzades implícitament en el treball teòric sobre nombres de [[Carl Friedrich Gauss]] ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' ([[1798]]), i més explícitament per [[Leopold Kronecker]].<ref>{{Harvard citations|last = Kleiner|year = 1986|loc = pàg. 204|nb = yes}}</ref> El [[1847]], [[Ernst Kummer]] portava els primers intents de demostrar l'[[últim teorema de Fermat]] a un clímax desenvolupant [[grup de les classes d'ideals|grups que descriuen la factorització]] en [[nombres primers]].<ref>{{Harvard citations|last = Wussing|year = 2007|loc = §I.3.4|nb = yes}}</ref>

La convergència d'aquestes diverses fonts a una teoria uniforme de grups començava amb el ''Traité des substitutions et des équations algébriques'' de [[Camille Jordan]] el [[1870]].<ref>{{Harvard citations|last=Jordan|year=1870|nb=yes}}</ref> [[Walther von Dyck]] ([[1882]]) va donar la primera definició moderna d'un grup abstracte.<ref>{{Harvard citations|last=von Dyck|year=1882|nb=yes}}</ref> A partir del {{segle|XX|s}}, els grups guanyaren ampli reconeixement pel treball pioner de [[Ferdinand Georg Frobenius]] i [[William Burnside]], que treballaren en la [[teoria de la representació]] de grups finits, la [[teoria de representació modular]] de [[Richard Brauer]] i els articles d'[[Issai Schur]].<ref>{{Harvard citations|last = Curtis |year = 2003|nb = yes}}</ref> La teoria de Grups de Lie, i més generalment de [[grups localment compactes]], fou empesa per [[Hermann Weyl]], [[Élie Cartan]] i molts d'altres.<ref>{{Harvard citations|last=Mackey|year=1976|nb=yes}}</ref> El seu homòleg algebraic, la teoria de [[grup algebraic|grups algebraics]], va ser formulada inicialment per [[Claude Chevalley]] (des de finals dels anys 1930) i posteriorment pel treball fonamental d'[[Armand Borel]] i [[Jacques Tits]].<ref>{{Harvard citations|last=Borel|year=2001|nb=yes}}</ref>

L'any de Teoria de Grups 1960-61 de la [[Universitat de Chicago]] va reunir teòrics de grups com [[Daniel Gorenstein]], [[John G. Thompson]] i [[Walter Feit]], establint la fundació d'una col·laboració que, amb aportacions d'altres matemàtics nombrosos, [[classificació dels grups simples finits|va classificar]] tots els grups simples finits el [[1982]]. Aquest projecte va excedir tots els esforços matemàtics previs per la seva mida enorme, tant pel que fa a la llargada de la demostració com al nombre d'investigadors. La recerca per simplificar la demostració d'aquesta classificació encara està en desenvolupament.{{sfn|Aschbacher|2004}} Avui en dia, la teoria de grups és encara una branca matemàtica altament activa que impacta de forma essencial en molts altres camps.{{efn|nom=a}}

== Conseqüències senzilles dels axiomes de grup ==
Els fets bàsics sobre tots els grups que es poden obtenir directament dels axiomes de grup s'inclouen comunament en la ''teoria elemental de grups''.<ref>{{Harvard citations|last = Ledermann|year = 1953|loc = §1.2, pàg. 4–5|nb = yes}}</ref> per Exemple, l'[[Inducció matemàtica|aplicació repetida]] de l'axioma d'associativitat demostren que la no ambigüitat de
:''a'' • ''b'' • ''c'' = (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'')
es generalitza a més de tres factors. Perquè això implica que els parèntesis es puden introduir a qualsevol lloc dins de la sèrie de termes, els parèntesis normalment s'ometen.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Ledermann|year = 1973|loc = §I.1, pàg. 3}}</ref>

Els axiomes es poden afeblir i afirmar només l'existència d'un [[element neutre]] i un [[element invers]] per l'esquerra. Es pot demostrar que els dos ho han de ser de fet pels dos cantons, així la definició que en resulta és equivalent a la que s'ha donat més amunt.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, pàg. 7}}</ref>

=== Unicitat dels elements identitat i invers ===
Dues conseqüències importants dels axiomes de grup són la unicitat de l'element identitat i la unicitat dels elements inversos. Només hi pot haver un element identitat en un grup, i cada element d'un grup té exactament un element invers. Així, és normal parlar de ''l'element'' identitat, i ''l'element'' invers d'un element.<ref name="lang2005">{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, pàg. 17}}</ref>

Per demostrar la unicitat d'un element invers de ''a'', se suposa que un ''a'' té dos inversos, notats ''l'' i ''r''. Llavors

:{|
|''l'' ||=||''l'' • ''e'' || ||ja que ''e'' és l'element identitat
|-
| ||=||''l'' • (''a'' • ''r'') || ||perquè ''r'' és un element invers de ''a'', per tant ''e'' = ''a'' • ''r''
|-
| ||=||(''l'' • ''a'') • ''r'' || ||per associativitat, que permet reordenar els parèntesis
|-
| ||=||''e'' • ''r''|| ||atès que ''l'' és un element invers de ''a'', és a dir, ''l'' • ''a'' = ''e''
|-
| ||=||''r''|| || perquè ''e'' és l'element identitat
|}

Aquí, els dos elements extrems ''l'' i ''r'' estan connectats per una cadena d'igualtats, per tant són el mateix. En altres paraules només hi ha un element invers de ''a''.

=== Divisió ===
En grups, és possible realitzar la [[divisió]]: donats dos elements ''a'' i ''b'' del grup ''G'', hi ha un únic element ''x'' de ''G'' solució de l'[[equació]] {{nowrap begin}}''x'' • ''a'' = ''b''{{nowrap end}}.<ref name="lang2005"/> De fet, multiplicant per la dreta els dos termes de l'equació per ''a''<sup>−1</sup> s'obté la solució {{nowrap begin}}''x'' = ''x'' • ''a'' • ''a''<sup>−1</sup> = ''b'' • ''a''<sup>−1</sup>{{nowrap end}}. De manera similar, hi ha un únic element ''y'' de ''G'' solució de l'equació {{nowrap begin}}''a'' • ''y'' = ''b''{{nowrap end}}, que és {{nowrap begin}}''y'' = ''a''<sup>−1</sup> • ''b''{{nowrap end}}. En general, ''x'' i ''y'' no necessàriament han de coincidir.

Cal anar amb compte amb el significat de la paraula ''divisió''. Es tracta de l'operació inversa de l'operació de grup; com que l'operació de grup normalment es nota com a multiplicació és normal anomenar la seva inversa divisió. Però, per exemple, en el cas del grup dels nombres enters amb la suma, l'operació inversa és la resta.

== Conceptes bàsics ==
<div class="dablink">Les seccions següents utilitzen símbols matemàtics com ara X = ''{''x'', ''y'', ''z''}'' per denotar un [[conjunt]] X que conté els [[element (matemàtiques)|elements]] x, y, i z, o alternativament x ''∈'' X per afirmar que x és un element de X. La notació {{nowrap|f: X ''→'' Y}} vol dir que f és una [[funció (matemàtiques)|funció]] que assigna a cada element de X un element de Y. </div>
Per entendre els grups més enllà del nivell de meres manipulacions simbòliques com les de dalt, s'han d'emprar més conceptes estructurals.{{efn|Vegeu, per exemple, els llibres de Lang (2002, 2005) i Herstein (1996, 1975)}} Hi ha un principi conceptual subjacent a totes les nocions que segueixen: aprofitar l'estructura oferta pels grups (que per exemple els conjunts en ser "sense estructura" no tenen) les construccions relacionades amb els grups han de ser ''compatibles'' amb l'operació de grup. Aquesta compatibilitat es manifesta en les nocions següents de diverses maneres. Per exemple, els grups es poden relacionar l'un amb l'altre mitjançant [[funció |funcions]] anomenades homomorfismes de grup. Pel principi esmentat, s'exigeix que respectin les estructures de grup en un sentit precís. L'estructura dels grups també es pot entendre dividint-los en bocins anomenats subgrups i grups quocient. El principi de "conservar estructura" —un tema que es repeteix en matemàtiques pertot arreu— és un exemple de treballar en una [[categoria (matemàtiques)|categoria]], en aquest cas la [[categoria de grups]].<ref name="MacLane"/>

=== Homomorfismes de grup ===
{{article principal|Homomorfisme de grup}}
Els ''homomorfismes de grup''{{efn|La paraula homomorfisme prové de la paraula [[Grec antic|Grega]] ὁμός—el mateix i [[wikt:μορφή|μορφή]]—estructura.}} són les funcions que conserven l'estructura del grup. Una funció {{nowrap begin}}''a'': ''G'' → ''H''{{nowrap end}} entre dos grups és un homomorfisme si l'equació
:{{nowrap begin}}''a''(''g'' • ''k'') = ''a''(''g'') • ''a''(''k'').{{nowrap end}}
es compleix per a tots els elements ''g'', ''k'' de ''G'', és a dir el resultat és el mateix tant si es fa l'operació de grup abans com si es fa després d'aplicar la funció ''a''. Aquest requisit assegura que {{nowrap begin}}''a''(1<sub>''G''</sub>) = 1<sub>''H''</sub>{{nowrap end}}, i també que {{nowrap begin}}''a''(''g'')<sup>−1</sup> = ''a''(''g''<sup>−1</sup>){{nowrap end}} per a tot ''g'' de ''G''. Així un homomorfisme de grup respecta tota l'estructura de ''G'' proporcionada pels axiomes de grup.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.3, pàg. 34}}</ref>

Dos grups ''G'' i els ''H'' s'anomenen [[isomorfisme|isomorfs]] si existeixen homomorfismes de grup {{nowrap begin}}''a'': ''G'' → ''H''{{nowrap end}} i {{nowrap begin}}''b'': ''H'' → ''G''{{nowrap end}}, tals que aplicant les dues funcions [[composició de funcions|una després de l'altre]] (en cada un dels dos ordres possibles) donen la funció identitat de ''G'' i ''H'', respectivament. És a dir, {{nowrap begin}}''a''(''b''(''h'')) = ''h''{{nowrap end}} i {{nowrap begin}}''b''(''a''(''g'')) = ''g''{{nowrap end}} per a qualsevol ''g'' de ''G'' i ''h'' de ''H''. Des d'un punt de vista abstracte, els grups isomorfs comporten la mateixa informació. Per exemple, demostranr que {{nowrap begin}}''g'' • ''g'' = 1{{nowrap end}} per a algun element ''g'' de ''G'' és [[equivalència lògica|equivalent]] a demostrar que {{nowrap begin}}''a''(''g'') • ''a''(''g'') = 1{{nowrap end}}, perquè aplicant ''a'' a la primera igualtat dona la segona, i aplicant ''b'' a la segona dona altre cop la primera.

=== Subgrups ===
{{article principal|Subgrup}}
Informalment, un ''subgrup'' és un grup ''H'' contingut dins d'un grup més gran,<ref>''G''.{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, pàg. 19}}</ref> Concretament, l'element identitat de ''G'' està contingut a ''H'', i sempre que ''h''<sub>1</sub> i ''h''₂ siguin de ''H'', llavors també ho seran {{nowrap|''h''<sub>1</sub> • ''h''₂}} i ''h''<sub>1</sub><sup>−1</sup>, així els elements d{{'}}''H'', equipat amb l'operació de grup en ''G'' restringida a ''H'', formen un grup.

En l'exemple de més amunt, la identitat i les rotacions constitueixen un subgrup {{nowrap begin}}''R'' = {id, r<sub>1</sub>, r₂, r₃}{{nowrap end}}, ombrejat en vermell a la taula de grup de dalt: dues rotacions qualssevol compostes són també una rotació, i una rotació es pot desfer per (és a dir, és inversa de) la rotació complementària 270° per 90°, 180° per 180°, i 90° per 270° (fixeu-vos que no es defineix rotació en la direcció oposada). El [[test de subgrup]] és una [[condició necessària i suficient]] perquè un subconjunt ''H'' d'un grup ''G'' sigui un subgrup: n'hi ha prou amb comprovar que {{nowrap|''g''<sup>−1</sup>''h'' ∈ ''H''}} per a tots els elements {{nowrap begin}}''g'', ''h'' ∈ ''H''{{nowrap end}}. Conèixer els [[enreixat de subgrups|subgrups]] és important per entendre el grup globalment.{{efn|Tanmateix, un grup no està determinat pel seu enreixat de subgrups. Vegeu{{sfn|Suzuki|1951.}}}}

Donat qualsevol subconjunt ''S'' d'un grup ''G'', el subgrup generat per ''S'' consta de productes d'elements de ''S'' i els seus inversos. Aquest és el subgrup més petit de ''G'' que conté ''S''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Ledermann|year = 1973|loc = §II.12, pàg. 39}}</ref> En l'exemple de més amunt, el subgrup generat per r₂ i f<sub>v</sub> consta d'aquests dos elements, l'element identitat id i {{nowrap begin}}f<sub>h</sub> = f<sub>v</sub> • r₂{{nowrap end}}. Una altra vegada, això és un subgrup, perquè combinant dos elements qualssevol d'aquests quatre o els seus inversos (que són, en aquest cas particular, aquests mateixos elements) donen un element d'aquest subgrup.

=== Classes laterals ===
{{article principal|Classe lateral}}
En moltes situacions és desitjable considerar dos elements de grup com si fossin el mateix si la seva diferència pertany a un subgrup donat. Per exemple, en D₄ definit més amunt, una vegada que es realitza una reflexió, el quadrat mai no torna a la configuració de r₂ aplicant només les operacions de rotació (i no altres reflexions), és a dir les operacions de rotació són irrellevants per la qüestió de si s'ha realitzat una reflexió. Les classes laterals es fan servir per formalitzar aquesta observació: un subgrup ''H'' defineix classes laterals per l'esquerra la dreta, que es poden entendre com a [[translació (matemàtiques)|translacions]] de ''H'' per un element arbitrari ''g'' ∈ ''G''. En termes simbòlics, les classes laterals per l{{'}}''esquerra'' i per la ''dreta'' de ''H'' que contenen ''g'' són

:{{nowrap begin}}''gH'' = {''gh'', ''h'' ∈ ''H''}{{nowrap end}} i {{nowrap begin}}''Hg'' = {''hg'', ''h'' ∈ ''H''}{{nowrap end}}, respectivament.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.4, pàg. 41}}</ref>

Les classes laterals de qualsevol subgrup ''H'' formen una [[partició d'un conjunt|partició]] de ''G''; és a dir, per exemple, dues classes laterals per l'esquerra o bé són iguals o bé tenen una [[intersecció]] buida i la [[unió]] de totes les classes laterals per l'esquerra dona ''G''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, pàg. 12}}</ref> El primer cas (que {{nowrap begin}}''g''<sub>1</sub>''H'' = ''g''₂''H''{{nowrap end}}) es dona [[si i només si|precisament]] quan {{nowrap|''g''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''g''₂ ∈ ''H''}}, és a dir, si la diferència entre els dos elements és un element de ''H''. Consideracions similars s'apliquen a les classes laterals d{{'}}''H'' per la dreta. Les classes laterals de ''H'' per l'esquerra i per la dreta poden ser iguals o no. Si ho són, és a dir per a tot ''g'' de ''G'', ''gH'' = ''Hg'', llavors es diu que ''H'' és un ''[[subgrup normal]]''. Llavors es pot parlar simplement de ''N'' com el conjunt de les classes laterals.

En D₄, el grup de simetria emprat en la introducció, les classes laterals per l'esquerra ''gR'' del subgrup ''R'' que consisteix en les rotacions són o bé iguals a ''R'', si ''g'' mateix és un element de ''R'', o altrament iguals a {{nowrap begin}}''U'' = f<sub>v</sub>''R'' = {f<sub>v</sub>, f<sub>d</sub>, f<sub>h</sub>, f<sub>c</sub>}{{nowrap end}} (ombrejat en verd). El subgrup ''R'' també és normal, perquè {{nowrap begin}}f<sub>v</sub>''R'' = ''U'' = ''R''f<sub>v</sub>{{nowrap end}} i de forma similar per a qualsevol element diferent de f<sub>v</sub>.

=== Grup quocient ===
{{article principal|Grup quocient}}
A més a més, per poder deixar de prestar atenció a l'estructura interna d'un subgrup en estudiar les seves classes laterals, és desitjable dotar aquestes entitats d'una llei de grup formant l'anomenat grup quocient. Perquè això sigui possible, el subgrup ha de ser normal. Donat qualsevol subgrup normal ''N'', el grup quocient es defineix per
:''G'' / ''N'' = {''gN'', ''g'' ∈ ''G''}, "''G'' mòdul ''N''".<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.4, pàg. 45}}</ref>
Aquest conjunt hereta una operació de grup (a vegades anomenada multiplicació de classes laterals, o addició de classes laterals) del grup original ''G'': {{nowrap begin}}(''gN'') • (''hN'') = (''gh'')''N''{{nowrap end}} per a tot ''g'' i ''h'' de ''G''. Aquesta definició ve motivada per la idea (això mateix és un exemple de consideracions estructurals generals esmentades més amunt) que la funció {{nowrap|''G'' → ''G'' / ''N''}} que associa a cada element ''g'' la seva classe lateral ''gN'' sigui un homomorfisme de grup, o per consideracions abstractes generals anomenades [[problema universal|propietats universals]]. La classe lateral {{nowrap begin}}''eN '' = ''N''{{nowrap end}} serveix d'identitat en aquest grup (és a dir, tots els elements de la classe es consideren com si fossin un de sol, s'identifiquen), i l'invers de ''Ng'' en el grup quocient és {{nowrap begin}}(''gN'')<sup>−1</sup> = (''g''<sup>−1</sup>)''N''.{{nowrap end}}{{efn|El fet que l'operació de grup ho estengui [[canònica]]ment és un exemple de [[propietat universal]].}}
{| class=wikitable style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em;"
|-
! style="width:30px;"| •
! style="width:33%;"| R
! style="width:33%;"| U
|-
! ''R''
| ''R'' || ''U''
|-
! ''U''
| ''U'' || ''R''
|-
|colspan=3 style="text-align:left"|Taula de l'operació de grup en el quocient {{nowrap|D₄ / ''R''}}.
|}
Els elements del grup quocient {{nowrap|D₄ / ''R''}} són ''R'' mateix, que representa la identitat, i {{nowrap begin}}''U'' = f<sub>v</sub>''R''{{nowrap end}}. L'operació de grup en el quocient es mostra a la dreta. Per exemple, {{nowrap begin}}''U'' • ''U'' = f<sub>v</sub>''R'' • f<sub>v</sub>''R'' = (f<sub>v</sub> • f<sub>v</sub>)''R'' = ''R''{{nowrap end}}. Tots dos, tant el subgrup {{nowrap begin}}''R'' = {id, r<sub>1</sub>, r₂, r₃}{{nowrap end}}, com el quocient corresponent són abelians, mentre que D₄ no és abelià. Construir grups més grans a partir d'altres més petits, com ara el D₄ a partir del seu subgrup ''R'' i el quocient {{nowrap|D₄ / ''R''}} s'obté amb una noció anomenada [[producte semidirecte]].

El quocient i els subgrups junts formen una manera de descriure qualsevol grup per la seva [[presentació d'un grup|presentació]]: qualsevol grup és el quocient del [[grup lliure]] sobre els [[conjunt generador d'un grup|generadors]] del grup, quocient el subgrup de ''relacions''. El grup dièdric D₄, per exemple, pot ser generat per dos elements ''r'' i ''f'' (tals que, com a exemple, ''r'' = r<sub>1</sub>, la rotació cap a la dreta i ''f'' = f<sub>v</sub> la reflexió vertical o alguna altra reflexió), això vol dir que totes les simetries del quadrat són una composició finita d'aquestes dues simetries o les seves inverses. Juntament amb les relacions
:''r ''<sup>4</sup> = ''f ''² = (''rf'')² = 1,<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, pàg. 9}}</ref>
el grup queda descrit completament. Una presentació d'un grup també es pot fer servir per construir el [[gràfic Cayley]], una eina emprada per capturar gràficament els [[grup discret|grups discrets]].

Subgrups i grups quocient es relacionen de la manera següent: un subconjunt ''H'' de ''G'' es pot veure com una [[funció injectiva]] {{nowrap|''H'' → ''G''}}, és a dir qualsevol element imatge té com a màxim un element [[Imatge (matemàtiques)|antiimatge]]. La contrapartida a les funcions injectives són les [[funció suprajectiva|funcions exhaustives]] (tot element del conjunt d'arribada és imatge d'almenys un element del domini), com ara l'aplicació canònica {{nowrap|''G'' → ''G'' / ''N''}}.{{efn|Les funcions injectives i exhaustives es corresponen respectivament amb [[monomorfisme]]s i [[epimorfisme]]s. S'intercanvien al passar a la [[categoria dual]].}} Interpretar els subgrups i els quocients a la llum d'aquests homomorfismes emfasitza el concepte estructural inherent a aquestes definicions al·ludides en la introducció. En general, els homomorfismes no són ni injectius ni exhaustius. El [[nucli (matemàtiques)|nucli]] i la [[imatge (matemàtiques)|imatge]] dels homomorfismes de grup i el [[teoremes d'isomorfisme|primer teorema d'isomorfisme]] tracten aquest fenomen.

== Exemples i aplicacions ==
[[Fitxer:Wallpaper group-cm-6.jpg|miniatura|Un patró bidimensional repetitiu dona lloc a un [[grup de simetria plana]].]]
[[Fitxer:Fundamental group.svg|miniatura|El grup fonamental d'un pla menys un punt (negre) consisteix en bucles al voltant del punt desaparegut. Aquest grup és isomorf als enters.]]
Abunden els exemples i les aplicacions dels grups. Un punt de partida és el grup '''Z''' dels enters amb l'addició com operació de grup, introduïda al començament. Si en comptes de l'addició es considera la [[multiplicació]], s'obtenen [[grup multiplicatiu|grups multiplicatius]]. Aquests grups són predecessors de construccions importants en [[àlgebra abstracta]].

Els grups també s'apliquen en moltes altres àrees matemàtiques. Els objectes matemàtics s'examinen sovint [[Functor|associant]]-los en grups i estudiant les propietats dels grups corresponents. Per exemple, [[Henri Poincaré]] va fundar el que ara s'anomena [[topologia algebraica]] introduint el [[grup fonamental]]<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Hatcher|year = 2002|loc = Chapter I, pàg. 30}}</ref> per mitjà d'aquesta connexió, les propietats [[topologia|topològiques]] com ara la [[entorn (matemàtiques)|proximitat]] i la [[Funció contínua|continuïtat]] es tradueixen en propietats de grups.{{efn|Vegeu el [[teorema de Seifert–van Kampen]] com a exemple.}} Per exemple, els elements del grup fonamental es representen per bucles. La segona imatge a la dreta mostra alguns bucles dins un pla menys un punt. El bucle blau es considera una [[homotopia nul·la]] (i per tant irrellevant), perquè es pot [[homotopía|encongir contínuament]] a un punt. La presència del forat impedeix al bucle taronja ser reduït a un punt. El grup fonamental del pla amb un punt suprimit resulta ser infinit cíclic, generat pel bucle taronja (o qualsevol altre bucle [[índex (anàlisi complexa)|enrotllant una vegada]] al voltant del forat). D'aquesta manera, el grup fonamental detecta el forat.

En aplicacions més recents, la influència també ha estat a la inversa per obtenir construccions geomètriques a partir d'una base de teoria de grups.{{efn|Un exemple és la [[cohomologia de grup]] d'un grup que iguala l'[[homologia singular]] del seu [[espai de classificació]].}}} En una línia similar, la [[teoria de grups geomètrica]] empra conceptes geomètrics, per exemple en l'estudi de [[grup hiperbòlic|grups hiperbòlics]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Coornaert|last2 = Delzant|last3=Papadopoulos|year = 1990}}</ref> Altres branques que s'apliquen els grups de forma clau inclouen la [[geometria algebraica]] i la [[teoria de nombres]].<ref>for example, [[class group]]s and [[Picard group]]s; see {{Harvard citations|nb = yes|last = Neukirch|year = 1999}}, in particular §§I.12 and I.13</ref>

A més a més de les aplicacions teòriques de damunt, existeixen moltes aplicacions pràctiques dels grups. La [[criptografia]] depèn de la combinació de l'enfocament de teoria de grups abstracta conjuntament amb el coneixement [[algorisme|algorismic]] obtingut en la [[teoria de grups computacional]], en particular quan s'implementa per a grups finits.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Seress|year = 1997}}</ref> Les aplicacions de la teoria de grup no es restringeixen a les matemàtiques; les ciències com la física, la química i la informàtica també es beneficien del concepte.

=== Nombres ===
Molts tipus de [[nombres]], com ara els [[nombre enter|enters]] i els [[nombre racional|racionals]] gaudeixen d'una estructura de grup donada de manera natural. En alguns casos, com amb els racionals, les operacions tant l'addició com la multiplicació donen lloc a estructures de grup. Aquests tipus de nombres són predecessors d'estructures algebraiques més generals conegudes com a [[anell (matemàtiques)|anells]] i [[cos (matemàtiques)|cossos]].

==== Enters ====
El grup dels enters '''Z''' amb l'addició, notat ('''Z''', +), s'han descrit al començament. Els enters, amb l'operació de multiplicació en comptes de l'addició ('''Z''', •) ''n''o formen pas un grup. Els axiomes de clausura, associativitat i identitat se satisfan, però l'element invers no sempre existeix: per exemple, {{nowrap begin}}''a'' = 2{{nowrap end}} és un enter, però l'única solució a l'equació {{nowrap begin}}''a • b'' = 1{{nowrap end}} en aquest cas és ''b'' = 1/2, que és un nombre racional, però no un enter. Per això no tots els elements de '''Z''' tenen un invers (multiplicatiu).{{efn|Els elements que tenen inverses multiplicatives s'anomenen [[Unitat (àlgebra)|unitats]], vegeu{{sfn|Lang|2002|loc =§II.1, pàg. 84}}}}

==== Racionals ====
El desig de l'existència d'invers multiplicatiu suggereix que es considerin les [[fracció|fraccions]]
:<math alt="a/b">\frac{a}{b}. </math>
Les fraccions d'enters (amb b diferent de zero) es coneixen com a [[nombres racionals]].{{efn|La transició dels enters cap als racionals a base d'afegir-hi les fraccions es generalitza amb el [[cos de fraccions]].}} El conjunt de totes les fraccions es nota '''Q'''. Hi ha encara un obstacle menor per {{nowrap|('''Q''', •)}}, els racionals amb la multiplicació, per ser un grup: perquè el nombre racional [[Zero|0]] no té un invers multiplicatiu (és a dir, no hi ha cap ''x'' tal que {{nowrap begin}}''x'' • 0 = 1{{nowrap end}}), ('''Q''', •) encara no és un grup.

Tanmateix, el conjunt de tots els nombres racionals ''diferents de zero'' {{nowrap begin}}'''Q''' \ {0} = {''q'' ∈ '''Q''', ''q'' ≠ 0}{{nowrap end}} forma un grup abelià sota la multiplicació, notat {{nowrap|('''Q''' \ {0}, •)}}.{{efn|El mateix també és cert per qualsevol [[cos (matemàtiques)|cos]] ''F'' en comptes de '''Q'''. Vegeu{{sfn|Lang|2005|loc = §III.1, pàg. 86.}}}} L'associativitat i els axiomes d'element identitat resulten de les propietats dels enters. El requisit de clausura encara val després de treure'n el zero, perquè el producte de dos racionals diferents de zero no és mai zero. Finalment, l'invers de ''a''/''b'' és ''b''/''a'', per això l'axioma de l'element invers se satisfà.

Els nombres racionals (incloent-hi el 0) també formen un grup amb l'addició. Entrellaçant operacions d'addició i multiplicació sorgeixen estructures més complicades anomenades anells i si la divisió és possible, com a '''Q''' cossos, aquestes estructures ocupen una posició central en l'[[àlgebra abstracta]]. Però els elements de la teoria de grups fonamenten parts de la teoria d'aquelles entitats.{{efn|Per exemple, un subgrup finit del grup multiplicatiu d'un cos és necessàriament cíclic. Vegeu {{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = Theorem IV.1.9}}. Les nocions de [[Torsió (àlgebra)|torsió]] d'un [[mòdul]] i de [[àlgebra simple]] són altres exemples d'aquest principi.}}

==== Enters diferents de zero mòdul un nombre primer ====
Per a qualsevol [[nombre primer]] ''p'', l'[[aritmètica modular]] proveeix el [[grup multiplicatiu d'enters mòdul n|grup multiplicatiu d'enters mòdul p]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = Chapter VII}}</ref> Els seus elements són enters no divisibles per ''p'', considerats [[congruència sobre els enters|mòdul]] ''p'', és a dir, dos nombres es consideren equivalents si la seva [[resta|diferència]] és divisible entre ''p''. Per exemple, si {{nowrap begin}}''p'' = 5{{nowrap end}}, hi ha exactament quatre elements al grup 1, 2, 3, 4: s'exclouen els múltiples de 5, el 6 i el −4 són tots dos equivalents a 1, etc. L'operació de grup ve donada per la multiplicació. Però, {{nowrap begin}}4 • 4 = 1{{nowrap end}}, perquè el producte usual 16 és equivalent a 1, perquè 5 és divisor de {{nowrap begin}}16 − 1 = 15{{nowrap end}}, notat
:16 ≡ 1 ([[congruència sobre els enters|mòdul]] 5).
El fet que ''p'' sigui un nombre primer assegura que el producte de dos enters cap dels quals no és divisible per ''p'' tampoc no és divisible per ''p'', per això el conjunt indicat de classes és tancat respecte de la multiplicació.{{efn|La propietat manifestada és una definició possible de nombres primers. Vegeu [[element primer]].}} L'element identitat és 1, com és usual per a un grup multiplicatiu, i l'associativitat procedeix de la propietat corresponent dels enters. Finalment, l'axioma de l'element invers exigeix que donat un enter ''a'' no divisible per ''p'', existeixi un enter ''b'' tal que
:''a'' • ''b'' ≡ 1 (mod ''p''), és a dir ''p'' és divisor de la diferència {{nowrap|''a'' • ''b'' − 1}}.
L'element invers ''b'' es pot trobar fent servir la [[identitat de Bézout]] i el fet que el [[màxim comú divisor]] {{nowrap|mcd(''a'', ''p'')}} és igual a 1.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Rosen|year = 2000|loc = pàg. 54 (Theorem 2.1)}}</ref> En el cas {{nowrap begin}}''p'' = 5{{nowrap end}} d'abans, l'invers de 4 és 4, i l'invers de 3 és 2, atès que {{nowrap begin}}3 • 2 = 6 ≡ 1 (mod 5){{nowrap end}}. Per això tots els axiomes de grup es compleixen. De fet, aquest exemple és similar a ('''Q'''\{0}, •) d'abans, perquè resulta ser el grup multiplicatiu d'elements diferents de zero en el cos finit '''F'''<sub>''p''</sub>, notat '''F'''<sub>''p''</sub><sup>×</sup>.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §VIII.1, pàg. 292}}</ref> Aquests grups són essencials en la [[criptografia de clau pública]].{{efn|Per exemple, el protocol [[Diffie-Hellman]] fa servir el [[logaritme discret]].}}

=== Grups cíclics ===
{{article principal|Grup cíclic|Grup abelià}}
[[Fitxer:Cyclic group.svg|miniatura|upright|Les 6 arrels complexes de la unitat formen un grup cíclic. ''z'' n'és un element primitiu, però ''z''² no ho és, perquè les potències senars de ''z'' no són potència de ''z''².]]
Un ''grup cíclic'' és un grup tots els elements del qual són [[potència aritmètica|potències]] (quan l'operació de grup s'escriu additivament, llavors els pot fer servir el terme ''múltiples'') d'un element particular ''a''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, pàg. 22}}</ref> En notació multiplicativa, els elements del grup són:
:..., ''a''<sup>−3</sup>, ''a''<sup>−2</sup>, ''a''<sup>−1</sup>, ''a''<sup>0</sup> = ''e'', ''a'', ''a''², ''a''<sup>3</sup>, ...,
on ''a''² vol dir ''a'' • ''a'', i ''a<sup>−3</sup>'' vol dir ''a''<sup>−1</sup> • ''a''<sup>−1</sup> • ''a''<sup>−1</sup>=(''a'' • ''a'' • ''a'')<sup>−1</sup>, etc.{{efn|La notació additiva per a elements d'un grup cíclic seria {{nowrap|''t'' • ''a'', ''t'' de '''Z'''.}}}} D'un element com ''a'' se'n diu un generador o un [[Arrel primitiva|element primitiu]] del grup.

Un exemple típic per a aquesta classe de grups és el grup d'[[Arrels de la unitat|arrels complexes enèsimes de la unitat]], format pels nombres complexos ''z'' que satisfan {{nowrap begin}}''z''<sup>''n''</sup> = 1{{nowrap end}} (i l'operació de multiplicació).<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.2, pàg. 26}}</ref> Qualsevol grup cíclic amb ''n'' elements és isomorf a aquest grup. Fent servir la [[Cos (matemàtiques)|teoria de cossos]], es pot demostrar que el grup '''F'''<sub>''p''</sub><sup>×</sup> és cíclic: per a {{nowrap begin}}''p'' = 5{{nowrap end}}, 3 és un generador, ja que {{nowrap begin}}3¹ = 3,{{nowrap end}} {{nowrap begin}}3² = 9 ≡ 4,{{nowrap end}} {{nowrap begin}}3<sup>3</sup> ≡ 2,{{nowrap end}} i {{nowrap begin}}3<sup>4</sup> ≡ 1.{{nowrap end}}. Tot grup cíclic infinit és isomorf a ('''Z''', +), el grup d'enters amb l'addició presentaven més amunt.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, pàg. 22 (example 11)}}</ref> Com que aquests dos prototipus són els dos abelians, també ho ha de ser qualsevol grup cíclic.

L'estudi dels grups abelians és força madur, incloent-hi el [[teorema fonamental de grups abelians finitament generats]]; i reflectint aquest estat d'afers, moltes nocions relacionades amb els grups, com la de [[centre d'un grup]] i la de [[commutador (matemàtiques)|commutador]], descriuen fins a quin punt un grup donat no és abelià.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.5, pàg. 26, 29}}</ref>

=== Grups de simetria ===
{{article principal|Grup de simetria}}
{{Vegeu també|Simetria molecular}}
Els ''grups de simetria'' són grups que consten de [[simetria|simetries]] d'objectes matemàtics donats que són de natura geomètrica, com el grup de simetria introductori del quadrat, o de natura algebraica, com les [[equacions polinòmiques]] i les seves solucions.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Weyl|year = 1952}}</ref> Conceptualment, la teoria de grups es pot pensar de com l'estudi de la simetria.{{efn|De forma més rigorosa, tot grup és el grup de simetria d'algun [[graf (matemàtiques)|graf]],{{sfn|Frucht|1939}}}} Les [[simetries en matemàtiques]] simplifiquen en gran manera l'estudi d'objectes [[geometria|geomètrics]] o [[anàlisi matemàtica|analítics]]. Es diu que un grup [[acció de grup|actua]] sobre un altre objecte matemàtic ''X'' si tots els elements del grup executen alguna operació en ''X'' de manera compatible amb la llei de grup. En l'exemple de davall de més a la dreta, un element d'ordre 7 del [[grup triangular (2,3,7)]] actua en l'enrajolat per permutant els triangles deformats ressaltats (i els altres, també). Per una acció de grup, el patró del grup queda connectat a l'estructura de l'objecte sobre el qual actua.

[[Fitxer:Sixteenth stellation of icosahedron.png|miniatura|Rotacions i reflexions del grup de simetria del [[gran icosàedre]].]]
En el camp de la química, com ara la [[cristal·lografia]], l'[[grup espacial de simetria|espai s'agrupa]] i els [[grups puntuals de simetria]] descriuen [[simetria molecular|simetries moleculars]] i simetries cristal·lines. Aquestes simetries són subjacents al comportament físic i químic d'aquests sistemes, i la teoria de grups permet simplificar l'anàlisi en [[mecànica quàntica]] d'aquestes propietats.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Conway|last2= Delgado Friedrichs|last3 = Huson|last4 = Thurston|year = 2001}}. See also {{Harvard citations|nb = yes|last = Bishop|year = 1993}}</ref> Per exemple, la teoria de grups es fa servir per mostrar que les transicions òptiques entre certs nivells quàntics no poden ocórrer simplement a causa de la simetria dels estats implicats.

No només hi ha grups útils per avaluar les implicacions de les simetries en molècules, sinó que sorprenentment també pronostiquen que les molècules a vegades poden canviar la simetria. L'[[efecte Jahn-Teller]] és una distorsió d'una molècula d'alta simetria quan adopta un estat particular de baixa simetria a partir des d'un conjunt d'estats base possibles que es relacionen l'una amb l'altre per les operacions de simetria de la molècula.<ref name=Bersuker>{{citar ref|títol=The Jahn-Teller Effect |nom= Isaac |cognom= Bersuker |pàgina=2 |isbn=0521822122 |editorial=Cambridge University Press |any=2006}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Jahn|last2=Teller|year = 1937}}</ref>

De la mateixa manera, la teoria de grups ajuda a pronosticar els canvis a propietats físiques que ocorren quan un material sofreix un [[canvi d'estat]], per exemple, de forma cristal·lina cúbica a una forma cristal·lina tetraèdrica. Un exemple són els materials [[ferroelectricitat|ferroelèctrics]], on el canvi des d'un estat paraelèctric a un estat ferroelèctric succeïx a la [[temperatura de Curie]] i està relacionat amb un canvi des de l'estat de paraelèctric d'alta simetria fins a l'estat de ferroelèctric de més baixa simetria, acompanyat per un anomenat mode de [[fonó]] tou, un mode d'enreixat vibrational que passa per la freqüència zero a la transició.<ref name=Dove>{{citar ref|títol=Structure and Dynamics: an atomic view of materials |nom=Martin T|cognom= Dove |pàgina=265 |isbn=0198506783 |editorial=[[Oxford University Press]]|any=2003}}</ref>

Tal [[ruptura espontània de la simetria]] ha trobat aplicació més enllà, en física de partícules elementals, on la seva aparició està relacionada amb l'aparició de [[bosó de Goldstone|bosons de Goldstone]].

{| class=wikitable style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
|width=15%| [[Fitxer:C60a.png|125px|Ful·lerè]]
|width=20%| [[Fitxer:Ammonia-3D-balls-A.png|125px|Amoníac]]
|width=14%| [[Fitxer:Cubane-3D-balls.png|125px|Cubà]]
|width=36%| [[Fitxer:Hexaaquacopper(II)-3D-balls.png|125px|Hexaaiguacoure(II)]]
|width=15%| [[Fitxer:Uniform tiling 73-t2 colored.png|125px|Enrajolat de plans hiperbòlics]]
|-
|Un [[ful·lerè]]<br />que presenta<br />simetria [[icosàedre|icosàedrica]].
|[[Amoníac]], [[nitrogen|N]][[hidrogen|H₃]]. El seu grup de simetria és d'ordre 6, generat per una rotació de 120° i una reflexió.
|[[Cubà (hidrocarbur)|Cubà]] [[carboni|C₈]][[Hidrogen|H₈]] presenta<br /> [[simetria octàedrica]].
|Hexaaiguacoure(II) [[Ió complex]], [[coure|Cu]][[oxigen|(O]][[hidrogen|H₂)₆]]<sup>2+</sup>. Comparat amb una forma perfectament simètrica, la molècula està dilatada verticalment prop d'un 22% (efecte Jahn-Teller).
|El grup triangular (2,3,7), un grup hiperbòlic, actua sobre aquest [[enrajolat]] de plans [[geometria hiperbòlica|hiperbòlics]].
|}

Els grups de simetria finits com ara els [[grup de Mathieu|grups de Mathieu]] es fan servir en [[teoria de codis]], que s'aplica en la [[codi corrector|correcció d'errors]] en les dades transmeses, i als [[reproductors de CDs]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Welsh|year = 1989}}</ref> Una altra aplicació és la [[teoria diferencial de Galois]], que caracteritza funcions que tenen [[primitiva|primitives]] d'una forma prescrita, donant criteris teòrics de grup per a quan les solucions de certes [[equació diferencial|equacions diferencials]] tenen solucions en determinades formes analítiques.{{efn|Més precisament, es considera l'acció de [[monodromia]] sobre l'[[espai vectorial]] de solucions de les equacions diferencials.{{sfn|Kuga|1993|loc = pàg. 105–113.}}}} Les propietats geomètriques que romanen estables sota accions de grup s'investiguen en la [[teoria dels invariants geomètrics]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Mumford|last2 = Fogarty|last3 = Kirwan|year = 1994}}</ref>

=== Grup lineal general i teories de la representació ===
{{article principal|Grup lineal general}}
[[Fitxer:Matrix multiplication.svg|miniatura|Dos [[vector (matemàtiques)|vectors]] (la il·lustració de l'esquerra) es multipliquen per matrius (les il·lustracions del mig la dreta). La il·lustració del mig representa una rotació en el sentit de les agulles del rellotge de 90°, mentre que la de més a la dreta estira la coordenada x per un factor de 2.]]
Els [[grup de matrius|grups de matrius]] consten de [[matriu (matemàtiques)|matrius]] juntament amb la [[multiplicació de matrius]]. El ''grup lineal general'' {{nowrap begin}}''GL''(''n'', '''R'''){{nowrap end}} consisteix en totes les matrius de ''n''-per-''n'' invertibles amb coeficients [[nombre real|reals]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lay|year = 2003}}</ref> Per referir-se als seus subgrups es parla de ''grups de matrius'' o [[grup lineal|grups lineals]]. L'exemple de grup dièdric esmentat més amunt pot ser vist com un (molt petit) grup de matrius. Un altre grup de matrius important és el [[grup ortogonal especial]] ''SO''(''n''). Descriu totes les rotacions possibles en dimensió ''n''. Via [[angles d'Euler]], les [[matriu de rotació|matrius de rotació]] es fan servir en [[informàtica gràfica]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Kuipers|year = 1999}}</ref>

La ''teoria de representació'' és al mateix temps una aplicació del concepte de grup i element important per a una comprensió més profunda dels groups.<ref name=FultonHarris>{{Harvard citations|last1 = Fulton|last2 = Harris|year = 1991|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Serre|year = 1977}}</ref> Estudia els grups per les seves [[acció de grup|accions de grup]] sobre altres espais. Una classe ampla de [[representació de grup|representacions de grup]] són les representacions lineals, és a dir, el grup està actuant sobre un [[espai vectorial]], com ara l'[[espai euclidià]] tridimensional '''R'''<sup>3</sup>. Una representació de ''G'' en un espai vectorial real ''n''-dimensional és simplement un homomorfisme de grup
:''ρ'': ''G'' → ''GL''(''n'', '''R''')
des del grup fins al grup lineal general. D'aquesta manera, l'operació de grup, que es pot donar de manera abstracta, es tradueix en la multiplicació de matrius que ho fan accessible a càlculs explícits.{{efn|Això fou decisiu per la classificació dels grups simples finits, per exemple.{{sfn|Aschbacher|2004}}}}

Una acció de grup proporciona altres mitjans per estudiar l'objecte sobre el qual s'actua.{{efn|Vegeu, per exemple, el [[lema de Schur]] per l'impacte d'una acció de grup sobre un [[mòdul simple]]. Un exemple més involucrat és l'acció d'un [[grup de Galois absolut]] sobre la [[cohomologia d'étale]].}} D'altra banda, també produeix informació sobre el grup. Les representacions de grup són un principi d'organització en la teoria de grups finits, grups de Lie, [[grup algebraic|grups algebraics]] i [[grup topològic|grups topològics]], especialment grups (localment) [[grup localment compacte|compactes]].<ref name="FultonHarris"/><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Rudin|year = 1990}}</ref>

=== Grups de Galois ===
{{article principal|Grup de Galois}}
Els ''grups de Galois'' foren desenvolupats per ajudar a resoldre [[equacions polinòmiques]] aprofitant les seves característiques de simetria.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Robinson|year = 1996|loc = pàg. viii}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Artin|year = 1998}}</ref> Per exemple, les solucions de l'[[equació quadràtica]] {{nowrap begin}}''ax''² + ''bx'' + ''c'' = 0{{nowrap end}} venen donades per
:<math alt="x = (menys b més menys l'arrelquadrada de (b al quadrat menys 4 a c)) over 2a">x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}. </math>
Intercanviant "+" i "−" en l'expressió, és a dir permutant les dues solucions de l'equació poden ser vistes com una operació (molt simple) de grup. Es coneixen fórmules similars per a equacions [[equació de tercer grau|cúbiques]] i [[equació de quart grau|quàrtiques]], però ''no'' n'existeixen en general per a les de [[equació de cinquè grau|grau 5]] i superiors.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = Chapter VI}} (see in particular pàg. 273 for concrete examples)</ref> Les propietats abstractes dels grups de Galois associats amb polinomis (en particular la seva [[grup resoluble|resolubilitat]]) donen un criteri per saber quins polinomis tenen totes les solucions expressables per radicals, és a dir, solucions expressables fent servir només addició, multiplicació i [[arrel quadrada|arrels]] similars a la fórmula de dalt.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = pàg. 292 (Theorem VI.7.2)}}</ref>

El problema es pot tractar fins i tot de forma més polida fent servir la [[teoria de cossos]]: considerant el [[cos de descomposició]] d'un polinomi es transforma el problema en un altre de l'àrea de la teoria de cossos. La [[teoria de Galois]] moderna generalitza el tipus citat de grups de Galois en [[extensió de cos|extensions de cossos]] i estableix mitjançant el teorema fonamental de la [[teoria de Galois]] una relació precisa entre cossos i grups, subratllant una vegada més la ubiqüitat dels grups en matemàtiques.

== Grups finits ==
{{article principal|Grup finit}}
Un grup s'anomena ''finit'' si té un [[conjunt finit|nombre finit d'elements]]. El nombre d'elements s'anomena l'[[ordre (teoria de grups)|ordre]] del grup ''G''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Kurzweil|last2= Stellmacher|year = 2004}}</ref> Una classe important és la dels ''[[grup simètric|grups simètrics]]'' ''S''<sub>''N''</sub>, els grups de [[permutació|permutacions]] de ''N'' lletres. Per exemple, el grup simètric sobre 3 lletres [[grup diedre d'ordre 3|''S''₃]] és el grup que consta de totes les possibles permutacions de les tres lletres ''ABC'', és a dir conté els elements ''ABC'', ''ACB'' ..., fins a ''CBA'', en total 6 (o 3 [[factorial]]) elements. Aquesta classe és fonamental en la mesura que qualsevol grup finit es pot expressar com a subgrup d'un grup simètric ''S''<sub>''N''</sub> per a un enter adequat ''N'' ([[teorema de Cayley]]). En paral·lel al grup de simetries del quadrat del començament, ''S''₃ també es pot interpretar com el grup de simetries d'un [[triangle equilàter]].

L'ordre d'un element ''a'' en un grup ''G'' és l'enter positiu més petit ''n'' tal que ''a<sup> n</sup> = e'', on ''a<sup> n</sup>'' representa

: <math>\underbrace{{} \ a \ \cdots\ a\ {}}_{n \text{ factors}},</math>

és a dir aplicar l'operació • a ''n'' còpies de ''a''. (Si • representa la multiplicació, llavors ''a''<sup>''n''</sup> correspon a la potència ''n''-èsima de ''a''.) En grups infinits, tal ''n'' pot no existir, en aquest cas l'ordre de ''a'' es diu que és infinit. L'ordre d'un element és igual a l'ordre del grup cíclic generat per aquest element.

Tècniques de recompte més sofisticades, per exemple recompte de classes laterals, produeixen afirmacions més precises sobre grups finits: El [[teorema de Lagrange]] estableix que per a un grup finit ''G'' l'ordre de qualsevol subgrup finit ''H'' és un divisor d'aproximadament ''G''. Els [[teoremes de Sylow]] donen una inversa parcial.

El [[grup dièdric]] (discutit més amunt) és un grup finit d'ordre 8. L'ordre de r<sub>1</sub> és 4, com ho és l'ordre del subgrup ''R'' que genera (vegeu més amunt). L'ordre dels elements de reflexió f<sub>v</sub>, etc. és 2. Els dos ordres són divisors de 8, com prediu el teorema de Lagrange. Els grups '''F'''<sub>''p''</sub><sup>×</sup> de damunt tenen ordre {{nowrap|''p'' − 1}}.

=== Classificació dels grups simples finits ===
Els matemàtics sovint s'esforcen per aconseguir una [[teoremes de classificació|classificació]] completa (o llista) d'una noció matemàtica. En el context dels grups finits, aquest propòsit ràpidament condueix a dificultats matemàtiques profundes. Segons el teorema de Lagrange, els grups finits d'ordre ''p'', un nombre primer, són grups necessàriament cíclics (abelians) '''Z'''<sub>p</sub>. Els grups d'ordre ''p''² també es pot demostrar que són abelians, una afirmació que no es generalitza a l'ordre ''p''<sup>3</sup>, com el grup no abelià D₄ d'ordre 8 = 2<sup>3</sup> mostrat més amunt.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Artin|year = 1991|loc = Theorem 6.1.14}}. See also {{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = pàg. 77}} for similar results.</ref> Els [[algorisme de càlcul simbòlic|sistemes informàtics d'àlgebra simbòlica]] es poden fer servir per llistar grups petits, però no hi ha cap classificació de tots els grups finits.{{efn|Els grups d'ordre com a màxim 2000 es coneixen. Tret d'isomorfismes, n'hi ha uns 49 miliards.{{sfn|Besche|Eick|O'Brien|2001}}}} Un pas intermedi és la classificació de grups simples finits.{{efn|El forat entre la classificació dels grups simples i la de tots els grups rau en el [[problema d'extensió]], un problema massa dur per ser resolt en general.{{sfn|Aschbacher|2004|loc = pàg. 737}}}} Un grup no trivial s'anomena [[grup simple|simple]] si els seus subgrups normals només són el [[grup trivial]] i el mateix grup.{{efn|De forma equivalent, un grup no trivial és imple si els seus únics grups quocients són el grup trivial i el mateix grup.{{sfn|Michler|2006}}{{sfn|Carter|1989}}}} El [[teorema de Jordan-Hölder]] presenta els grups simples com els maons de construcció per a tots els grups finits.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I. 3, pàg. 22}}</ref> Enumerar tots els grups simples finits va ser un assoliment principal en la teoria de grups contemporània. El guanyador de la [[Medalla Fields]] de 1998, [[Richard Borcherds]], va aconseguir demostrar la conjectura [[monstrous moonshine]], una relació sorprenent i profunda del "[[grup monstre]]" (el [[grup esporàdic]] simple finit més gran) amb certes [[forma modular|formes modulars]], un element clàssic de l'[[anàlisi complexa]], i la [[teoria de cordes]], una teoria que si fos certa unificaria la descripció de molts fenòmens físics.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Ronan|year = 2007}}</ref>

== Grups amb estructura addicional ==
Molts grups són simultàniament grups i exemples d'altres estructures matemàtiques. En el llenguatge de la [[teoria de categories]], són [[objectes de grup]] en una [[categoria (matemàtiques)|categoria]], això vol dir que són objectes (és a dir, exemples d'una altra estructura matemàtica) que venen amb transformacions (anomenades [[morfisme]]s) que imiten els axiomes de grup. Per exemple, tots els grups (com els definits a dalt) són també un conjunt, així un grup és un objecte de grup en la [[categoria de conjunts]].

=== Grups topològics ===
{{article principal|Grup topològic}}
[[Fitxer:Circle as Lie group2.svg|miniatura|La [[circumferència goniomètrica]] al [[pla complex]] amb la multiplicació complexa és un Grup de Lie i, per això, un grup topològic. És topològic ja que la multiplicació i divisió complexes són contínues. És una varietat i, per tant, un Grup de Lie, perquè cada [[entorn (matemàtiques)|entorn]], com l'arc vermell en el diagrama, s'assembla a una part de la [[recta real]] (mostrada a baix).]]
Alguns [[espai topològic|espais topològics]] es poden dotar d'una llei de grup. De forma que la llei de grup i la topologia encaixin bé, les operacions de grup han de ser funcions contínues, és a dir, {{nowrap|''g'' • ''h'',}} i ''g''<sup>−1</sup> no han de variar sobtadament si ''g'' i ''h'' varien només una mica. Tals grups s'anomenen ''grups topològics'', i són els objectes de grup en la [[categoria d'espais topològics]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Husain|year = 1966}}</ref> Els exemples més basics són els [[nombres reals|reals]] '''R''' amb l'addició, {{nowrap|('''R''' \ {0}, •)}}, i de forma similar amb qualsevol altre cos topològic com els [[nombres complexos]] o els [[nombres de p-adics]]. Tots aquests grups són [[localment compacte]]s, per tant tenen [[mesura de Haar|mesures Haar]] i es poden estudiar mitjançant l'[[anàlisi harmònica]]. El primer ofereix un formalisme abstracte d'[[integral]]s invariants. Invariant vol dir en el cas dels nombres reals per exemple:
: <math>\int f(x)\,dx = \int f(x+c)\,dx</math>
per a qualsevol constant ''c''. Els grups de matrius sobre aquests cossos queden sota aquest règim, com és el cas dels [[anell adèlic|anells adèlics]] i els [[grup algebraic adèlic|grups algebraics adèlics]], que són bàsics en [[teoria de nombres]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Neukirch|year = 1999}}</ref> Els grups de Galois d'extensions infinites de cossos com el [[grup de Galois absolut]] també es poden equipar amb una topologia, l'anomenada [[topologia de Krull]], que al seu torn és central per generalitzar la connexió esbossada més amunt entre els cossos i els grups a les extensions de cossos infinits.<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Shatz|year = 1972}}</ref> Una generalització avançada d'aquesta idea, adaptada a les necessitats de la [[geometria algebraica]], és el [[grup fonamental d'étale]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Milne|year = 1980}}</ref>

=== Grups de Lie ===
{{article principal|grup de Lie}}
Els ''grups de Lie'' (en honor de [[Sophus Lie]]) són grups que també tenen una estructura de [[varietat diferenciable]], és a dir, són espais que s'[[difeomorfisme|assemblen localment]] una mica a l'[[espai euclidià]] de [[dimensió]] adequada.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Warner|year = 1983}}</ref> Altra vegada, l'estructura addicional, aquí l'estructura de varietat diferenciable, ha de ser compatible, és a dir les funcions que corresponen a la multiplicació i la inversa han de ser [[funció derivable|suaus]].

{{clear}}Un exemple estàndard és el grup lineal general que s'ha presentat a dalt: és un [[subconjunt obert]] de l'espai de totes les matrius de ''n''-per-''n'', perquè ve donat per la desigualtat
:det (''A'') ≠ 0,
on ''A'' denota una matriu de ''n''-per-''n''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Borel|year = 1991}}</ref>

Els grups de Lie són d'importància fonamental en física: El [[teorema de Noether]] connecta les simetries contínues amb les [[llei de consevació|lleis de conservació]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Goldstein|year = 1980}}</ref> La [[moviment circular|rotació]], així com les [[Translació (física)|translacions]] en l'[[espai]] i el [[temps]] són simetries bàsiques de les lleis de la [[mecànica]]. Es poden, per exemple, fer servir per a construir models simples i imposar, diguem, la simetria axial sobre una situació i conduirà típicament a una simplificació significativa en les equacions que cal resoldre per proporcionar una descripció física.{{efn|Vegeu [[mètrica de Schwarzschild]] per un exemple on la simetria redueix en gran manera la complexitat dels sistemes físics.}} Un altre exemple és el [[grup de Lorentz]] de les [[transformacions de Lorentz]], que relacionen les mesures del temps i la velocitat de dos observadors en moviment relatiu l'un respecte de l'altre. Es poden deduir purament des de la teoria de grups, expressant les transformacions com a simetria rotacional de l'[[espai de Minkowski]]. Aquest espai serveix en ca l'absència significativa de [[gravitació]] com a model de l'[[espaitemps]] en [[relativitat especial]].<ref>{{harvard citations|nb=yes|last=Weinberg|year=1972}}</ref> El grup complet de simetria de l'espai de Minkowski, és a dir incloent-hi translacions, és conegut com el [[grup de Poincaré]]. Pel que s'ha explicat, té un paper fonamental en la relativitat especial i, per implicació, per a la [[teoria quàntica de camps]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Naber|year = 2003}}</ref> Les [[simatria local|simetries que varien amb la posició]] són centrals a la descripció moderna d'interaccions físiques amb l'ajuda de la [[teoria de gauge]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Becchi|year = 1997}}</ref>

== Generalitzacions ==
{| class=infobox style="float:right; text-align:center; font-size:95%;"
|- style="text-align:center;"
| style="border-bottom: 2px solid #303060" colspan=5| <font size="2">'''Estructures emparentades amb la de grup'''</font>
|-
! !! [[Funció total|Totalitat]] !! [[Propietat associativa|Associativitat]] !! [[Element neutre|neutre]] !! [[element simètric|simètric]]
|-
! [[Grup (matemàtiques)|Grup]]
| style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí
|-
! [[Monoide]]
| style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#ff9090; color:black" class="table-no" | No
|-
! [[Semigrup]]
| style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No || style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No
|-
! [[Bucle (àlgebra)|Bucle]]
| style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí
|-
! [[Quasigrup]]
| style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No || style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí
|-
! [[Magma (matemàtiques)|Magma]]
| style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No || style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No || style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No
|-
! [[Grupoide]]
| style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí
|-
! [[Categoria (matemàtiques)|Categoria]]
| style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#90ff90; color:black;" class="table-yes" | Sí || style="background:#ff9090; color:black;" class="table-no" | No
|}

En l'àlgebra abstracta, es defineixen estructures més generals relaxant alguns dels axiomes que defineixen un grup.<ref name="MacLane">{{Harvard citations|nb = yes|last = Mac Lane|year = 1998}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Denecke|last2 = Wismath|year = 2002}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Romanowska|last2 = Smith|year=2002}}</ref> Per exemple, si el requisit que tots els elements tinguin un invers s'elimina, l'estructura algebraica que resulta s'anomena un [[monoide]]. Els [[nombres naturals]] ''N'' (incloent-hi el 0) amb l'addició formen un monoide, com ho fan els enters diferents de zero amb la multiplicació {{nowrap|('''Z''' \ {0}, •)}}, veure més amunt. Hi ha un mètode general per afegir formalment inversa a elements de qualsevol monoide (abelià), molt semblant al mateix camí com {{nowrap|('''Q''' \ {0}, •)}} s'obté de {{nowrap|('''Z''' \ {0}, •)}}, conegut com el [[grup de Grothendieck]]. Els [[grupoide]]s són similars als grups excepte que la composició ''a'' • ''b'' no cal que estigui definida per a tot ''a'' i ''b''. Sorgeixen en l'estudi de formes més complicades de simetria, sovint en estructures [[topologia|topològiques]] i [[anàlisi matemàtica|analítiques]], com el [[grupoide fonamental]]. La taula de la dreta dona una llista d'unes quantes estructures que generalitzen el concepte de grup.
<div style="clear:both"></div>

== Notes ==
{{notes}}
<!-- 
{{cnote|b|}}
{{cnote|c|.}}
{{cnote|d|
{{cnote|e|}}
{{cnote|f|Per exemple, si ''G'' és finit, llavors la [[ordre d'un grup|mida]] de qualsevol subgrup i qulsevol grup quocient és un divisor de la mida de ''G'', segons el teorema de Lagrange.}}
{{cnote|g|}}
{{cnote|h|}}
{{cnote|i|}}
{{cnote|j|}</span></br></br>
{{cnote|k|.}}}}
{{cnote|l|}}
{{cnote|m|
{{cnote|n|}}
{{cnote|o|La propietat}}
{{cnote|p|}}
{{cnote|q|}}
{{cnote|r|}}</span></br></br>
{{cnote|s|}}
{{cnote|t|}}
{{cnote|u|}}
{{cnote|v|
{{cnote|w|}}
{{cnote|x|}}
{{cnote|y|}}
</div>-->

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
<div style="font-size:95%">
* {{citar ref|cognom1=Artin |nom1=Michael |enllaçautor1=Michael Artin |títol=Algebra |editorial = [[Prentice Hall]] | isbn=978-0-89871-510-1 |any=1991}}, El capítol 2 conté una exposició de nivell universitari de les nocions cobertes en aquest article.
* {{citar ref|cognom1=Devlin |nom1=Keith |enllaçautor1=Keith Devlin |títol=The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible |editorial=Owl Books | isbn=978-0-8050-7254-9 |any=2000}}, El capítol 5 proporciona una explicació dels grups accessible als no iniciats.
* {{Fulton-Harris}}.
* {{citar ref|enllaçautor=George G. Hall |cognom=Hall |nom=G. G. |títol=Applied group theory |editorial=American Elsevier Publishing Co., Inc., New York | id={{MathSciNet | id = 0219593}} |any=1967}}, una introducció inicial.
* {{citar ref|cognom1=Herstein |nom1=Israel Nathan |enllaçautor1= Israel Nathan Herstein |títol=Abstract algebra |editorial=Prentice Hall Inc. |lloc=Upper Saddle River, NJ |edició=3a edició| isbn=978-0-13-374562-7 | id={{MathSciNet | id = 1375019}} |any=1996}}.
* {{citar ref|cognom1=Herstein |nom1=Israel Nathan |títol=Topics in algebra |editorial=Xerox College Publishing |lloc=Lexington, Mass. |edició=2a edició| id={{MathSciNet | id = 0356988}} |any=1975}}.
* {{citar ref|cognom1=Lang |nom1=Serge |enllaçautor1= Serge Lang |títol=Algebra |lloc=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-95385-4 | id={{MathSciNet | id = 1878556}} |any=2002 |volum=211}}.
* {{citar ref|cognom1=Lang |nom1=Serge |títol=Undergraduate Algebra |editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York |edició=3a edició| isbn=978-0-387-22025-3 |any=2005}}.
* {{citar ref|cognom1=Ledermann |nom1=Walter | enllaçautor1 = Walter Ledermann |títol=Introduction to the theory of finite groups |editorial=Oliver and Boyd, Edinburgh and London | id={{MathSciNet | id = 0054593}} |any=1953}}.
* {{citar ref|cognom1=Ledermann |nom1=Walter | enllaçautor1 = Walter Ledermann |títol=Introduction to group theory |editorial=Barnes and Noble |lloc=Nova York | oclc=795613 |any=1973}}.
* {{citar ref|cognom1=Robinson |nom1=Derek John Scott |títol=A course in the theory of groups |editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94461-6 |any=1996}}.
</div>

=== Referències especials ===
<div style="font-size:95%">
* {{citar ref|cognom1=Artin |nom1=Emil |enllaçautor1=Emil Artin |títol=Galois Theory |editorial = [[Dover Publications]] |lloc=Nova York | isbn=978-0-486-62342-9 |any=1998}}.
* {{citar ref|cognom1=Aschbacher |nom1=Michael |enllaçautor1= Michael Aschbacher |títol=The Status of the Classification of the Finite Simple Groups | url=http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf |format=PDF|any=2004 |publicació = [[Notices of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9920 |volum=51 |exemplar=7 |pàgines=736–740}}.
* {{citar ref|cognom= Becchi|nom= C.|url=http://www.arxiv.org/abs/hep-ph/9705211|títol=Introduction to Gauge Theories|consulta=2008-05-15|any= 1997}}.
* {{citar ref|cognom1=Besche |nom1=Hans Ulrich |cognom2=Eick |nom2=Bettina |cognom3=O'Brien |nom3=E. A. |títol=The groups of order at most 2000 | url=http://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | id={{MathSciNet | id = 1826989}} |any=2001 |publicació=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society |volum=7 |pàgines=1–4 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7}}.
* {{citar ref|cognom1=Bishop |nom1=David H. L. |títol=Group theory and chemistry |editorial = [[Dover Publications]] |lloc=Nova York | isbn=978-0-486-67355-4 |any=1993}}.
* {{citar ref|cognom1=Borel |nom1=Armand |enllaçautor1=Armand Borel |títol=Linear algebraic groups |editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York |edició=2a edició| series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | id={{MathSciNet | id = 1102012}} |any=1991 |volum=126}}.
* {{citar ref|cognom1=Carter |nom1=Roger W. |enllaçautor1=Roger Carter (mathematician) |títol=Simple groups of Lie type |editorial = [[John Wiley & Sons]] |lloc=Nova York | isbn=978-0-471-50683-6 |any=1989}}.
* {{citar ref|cognom1=Conway |nom1=John Horton |enllaçautor1=John Horton Conway |cognom2=Delgado Friedrichs |nom2=Olaf |cognom3=Huson |nom3=Daniel H. |cognom4=Thurston |nom4=William P. |enllaçautor4=William Thurston |títol=On three-dimensional space groups | url=http://arxiv.org/abs/math.MG/9911185 | id={{MathSciNet | id = 1865535}} |any=2001 |publicació=Beiträge zur Algebra und Geometrie | issn=0138-4821 |volum=42 |exemplar=2 |pàgines=475–507}}.
* {{fr icon}} {{citar ref|cognom1=Coornaert |nom1=M. |cognom2=Delzant |nom2=T. |cognom3=Papadopoulos |nom3=A. |títol=Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory]|editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-52977-4 | id={{MathSciNet | id = 1075994}} |any=1990 |volum=1441}}.
* {{citar ref|cognom1=Denecke |nom1=Klaus |cognom2=Wismath |nom2=Shelly L. |títol=Universal algebra and applications in theoretical computer science |editorial = [[CRC Press]] |lloc=Londres| isbn=978-1-58488-254-1 |any=2002}}.
* {{de icon}} {{citar ref|cognom1=Frucht |nom1=R. |enllaçautor1=Roberto Frucht|títol=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of Graphs with Prescribed Group] | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 |any=1939 |publicació=Compositio Mathematica | issn=0010-437X |volum=6 |pàgines=239–50}}.
* {{citar ref|cognom= Goldstein |nom= Herbert |enllaçautor= Herbert Goldstein |any= 1980 |títol= [[Classical Mechanics (textbook)|Classical Mechanics]] |edició=2a edició|editorial= Addison-Wesley Publishing |lloc= Reading, MA | isbn = 0-201-02918-9 |pàgines= 588–596}}.
* {{citar ref|cognom1=Hatcher |nom1=Allen |enllaçautor=Allen Hatcher |títol=Algebraic topology | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |editorial = [[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-79540-1 |any=2002}}.
* {{citar ref|cognom1=Husain |nom1=Taqdir |títol=Introduction to Topological Groups |editorial=W.B. Saunders Company |lloc=Philadelphia | isbn=978-0-89874-193-3 |any=1966}}
* {{citar ref|cognom1= Jahn |nom1=H.|enllaçautor1=Hermann Arthur Jahn|cognom2=Teller|nom2=E.|enllaçautor2=Edward Teller|títol= Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy |any= 1937 |publicació= [[Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (1934–1990)]] |volum= 161 |exemplar= 905 |pàgines= 220–235 | doi = 10.1098/rspa.1937.0142}}.
* {{citar ref|cognom1=Kuipers |nom1=Jack B. |títol=Quaternions and rotation sequences — A primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality |editorial = [[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-05872-6 | id={{MathSciNet | id = 1670862}} |any=1999}}.
* {{citar ref|cognom1=Kuga |nom1=Michio |enllaçautor=Michio Kuga |títol=Galois' dream: group theory and differential equations |editorial=Birkhäuser Boston |lloc=Boston, MA | isbn=978-0-8176-3688-3 | id={{MathSciNet | id = 1199112}} |any=1993}}.
* {{citar ref|cognom1=Kurzweil |nom1=Hans |cognom2=Stellmacher |nom2=Bernd |títol=The theory of finite groups |editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-40510-0 | id={{MathSciNet | id = 2014408}} |any=2004}}.
* {{citar ref|cognom1=Lay |nom1=David |títol=Linear Algebra and Its Applications |editorial = [[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-201-70970-4 |any=2003}}.
* {{citar ref|cognom1=Mac Lane |nom1=Saunders |enllaçautor1=Saunders Mac Lane |títol = [[Categories for the Working Mathematician]] |editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York |edició=2a edició| isbn=978-0-387-98403-2 |any=1998}}.
* {{citar ref|cognom1=Michler |nom1=Gerhard |títol=Theory of finite simple groups |editorial = [[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-86625-5 |any=2006}}.
* {{citar ref|cognom1=Milne |nom1=James S. |títol=Étale cohomology |editorial = [[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08238-7 |any=1980}}
* {{citar ref|cognom1=Mumford |nom1=David |enllaçautor1=David Mumford |cognom2=Fogarty |nom2=J. |cognom3=Kirwan |nom3=F. |títol=Geometric invariant theory |editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York |edició=3a edició| isbn=978-3-540-56963-3 | id={{MathSciNet | id = 1304906}} |any=1994 |volum=34}}.
* {{citar ref|cognom1=Naber |nom1=Gregory L. |títol=The geometry of Minkowski spacetime |editorial = [[Dover Publications]] |lloc=Nova York | isbn=978-0-486-43235-9 | id={{MathSciNet | id = 2044239}} |any=2003}}.
* {{Neukirch ANT}}.
* {{citar ref|cognom1=Romanowska |nom1=A.B. |cognom2=Smith |nom2=J.D.H. |títol=Modes |editorial = [[World Scientific]] | isbn=9789810249427 |any=2002}}.
* {{citar ref|cognom1=Ronan |nom1=Mark |enllaçautor1= Mark Ronan|títol=Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics |editorial = [[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-280723-6 |any=2007}}.
* {{citar ref|cognom1=Rosen |nom1=Kenneth H. |títol=Elementary number theory and its applications |editorial = [[Addison-Wesley]] |edició=4a ed.| isbn=978-0-201-87073-2 | id={{MathSciNet | id = 1739433}} |any=2000}}.
* {{citar ref|cognom= Rudin |nom= Walter |enllaçautor= Walter Rudin |títol= Fourier Analysis on Groups|editorial=Wiley-Blackwell|series=Wiley Classics|any=1990|isbn=047152364X}}.
* {{citar ref|cognom1=Seress |nom1=Ákos |títol=An introduction to computational group theory | url=http://www.math.ohio-state.edu/~akos/notices.ps | id={{MathSciNet | id = 1452069}} |any=1997 |publicació = [[Notices of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9920 |volum=44 |exemplar=6 |pàgines=671–679}}.
* {{citar ref|cognom1=Serre |nom1=Jean-Pierre |enllaçautor1=Jean-Pierre Serre |títol=Linear representations of finite groups |editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90190-9 | id={{MathSciNet | id = 0450380}} |any=1977}}.
* {{citar ref|cognom1=Shatz |nom1=Stephen S. |títol=Profinite groups, arithmetic, and geometry |editorial = [[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08017-8 | id={{MathSciNet | id = 0347778}} |any=1972}}
* {{citar ref|cognom= Suzuki|nom= Michio|enllaçautor= Michio Suzuki|títol= On the lattice of subgroups of finite groups|publicació= [[Transactions of the American Mathematical Society]]|volum= 70|exemplar= 2|any= 1951|pàgines= 345–371| doi = 10.2307/1990375}}.
* {{citar ref|cognom1=Warner |nom1=Frank |títol=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups |editorial = [[Springer-Verlag]] |lloc=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90894-6 |any=1983}}.
* {{citar ref|cognom1=Weinberg |nom1=Steven |enllaçautor1=Steven Weinberg |títol=Gravitation and Cosmology |editorial = [[John Wiley & Sons]] |lloc=Nova York |any=1972 |isbn=0-471-92567-5}}.
* {{citar ref|cognom1=Welsh |nom1=Dominic |títol=Codes and cryptography |editorial=Clarendon Press |lloc=Oxford | isbn=978-0-19-853287-3 |any=1989}}.
* {{citar ref|cognom1=Weyl |nom1=Hermann |enllaçautor1=Hermann Weyl |títol=Symmetry |editorial = [[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-02374-8 |any=1952}}.
</div>

=== Referències històriques ===
<div style="font-size:95%">
* {{citar ref|cognom1=Borel |nom1=Armand |enllaçautor1=Armand Borel |títol=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups |editorial = [[American Mathematical Society]] |lloc=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0288-5 |any=2001}}
* {{citar ref|cognom1=Cayley |nom1=Arthur |enllaçautor1=Arthur Cayley |títol=The collected mathematical papers of Arthur Cayley | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 |editorial = [[Cambridge University Press]] |any=1889 |volum=II (1851–1860)}}.
* {{citar ref|cognom1=Curtis |nom1=Charles W. |títol=Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer |editorial = [[American Mathematical Society]] |lloc=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-2677-5 |any=2003}}.
* {{de icon}} {{citar ref|cognom1=von Dyck |any=1882|nom1=Walther |enllaçautor1=Walther von Dyck |títol=Gruppentheoretische Studien [Group-theoretical Studies] | url=http://www.springerlink.com/content/t8lx644qm87p3731 | doi=10.1007/BF01443322 |publicació = [[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 |volum=20 |exemplar=1 |pàgines=1–44|format=subscription required}}.
* {{fr icon}} {{citar ref|cognom1=Galois |nom1=Évariste |enllaçautor1=Évariste Galois | editor1-last=Tannery | editor1-first=Jules |títol=Manuscrits de Évariste Galois | url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 |editorial=Gauthier-Villars |lloc=París|any=1908}} (Galois work was first published by [[Joseph Liouville]] in 1843).
* {{fr icon}} {{citar ref|cognom1=Jordan |nom1=Camille |enllaçautor=Camille Jordan |títol=Traité des substitutions et des équations algébriques | url=http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF35001297 |editorial=Gauthier-Villars |lloc=París|any=1870}}.
* {{citar ref|cognom1=Kleiner |nom1=Israel |títol=The evolution of group theory: a brief survey | url=http://www.jstor.org/sici?sici=0025-570X(198610)59%3A4%3C195%3ATEOGTA%3E2.0.CO%3B2-9 | id={{MathSciNet | id = 863090}} |any=1986 |publicació = Mathematics Magazine | issn=0025-570X |volum=59 |exemplar=4 |pàgines=195–215|format=subscription required}}.
* {{de icon}} {{citar ref|cognom1=Lie |nom1=Sophus |enllaçautor1=Sophus Lie |títol=Gesammelte Abhandlungen. Band 1 (Collected papers. Volume 1) |editorial=Johnson Reprint Corp. |lloc=Nova York | id={{MathSciNet | id = 0392459}} |any=1973}}.
* {{citar ref|cognom1=Mackey |nom1=George Whitelaw |enllaçautor1=George Mackey |títol=The theory of unitary group representations |editorial = [[University of Chicago Press]] | id={{MathSciNet | id = 0396826}} |any=1976}}
* {{citar ref|cognom1=Smith |nom1=David Eugene | enllaçautor1=David Eugene Smith |títol=History of Modern Mathematics | url=http://www.gutenberg.org/etext/8746 | series=Mathematical Monographs, No. 1 |any=1906}}.
* {{citar ref|cognom1=Wussing |nom1=Hans |enllaçautor1 = Hans Wussing |títol=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory |editorial = [[Dover Publications]] |lloc=Nova York | isbn=978-0-486-45868-7 |any=2007}}.
</div>

{{Article de qualitat}}

{{ORDENA:Introduccio A La Teoria De Grups}}
[[Categoria:Articles de qualitat de matemàtiques]]
[[Categoria:Articles de qualitat dels 1000]]
[[Categoria:Teoria de grups|*]]
[[Categoria:Articles introductoris]]
[[Categoria:Traduccions que són articles de qualitat]]