Mostra la font per a Involuta

[[Fitxer:Evolvente-parabel.svg|miniatura|Dues involutes (vermell) d'una paràbola]]
En [[matemàtiques]], una '''involuta''' (també coneguda com a '''evolvent''') és un tipus particular de corba que és dependent d'una altra forma o [[corba]]. Una involuta d'una corba és el [[Lloc geomètric|locus]] d'un punt en una troç de corda tibant i es va d'esembolicant al voltant de la corba.<ref>{{Ref-llibre|títol=Geometry of Curves|cognom=Rutter|nom=J.W.| editorial=CRC Press|any=2000|isbn=9781584881667|pàgines=[https://archive.org/details/geometryofcurves0000rutt/page/204 204]|url= https://archive.org/details/geometryofcurves0000rutt/page/204}}</ref>

Son una classe de corbes dintre la família de corbes de [[Ruleta (geometria)|ruleta]].

L'evolvent d'una involuta és la seva corba original.

Les idees de la involuta i l'evoluta d'una corba va ser introduïda per [[Christiaan Huygens]] i el seu treball es va titular ''Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum anunci horologia aptato demonstrationes geometricae'' (1673).<ref>{{Ref-llibre|títol=Geometry from a Differentiable Viewpoint|cognom=McCleary|nom=John| editorial= [[Cambridge University Press]] |any=2013|isbn=9780521116077|pàgines=89}}</ref>

== Involuta d'una corba parametritzada ==
Donat <math> \vec c(t),\; t\in [t_1,t_2] </math> ser una [[Corba|corba regular]] al pla amb la seva [[curvatura]] en algun punt entre 0 i <math>a\in (t_1,t_2)</math>, llavors la corba amb la representació paramètrica

<math>\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}{|\vec c'(t)|}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw </math>

És una evolvent de la corba donada.
{| class=wikitable width="100%;"
|+
|
|}
Afegint un número arbitrari però número fixe <math>l_0</math> a la integral <math> \Bigl(\int_a^t|\vec c'(w)|\; dw\Bigr) </math> en resulta una involuta que correspon a una corda estesa per <math>l_0</math> (com un cabdell de fil [[Fil|yarn]] tenint alguna longitud de fil ja penjant abans que és desenrotlli). Per això, la evolvent pot ser modificada per una constant <math>a</math> i/o afegint un número a la integral (vegeu [[#Involutes d'una paràbola semicubica|Involutes d'una paràbola semicubica]]).

Si <math>\vec c(t)=(x(t),y(t))^T</math> aconseguim

: <math>\begin{align}
X(t) &= x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \\
Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \; .
\end{align}</math>

== Propietats d'involutes ==
[[Fitxer:Involute(in_red)_of_parabola(dark_blue).png|miniatura|Involuta: propietats. Els angles descrits son de 90 graus.]]
Per tal de derivar propietats d'una corba regular és avantatjós suposar la [[longitud d'arc]] <math>s</math> per ser el paràmetre de la corba donada, els quals ens porten a les simplificacions següents: <math>\;|\vec c'(s)|=1\;</math> i <math>\;\vec c''(s)=\kappa(s)\vec n(s)\;</math>, amb <math>\kappa</math> la [[curvatura]] i <math>\vec n</math> la unitat normal. llavors aconseguim per la involuta:

: <math>\vec C_a(s)=\vec c(s) -\vec c'(s)(s-a)\ </math>i
: <math>\vec C_a'(s)=-\vec c''(s)(s-a)=-\kappa(s)\vec n(s)(s-a)\; </math>

I la declaració:

* Al punt <math> \vec C_a(a)</math> l'involuta ''no'' és regular (perquè<math>| \vec C_a'(a)|=0</math>),

I de <math>\; \vec C_a'(s)\cdot\vec c'(s)=0 \;</math> en deriva:

* La normal de la involuta al punt <math>\vec C_a(s)</math> és la tangent de la corba donada al punt <math>\vec c(s)</math>.
* Les evolvents són corbes paral·leles, a causa de<math>\vec C_a(s)=\vec C_0(s)+a\vec c'(s)</math> i al fet, que <math>\vec c'(s)</math> és la unitat normal a <math>\vec C_0(s)</math>.

== Exemples ==
=== involutes d'un cercle ===
[[Fitxer:Evolvente-kreis.svg|miniatura|Evolvents d'un cercle]]
Per un cercle amb representació paramètrica<math>(r\cos(t), r\sin(t))</math>, un té <math>\vec c'(t) = (-r\sin t, r\cos t)</math>Per això <math>|\vec c'(t)| = r</math>, i la longitud de camí és <math>r(t - a)</math> .

L'equació paramètrica de la involuta és així<math>\begin{align}
X(t) &= r(\cos t + (t - a)\sin t)\\
Y(t) &= r(\sin t - (t - a)\cos t).
\end{align}</math>

El gràfic mostra les involutes per <math>a = -0.5</math> (verd), <math>a = 0</math> (vermell), <math>a = 0.5</math>(morat) i <math>a = 1</math>(blau Clar). Les involutes semblen espirals d'Arquimedes, però de fet no ho son.

La longitud d'arc per <math>a=0</math> i <math>0 \le t \le t_2</math> de la involuta és

: <math>L = \frac{r}{2} t_2^2.</math>

[[Fitxer:Evolvente-np.svg|miniatura|Involutes d'una paràbola semi-cubica (blau). Només la corba vermella és una paràbola.]]

=== Involutes d'una paràbola semicubica ===
L'equació paramètrica <math>\vec c(t) = (\tfrac{t^3}{3}, \tfrac{t^2}{2})</math> descriu una paràbola semicubica. D'on <math>\vec c'(t) = (t^2, t)</math>s'aconsegueix<math>|\vec c'(t)| = t\sqrt{t^2 + 1}</math> i <math>\int_0^t w\sqrt{w^2 + 1}\,dw = \frac{1}{3}\sqrt{t^2 + 1}^3 - \frac13</math>. Allargant la corda per <math>l_0={1\over3}</math> simplifica càlcul, i llavors aconseguim

: <math>\begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}</math>

Eliminan{{Mvar|t}} t aconseguim <math>Y = \frac{3}{2}X^2 - \frac{1}{3},</math> demostrem així que aquesta evolvent és una [[paràbola]].

Les altres involutes són així corbes paral·leles d'una paràbola, i no son paràboles, mentre són corbes de grau sis (Vegeu corbes Paral·leles § exemples més Llunyans).
[[Fitxer:Involute.gif|miniatura|La evolvent vermella d'una catenària (blau) és una tractriu.]]

=== Evolvent d'una catenària ===
Per la [[catenària]] <math>(t, \cosh t)</math>, el vector de tangent és <math>\vec c'(t) = (1, \sinh t)</math>, i, mentre <math> 1 + \sinh^2 t =\cosh^2 t,</math> la seva longitud és <math>|\vec c'(t)| = \cosh t</math>. Per això la longitud de l'arc del punt (0, 1) és<math>\textstyle\int_0^t \cosh w\,dw = \sinh t.</math>

Per això la evolvent que comença de (0, 1) es pot parametritzar per

: <math>(t - \tanh t, 1/\cosh t),</math>

I és per això un [[tractriu]].

Les altres evolvents no són tractrius, mentre siguin corbes paral·leles d'un tractrix.

=== Evolvents d'un cicloide ===
[[Fitxer:Evolvente-zy.svg|miniatura|Evolvents d'un cicloide (blau): Només la corba vermella és un altre cicloide]]
La representació paramètrica <math>\vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)</math> descriu un [[cicloide]]. De <math>\vec c'(t) = (1 - \cos t, \sin t)</math>, en pot sortir (després d'haver-hi utilitzat algunes fórmules trigonomètriques)

: <math>|\vec c'(t)| = 2\sin\frac{t}{2},</math>

I

: <math>\int_\pi^t 2\sin\frac{w}{2}\,dw = -4\cos\frac{t}{2}.</math>

Per això les equacions de la evolvent corresponent són

: <math>X(t) = t + \sin t,</math>
: <math>Y(t) = 3 + \cos t,</math>

Que descriuria el cicloide vermell del grafic. Per això

* Les evolvents del cicloide <math>(t - \sin t, 1 - \cos t)</math> són corbes paral·leles del cicloide

: <math>(t + \sin t, 3 + \cos t).</math>

(Corbes paral·leles d'un cicloide no son cicloides.)

== Involuta i evoluta ==
L'[[evoluta]] d'una corba donada consisteix dels centres de curvatura de .<math>c_0</math><math>c_0</math> Entre involutes i evolutes els controls de declaració següents:<ref>K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ...'', Springer-Verlag, 2012,{{ISBN|3834883468}}, S. 30.</ref><ref>R. Courant:''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band'', Springer-Verlag, 1955, S. 267.</ref>

: ''Una corba és l'evoluta de qualsevol de les seves involutes.''

[[Fitxer:Involute.gif|miniatura|Tractriu es la involuta de la catenaria]]
[[Fitxer:Evolute2.gif|miniatura|La evoluta de la tractriu es una catenaria]]
 {{Gallery}}

== Aplicació ==
L'evolvent té algunes propietats que la fa extremadament important a la indústria d'engranatges: Si dos [[engranatge]]s engranats tenen dents amb la forma del perfil d'evolvents (més que, per exemple, una forma triangular tradicional), formen un sistema d'engranatge de la evolvent. Els seus índexs relatius de rotació són constants mentre les dents estiguin en contacte. Els engranatges també estaran sempre en contacte al llarg d'una línia estable i unica de força. Amb dents d'altres formes, les velocitats relatives i les forces pugen i baixen en cada contacte de dents, generant vibracións, sorolls, i desgast excessiu. Per aquesta raó, gairebé totes dents d'engranatge modernes mantenen la forma d'evolvent.<ref>V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", [[Resonance (journal)|Resonance]] 18(9): 817 to 31 [https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12045-013-0106-3 Springerlink] (subscription required).</ref>
[[Fitxer:Two_moving_spirals_scroll_pump.gif|marc|Mecanisme d'un compressor d'engranatges]]
La evolvent d'un cercle és també important per a la compresio de gassos, Així podem construir un [[compressor]] d'engranatges, basat en aquesta forma. Els compresors d'engranatges fan menys soroll que compressors convencionals i han provat per mes eficaços.

El Reactor d'alt Flux d'Isòtops (HFIR, EUA''')''' fa servir combustible amb forma d'evolvents per a garantir una amplada constant entre ells per a la refrigeració.

== Vegeu també ==
* [[Evoluta]]
* [[Ruleta (geometria)]]

== Referències ==
{{Referències}}

== Enllaços externs ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Involute.html Involuta] a [[MathWorld]]

[[Categoria:Geometria diferencial]]
[[Categoria:Pàgines amb traduccions sense revisar]]