Mostra la font per a Límit

En [[matemàtiques]], la noció de '''límit''' és força intuïtiva, malgrat la seva formulació abstracta. Amb l'objectiu de donar-ne una introducció simple, en aquest article es tracta només el cas de les successions de [[Nombre real|nombres reals]] i el cas de les funcions reals d'una variable real.

== Límit d'una successió ==
=== Introducció ===
Les successions són les funcions amb domini de definició [[nombre natural|ℕ]], o, a 
vegades [[nombre enter|ℤ]] (sobretot en [[anàlisi de Fourier]]). Aquí tractarem només el 
primer cas.

Ara, cada enter és un punt aïllat; en altres mots, no podem acostar-nos a 
<math>n\in\mathbb N</math> mitjançant diferents punts de ℕ.
Això implica que no es considera la idea de límit d'una successió en un enter finit: hi ha 
de fet només el seu valor.

Considerem doncs només la noció de límit per a <math>n\to+\infty</math>; l'anomenarem
«límit de la successió».

=== Definició, convergència, divergència ===
* Cas del límit finit <math>l\in\R\,\!</math>: per a tot «descart de tolerància» <math>\epsilon > 0\,\!</math> existeix un «enter de confidència» <math>N_0 \in \mathbb N \,\!</math> tal que, per a tot ''n'' més gran que <math>N_0 \,\!</math>, el valor <math>u_n \,\!</math> és prop de ''l'' per a menys de ''ε'': <math>n \geq N_0 \ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_n \leq l+\epsilon \,\!</math>.

Quan existeix, el límit ''l'' és únic; s'escriu llavors <math>\lim (u_n)_n = l \,\!</math>, i
es diu que <math>(u_n)_n \,\!</math> tendeix (o també ''convergeix'') cap a ''l''.

Una successió que admet un límit finit és anomenada '''''convergent'''''. Hom té el teorema següent:
''Cada successió convergent és fitada''.

* Cas del límit infinit: distingim dos casos:

A) <math>+\infty\,</math> i B) <math>-\infty\,</math>.

Per a cada « llindar de tolerància » <math>M>0 \,\!</math> cal que es pugui trobar un « enter de confidència »
<math>N_0 \in \N \,\!</math> a partir del qual els valors de 
<math>\vert (u_n) \vert\, </math> siguin superiors a <math>M \,\!</math> i els 
<math>(u_n) \, </math> es mantinguin positius -en el cas A)- i negatius -en el cas B)-:
* <math>n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\!</math> per a <math>\lim (u_n) = +\infty \,\!</math>
* <math>n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n \leq M \,\!</math> per a <math>\lim (u_n) = -\infty \,\!</math>.

A més, en el cas A) <math>n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n >0 \,\!</math> i en el cas B) 
<math>n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n <0 \,\!</math>.

Se diu llavors que <math>(u_n) \,\!</math> tendeix (o ''divergeix'') a: A) <math>+\infty 
\,\!</math>, B) <math>-\infty \,\!</math>.

:
'''NB:''' Es parla de successió '''''convergent''''' només quan una successió admet un límit 
''finit'', de successió '''''divergent''''' en els casos A) i B), de successió '''''indeterminada''''' 
en tots els altres casos.
:
'''NB:''' Es pot també parlar de límit <math>\infty \,\!</math> quan
<math>\lim {1\over u_n} =0 </math>. Això resumeix els casos A) i B) i, a més, el cas on 
<math>n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\!</math> però els 
<math>(u_n)</math> poden canviar signe de manera arbitrària.

=== Sub-successions ===
Es parla de ''sub-successió'' de la successió <math>(u_n) 
\,\!</math> quan se seleccionen "només uns quants"
elements de <math>(u_n) \,\!</math>:
així es considera només una part de la informació. L'exemple més clàssic és aquell de les 
sub-successions <math>(u_{2n}) \,\!</math>
dels termes de rang parell, i <math>(u_{2n+1}) \,\!</math>
dels termes de rang imparell.

Més generalment, es designa amb el terme ''« extracció »'' cada aplicació 
<math>\phi \ : \ \N \to \N \,\!</math> estrictament creixent. Llavors una 
sub-successió és una successió de la forma <math>(u_{\phi(n)}) \,\!</math>.

Una propietat important és que ''una successió <math>(u_n) \,\!</math> admet límit (finit 
o infinit) si i només si cada sub-successió <math>(u_{\phi(n)}) \,\!</math> admet el 
mateix límit''.

=== Linealitat del passatge al límit ===
L'operació de passatge al límit és lineal en el sentit següent :

si (''x''<sub>''n''</sub>) i (''y''<sub>''n''</sub>) són unes successions reals convergents i 
tals que lim ''x''<sub>''n''</sub> = ''L'' i lim ''y''<sub>''n''</sub> = ''P'', llavors
* la successió (''x''<sub>''n''</sub> + ''y''<sub>''n''</sub>) convergeix a ''L'' + ''P''.
* Si ''a'' és un nombre real, llavors la successió (''a'' ''x''<sub>''n''</sub>) convergeix a ''L''.

Així, el conjunt ''C'' de totes les successions reals convergents és un [[espai vectorial]]
real i l'operació de passatge al límit és una [[forma lineal]] real sobre ''C''. Si 
(''x''<sub>''n''</sub>) i (''y''<sub>''n''</sub>) són unes successions reals convergents amb 
límits ''L'' i ''P'' respectivament, llavors la successió 
(''x''<sub>''n''</sub>''y''<sub>''n''</sub>) convergeix a ''LP''. Doncs l'espai 
vectorial ''C'' és de fet una [[àlgebra]] real.

Si ''P'' no és ''0'', llavors es pot trobar <math>N\in{\mathbb N}</math> tal que la successió (''x''<sub>''n''</sub>/''y''<sub>''n''</sub>), amb <math>n\geq N</math> és bé definita i convergent amb límit ''L''/''P''.

Cada successió convergent és fitada, puix que tots els termes, salvat un nombre finit, estan dins un interval al voltant del límit.
Si (''x''<sub>''n''</sub>) és una successió de reals, fitada damunt i creixent (-o també fitada davall i decreixent-), llavors és convergent.

Cada [[successió de Cauchy]] de nombres reals és convergent, o més simplement: el 
conjunt dels nombres reals és [[espai complet|complet]].

=== Exemples ===
* La successió (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres reals és convergent, amb límit 0.
* La successió (3, 3, 3, 3, 3, ...) és convergent de límit 3.
* La successió <math>n\mapsto u(n):= (-1)^{n}= (-1, 1, -1, 1, ...)</math> no és convergent, però les seves sub-successions <math>n\mapsto u(2n)</math> i <math>n\mapsto u(2n+1)</math> ho són.
* La successió (1, -2, 3, -4, 5, ...) té límit <math>\infty</math>.
* La successió (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) és convergent, amb límit 1. Aquesta successió és un exemple de [[sèrie geomètrica]].
* Si ''a'' és un nombre real de [[valor absolut]] |''a''| < 1, llavors la successió de terme general ''a''<sup>''n''</sup> té límit 0.
* Si ''a'' >0, llavors la successió de terme general ''a''<sup>1/''n''</sup> té límit igual a 1.
* La successió <math>n\mapsto u(n):= (1+1/n)^{n}</math> convergeix a [[Nombre e|''e'']] i, per a tot nombre real (de fet complex) ''x'', la successió <math>n\mapsto u(n):= (1+x/n)^{n}</math> convergeix a <math> e^x</math>.

== Límits de funcions ==
Convé distingir el cas del límit en un punt real finit i el cas del límit a l'infinit ("positiu" o "negatiu").

=== Límit d'una funció a un punt ''a'' ===
==== Definició ====
Sigui <math>f(x)\,\!</math> : <math>\ R\to\R</math>


<math>\lim_{x \to a}f(x)</math> = <math>\ l\in\R</math> ⇔ ∀ε>0, ∃ <math>\ \delta</math> > 0 / ∣f(x)-L∣ < ε, ∀x ∈ (a- <math>\ \delta</math>,a) ∪ (a, a+<math>\ \delta</math>)

==== Límits finits ====
Si <math>\ f</math> és una funció real de variable real i <math>\ a</math> un punt
del domini de definició de ''f'', es diu que <math>\ l\in\R</math> és el límit de
<math>\ f</math> en <math>\ a</math> si :
* intuïtivament, <math>\ f(x)</math> s'acosta a <math>\ l</math> en la mesura que <math>\ x</math> s'acosta a <math>\ a</math> ;
* amb més rigor, per a tot « descart de tolerància » <math>\ \epsilon > 0</math> es pot trobar un « descart de confidència » <math>\ \delta > 0</math> tal que, quan <math>\ x</math> és prop de <math>\ a</math> a menys de <math>\ \delta</math>, llavors <math>f(x)</math> és prop de <math>\ l</math> a menys de <math>\ \epsilon</math>.

En símbols:
<math>a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon</math>

:
:::''(il·lustració 1)''

:
En altres mots, es pot fer <math>f(x)\,\!</math> tant prop de <math>l\,\!</math> que se 
vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de <math>a\,\!</math>.

:
En aquest cas, s'escriu <math>\lim_{x \to a}f(x) = l\,\!</math>.

==== Límits infinits ====
Pot també succeir que al punt <math>a\,\!</math> la funció <math>f\,\!</math> no hi hagi 
límit finit, sinó infinit.
Això vol dir que, s'acostant a <math>a\,\!</math> el valor de <math>f\,\!</math> "s'acosta" a <math>+\infty\,\!</math> o a <math>-\infty\,\!</math>; és a dir, esdeven grand{{què}} quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de <math>+\infty\,\!</math>) o negatiu (<math>-\infty\,\!</math>).

La formulació matemàtica és llavors la següent : per a cada « llindar de tolerància » 
<math>M>0\,\!</math> es pot trobar un « descart de confidència » <math>\delta >
0\,\!</math> tal que, dès que <math>x\,\!</math> és prop de <math>a\,\!</math> a menys 
de <math>\delta\,\!</math>, llavors <math>\vert f(x) \vert\,\!</math> és major que 
<math>M\,\!</math> i <math> f\!</math> es manten de signe constant:
<math>a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) \vert \geq M</math> i: 
<math>f(x)>0</math> per al cas del límit <math>+\infty</math>, <math>f(x)<0</math> per al cas
del límit <math>-\infty</math>.

:
:::''(il·lustració 2)''

:
En altres mots, es pot fer <math>f(x)\,\!</math> tant prop de <math>\pm\infty</math> que 
se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de <math>a\,\!</math>.

:
En aquest cas s'escriu <math>\lim_{x \to a}f(x) = +\infty\,\!</math> ''(o <math>\lim_{x \to 
a}f(x) = -\infty\,\!</math>)''.

:
==== Infinit sense signe ====
'''NB:''' També per a les funcions de variable real (però és més utilitzat a l'[[anàlisi complexa]]),
es pot parlar de límit <math>\infty \,\!</math>, quan
<math>\lim_{x \to a} {1/f(x)} =0 </math>. Això resumeix els casos <math>\pm\infty 
\,\!</math> i, a més, el cas on <math>a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) 
\vert \geq M</math> però <math>f</math> pot canviar signe de manera arbitrària. Això 
no pot succeir per a [[Funció contínua|funcions contínues]] en <math>(a-\delta,x)\bigcup (x, a+\delta)</math>.

=== Límits per l'esquerra, per la dreta ===
Pot succeir també que el comportament local de la funció <math>f\,\!</math> sigui 
different « per l'esquerra » de <math>a\,\!</math> (és a dir per a les <math>x<a\,\!</math>) i 
« per la dreta » de <math>a\,\!</math> (és a dir per a les <math>x>a\,\!</math>). Per 
exemple, una funció pot admetre un límit per la dreta i no per l'esquerra, o també admetre dos 
límits diferents de cada costat.

:
:::''(il·lustració 3)''

:
Hom és doncs portat a introduir les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra; la sola 
diferència amb els límits « normals » és que la proximitat de <math>f(x)\,\!</math> amb 
<math>l\,\!</math> o <math>\pm\infty\,\!</math> és demanada només per a un costat de 
<math>a\,\!</math>. Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs :
;
* per al límit per l'esquerra :
: <math>\lim_{x \to a, x<a}f(x) = l,\!</math> quan 
:: <math>a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon</math>
: <math>\lim_{x \to a, x<a}f(x) = +\infty\,\!</math> quan
:: <math>a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ f(x) \geq M</math>
:
* per al límit per la dreta :
: <math>\lim_{x \to a, x>a}f(x) = l,\!</math> quan
:: <math>a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon</math>
: <math>\lim_{x \to a, x>a}f(x) = +\infty\,\!</math> quan
:: <math>a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M</math>

:
Les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra són menys resrictives que la noció clàssica
de límit « bilateral » : una funció pot tenir un límit per l'esquerra i un límit per la dreta sense tenir
un límit bilateral. De fet hom heu la propietat:

''Una funció té un límit en un punt <math>a \,\!</math> si i només si té un límit per l'esquerra
<math>l_e\,\!</math> i un límit per la dreta <math>l_d\,\!</math> i aquests són '''iguals''' : 
<math>l_g=l_d\,\!</math>''

=== Límit d'una funció a l'infinit ===
Ara considerem el comportament d'una funció ''f'' -definida per a cada ''x'' prou gran en 
valor absolut- « als límits » del domini de definició, sigui quan <math>x\,\!</math> creix 
indefinidament (límit en <math>+\infty</math>), sigui quan <math>x\,\!</math> decreix 
indefinidament (límit en <math>-\infty</math>).

:
Es pot notar que, en aquest context, la noció de límit per la dreta o per l'esquerra no heu sentit;
de fet els límits en <math>+\infty</math> són sempre uns límits per l'esquerra i els límits en 
<math>-\infty</math> són sempre uns límits per la dreta.

==== Límits finits ====
[[Fitxer:Limit-at-infinity-graph.png|miniatura|El límit de una funció a més infinit és L si, per a 
tot ε > 0 existeix S > 0; tal que <nowiki>|f(x)-L|</nowiki> < ε per a tot x >
S.]]

Direm que la funció <math>f\,\!</math> admet el límit finit <math>l\,\!</math> en 
<math>+\infty</math> si<math>f(x) \,\!</math> s'acosta a <math>l\,\!</math> en la mesura 
que <math>x\,\!</math> esdeven més gran (o « tendeix a <math>+\infty\,\!</math> »).

:
Matemàticament, això és traduït mitjançant el fet que, per a tot « descart de tolerància » 
<math>\epsilon>0 \,\!</math> es pot trobar una « llindar de confidència » <math>M>0 

\,\!</math> després de la qual la nostra funció 
prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, de centre <math>l\,\!</math> i radi 
<math>\epsilon \,\!</math>, és a dir:
<math>x \geq M \ \Rightarrow </math><math>\ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon</math>

En altres mots, es pot fer <math>f(x)\,\!</math> tant prop de <math>l\,\!</math> que se 
vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran. En aquest cas s'escriu 
<math>\lim_{x \to +\infty}f(x) = l \,\!</math>.

:
Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en <math>-\infty</math> : es diu que 
<math>f(x)\,\!</math> tendeix a <math>l\,\!</math> quan <math>x</math> tendeix a 
<math>-\infty</math> si per a tot descart <math>\epsilon > 0 \,\!</math> es pot trobar una 
llindar <math>M < 0 \,\!</math> tal que: <math> x \leq M \ </math><math> \Rightarrow \ 
l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon</math>, i s'escriurà <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = l 
\,\!</math>.

:

==== Límits infinits ====
:
Direm que la funció <math>f\,\!</math> admet el límit <math>\pm\infty\,\!</math> en 
<math>+\infty</math> si<math>\vert f(x) \vert\,\!</math> esdevé arbitràriament gran
en la mesura que <math>x\,\!</math> esdevé més gran (o « tendeix a 
<math>+\infty\,\!</math> »). De més, <math>f(x)\,\!</math> resta amb signe positiu 
(<math>+\infty\,\!</math>) o negatiu (<math>-\infty\,\!</math>) per a tals ''x''. La 
permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit 
<math>\infty\,\!</math>.

:
Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » 
<math>K>0 \,\!</math> es pot trobar un «llindar de confidència» <math>M>0 \,\!</math>
després del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir
<math>(K,+\infty)\,\!</math> (cas 
<math>+\infty\,\!</math>), <math>(-\infty,-K)\,\!</math> (cas <math>-\infty\,\!</math>) o 
<math>(-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\!</math> (cas <math>\infty\,\!</math>).

:
:::''(il·lustració 5)'' 

:
En altres mots, es pot fer <math>f(x)\,\!</math> tant prop de <math>\pm\infty\,\!</math> (o 
<math>\infty\,\!</math>) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

:
En aquest cas s'escriu <math>\lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\!</math> o <math>\lim_{x 
\to +\infty}f(x) = \infty \,\!</math>.

:
Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en <math>-\infty</math> : direm que la 
funció <math>f\,\!</math> admet el límit <math>\pm\infty\,\!</math> en 
<math>-\infty</math> si<math>\vert f(x) \vert\,\!</math> esdeven arbitràriament gran
en la mesura que <math>x\,\!</math> esdeven més gran en valor absolut, mes ha signe 
negatiu (o « tendeix a <math>-\infty\,\!</math> »). De més, <math>f\,\!</math> resta amb 
signe positiu (<math>+\infty\,\!</math>) o negatiu (<math>-\infty\,\!</math>) per a tals ''x''.

La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit 
<math>\infty\,\!</math>.

:
Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » 
<math>K>0 \,\!</math> es pot trobar un « llindar de confidència » <math>M<0 \,\!</math>
abans del qual la nostra funció 
prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir <math>(K,+\infty)\,\!</math> (cas 
<math>+\infty\,\!</math>), <math>(-\infty,-K)\,\!</math> (cas <math>-\infty\,\!</math>) o 
<math>(-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\!</math> (cas <math>\infty\,\!</math>).

:
:::''(il·lustració 6)'' 

:
En altres mots, es pot fer <math>f(x)\,\!</math> tant prop de <math>\pm\infty\,\!</math> (o 
<math>\infty\,\!</math>) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

:
En aquest cas s'escriu <math>\lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\!</math> o <math>\lim_{x 
\to +\infty}f(x) = \infty \,\!</math>.

:
L'operació de passatge al límit (o al límit per la dreta/esquerra) és lineal també per a les 
funcions de variable real, en el sentit següent: sigui ''x''<sub>''0''</sub> un punt de la dreta
real acabada, és a dir un nombre real finit o <math>\pm\infty </math>.
* Si ''f'' i ''g'' són unes funcions de variable real que admeten límits ''L'' i ''P'' a ''x''<sub>''0''</sub>, llavors també la funció ''f''+''g'' hi admet límit, i aquest límit és ''L''+''P''.
* Si ''a'' és un nombre real, llavors la funció ''a f'' admet límit a ''x''<sub>''0''</sub>, i aquest límit és ''aL''.

Així, el conjunt ''K'' de totes les funcions que admeten límit a ''x''<sub>''0''</sub> és un 
[[espai vectorial]] real i l'operació de passar al límit és una forma lineal real sobre ''K''.

Si ''f'' i ''g'' són unes funcions de variable real que admeten límits ''L'' i ''P'' a ''x''<sub>''0''</sub>,
llavors també la funció ''fg'' hi admet límit, i aquest límit és ''LP'', així l'espai vectorial ''K'' es de fet 
una àlgebra real.

Si ''P'' no és ''0'', llavors es pot trobar 
un interval al voltant de ''x''<sub>''0''</sub> on ''f''/''g'' està ben definida; el seu límit a 
''x''<sub>''0''</sub> és ''L''/''P''.

=== Exemples ===
* El límit de <math>x\mapsto \frac{1}{x}</math> quan ''x'' tendeix a <math>\pm\infty</math> és igual a ''0''.
:Clau de la demostració per a <math>+\infty</math>: si <math>x\geq M</math>, llavors <math>\frac{1}{x}\leq 1/M</math>.
* El límit per la dreta de <math>x\mapsto \frac{1}{x}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' (0<sup>+</sup>) és <math>+\infty</math>.
:Clau de la demostració: si <math>0<x\leq \delta</math>, llavors <math>\frac{1}{x}\geq \frac{1}{\delta}</math>.
* El límit per l'esquerra de <math>x\mapsto \frac{1}{x}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' (0<sup>-</sup>) és <math>-\infty</math>.
* El límit (bilateral) de <math>x\mapsto \frac{1}{x}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' és <math>\infty</math> sense signe, és a dir <math>x\mapsto \frac{1}{1/x}</math> tendeix a ''0'' quan ''x'' tendeix a ''0'', puix que <math>\frac{1}{1/x}=x</math>. Recordeu que 
<math>\infty</math> sense signe és més utilitzat en [[anàlisi complexa]]. Vegeu també la [[Límit#Infinit sense signe|nota]] anterior.
* El límit de <math>x\mapsto x^2</math> quan ''x'' tendeix a 3 és igual a 9 (En aquest cas la funció és definita i contínua en aquest punt, i el valor de la funció és igual al seu límit).
:Clau de la demostració: si <math>2\leq x\leq 4</math>, llavors <math>\vert x^2-9\vert= \vert (x+3)\vert\cdot\vert (x-3) \vert\leq 7\cdot\vert (x-3) \vert </math>.
* El límit de <math>x\mapsto \vert x \vert^{\vert x \vert}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' és igual a ''1''.
* El límit de <math>x\mapsto \frac{(a+ x)^2-a^2}{x}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' és igual a 2''a''.
* El límit per la dreta de <math>x\mapsto \frac{\vert x \vert}{x}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' és igual a ''1''; el límit per l'esquerra és igual a -1.
* El límit de <math>x\mapsto \frac{\sin x}{x}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' és igual a ''1''.
* El límit de <math>x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' és igual a ''0''.
* El límit de <math>x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x^2}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' és igual a ''-1/2''.
* El límit de <math>x\mapsto \frac{\sin x}{x}+\vert x \vert^{\vert x \vert}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' és igual a ''2''.
* El límit de <math>x\mapsto \frac{\sin x}{x}\cdot\vert x \vert^{\vert x \vert}</math> quan ''x'' tendeix a ''0'' és igual a ''1''.

== Lligam entre els límits de successions i de funcions ==
Es pot provar que <math>\lim_{x \to +x_0} f(x) = y_0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} f(u_n) 
= y_0 </math> per a cada successió <math>\left\{u_n\right\}_{n=1}^\infty </math> tal que <math>\lim_{n \to 
\infty} u_n = x_0 </math>, és a dir per a cada successió convergent a <math>x_0 
</math>.

== Vegeu també ==
* [[Teorema del límit central]]
* [[Mètodes infinitesimals]]
* [[Convergència uniforme]]
* [[Indeterminació (límit)]]

== Bibliografia ==
{{ref-llibre|cognom=Perelló |nom=Carles |enllaçautor=Carles Perelló i Valls |títol= Càlcul infinitesimal|editorial=Enciclopèdia Catalana |lloc=Barcelona |data=1994 |isbn=84-7739-518-7}}

{{Autoritat}}
{{Viccionari-lateral|límit}}

{{ORDENA:Limit}}
[[Categoria:Límits| ]]