Mostra la font per a Llei dels gasos ideals

{{termodinàmica|}}
La '''llei dels gasos ideals''' és una [[equació d'estat]] que relaciona la [[pressió]], <math display="inline">P</math>, el [[volum]], <math display="inline">V</math>, la [[temperatura]], <math display="inline">T</math>, i la [[quantitat de substància]], <math display="inline">n</math>, d'un [[gas ideal]]; un gas hipotètic les [[molècules]] del qual són totalment lliures i on no hi ha cap interacció entre elles.<ref>{{Ref-llibre|títol=(Gas) Gran Enciclopèdia Catalana|volum= Volum 11|edició= Reimpressió d'octubre de 1992 |editorial=Gran Enciclopèdia Catalana |lloc=Barcelona|any=1992 |pàgina=493 |isbn=84-7739-006-1}}</ref>

Aquesta llei es pot derivar de la [[teoria cinètica molecular|teoria cinètica dels gasos]] i es basa en tres hipòtesis:<ref name=brit>{{ref-web|url= https://www.britannica.com/science/perfect-gas|títol= Perfect gas|consulta= 8 octubre 2021|obra= Encyclopædia Britannica|editor= Encyclopædia Britannica, Inc.|llengua= anglès|arxiuurl= https://web.archive.org/web/20200808005825/https://www.britannica.com/science/perfect-gas|arxiudata= 8 d’agost 2020}}</ref>

* el gas està compost d'un nombre elevat de molècules, que es mouen de manera aleatòria i obeeixen les [[Lleis de Newton|lleis de Newton del moviment]]
* el volum de les molècules és molt petit comparat amb l'espai que ocupa el gas, i és negligible
* no hi ha cap altra força que actuï sobre les molècules que no siguin les col·lisions, que són [[Xoc elàstic|elàstiques]] i de durada negligible.

Tot i que cap gas té aquestes característiques, la llei descriu de manera força precisa el comportament dels [[Gas real|gasos reals]], especialment en condicions de temperatura elevada i baixa pressió, atès que la distància entre les molècules i la seva velocitat augmenta fent més difícil la interacció entre elles. I inversament, quan el gas es troba a prop de seu punt de condensació, la llei no es compleix.<ref name=brit/>

L'[[equació]] d'estat que defineix un gas ideal és:{{sfn|Ansermet|Brechet|2018|p=111}}

<center>{{Teorema|<center><math>p V = n R T</math></center>}}</center>

On <math display="inline">n</math> és el nombre de [[mol]]s del gas, <math display="inline">V</math> és el volum ocupat pel gas, <math display="inline">p</math> és la pressió, <math display="inline">T</math> la temperatura i <math display="inline">R</math> és la [[constant dels gasos]].

El valor de <math display="inline">R</math> és:

<math>R = 8,31 J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}</math>

La contant dels gasos està relacionada amb el [[nombre d'Avogadro]] (<math display="inline">N_{\rm A} = 6,022 \, 140 \, 76 \, \times10^{23} \quad mol^{-1} </math>) i la [[constant de Boltzmann]] (<math display="inline">k_B = 1.380 \, 650 \, 4(24) \times 10^{-23} \, J \cdot K^{-1} </math>):{{sfn|Ansermet|Brechet|2018|p=111}}

<math>R = N_{\rm A} k_B </math>

== Derivació empírica ==
[[Fitxer:Robert Boyle 0001.jpg|miniatura|Robert Boyle (1627-1691)]]
La formulació de l'equació dels gasos ideals s'inicià en un article del 1834 de l'enginyer de mines francès [[Benoît Paul Émile Clapeyron|Émile Clapeyron]] (1799-1864) en el qual realitzava un estudi del [[cicle de Carnot]].<ref>{{Ref-publicació|cognom = Clapeyron|nom = E.|article = Mémoire sur la pissanse motrice de la chaleur|publicació = J. l'ecole polytechnique|url = http://www3.nd.edu/~powers/ame.20231/clapeyron1834.pdf|data = 1834|pàgines = 153-190|volum = 14}}</ref> En aquest article agrupà dues equacions relatives a les transformacions dels gasos:
* L'equació de la [[llei de Boyle-Mariotte]], que relaciona la pressió, <math display="inline">P_0</math>, i el volum, <math display="inline">V_0</math>, d'una determinada massa de gas en un estat inicial, amb la pressió, <math display="inline">P</math>, i el volum, <math display="inline">V</math>, de la mateixa massa de gas en un altre estat que s'hi arriba després de sofrir una transformació a temperatura constant o procés isotèrmic:

{{equació|1=<math display="block">P V = P_0 V_0</math>|2=1}}

* I l'equació de la [[llei de Charles i Gay-Lussac]], que relaciona el volum, <math display="inline">V_0</math>, i la temperatura absoluta, <math display="inline">T_0</math>, d'una determinada quantitat de gas, amb el volum, <math display="inline">V</math>, i la temperatura absoluta, <math display="inline">T</math>, en un altre estat assolit mitjançant un procés isòbar, això és, a pressió constant:

{{equació|1=<math display="block">\frac{V}{T} = \frac{V_0}{T_0}</math>|2=2}}

[[Fitxer:Gaylussac.jpg|miniatura|Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850)]]

L'agrupació d'ambdues equacions permeté a Clapeyron obtenir una equació aplicable a qualsevol procés entre dos estats d'un mateix gas i d'una mateixa massa d'ell, sense les restriccions d'haver de mantenir una de les tres variables constant. És l'anomenada '''equació de Clapeyron''':

{{equació|1=<math display="block">\frac{P V}{T} = \frac{P_0 V_0}{T_0}</math>|2=3}}

{{demostració |1=Sigui una determinada massa d'un gas ideal a pressió, <math>P_0</math>, volum <math>V_0</math> i temperatura <math>T_0</math> el qual se sotmet a un procés a temperatura constant, per arribar a un segon estat definit per una pressió, <math>P</math>, volum <math>V'</math> i temperatura <math>T_0</math>. Aplicant la llei de Boyle-Mariotte <math>P \cdot V' = P_0 \cdot V_0</math>. Si se sotmet ara a la mateixa massa de gas a un procés isòbar, a pressió constant, s'arriba a un tercer estat definit per una pressió, <math>P</math>, volum <math>V</math> i temperatura <math>T</math>, que es poden relacionar amb les anterior mitjançant la llei de Charles i Gay-Lussac: <math>\frac{V}{T} = \frac{V'}{T_0}</math>. Si hom aïlla <math>V'</math> de la primera equació i se substitueix a la segona s'obté l'equació de Clapeyron:
<math display="block">\frac{P V}{T} = \frac{P_0 V_0}{T_0}</math>| títol = Deducció de l'equació de Clapeyron}}

[[Fitxer:Benoit Clapeyron.png|miniatura|Benoît Paul Émile Clapeyron (1799-1864)]]

La primera equació d'estat dels gasos ideals fou obtinguda pel químic rus [[Dmitri Mendeléiev]] (1834-1907) el 1874<ref>{{Ref-publicació|cognom=Mendeléiev|nom=D.I|article=О сжимаемости газов (Sobre la compressibilitat dels gasos)|publicació=Russian Journal of Chemical Society and the Physical Society|data=1874|pàgines=309–352|volum=6|url=https://www.scirp.org/(S(i43dyn45teexjx455qlt3d2q))/reference/referencespapers.aspx?referenceid=919192}}</ref> on escriu l'equació dels gasos ideals amb la massa del gas, <math display="inline">m</math>, i la seva massa molar, <math display="inline">M</math>. Per deduir-la emprà les noves masses atòmiques, que conegué al [[Congrés de Karlsruhe]] el 1860 quan [[Stanislao Cannizzaro]] (1826-1910) explicà un nou mètode de determinar-les i aclarí el concepte de [[molècula]] i les observacions experimentals realitzades amb mostres del mateix gas, però amb masses diferents, <math display="inline">m</math>, que demostren que:

{{equació|1=<math display="block">\frac{P V}{T} \propto m</math>|2=4}}

Així mateix, elegint mostres de gasos d'igual massa <math display="inline">m</math>, però de diferent constitució química, això és, de diferent massa molecular, <math display="inline">M</math>, resulta que:

{{equació|1=<math display="block">\frac{P V}{T} \propto \frac{1}{M}</math>|2=5}}

Agrupant ambdues equacions {{Eqnref|4}} i {{Eqnref|5}} queda:

{{equació|1=<math display="block">\frac{P V}{T} \propto \frac{m}{M}</math>|2=6}}

Que hom pot escriure emprant una constant, <math display="inline">R</math>:

{{equació|1=<math display="block">\frac{P V}{T} = \frac{m}{M} \cdot R</math>|2=7}}

[[Fitxer:Dmitri Ivanowitsh Mendeleev.jpg|miniatura|Dmitri Ivanovitx Mendeléiev (1834-1907)]]

Reorganitzant queda l'equació que obtingué Mendeléiev, i que es coneix com a '''equació de Clapeyron-Mendeléiev''':<ref name=:3/>

{{equació|1=<math display="block">P V = \frac{m}{M} \cdot R T</math>|2=8}}

Per tant, és una equació d'estat, ja que no implica una relació entre dos estats diferents i és vàlida per a qualsevol gas i per a qualsevol massa d'ell. Això fa que aparegui per primer cop una veritable constant, la [[constant dels gasos]],<math display="inline">R</math>. En posteriors articles<ref name=:0>{{Ref-llibre|cognom = Mendeléiev|nom = D.I|títol = Recherches expérimentales sur l'élasticité des gaz / par D. Mendeleeff|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k95208b/f4.image|llengua = Rus|data = 1875|editorial = Nadein|lloc = Sant Petersburg}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210619191418/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k95208b/f4.image |date=2021-06-19 }}</ref><ref name=:1>{{Ref-publicació|cognom = Mendeléiev|nom = D.I|article = Mendeleef's Researches on Mariotte's Law|publicació = Nature|url = http://www.nature.com/nature/journal/v15/n388/pdf/015498a0.pdf|data = 1877|pàgines = 498-500|volum = 15|doi = 10.1038/015498a0}}</ref> en determinà el valor de la constant <math display="inline">R</math>, per a diferents gasos ([[hidrogen]], [[nitrogen]], [[oxigen]], [[monòxid de carboni]], [[diòxid de carboni]] i [[aire]]) obtenint un valor, en unitats del [[Sistema Tècnic d'Unitats]], de 845 kp·m/kmol·K, que equivalen a 8,29482 J/mol·K, un valor només 0,24% inferior al valor actual, i comprovà que es podia tractar d'una constant universal.

El 1887 el químic holandès [[Jacobus van 't Hoff]],<ref>{{Ref-publicació|cognom=Van' t Hoff|nom=J|article=The Function of Osmotic Pressure in the Analogy between Solutions and Gases.|publicació=Zeitschrift fur physikalische Chemie|url=http://urila.tripod.com/Hoff.pdf|data=1887|pàgines=481-508|volum=1|consulta=2015-02-03|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20160303224027/http://urila.tripod.com/Hoff.pdf|arxiudata=2016-03-03}}</ref> i el 1893 el químic alemany [[Walther Hermann Nernst]] (1864-1941) empraren l'equació dels gasos ideals en funció del nombre de mols,<math display="inline">n</math>,<ref>{{Ref-llibre|cognom = Nernst|nom = W|títol = Theoretical Chemistry: from the Standpoint of Avogadro’s Rule and Thermodynamics|url = https://books.google.ca/books?id=pm4PAwAAQBAJ&pg=PA42&dq=into+external+work+%28p.+20%29&hl=ca&sa=X&ei=7IDPVMOSKtHearHogugG&ved=0CCUQ6AEwAA#v=onepage&q=into%20external%20work%20%28p.%2020%29&f=false|data = 1893|editorial = MacMillan and Co.|pàgines = 41}}</ref> fent referència a un article del 1881<ref>{{Ref-publicació|cognom = Horstmann|nom = A.F|article = Ueber die Anwendungen des zweiten Hauptsatzes der Wärmetheorie auf chemische Erscheinungen|publicació = Berichte der deutschen chemischen Gesellschaft|url = http://www.readcube.com/articles/10.1002%2Fcber.188101401256/abstract|data = 1881|pàgines = 1242-1250|volum = 14|exemplar = 1}}{{Enllaç no actiu|bot=InternetArchiveBot |data=2023 }}</ref> del químic alemany [[August Friedrich Horstmann]] (1842-1929) on suggeria emprar una massa de gas igual a la massa molecular, és a dir la massa de l'actual [[mol]], ja que així la constant <math display="inline">R</math> no depenia del gas. Escriviren, doncs, la forma actual: 

{{equació|1=<math display="block">P V =n R T </math>|2=9}}

== Derivació teòrica ==
[[Fitxer:HYDRODYNAMICA, Danielis Bernoulli.png|miniatura|Portada de la ''Hydrodynamica'' (1738) de Bernoulli.]]
El 1738 [[Daniel Bernoulli]] (1700-1782) publicà ''Hydrodynamica'', un treball on establí les bases de la [[Teoria cinètica molecular|teoria cinètica dels gasos]]. En aquest treball, Bernoulli plantejà l'argument, que encara s'utilitza fins avui dia, que els gasos es componen d'un gran nombre de molècules que es mouen en totes les direccions, que el seu impacte contra una superfície origina la pressió del gas que podem mesurar, i que el que experimenten en forma de temperatura és simplement l'[[energia cinètica]] del seu moviment. La teoria no fou acceptada immediatament, en part a causa que el [[Principi de conservació de l'energia mecànica|principi de conservació de l'energia]] encara no s'havia establert, i no era obvi per als físics com les col·lisions entre molècules podrien ser perfectament elàstiques.<ref name=:2>{{Ref-llibre|cognom = Müller|nom = I|títol = A History of Thermodynamics: The Doctrine of Energy and Entropy|url = https://books.google.cat/books?id=u13KiGlz2zcC&dq=kinetic+theory+of+gases+history&hl=ca&source=gbs_navlinks_s|data = 2007|editorial = Springer Science & Business Media|isbn = 9783540462279}}</ref>

El 1845 [[John James Waterston]] (1811-1883) envià a la ''Royal Society'' un article en què proposava, entre altres coses, que la pressió d'un gas es deu a l'impacte de les seves molècules contra el recipient, una idea trencadora en l'època. L'article fou rebutjat per "estúpid i indigne de ser llegit davant la ''Royal Society''" i només fou publicat després de la mort de Waterston.<ref>{{Ref-publicació|cognom = Waterston|nom = J.J.|article = On the physics of media that are composed of free and perfectly elastic molecules in a state of motion|publicació = Philosophical Transactions of the Royal Society of London A|url = https://archive.org/stream/philtrans04661231/04661231#page/n0/mode/2up|data = 1892|pàgines = 1–79.|volum = 183}}</ref> El 1856 [[August Karl Krönig]] (1822-1879), probablement després d'haver llegit el treball de[[John James Waterston| Waterston]], creà un model de gas simple, on només considerà el moviment de translació de les partícules.<ref>{{Ref-publicació|cognom = Krönig|nom = A|article = Grundzüge einer Theorie der Gase|publicació = Annalen der Physik|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15184h/f327.table|data = 1856|pàgines = 315–322|volum = 99|exemplar = 10|consulta = 2015-01-23|arxiuurl = https://web.archive.org/web/20201001140811/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15184h/f327.table|arxiudata = 2020-10-01}}</ref> El 1857 [[Rudolf Clausius]] (1822-1888), segons les seves pròpies paraules, independentment de Kronig, desenvolupà un model similar, però molt més sofisticat, ja que inclogué moviments moleculars rotacionals i vibracionals. En aquest mateix treball introduí el concepte de recorregut lliure mitjà d'una partícula.<ref>{{Ref-publicació|cognom = Clausius|nom = R|article = Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen|publicació = Annalen der Physik|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15185v/f371.table|data = 1857|pàgines = 353–379|volum = 176|exemplar = 3|consulta = 2015-01-23|arxiuurl = https://web.archive.org/web/20201031194209/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15185v/f371.table|arxiudata = 2020-10-31}}</ref><ref name=:2/>

Segons la teoria cinètica la pressió,<math display="inline">P</math>, d'un gas ve donada per:

{{equació|1=<math display="block">P = \frac{N m \langle v \rangle ^2}{3 V}</math>|2=10}}

[[Fitxer:Translational motion.gif|miniatura|Simulació del moviment de les molècules d'un gas ideal monoatòmic. La temperatura està relacionada amb l'energia cinètica mitjana de les molècules i la pressió amb els xocs de les molècules amb les parets.]]
on:
* <math display="inline">N</math>, és el nombre de molècules del gas.
* <math display="inline">m</math>, és la massa d'una molècula de gas.
* <math display="inline">\langle v \rangle ^2</math>, és la velocitat mitjana al quadrat de les molècules.
* <math display="inline">V</math>, és el volum del gas.<ref name=:3/>
Per altra banda la temperatura, <math display="inline">T</math>, està relacionada amb l'energia cinètica mitjana, <math display="inline">\langle E_\mathrm{c} \rangle </math>, mitjançant la fórmula:

{{equació|1=<math display="block">\langle E_\mathrm{c} \rangle = \tfrac{1}{2} m \langle v \rangle ^2 = \tfrac{3}{2} k_\mathrm{B} T</math>|2=11}}

on:
* <math display="inline">k_\mathrm{B} </math>, és la [[constant de Boltzmann]].<ref name=":3">{{Ref-llibre|cognom=Holton|nom=G|títol=Introdución a los Conceptos y Teorías de las Ciencias Físicas|data=1989|editorial=Reverté|lloc=Barcelona|isbn=84-291-4323-8|url=https://www.google.cat/books/edition/Introducci%C3%B3n_a_los_conceptos_y_teor%C3%ADas/DROlYRS_VWoC?hl=ca&gbpv=0|llengua=es}}</ref>
D'aquesta equació es pot aïllar <math display="inline">m \langle v \rangle ^2 </math> i substituir en l'anterior:

{{equació|1=<math display="block">P = \frac{N m \langle v \rangle ^2}{3 V} = \frac{N 3 k_{\rm B} T}{3 V} = \frac{N k_{\rm B} T}{V}</math>|2=12}}

Si el nombre de partícules es posa en funció del [[nombre d'Avogadro]], això és <math>N = n N_{\rm A}</math>, essent <math display="inline">n</math> el nombre de [[mol]]s, i s'agrupen les constants (nombre d'Avogadro i constant de Boltzman) en una de sola, és a dir <math display="inline">N_{\rm A} k_{\rm B} = R</math>, s'obté finalment l'equació del gas ideal:<ref name=:3/>

{{equació|1=<math display="block">P V = n N_{\rm A} k_{\rm B} T</math>|2=13}}

{{equació|1=<math display="block">P V = n R T</math>|2=14}}

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
* {{Ref-llibre|cognom=Ansermet |nom=Jean-Philippe |cognom2=Brechet |nom2=Sylvain D. |títol=Principles of Thermodynamics |llengua= anglès |editorial=Cambridge University Press |any=2018 |isbn=9781108426091}}

{{ORDENA:Gasos Ideals, Llei Dels}}
[[Categoria:Lleis dels gasos]]