Mostra la font per a Lleis de Kepler

[[Fitxer:Kepler laws diagram.svg|miniatura|Il·lustració de les tres lleis de Kepler amb dues òrbites planetàries.{{ordered list
| list_style=margin-left:0; list-style-position:inside;
| item_style=margin-top:0.3em;
| Les òrbites són el·lipses, amb els punts focals ''F''<sub>1</sub> i ''F''₂ pel primer planeta i ''F''<sub>1</sub> i ''F''₃ pel segon. El Sol es troba al focus ''F''<sub>1</sub>.
| Els dos sectors ombrejats ''A''<sub>1</sub> i ''A''₂ tenen la mateixa àrea, i el temps que tarda el planeta 1 per cobrir el segment ''A''<sub>1</sub> és igual al temps per cobrir el segment ''A''₂.
| Els temps d'òrbita totals pels planetes 1 i 2 segueixen la proporció <math display="inline">\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^\frac{3}{2}</math>.
}}]]
En [[astronomia]], les '''lleis de Kepler''' són tres [[llei científica|lleis científiques]] que descriuen el moviment dels [[planeta|planetes]] al voltant del [[Sol]].

#L'[[òrbita]] d'un planeta és una [[el·lipse]] amb el Sol situat en un dels seus dos [[focus (geometria)|focus]].
#Un segment rectilini que uneix el planeta i el Sol escombra àrees iguals en intervals de temps iguals.<ref name="Wolfram2nd">{{ref-web |cognom=Bryant |nom=Jeff |cognom2=Pavlyk |nom2=Oleksandr |url=http://demonstrations.wolfram.com/KeplersSecondLaw/ |títol=Kepler's Second Law |editor=Wolfram Demonstrations Project |consulta=27 desembre 2009 |arxiuurl=https://web.archive.org/web/20190911084137/http://demonstrations.wolfram.com/KeplersSecondLaw/ |arxiudata=11 de setembre 2019 }}</ref>
#El quadrat del [[període orbital]] d'un planeta és proporcional al cub del [[semieix major]] de la seva òrbita.

Aquestes lleis s'apliquen a qualsevol cos orbitant al voltant d'un altre (per exemple la [[Lluna]] o els satèl·lits artificials i la [[Terra]]), sempre que negligim la influència de tercers cossos. La major part d'òrbites planetàries són gairebé circulars, i es necessiten càlculs i observació per determinar que no són perfectament circulars. Els càlculs de l'òrbita de [[Mart (planeta)|Mart]], valors publicats dels quals subjecte de debat,<ref>{{format ref}} https://www.nytimes.com/1990/01/23/science/after-400-years-a-challenge-to-kepler-he-fabricated-his-data-scholar-says.html?pagewanted=1 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180914203617/https://www.nytimes.com/1990/01/23/science/after-400-years-a-challenge-to-kepler-he-fabricated-his-data-scholar-says.html?pagewanted=1 |date=2018-09-14 }}</ref> indicaven que es tractava d'una òrbita el·líptica. A partir d'aquí, [[Johannes Kepler]] va deduir que els altres cossos del [[sistema solar]], incloent-hi aquells més llunyans al Sol, també tenen òrbites el·líptiques.

L'obra de Kepler, publicada entre el 1609 i el 1619, va millorar la [[teoria heliocèntrica]] de [[Nicolau Copèrnic]] explicant com variaven les velocitats dels planetes, i fent servir òrbites el·líptiques i no circulars amb [[epicicle]]s.<ref name=Holton>{{ref-llibre|títol=Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond 
|autor=Holton, Gerald James |autor2=Brush, Stephen G. |pàgines=40-41|url=https://books.google.cat/?id=czaGZzR0XOUC&pg=PA40|edició=3rd paperback |isbn=0-8135-2908-5 |editorial=[[Rutgers University Press]]|lloc=Piscataway, NJ |consulta= 27 desembre 2009 |data=2001}}</ref> El 1687, [[Isaac Newton]] va demostrar que les relacions establertes per Kepler s'aplicaven al sistema solar a conseqüència de les seves [[Lleis de Newton|lleis del moviment]] i [[Llei de la gravitació universal|de la gravitació universal]].

== Comparació amb Copèrnic ==
Les lleis de [[Johannes Kepler]] van millorar el model de [[Copèrnic]]. Segons Copèrnic:<ref>{{Cite web |date=2009-07-07 |title=Planetary Motion: The History of an Idea That Launched the Scientific Revolution |url=https://earthobservatory.nasa.gov/features/OrbitsHistory |access-date=2022-12-13 |website=earthobservatory.nasa.gov |language=en |archive-url=https://web.archive.org/web/20221213141743/https://earthobservatory.nasa.gov/features/OrbitsHistory |archive-date=2022-12-13 }}</ref><ref>{{Cite web |title=Nicolaus Copernicus |url=https://www.history.com/topics/inventions/nicolaus-copernicus |access-date=2022-12-13 |website=HISTORY |language=en |archive-url=https://web.archive.org/web/20221213141741/https://www.history.com/topics/inventions/nicolaus-copernicus |archive-date=2022-12-13 }}</ref>

# L'òrbita planetària és un cercle amb epicicles.
# El Sol es troba aproximadament al centre de l'òrbita.
# La velocitat del planeta a l'òrbita principal és constant.

Tot i tenir raó en dir que els planetes giraven al voltant del Sol, Copèrnic va ser incorrecte en definir les seves òrbites. Va ser Kepler qui va definir correctament l'òrbita dels planetes de la següent manera:<ref name=:0>{{Cite web|title=Kepler's Laws|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kepler.html|access-date=2022-12-13|website=hyperphysics.phy-astr.gsu.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20221213141743/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kepler.html|archive-date=2022-12-13}}</ref><ref name=:1>{{Cite web|title=Orbits and Kepler's Laws|url=https://solarsystem.nasa.gov/resources/310/orbits-and-keplers-laws|access-date=2022-12-13|website=NASA Solar System Exploration|archive-url=https://web.archive.org/web/20221213141742/https://solarsystem.nasa.gov/resources/310/orbits-and-keplers-laws/|archive-date=2022-12-13}}</ref>

# L'òrbita planetària ''no'' és un cercle amb epicicles, sinó una ''[[el·lipse]]''.
# El Sol ''no'' es troba al centre sinó en un ''[[Focus (geometria)|punt focal]]'' de l'òrbita el·líptica.
# Ni la velocitat lineal ni la [[velocitat angular]] del planeta a l'òrbita són constants, però la ''[[velocitat de l'àrea]]'' (estretament vinculada històricament amb el concepte de [[moment angular]]) és constant.

L'[[Excentricitat orbital|excentricitat]] de l'[[òrbita de la Terra]] fa que el temps des de l'[[equinocci de març]] fins a l'[[equinocci de setembre]], al voltant de 186 dies, sigui desigual al temps des de l'equinocci de setembre a l'equinocci de març, uns 179 dies. Un diàmetre tallaria l'òrbita en parts iguals, però el pla que travessa el Sol paral·lel a l'[[equador]] de la Terra talla l'òrbita en dues parts amb àrees en una proporció de 186 a 179, de manera que l'excentricitat de l'òrbita del La Terra és aproximadament
:<math>e \approx \frac{\pi}{4} \frac{186 - 179}{186 + 179} \approx 0.015,</math>

que s'aproxima al valor correcte (0,016710218). La precisió d'aquest càlcul requereix que les dues dates escollides estiguin al llarg de l'eix menor de l'òrbita el·líptica i que els punts mitjans de cada meitat estiguin al llarg de l'eix major. Com que les dues dates escollides aquí són equinoccis, això serà correcte quan el [[periheli]], la data en què la Terra està més propera al Sol, cau en un [[solstici]]. El periheli actual, prop del 4 de gener, està força a prop del solstici del 21 o 22 de desembre.

== Formulari ==
El model matemàtic de la [[cinemàtica]] d'un planeta subjecte a les lleis permet fer un gran ventall de càlculs.

=== Primera llei de Kepler ===
{{Citació|L'[[òrbita]] de cada [[planeta]] és una [[el·lipse]] amb el Sol a un dels seus dos [[focus (geometria)|focus]].}}

[[Fitxer:Kepler-first-law-kn.svg|miniatura|La primera llei de Kepler situa el Sol al focus d'una òrbita el·líptica]]

[[Fitxer:Ellipse latus rectum.svg|miniatura|Sistema de coordenades heliocèntric (''r'',{{nbsp}}''θ'') per una el·lipse. També s'hi mostren el semieix major ''a'', el semieix menor ''b'' i el ''semilatus rectum'' ''p''; el centre de l'el·lipse i els seus dos focus marcats per punts. Per {{nowrap|θ {{=}} 0°}}, {{nowrap|''r'' {{=}} ''r''{{sub|min}}}} i per {{nowrap|θ {{=}} 180°}}, {{nowrap|''r'' {{=}} ''r''{{sub|max}}}}.]]

Matemàticament, es pot representar amb la fórmula:
:<math>r = \frac{p}{1 + \varepsilon\, \cos\theta},</math>

on <math>p</math> és el ''[[Cònica|semilatus rectum]]'', ''ε'' és l'[[excentricitat]] de l'el·lipse, ''r'' és la distància des del Sol fins al planeta, i ''θ'' és l'angle a la posició actual del planeta des de la seva aproximació més propera, vist des del Sol. Així, (''r'', ''θ'') és un sistema de [[coordenades polars]].

Per una el·lipse 0 < ''ε'' <&nbsp;1; al cas límit ''ε'' = 0, l'òrbita és un cercle amb el Sol al centre, ja que l'excentricitat és nul·la.

A ''θ'' = 0°, [[periheli]], la distància és mínima
:<math>r_\min = \frac{p}{1 + \varepsilon}</math>

A ''θ'' = 90° i a ''θ'' = 270° la distància és igual a <math>p</math>.

A ''θ'' = 180°, [[afeli]], la distància és màxima (per definició, l'afeli és – invariablement – el periheli més 180°)
:<math>r_\max = \frac{p}{1 - \varepsilon}</math>

El [[semieix major]] ''a'' és la [[mitjana aritmètica]] entre ''r''<sub>min</sub> i ''r''<sub>max</sub>:
:<math>\begin{align}
 r_\max - a &= a - r_\min \\[3pt]
 a &= \frac{p}{1 - \varepsilon^2}
\end{align}</math>

El [[semieix menor]] ''b'' és la [[mitjana geomètrica]] entre ''r''<sub>min</sub> i ''r''<sub>max</sub>:
:<math>\begin{align}
 \frac{r_\max}{b} &= \frac{b}{r_\min} \\[3pt]
 b &= \frac{p}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}
\end{align}</math>

El ''[[Cònica|semilatus rectum]]'' ''p'' és la [[mitjana harmònica]] entre ''r''<sub>min</sub> i ''r''<sub>max</sub>:
:<math>\begin{align}
 \frac{1}{r_\min} - \frac{1}{p} &= \frac{1}{p} - \frac{1}{r_\max} \\[3pt]
 pa &= r_\max r_\min = b^2\,
\end{align}</math>

L'[[excentricitat]] ''&epsilon;'' és el [[coeficient de variació]] entre ''r''<sub>min</sub> i ''r''<sub>max</sub>:
:<math>\varepsilon = \frac{r_\max - r_\min}{r_\max + r_\min}.</math>

L'[[àrea]] de l'el·lipse és
:<math>A = \pi a b\,.</math>

El cas especial d'un cercle, on ''ε'' = 0, porta al fet que ''r'' = ''p'' = ''r''<sub>min</sub> = ''r''<sub>max</sub> = ''a'' = ''b'' i ''A'' = ''πr''².

=== Segona llei de Kepler ===
{{Citació|Una [[recta]] que uneix un planeta i el Sol escombra àrees iguals en intervals de temps iguals.<ref name="Wolfram2nd"/>}}

[[Fitxer:kepler-second-law.gif|miniatura|S'escombra la mateixa àrea (en blau) en un període fix. La fletxa verda és la velocitat. La fletxa lila dirigida cap al Sol, és l'acceleració. Les altres dues fletxes liles són les components de l'acceleració paral·lela i perpendicular a la velocitat.]]

El radi orbital i la velocitat angular del planeta a l'òrbita el·líptica varia. Aquest fet es mostra a l'animació: el planeta es mou més ràpidament quan és a prop del Sol, i més lentament quan se n'allunya. La segona llei de Kepler afirma que el sector blau té una àrea constant.

Per un breu instant <math>dt\,</math> el planeta escombra un petit triangle de base <math>r\,</math> altura <math>r \, d\theta</math> i àrea <math>dA = \frac{1}{2} \cdot r \cdot rd\theta</math>, i així la [[velocitat areolar]] constant és <math>\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2 \frac{d\theta}{dt}.</math>

L'àrea de l'òrbita el·líptica és <math>\pi ab.\,</math> Així, el període <math>P\,</math> satisfà
:<math>P \cdot \frac{1}{2}r^2 \frac{d\theta}{dt} = \pi ab</math>

i el [[moviment mitjà]] del planeta al voltant del Sol
:<math>n = \frac{2\pi}{P}</math>

satisfà
:<math>r^2\,d\theta = abn\,dt.</math>

=== Tercera llei de Kepler ===
{{Citació|El [[quadrat (àlgebra)|quadrat]] del [[període orbital]] és directament [[proporcional]] al [[cub (àlgebra)|cub]] del [[semieix major]] de la seva òrbita.}}

Això captura la relació entre la distància dels planetes des del Sol, i els seus períodes orbitals. Kepler va enunciar aquesta llei el 1619<ref name="Kepler 1619">Johannes Kepler, ''Harmonices Mundi'' [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, [https://books.google.cat/books?id=ZLlCAAAAcAAJ&pg=PA189 p. 189.] A la part inferior de la pàgina 189: ''"Sed res est certissima exactissimaque quod ''proportio qua est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora periodica, sit præcise sesquialtera proportionis'' mediarum distantiarum, … "'' (Però és absolutament cert i exacte que la ''proporció entre els temps periòdics de dos planetes qualssevol és precisament la proporció ''sesquialtera'' [la proporció 3:2] de les seves distàncies mitjanes, … ")<br>
Traducció a l'anglès de l'obra de Kepler ''Harmonices Mundi'' disponible: Johannes Kepler with E.J. Aiton, A.M. Duncan, and J.V. Field, trans., ''The Harmony of the World'' (Filadèlfia, Pennsilvània: American Philosophical Society, 1997); vegeu [https://books.google.cat/books?id=rEkLAAAAIAAJ&pg=PA411 p. 411] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20240619101302/https://books.google.cat/books?id=rEkLAAAAIAAJ&pg=PA411#v=onepage&q&f=false |date=2024-06-19 }}.</ref> en un intent per determinar segons lleis precises el que veia com la "[[Harmonia de les esferes|música de les esferes]]", i expressar-ho en termes de notació musical.<ref>[[Edwin Arthur Burtt|Burtt, Edwin]]. ''The Metaphysical Foundations of Modern Physical Science''. p. 52.</ref> Així, era coneguda com la ''llei harmònica''.<ref name=Holton3>{{ref-llibre |títol=Physics, the Human Adventure |autor=Gerald James Holton, Stephen G. Brush |pàgina=45 |url=https://books.google.cat/?id=czaGZzR0XOUC&pg=PA45 |isbn=0-8135-2908-5 |editorial=Rutgers University Press |data=2001 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20240619101302/https://books.google.cat/books?id=czaGZzR0XOUC&pg=PA45&hl=ca#v=onepage&q&f=false |date=2024-06-19 }}</ref>

Emprant la llei de la gravitació de Newton, publicada el 1687, es pot trobar aquesta relació pel cas d'una òrbita circular igualant la [[força centrípeta]] a la força gravitacional:
: <math>mr\omega^2 = G\frac{mM}{r^2}</math>

Llavors, expressant la velocitat angular en termes del període orbital i reordenant els termes, es troba la Tercera Llei de Kepler:
: <math>mr\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = G\frac{mM}{r^2} \rightarrow T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM} \right)r^3 \rightarrow T^2 \propto r^3</math>

Es pot trobar una relació més general per a òrbites el·líptiques i per òrbites al voltant d'un centre de massa, més que al voltant d'una massa gran. Això resulta en reemplaçar un radi circular <math>r</math> amb el semieix major d'una el·lipse <math>a</math>, a més de reemplaçar la massa <math>M</math> per <math>M + m</math>. Tanmateix, com que les masses dels planetes són significativament inferiors a les del Sol, sovint s'ignora aquesta correcció. La fórmula corresponent sencera és:
:<math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(M + m)}{4\pi^2} \approx \frac{GM}{4\pi^2} \approx 7,495 \cdot 10^{-6} \left(\frac{\text{UA}^3}{\text{dies}^2}\right) \text{ és constant}</math>

on <math>M</math> és la massa del sol, <math>m</math> és la massa del planeta i <math>G</math> és la [[constant de la gravitació]], <math>T</math> és el període orbital i <math>a</math> és el semieix major de l'el·lipse.

La següent taula mostra les dades emprades per Kepler per derivar empíricament la seva llei:
{| class=wikitable
|+ Dades emprades per Kepler (1618)
! Planeta
! Distància mitjana <br/>al sol (UA)
! Període <br/>(dies)
! <math display="inline">\frac{R^3}{T^2}</math>{{nbsp}}(10{{sup|6}}{{nbsp}}AU{{sup|3}}/day{{sup|2}})
|-
|Mercuri
|0,389
|87,77
|7,64
|-
|Venus
|0,724
|224,70
|7,52
|-
|Terra
|1
|365,25
|7,50
|-
|Mart
|1,524
|686,95
|7,50
|-
|Júpiter
|5,2
|4332,62
|7,49
|-
|Saturn
|9,510
|10759,2
|7,43
|}

[[Fitxer:solar_system_orbital_period_vs_semimajor_axis.svg|miniatura|300px|Representació logarítmica del període orbital (en anys terrestres) segons el semieix major (en unitats astronòmiques) per als vuit planetes del sistema solar.]]

Després de trobar aquest patró, Kepler va escriure: "Inicialment creia que somiava... però és absolutament cert i exacte que aquesta proporció entre els períodes de dos planetes qualssevol és exactament la potència de 3/2 de la distància mitjana."<ref>{{ref-llibre|títol=Kepler|cognom=Caspar|nom=Max|editorial=Dover|any=1993|lloc=Nova York}}</ref>

Segons estimacions modernes:
{| class=wikitable
|+ Dades actuals (Wolfram Alpha Knowledgebase 2018)
! Planeta
! Semieix major (UA)
! Període (dies)
! <math display="inline">\frac{R^3}{T^2}</math>{{nbsp}}(10{{sup|6}}{{nbsp}}UA{{sup|3}}/dia{{sup|2}})
|-
|Mercuri
|0,38710
|87,9693
|7,496
|-
|Venus
|0,72333
|224,7008
|7,496
|-
|Terra
|1
|365,2564
|7,496
|-
|Mart
|1,52366
|686,9796
|7,495
|-
|Júpiter
|5,20336
|4332,8201
|7,504
|-
|Saturn
|9,53707
|10775,599
|7,498
|-
|Urà
|19,1913
|30687,153
|7,506
|-
|Neptú
|30,0690
|60190,03
|7,504
|}

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia general ==
* Kepler's life is summarized on pages 523–627 and Book Five of his ''magnum opus'', ''[[Harmonice Mundi]]'' (''harmonies of the world''), is reprinted on pages 635–732 of ''On the Shoulders of Giants'': The Great Works of Physics and Astronomy (works by Copernicus, [[Johannes Kepler|Kepler]], [[Galileo Galilei|Galileo]], [[Isaac Newton|Newton]], and [[Albert Einstein|Einstein]]). [[Stephen Hawking]], ed. 2002 {{isbn|0-7624-1348-4}}
* A derivation of Kepler's third law of planetary motion is a standard topic in engineering mechanics classes. See, for example, pages 161–164 of {{Cite book|first=J.L.|last=Meriam|orig-year=1966|date=1971|title=Dynamics, 2nd ed|location=New York|publisher=John Wiley|isbn=978-0-471-59601-1|url=https://archive.org/details/dynamics00meri}}.
* Murray and Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge University Press 1999, {{isbn|0-521-57597-4}}
* V. I. Arnold, ''Mathematical Methods of Classical Mechanics'', Chapter 2. Springer 1989, {{isbn|0-387-96890-3}}

{{Commonscat}}
{{Autoritat}}

{{ORDENA:Lleis De Kepler}}
[[Categoria:Mecànica celeste]]
[[Categoria:Lleis de la física|Kepler]]