Mostra la font per a Logaritme

[[Fitxer:Binary logarithm plot with ticks.svg|miniatura|upright=1.35|La representació d’una funció logarítmica és la seqüència de potències a que s'eleva la base. La [[gràfica d'una funció|gràfica]] del logaritme en base 2 creua l'[[eix x]] a 1 i passa pels punts de coordenades {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}} i {{nowrap|(8, 3)}}. Per exemple, {{nowrap|log₂(8) {{=}} 3}} perquè {{nowrap|2<sup>3</sup> {{=}} 8.}} El gràfic s'acosta [[Asímptota|asimptòticament]] a l'eix y, i [[asímptota|mai l'interseca]].]]
[[Fitxer:Logarithms.png|miniatura|Gràfiques de les funcions logarítmiques per a diverses bases ''b'': <span style="color:red">vermell</span> en base ''<span style="color:red">e</span>'', <span style="color:green">verd</span> en base <span style="color:green">10</span>, i <span style="color:purple">morat</span> en base <span style="color:purple">1,7</span>. La gràfica talla l'eix de les abscisses ''x'' a ''x''=1, ja que qualsevol nombre elevat a 0 és 1, i conté el punt (''b'',1), ja que qualsevol nombre elevat a la potència 1 és ell mateix. La corba s'aproxima, per valors positius de ''x'' propers a 0, a l'eix de les ordenades ''y'', però no hi arriba, ja que no hi ha cap potència d'un nombre real que valgui 0.]]
El '''logaritme''' d'un [[nombre]] en una certa '''base''' és l'[[exponent]] al qual cal elevar aquesta base per obtenir el nombre donat. Per exemple, el logaritme de 1000 en base 10 és 3, perquè 1000 és 10 elevat a 3: {{nowrap|1000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10<sup>3</sup>.}} D'una manera més general, si {{nowrap begin}}''x'' = ''b''<sup>''y''</sup>{{nowrap end}} llavors ''y'' és el logaritme de ''x'' en base ''b'', el qual s'escriu {{nowrap begin}}''y'' = log<sub>''b''</sub>(''x''){{nowrap end}} o {{nowrap begin}}''y'' = log<sub>''b''</sub>(''b''<sup>''y''</sup>){{nowrap end}} i, per tant, {{nowrap begin}}log<sub>10</sub>(1000) = log<sub>10</sub>(10<sup>3</sup>) = 3.{{nowrap end}}

Algunes formes de logaritme són especialment usades. El logaritme en base 10 {{nowrap begin}}(''b'' = 10){{nowrap end}} s'anomena '''[[logaritme decimal]]''' i té moltes aplicacions en [[ciència]] i [[enginyeria]]. El logaritme en base 10 log<sub>10</sub>(''x'') es representa convencionalment com '''lg(''x'')'''. D'altra banda, el '''[[logaritme natural]]''' o '''logaritme neperià''' té el [[Nombre e|nombre ''e'']] (≈ 2,718) com a base i s'usa a bastament en [[matemàtiques pures]], especialment en [[càlcul infinitesimal|càlcul]]. Es recomana representar els logaritmes naturals log<sub>e</sub>(x) com '''ln(x)'''. Finalment, el '''[[logaritme binari]]''' utilitza la base 2 {{nowrap begin}}(''b'' = 2){{nowrap end}} i és molt important en [[informàtica]].

Els logaritmes foren introduïts per [[John Napier]] a principis del {{segle|XVII}} com a mitjà per simplificar els càlculs. Foren adoptats ràpidament per navegants, científics, enginyers i altres per dur a terme còmputs de manera més fàcil utilitzant el [[regle de càlcul]] i la [[taula de logaritmes]]. Les tedioses passes que consisteixen en [[multiplicacions]] de molts dígits es poden reemplaçar per consultes de taules i simples sumes gràcies a la propietat fonamental del logaritme, segons la qual ''el logaritme d'un [[producte (matemàtiques)|producte]] és la [[suma]] dels logaritmes dels factors'':
{{equació|<math> \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y) \,</math>}}

La notació actual dels logaritmes prové de [[Leonhard Euler]], qui els relacionà amb la [[funció exponencial]] al {{segle|XVIII}}.

Els logaritmes apareixen profusament en moltes àrees de ciència i [[tecnologia]]. L'[[escala logarítmica]] és útil quan les dades cobreixen una àmplia gamma de valors: el logaritme les redueix a un rang més manejable. Per exemple, el [[decibel]] és una unitat logarítmica que quantifica el [[nivell de pressió sonora]], i el [[pH]] és una mesura logarítmica de l'[[acidesa]] d'una [[dissolució química]]. Els logaritmes també descriuen [[interval (música)|intervals musicals]] i informen alguns models en [[psicofísica]], entre molts altres casos.

De la mateixa manera que el logaritme és la funció inversa de l'[[exponencial]], el [[logaritme complex]] és la [[funció inversa]] de l'exponencial [[nombres complexos|complexa]]. El [[logaritme discret]] n'és una altra variant que té aplicacions en [[criptografia de clau pública]].

== Motivació i definició ==
La [[funció]] logarítmica és la inversa de l'operació de [[potenciació]], la qual consisteix a elevar un nombre a una potència. Per exemple, el cub (potència tercera) de 2 és 8, ja que 8 és el producte de tres factors de 2:

{{equació|<math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \,</math>}}

Per tant, d'aquí es desprèn que el logaritme de 8 respecte a la base 2 és 3: 

{{equació|<math>\log_2(8) = 3 \,</math>}}

=== Potenciació ===
La potència tercera d'un nombre qualsevol ''b'' és el producte de tres factors de ''b''. D'una manera més general, l'elevació d'un nombre ''b'' a l{{'}}''n''-èsima potència (on ''n'' és un [[nombre natural]]) s'aconsegueix multiplicant ''n'' factors de ''b''. L{{'}}''n''-èsima potència de ''b'' s'escriu ''b''<sup>''n''</sup>, de tal manera que:

{{equació|<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ factors}}</math>}}

La potenciació es pot estendre a ''b''<sup>''y''</sup>, on ''b'' és un [[nombre positiu]] i l'''exponent'' ''y'' és un [[nombre real]]. Per exemple, ''b''<sup>−1</sup> és el [[invers multiplicatiu|recíproc]] de ''b'', és a dir, {{nowrap|1/''b''}} (per a més detalls, entre els quals la [[fórmula]] {{nowrap|''b''<sup>''m'' + ''n''</sup> <nowiki>=</nowiki> ''b''<sup>''m''</sup> · ''b''<sup>''n''</sup>}}, vegeu ''[[Potenciació]]'').

=== Definició ===
El logaritme d'un nombre real positiu ''x'' respecte a una base ''b'', un nombre real positiu que no sigui 1,<ref group="nb">Les restriccions sobre ''x'' i ''b'' s'expliquen a la secció ''[[#Propietats analítiques|Propietats analítiques]]''</ref> és l'exponent al qual s'ha d'elevar ''b'' per donar com a resultat ''x''. En altre paraules, el logaritme de ''x'' amb base ''b'' és la solució ''y'' de l'[[equació]]:<ref>{{citar ref|cognom1=Kate|nom1=S.K.|cognom2=Bhapkar|nom2=H.R.|títol=Basics Of Mathematics|lloc=Pune|editorial=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|any=2009|url=http://books.google.cat/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PR1#v=onepage&q&f=false|capítol=1|llengua=anglès}}</ref>

{{equació|<math>b^y = x \, </math>}}

El logaritme es denota per "log<sub>''b''</sub>(''x'')" (pronunciat com "logaritme de ''x'' en base ''b''" o "logaritme en base ''b'' de ''x''"). A l'equació <math>y=\log_b(x)</math>, el valor ''y'' és la resposta a la pregunta "a quina potència cal elevar ''b'' per obtenir ''x''?". Aquesta qüestió també es pot plantejar (amb una resposta més extensa) per [[nombre complex|nombres complexos]], la qual cosa es tracta a la secció ''[[#Logaritme complex|Logaritme complex]]''.

=== Exemples ===
Per exemple, {{nowrap|log₂(16) {{=}} 4}}, ja que {{nowrap|2<sup>4</sup> {{=}} 2 ×2 × 2 × 2}} {{=}} 16. Els logaritmes també poden ser negatius:

{{equació|<math>\log_2 \!\left(\frac{1}{2} \right) = -1\, </math>}}

Ja que:

{{equació| <math>2^{-1} = \frac 1 {2^1} = \frac 1 2</math>}}

Un tercer exemple: log<sub>10</sub>(150) és aproximadament 2,176, nombre que cau entre 2 i 3, d'igual manera que 150 es troba entre {{nowrap|10² {{=}} 100}} i {{nowrap|10<sup>3</sup> {{=}} 1000}}. Finalment, per qualsevol base ''b'', {{nowrap|log<sub>''b''</sub>(''b'') {{=}} 1}} i {{nowrap|1=log<sub>''b''</sub>(1) = 0}}, ja que {{nowrap|''b''¹ {{=}} ''b''}} i {{nowrap|''b''<sup>0</sup> {{=}} 1}}, respectivament.

== Propietats dels logaritmes ==
{{article principal|Identitats logarítmiques}}
Moltes fórmules importants, de vegades denominades ''identitats logarítmiques'' o ''lleis logarítmiques'', relacionen els logaritmes els uns amb els altres.<ref>Tots els enunciats d'aquesta secció es poden trobar a {{Harvard citations|last1=Shirali|first1=Shailesh|year=2002|loc=section 4|nb=yes}}, {{Harvard citations|last1=Downing| first1=Douglas |year=2003|loc=p. 275}} o {{Harvard citations|last1=Kate|last2=Bhapkar|year=2009|loc=p. 1-1|nb=yes}}, per exemple.</ref>

=== Producte, quocient, potència i arrel ===
El logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels nombres que s'estan multiplicant, i el logaritme de la [[divisió]] entre dos nombres és la [[Resta|diferència]] dels logaritmes. El logaritme de la potència ''p''-èsima d'un nombre és ''p'' vegades el logaritme del nombre, i el logaritme de l'[[Arrel enèsima|arrel ''n''-èsima]] d'un nombre és el logaritme del nombre dividit per ''p''. La taula següent llista aquestes identitats amb exemples. Cadascuna de les identitats es pot derivar mitjançant la substitució de les definicions logarítmiques <math>x = b^{\log_b(x)}</math> i/o <math>y = b^{\log_b(y)}</math> a la part esquerra de les equacions.

{| class=wikitable style="margin: 0 auto;"
|-
! !! Fórmula !! Exemple
|-
| producte || <cite id=labegarithmProducts><math> \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y)</math></cite>|| <math> \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5</math>
|-
| quocient || <math>\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y)</math>|| <math> \log_2 (16) = \log_2 \!\left (\frac{64}{4} \right) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4</math>
|-
| potència || <cite id=labelLogarithmPowers><math>\log_b(x^p) = p \log_b (x)</math></cite>|| <math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6</math>
|-
| arrel || <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p</math>|| <math> \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 </math>
|}

=== Canvi de base ===
El logaritme log<sub>''b''</sub>(''x'') es pot calcular a partir dels logaritmes de ''x'' i de ''b'' respecte a una base arbitrària ''k'' utilitzant la següent fórmula:
: <cite id=labelLogarithmBaseChange><math> \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}\, </math></cite>
Les [[calculadora científica|calculadores científiques]] normalment calculen els logaritmes en base 10 i base ''[[nombre e|e]]''.<ref>{{citar ref|cognom1=Bernstein |nom1=Stephen |cognom2=Bernstein |nom2=Ruth |títol=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|editorial=[[McGraw-Hill]] |lloc=Nova York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-005023-5 |any=1999 |pàgina=21 |llengua=anglès}}</ref> Els logaritmes respecte a una base qualsevol ''b'' es poden determinar fent ús de qualsevol d'aquests dos logaritme amb la fórmula anterior:
:<math> \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)} \,</math>
Donat un nombre ''x'' i el seu logaritme log<sub>''b''</sub>(''x'') respecte a una base desconeguda ''b'', la base s'obté amb la següent expressió:
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b(x)}</math>

== Bases particulars ==
Entre totes les opcions possibles per la base, tres són especialment comunes: ''b'' =&nbsp;10, ''b'' =&nbsp;[[e (constant)|''e'']] (la constant matemàtica [[nombre irracional|irracional]] ≈ 2.71828) i ''b'' =&nbsp;2. En [[anàlisi matemàtica]], el logaritme de base ''e'' és molt utilitzat a causa de les seves propietats matemàtiques, explicades més avall. D'altra banda, els logaritmes de base 10 són fàcils de fer servir en càlculs manuals en el [[sistema decimal]]:<ref>{{citar ref|cognom1=Downing|nom1=Douglas|títol=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|lloc=Hauppauge, N.Y.|editorial=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|any=2003|capítol=17|pàgina=275|llengua=anglès}}</ref>
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x).\ </math>
Per tant, log<sub>10</sub>(''x'') està relacionat amb el nombre de [[dígit decimal|dígits decimals]] d'un enter positiu ''x'': el nombre de dígits és l'[[nombre enter|enter]] més petit estrictament major que log<sub>10</sub>(''x'').<ref>{{citar ref|cognom1=Wegener|nom1=Ingo|títol=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|editorial=[[Springer-Verlag]]|lloc=Berlín, Nova York|isbn=978-3-540-21045-0|any=2005|pàgina=20|llengua=anglès}}</ref> Per exemple, log<sub>10</sub>(1430) és aproximadament 3,15. El següent enter és 4, que és el nombre de dígits de 1430.

Tant el logaritme natural com el logaritme de base dos s'utilitzen en [[teoria de la informació]], concretament en l'ús del [[nat (unitat)|nat]] o del [[bit]], respectivament, com a unitat fonamental d'informació.<ref>{{citar ref|títol=Information Theory|nom=Jan C. A.|cognom=Van der Lubbe|editorial=[[Cambridge University Press]]|any=1997|isbn=9780521467605|pàgina=3|url=https://books.google.cat/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3|llengua=anglès}}</ref> Els logaritmes binaris també s'utilitzen en [[informàtica]], on el [[sistema binari]] és ubic; en [[teoria musical]], on l'interval d'altures de dos (l'[[octava (música)|octava]]) és ubic i el [[cent (música)|cent]] és el logaritme binari (escalat per 1.200) de la [[proporció]] entre dues altures de la mateixa afinació; i en [[fotografia]] per mesurar el [[valor d'exposició]].<ref>{{citar ref|títol=The Manual of Photography|nom1=Elizabeth|cognom1=Allen|nom2=Sophie|cognom2=Triantaphillidou|editorial=Taylor & Francis|any=2011|isbn=9780240520377|pàgina=228|url=https://books.google.cat/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228|llengua=anglès}}</ref>

La taula següent llista notacions comunes per logaritmes amb aquestes bases i els camps on s'utilitzen. Moltes disciplines escriuen log(''x'') en comptes de log<sub>''b''</sub>(''x'') quan la base es pot deduir a partir del context. La notació <sup>''b''</sup>log(''x'') també es pot trobar.<ref>{{citar ref| url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html |autor1=Franz Embacher |autor2=Petra Oberhuemer |títol=Mathematisches Lexikon |editorial=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium |llengua=alemany}}</ref> La columna "Notació ISO" llista les designacions suggerides per l'[[Organització Internacional per a l'Estandardització]] ([[ISO 31-11]]).<ref>{{citar ref|títol= Guide for the Use of the International System of Units (SI)|nom=B. N. |cognom=Taylor |editorial= US Department of Commerce|any= 1995|url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2}}</ref> Com que la notació {{math|log ''x''}} ha estat utilitzada per totes tres bases (o quan la base és indeterminada o immaterial), la base desitjada sovint s'ha de deduir segons el context o la disciplina. En informàtica i matemàtiques, {{math|log}} normalment es refereix a {{math|log₂}} i{{math|log<sub>''e''</sub>}}, respectivament.<ref>{{citar ref|nom1=Michael T.|cognom1=Goodrich|enllaçautor1=Michael T. Goodrich|nom2=Roberto|cognom2=Tamassia|enllaçautor2=Roberto Tamassia|títol=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|editorial=John Wiley & Sons|any=2002|pàgina=23|citació=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms&nbsp;... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base {{mvar|b}} of the logarithm when {{math|1=''b'' = 2}}.}}</ref> En altres contexts, {{math|log}} sol significar {{math|log<sub>10</sub>}}.<ref>{{ref-llibre|títol=Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science |edició=illustrated |nom1=David F. |cognom1=Parkhurst |editorial=Springer Science & Business Media |any=2007 |isbn=978-0-387-34228-3 |pàgina=288 |url=https://books.google.cat/books?id=h6yq_lOr8Z4C}} [https://books.google.cat/books?id=h6yq_lOr8Z4C&pg=PA288 Extract of page 288]</ref>

{| class=wikitable style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
! scope=col|Base ''b''
! scope=col|Nom del log<sub>''b''</sub>(''x'')
! scope=col|Notació ISO
! scope=col|Altres notacions
! scope=col|Utilitzan en
|-
! scope="row"|2
| [[logaritme binari]]
| lb(''x'')<ref name="gullberg">{{citar ref|títol= Mathematics: from the birth of numbers.|autor= Gullberg, Jan|lloc=Nova York|editorial= W. W. Norton & Co|any= 1997|isbn=978-0-393-04002-9|llengua=anglès}}</ref>
| ld(''x''), log(''x''), lg(''x''),<ref>Vegeu nota 1 a {{ref-publicació|cognom1=Perl|nom1=Yehoshua|cognom2=Reingold|nom2=Edward M.|títol=Understanding the complexity of interpolation search|publicació=Information Processing Letters|data= desembre 1977|volum=6|exemplar=6|pàgines=219–222|doi=10.1016/0020-0190(77)90072-2|llengua=anglès}}</ref> log2(''x'')
| [[Informàtica]], [[teoria de la informació]], [[teoria musical]], [[fotografia]]
|-
! scope="row"|''e''
| [[logaritme natural]]
| ln(''x''){{refn|Alguns matemàtics no estan d'acord amb aquesta notació. En la seva autobiografia de 1985, [[Paul Halmos]] criticà el que ell considerava la "notació infantil ln", que deia que mai cap matemàtic havia utilitzat.<ref>
{{citar ref|títol= I Want to Be a Mathematician: An Automathography
|autor= Paul Halmos
|editorial= Springer-Verlag
|lloc=Berlin, New York
|any= 1985
|isbn=978-0-387-96078-4|llengua=anglès
}}</ref>
La notació fou inventada per [[Irving Stringham]], un matemàtic.<ref>
{{citar ref|títol= Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis
|autor= Irving Stringham
|editorial= The Berkeley Press
|any= 1893
|pàgina= xiii
|url = https://books.google.cat/?id=hPEKAQAAIAAJ&pg=PR13&dq=%22Irving+Stringham%22+In-natural-logarithm&q=
|llengua=anglès}}</ref><ref>
{{citar ref|títol= Introduction to Financial Technology|autor= Roy S. Freedman|editorial= Academic Press|lloc=Amsterdam|any= 2006|isbn=978-0-12-370478-8|pàgina= 59|url = https://books.google.cat/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59 |llengua=anglès
}}</ref>|name=adaa|group=nb}}
| log(''x'')<br />(en matemàtiques<ref>Vegeu teorema 3.29 a {{ref-llibre|cognom=Rudin|nom=Walter|enllaçautor=Walter Rudin|títol=Principles of mathematical analysis|data=1984|editorial=McGraw-Hill International|lloc=Auckland|isbn=978-0070856134|edició=3a ed., International student|llengua=anglès}}</ref> i molts [[llenguatge de programació|llenguatges de programació]]{{refn|Com, per exemple, el [[C (llenguatge de programació)|C]], el [[Java (llenguatge de programació)|Java]], el [[Haskell (llenguatge de programació)|Haskell]] o el [[BASIC (llenguatge de programació)|BASIC]].|group=nb}})
| [[Matemàtiques]], [[física]], [[química]],<br />[[estadística]], [[economia]], teoria de la informació i alguns camps de l'enginyeria.
|-
! scope="row"|10
| [[logaritme comú]]
| lg(''x'')
| log(''x''), log<sub>10</sub>(''x'')<br />(en enginyeria, biologia i astronomia)
| Diversos camps de l'[[enginyeria]] (vegeu [[decibel]] i més avall), <br />[[taules logarítmiques]], [[calculadora científica|calculadores científiques]], [[espectroscòpia]]
|}

== Càlcul dels logaritmes ==
[[Fitxer:Taylor approximation of natural logarithm.gif|miniatura|La sèrie de Taylor de la funció ln(''z'') a ''z'' =&nbsp;1. L'animació presenta les 10 primers aproximacions.]]
{{article principal|Logaritme natural#Valor numèric|Logaritme binari#Algorisme}}

Calcular el logaritme en una base ''b'' d'un nombre ''x'' és executar un [[algorisme]] que faci servir operacions elementals i doni com a resultat, o bé el logaritme, o bé una aproximació tan exacta com es necessiti.

La [[#Canvi de base|fórmula de canvi de base]] permet transformar el problema de calcular el logaritme en una base qualsevol en el problema de fer una divisió de dos logaritmes en una base en la que es tingui un algorisme eficient per calcular-los.

Un mètode per calcular logaritmes (i moltes altres funcions) és aproximar la funció logaritme pel seu desenvolupament en [[sèrie de Taylor]]. Això transforma el problema en calcular el valor d'un polinomi, cosa que es fa emprant només operacions de sumar i multiplicar. Aquest mètode només és adequat pel càlcul dels [[logaritme natural|logaritmes naturals]] perquè en el cas de logaritmes en qualsevol base, al [[Taula de derivades#Derivada de la funció logaritme|calcular la derivada]] per obtenir el desenvolupament en sèrie resulta:

:<math> \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}</math>

I porta a haver de calcular un altre logaritme. En canvi en el cas del logaritme natural:

:<math> \frac{d}{dx}\log_e(x) = \frac{1}{x\ln(e)} = \frac{1}{x}</math>

El desenvolupament en sèrie de Taylor entorn del punt ''x'' = 1 resulta:

:<math>
\begin{align}\ln x & = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \cdots\\
& = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{(x-1)^n}{n} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-x)^n}{n}.
\end{align}</math>

Encara que aquesta expressió es pot reescriure de forma que estalviï multiplicacions, el problema d'aquest mètode si es pretén fer un càlcul amb molts dígits de precisió és que la seva convergència és lenta. Vegeu l'[[Logaritme natural#Valor numèric|article principal]].

Un mètode més ràpid és aprofitar que el desenvolupament en sèrie de la [[funció exponencial]] convergeix molt ràpid i que la funció logaritme és la inversa de la funció exponencial. Llavors emprar el [[mètode de Newton]] per resoldre l'equació:

:<math>e^y - x = 0 \,</math>

On ''y'' és la incògnita i ''x'' el nombre del qual es vol calcular el logaritme.

Pel cas del [[Logaritme binari|logaritme en base 2]] a l'[[Logaritme binari#Algorisme|article principal]] es descriu un algorisme eficient per calcular-lo.

== Etimologia ==
John Napier va proposar públicament el mètode dels logaritmes el 1614, en un llibre titulat ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' (Descripció de la meravellosa regla dels logaritmes). Napier va encunyar el terme per a logaritme en [[llatí]] mitjà, ''logarithmorum'', que significa literalment "relació-nombre", com un mot compost format per dues arrels [[Grec|gregues]]: ''logos'' (que significa "proporció”, “raó”, “ràtio” o “paraula") i ''aritmos'', que significa "nombre".

== Història ==
[[Fitxer:John Napier.jpg|miniatura|John Napier (1550–1617), inventor dels logaritmes.<ref>Datat el 1616; presentat a la Universitat d'Edinburgh per la seva besneta Margarida, que es va convertir en baronessa de Napier el 1686.</ref>|alt=Imatge barroca, assegut amb una barba.]]
El matemàtic indi [[Virasena]] va treballar amb el concepte ''ardhaccheda'', és a dir, el nombre de vegades que un nombre de l'expressió 2<sup>''n''</sup> podria ser reduït a la meitat. Per a les competències exactes de 2, aquest és el logaritme d'aquesta base, que és un nombre enter, però per a altres nombres, no està definit. Ell va descriure les relacions com la fórmula del producte i també va introduir els logaritmes de sencers de base 3 (''trakacheda'') i de base 4 (''caturthacheda'').<ref>{{citar ref|citació=History of Mathematics in India|títol=Students' Britannica India: Select essays|editor-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor3-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|nom=R. C.|cognom=Gupta|pàgina=329|lloc=New Delhi|editorial=Popular Prakashan|any=2000| contribution-url=http://books.google.cat/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=ca&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false}}</ref><ref>{{citar ref|edició=3a edició|data=1996|títol=THE SHATKHANDAGAMA OF PUSHPADANTA AND BHOOTABAL|editor=Dr. Hiralal Jain |editorial=Jain Samskriti Samrakshaka Sangha|lloc=Solapur|url=http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm|unused_data=Mathematics of Dhavala}}, part 3-4-5, book 4</ref> [[Michael Stifel]] publicà ''Arithmetica integra'' a Nuremberg, el 1544, obra que conté una taula de nombres enters,<ref>{{citar ref|nom=Michaele|cognom=Stifelio|editorial=Iohan Petreium|lloc=Londres|any=1544|títol=Arithmetica Integra|url = http://books.google.cat/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419}}</ref> i de potències de 2 que ha estat considerada una primera versió d'una taula de logaritmes.<ref>{{springer |title=Arithmetic |id= A/a013260|last=Bukhshtab |first=A.A. |last2=Pechaev|first2=V.I.}}</ref><ref>{{citar ref|títol= Precalculus mathematics|autor= Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley|editorial= Holt, Rinehart and Winston|lloc=Nova York|any=1972|isbn=978-0-03-077670-0|pàgina= 182|url = http://books.google.cat/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}</ref>

El mètode de càlcul mitjançant logaritmes va ser proposat per primera vegada, públicament, per [[John Napier]] (llatinitzat ''Neperus'') el 1614, en un llibre titulat ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio''.<ref>{{citar ref|autor=Ernest William Hobson|enllaçautor=Ernest William Hobson|títol=John Napier and the invention of logarithms, 1614|any=1914|editorial=The University Press|lloc=Cambridge}}</ref> [[Jost Bürgi]], un matemàtic i rellotger suís al servei del duc de Hesse-Kassel, va utilitzar per primera vegada els logaritmes, encara que va publicar el seu descobriment 6 anys després que Napier.<ref>{{Harvard citations
 |last1=Boyer|year=1991 |nb=yes |loc=Chapter 14, section "Jobst Bürgi"}}</ref> La resistència inicial a la utilització de logaritmes va canviar gràcies a l'ús que en feu [[Kepler]], que quedà reflectit en l'entusiasta suport de la seva publicació i per la impecable i clara explicació de com funcionaven.<ref>{{citar ref|cognom1=Maor|nom1=Eli|títol=E: The Story of a Number|editorial=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|any=2009}}, section 2</ref>

Aquest mètode contribueix a l'avanç de la ciència, i especialment de l'[[astronomia]], facilitant la resolució de càlculs molt complexos. Els logaritmes van ser utilitzats habitualment en [[geodèsia]], [[navegació]] i altres branques de la matemàtica aplicada, abans de l'arribada de les [[calculadores]] i [[computadores]]. A més a més de la utilitat en el [[càlcul numèric]], els logaritmes també ocuparen un important lloc en les matemàtiques més avançades, el logaritme natural presenta una solució pel problema de la quadratura d'un sector [[Hipèrbola|hiperbòlic]] pensat per [[Grégoire de Saint-Vincent]] en 1647.

Napier no utilitzava una base tal com s'entén habitualment però el seu logaritme, com a factor d'escala, funcionava de manera eficaç amb base 1/e. Pels propòsits d'interpolació i facilitat de càlcul, eren útils per trobar la relació r en una sèrie geomètrica tendent a 1. Napier va escollir <math>r=1-10^{-7}=0,999999</math> (Bürgi elegí <math>r=1+10^{-4}=1,0001</math>). Els logaritmes originals de Napier no tenien <math>\log 1=0</math>, sinó <math>\log10^7=0</math>. Així, si N es un nombre i L es el logaritme, Napier calcula: ''N'' =&nbsp;10<sup>7</sup>(1 −&nbsp;10<sup>−7</sup>)<sup>''L''</sup>. on (1 −&nbsp;10<sup>−7</sup>)<sup><span>10<sup>7</sup></span></sup> es aproximadament 1/e, fent ''L''/10<sup>7</sup> equivalent a log<sub>1/''e''</sub> ''N''/10<sup>7</sup>.

Els logaritmes van ser "connectats" al [[càlcul infinitesimal]] el 1647, quan [[Grégoire de Saint-Vincent]] va computar la quadratura asimptòtica de la hipèrbola, el qual es el [[logaritme natural]]. El logaritme natural va ser primerament descrit per [[Nicolaus Mercator]] en el seu treball "Logaritmotechnia" publicat el 1668,<ref>{{citar ref|autor1=J. J. O'Connor|autor2=E. F. Robertson |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |títol=The number e |editorial=The MacTutor History of Mathematics archive |data=2001-09 |consulta=2/02/2009}}</ref> tot i que el professor de matemàtiques [[John Speidell]] ja havia compilat una taula en el logaritme natural.<ref>{{citar ref|cognom=Cajori |nom=Florian|enllaçautor=Florian Cajori |títol=A History of Mathematics|edició=5a ed.|lloc=Providence, RI|editorial=AMS Bookstore |any=1991 |isbn=978-0-8218-2102-2|url=http://books.google.cat/?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover#v=onepage&q=speidell&f=false}}, p. 152</ref>

=== Denominacions ===
Inicialment, Napier anomenava "nombres artificials" als logaritmes i "nombres naturals" als antilogaritmes. Més tard, Napier va utilitzar la paraula logaritme en el sentit d'un nombre que indica una proporció: λόγος (logos) el sentit de proporció, i ἀριθμός (''arithmos'') significa nombre, i es defineix, literalment, com ''un nombre que indica una relació o proporció''. Es refereix a la proposició que va ser feta per Napier en el seu "teorema fonamental", que estableix que la diferència de dos logaritmes determina la relació dels nombres els quals corresponen, de manera que una [[successió aritmètica]] de logaritmes corresponent a una [[successió geomètrica]] de nombres. El terme antilogarítmic va ser introduït a finals del {{segle|XVII}} i, encara que mai s'utilitza àmpliament en matemàtiques, va perdurar en moltes taules, fins que no es va utilitzar més.

== Extensions ==
És possible estendre el concepte de ''logaritme'' més enllà dels reals positius.

=== Nombres reals ===
Per a [[nombre enter|enters]] ''b'' i ''x'', el nombre <math>\log_b(x)</math> és [[nombre irracional|irracional]] (no pot representar-se com a quocient de dos enters) si ''b'' o ''x'' té un [[factorització|factor primer]] que l'altre no té.

El logaritme natural d'un nombre real positiu està ben definit i és un nombre real. No obstant això, generalitzar el logaritme natural a nombres reals negatius, només pot fer-se introduint nombres complexos.

=== Nombres complexos ===
El logaritme natural d'un nombre complex ''z'' és un altre nombre complex <math>b=\ln(z)</math> que sigui solució de l'equació:

<math>z = e^b\;</math>

L'equació anterior no té solució única. Té un nombre infinit de solucions, encara que totes elles són fàcils de trobar. Donat un nombre complex ''z'' escrit en forma polar, una solució possible de l'equació {{Eqnref|*}} és ''b''<sub>0</sub>:

<math>b_0 = \ln \rho + i \theta \qquad \mbox{amb}\ z = \rho e^{i\theta}</math>

Per qualsevol valor <math>k\in\mathbb{Z}</math> resulta que el nombre complex ''b<sub>k</sub>'', també té solució:

<math>b_k = \ln \rho + i\theta + 2\pi ki \qquad \Rightarrow e^{b_k} = \rho e^{i\theta}\cdot e^{2\pi ki} = z</math>

Cada valor particular de ''k'' defineix una [[superfície de Riemann]].

=== Logaritme amb base imaginària ===
Un logaritme en base imaginària és un logaritme que té com a base a la i. Encara que calcular aquest tipus de logaritmes sembli una tasca impossible, es pot realitzar fàcilment amb la fórmula:

<math>\log_i(z)=2*\ln(z)/i*\pi</math>

on z és qualsevol nombre complex excepte 0.

=== Matrius ===
Una [[Matriu (matemàtiques)|matriu]] ''B'' és logaritme d'una matriu donada ''A'' si la potenciació de ''B'' és ''A'':
:<math> e^B = A. \, </math>
A diferència de la potenciació de matrius, el logaritme d'una matriu real pot no estar definit sempre.

En el cas d'una [[matriu diagonalitzable]] és necessari que el logaritme estigui definit per a tots i cadascun dels [[autovalor]]s o valors propis de la matriu. En aquest cas el logaritme de la matriu està definit i és una matriu real.

Si el logaritme no està definit sobre l'[[Espectre (anàlisi funcional)|espectre]] o conjunt d'autovalors, encara és possible definir una matriu logaritme (de manera similar a com es defineixen els logaritmes de [[Nombre negatiu|nombres negatius]] o complexes), tot i que no resulta única.

En el cas d'una matriu no diagonalitzable, aquest procés és més complicat, ja que requereix trobar primer la seva [[forma canònica de Jordan]].

== Aplicacions ==
[[Fitxer:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|miniatura|Un nautilus mostrar una espiral logarítmica |alt=Una fotografia d'una petxina de Nautilus]]

Els logaritmes tenen moltes aplicacions dins i fora de les matemàtiques. Alguns d'aquests successos es relacionen amb el concepte d'invariància d'escala. Per exemple, cada càmera de la petxina d'un [[nautilus]] és una còpia aproximada de la següent, a [[Escala (proporció)|escala]] per un factor constant. Això dona lloc a una [[espiral logarítmica]].<ref>{{Harvard citations |last1=Maor |year=2009 |nb=yes |loc=p. 135}}</ref> La llei de Benford en la distribució dels dígits inicials també s'explica per la invariància d'escala.<ref>{{citar ref|cognom1=Frey|nom1=Bruce|títol=Statistics hacks|editorial=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|lloc=Sebastopol, CA| series=Hacks Series |url=http://books.google.cat/?id=HOPyiNb9UqwC&pg=PA275&dq=statistics+hacks+benfords+law#v=onepage&q&f=false| isbn=978-0-596-10164-0|any=2006}}, chapter 6, section 64</ref> Els logaritmes també estan vinculats a l'autosimilitud. Per exemple, els logaritmes apareixen en l'anàlisi dels algorismes que resolen un problema dividint en dos petits problemes similars i les seves solucions de connexions.<ref>{{citar ref|cognom1=Ricciardi|nom1=Luigi M.|títol=Lectures in applied mathematics and informatics|url=http://books.google.cat/books?id=Cw4NAQAAIAAJ|editorial=Manchester University Press|lloc=Manchester|isbn=978-0-7190-2671-3|any=1990}}, p. 21, section 1.3.2</ref> Les dimensions de les formes geomètriques autosimilars, és a dir, de les formes i les parts que s'assemblen a la imatge general, també sobre la base dels logaritmes. Les escales logarítmiques són útils per quantificar la variació relativa d'un valor per oposició a la seva diferència absoluta. D'altra banda, perquè el registre de la funció logarítmica (x) creixi molt lentament per a grans x, les escales logarítmiques són utilitzades per comprimir les dades científiques a gran escala. Els logaritmes també apareixen en nombroses fórmules científiques, com l'[[equació del coet Tsiolkovsky]], l'equació de Fenske, o l'[[equació de Nernst]].

=== Escala logarítmica ===
{{Article principal| escala logarítmica}}
[[Fitxer:Germany Hyperinflation.svg|Un gràfic logarítmic que representa el valor d'una Goldmark en Papiermarks durant la [[hiperinflació alemanya]] en la dècada de 1920|miniatura|alt=Un gràfic del valor d'una marca en el temps. La línia que mostra el seu valor està augmentant molt ràpidament, fins i tot amb escala logarítmica.]]

Les quantitats científiques sovint s'expressen com logaritmes de les quantitats d'altres en una escala logarítmica. Per exemple, el decibel és una unitat logarítmica de mesura. Es basa en el logaritme comú de relacions 10 vegades el logaritme comú d'una relació de poder o 20 vegades el logaritme comú d'una relació de tensió. S'utilitza per a quantificar la pèrdua dels nivells de tensió en la transmissió de senyals elèctrics,<ref>{{citar ref|cognom1=Bakshi|nom1=U. A.|títol=Telecommunication Engineering |editorial=Technical Publications|lloc=Pune|isbn=978-81-8431-725-1|any=2009}}, section 5.2</ref> per descriure els nivells de potència dels [[So|sons]] en l'[[acústica]],<ref>{{citar ref|cognom1=Maling|nom1=George C.|editor1-last=Rossing|editor1-first=Thomas D.|títol=Springer handbook of acoustics|editorial=[[Springer-Verlag]]|lloc=Berlin, New York |isbn=978-0-387-30446-5|any=2007 |capítol=Noise}}, section 23.0.2</ref> i l'absorció de la llum en el camp de l'espectrometria i l'òptica. La relació senyal/soroll que descriu la quantitat de soroll no desitjat en relació amb un senyal (significativa) també es mesura en decibels.<ref>{{citar ref|cognom1=Tashev|nom1=Ivan Jelev|títol=Sound Capture and Processing: Practical Approaches|editorial=[[John Wiley & Sons]]|lloc=Nova York|isbn=978-0-470-31983-3|any=2009}}, p. 48</ref> En una línia similar, el pic de relació senyal-soroll és comunament utilitzat per avaluar la qualitat dels mètodes de compressió de so i imatge utilitzant el logaritme.<ref>{{citar ref|cognom1=Chui|nom1=C.K.|títol=Wavelets: a mathematical tool for signal processing|editorial=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]|lloc=Philadelphia|series=SIAM monographs on mathematical modeling and computation|isbn=978-0-89871-384-8|any=1997}}, p. 180</ref>

La força d'un [[terratrèmol]] es mesura prenent el logaritme comú de l'energia emesa en el terratrèmol. Això s'utilitza en l'escala de magnitud de moment o l'[[escala de Richter]]. Per exemple, un terratrèmol de 5,0 allibera 10 vegades i el 6,0 allibera 100 vegades l'energia d'un 4,0.<ref>{{citar ref|cognom1=Crauder|nom1=Bruce |cognom2=Evans |nom2=Benny |cognom3=Noell |nom3=Alan |títol=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|editorial=Cengage Learning|lloc=Boston |edició=4a ed.|isbn=978-0-547-15669-9|any=2008}}, section 4.4.</ref> Una altra escala logarítmica és la magnitud aparent. Es mesura la brillantor de les estrelles logarítmicament.<ref>{{citar ref|cognom1=Bradt|nom1=Hale|títol=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|editorial=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|any=2004}}, section 8.3, p. 231</ref> Un altre exemple és el pH en la química; pH és el negatiu del logaritme de l'activitat dels ions [[oxoni]] (els ions d'hidrogen forma H + prenen aigua).<ref>{{citar ref|autor=[[IUPAC]]|títol=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edició=2a edició|editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|editorial=Blackwell Scientific Publications|lloc=Oxford|any=1997|url=http://goldbook.iupac.org/P04524.html|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook}}</ref> L'activitat dels ions oxoni en aigua neutral és 10<sup>−7</sup>&nbsp;[[concentració molar|mol·L<sup>−1</sup>]], per tant un pH de 7. El vinagre normalment té un pH de prop de 3. La diferència de 4 correspon a una proporció de 10<sup>4</sup> de l'activitat, és a dir, l'activitat de vinagre de ions oxoni és de 10<sup>−3</sup>&nbsp;mol·L<sup>−1</sup>.

Gràfics semilogarítmics (log-lineals) utilitzen el concepte d'escala logarítmica per a la visualització: un dels eixos, en general la vertical, es escala logarítmica. Per exemple, el gràfic de la dreta comprimeix el fort augment de 1-1000000 per al mateix espai (en l'eix vertical), com l'augment d'1 a 1 milions de dòlars. En els gràfics per exemple, funcions exponencials de la forma {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''a'' · ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} apareixen com a línies rectes amb pendent proporcional a ''b''. Log-log Gràfics amb escala logarítmica en els dos eixos, el que fa les funcions de la forma {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''a'' · ''x''<sup>''k''</sup>{{nowrap end}} per ser representats com a línies rectes amb pendent proporcional a l'exponent ''k''. Això s'aplica en la visualització i l'anàlisi de les lleis d'energia.<ref>{{citar ref|cognom1=Bird|nom1=J. O.|títol=Newnes engineering mathematics pocket book |editorial=Newnes|lloc=Oxford|edició=3a edició|isbn=978-0-7506-4992-6|any=2001}}, section 34</ref>

=== Psicologia ===
Els logaritmes es produeixen en diverses lleis que descriuen la percepció humana.<ref>{{citar ref|cognom1=Goldstein|nom1=E. Bruce|títol=Encyclopedia of Perception|url=http://books.google.cat/books?id=Y4TOEN4f5ZMC|editorial=Sage|lloc=Thousand Oaks, CA|series=Encyclopedia of Perception|isbn=978-1-4129-4081-8|any=2009}}, p. 355–356</ref><ref>{{citar ref|cognom1=Matthews|nom1=Gerald|títol=Human performance: cognition, stress, and individual differences|url=http://books.google.cat/books?id=0XrpulSM1HUC|editorial=Psychology Press|lloc=Hove|series=Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences|isbn=978-0-415-04406-6|any=2000}}, p. 48</ref> La llei de Hick proposa una relació logarítmica entre el temps les persones donen per triar una alternativa i el nombre d'opcions que tenen dret.<ref>{{citar ref|cognom1=Welford|nom1=A. T.|títol=Fundamentals of skill|editorial=Methuen|lloc=Londres|isbn=978-0-416-03000-6 |oclc=219156|any=1968}}, p. 61</ref> La llei de Fitts prediu que el temps necessari per a ràpidament traslladar-se a una àrea de destinació és una funció logarítmica de la distància i la mida de l'objectiu.<ref>{{citar ref|autor=Paul M. Fitts|any=1954|títol=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|publicació=Journal of Experimental Psychology|volum=47|exemplar=6|mes=juny|pàgines=381–391|pmid=13174710|doi =10.1037/h0055392}}, reprinted in {{citar ref|publicació=Journal of Experimental Psychology: General|volum=121|exemplar=3|pàgines=262–269|any=1992|pmid=1402698|url=http://sing.stanford.edu/cs303-sp10/papers/1954-Fitts.pdf|format=PDF|consulta= 30 març 2011 |títol=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|autor=Paul M. Fitts|doi=10.1037/0096-3445.121.3.262}}</ref> En psicofísica, la llei de Weber-Fechner proposa una relació logarítmica entre l'[[estímul]] i la [[sensació]] com el real enfront del pes percebut d'un punt una persona està realitzant.<ref>{{citar ref|cognom1=Banerjee|nom1=J. C.|títol=Encyclopaedic dictionary of psychological terms|editorial=M.D. Publications|lloc=New Delhi|isbn=9788185880280 |oclc=33860167|any=1994|url=http://books.google.cat/?id=Pwl5U2q5hfcC&pg=PA306&dq=weber+fechner+law#v=onepage&q=weber%20fechner%20law&f=false}}, p. 304</ref> Aquesta "llei", però, és menys precisa que els models més recents, com la llei de potència de Stevens.<ref>{{citar ref|cognom1=Nadel|nom1=Lynn|enllaçautor1=Lynn Nadel|títol=Encyclopedia of cognitive science|editorial=[[John Wiley & Sons]]|lloc=Nova York|isbn=978-0-470-01619-0|any=2005}}, lemmas ''Psychophysics'' and ''Perception: Overview''</ref>

Els estudis psicològics van trobar que els individus matemàticament sofisticats tendeixen a estimar quantitats logarítmica, és a dir, la posició d'un nombre en una línia marcada d'acord amb el seu logaritme, de manera que 10 es col·loca el més a prop a 20 com 100 és 200. L'augment de la comprensió matemàtica canvis aquesta a una estimació lineal (posició 100 10x tan lluny).<ref>{{citar ref|doi=10.1111/1467-9280.02438|cognom1=Siegler|nom1=Robert S.|cognom2=Opfer|nom2=John E.|títol=The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity |volum=14|exemplar=3|pàgines=237–43|any=2003|publicació=Psychological Science|url=http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|pmid=12741747}}</ref><ref>{{citar ref|cognom1=Dehaene|nom1=Stanislas |cognom2=Izard|nom2=Véronique |cognom3=Spelke|nom3=Elizabeth|cognom4=Pica|nom4=Pierre|títol=Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures|volum=320|exemplar=5880 |pàgines=1217–1220 |doi=10.1126/science.1156540|pmc=2610411|pmid=18511690|any=2008|publicació=Science}}</ref>

=== La teoria de probabilitats i estadístiques ===
[[Fitxer:Some log-normal distributions.svg|miniatura|alt=Tres corbes PDF asimètriques |Tres funcions de densitat de probabilitat (PDF) de variables aleatòries amb distribució normal d'inici de sessió. La μ paràmetre de localització, que és zero per a tots els tres dels arxius PDF es mostra, és la mitjana del logaritme de la variable aleatòria no, la mitjana de la pròpia variable.]]
[[Fitxer:Benfords law illustrated by world's countries population.png|Distribució dels primers dígits (en%, barres vermelles) en la població dels 237 països del món. Negre punts indiquen la distribució prevista per la llei de Benford.|miniatura|esquerra|alt=Un gràfic de barres i un gràfic superposat segon. Els dos difereixen lleugerament, però tots dos disminueixen d'una manera similar.]]

Els logaritmes es plantegen en la teoria de probabilitat: la llei dels grans nombres estableix que, per una [[Moneda (peça de metall)|moneda]], ja que augmenta el nombre de llançaments de la moneda-fins a l'infinit, la proporció observada dels caps s'acosta a la meitat. Les fluctuacions d'aquest percentatge gairebé la meitat són descrits per la llei del logaritme iterat.<ref>{{citar ref|cognom1=Breiman|nom1=Leo|títol=Probability|editorial=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]|lloc=Philadelphia|series=Classics in applied mathematics|isbn=978-0-89871-296-4|any=1992}}, section 12.9</ref>

Els logaritmes també es produeixen en la distribució log-normal. Quan el logaritme d'una variable aleatòria té una distribució normal, la variable es diu que té una distribució logarítmica normal.<ref>{{citar ref|cognom=Aitchison|nom=J.|enllaçautor=John Aitchison|cognom2=Brown |nom2=J. A. C.|títol=The lognormal distribution|editorial=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-04011-2 |oclc=301100935 |any=1969}}</ref> La distribució Log-normal es troben en molts camps, sempre que sigui una variable es forma com el producte de molts independents positiu a l'atzar variables, per exemple en l'estudi de la [[turbulència]].<ref>{{citar ref|títol= An introduction to turbulent flow|autor= Jean Mathieu and Julian Scott|editorial=[[Cambridge University Press]]|any= 2000|isbn = 9780521775380|pàgina= 50|url = http://books.google.cat/books?id=nVA53NEAx64C&pg=PA50}}</ref>

Els logaritmes s'utilitzen per a l'estimació de màxima versemblança dels models estadístics paramètrics. Per a aquest model, la funció de versemblança depèn de com a mínim un paràmetre que ha de ser estimat. Un màxim de la funció de versemblança es produeix en el mateix paràmetre de valor com a màxim del logaritme de la probabilitat (la "versemblança"), ja que el logaritme és una funció creixent. El logaritme de la versemblança és més fàcil d'optimitzar, en especial per multiplicar les probabilitats per a variables aleatòries independents.<ref>{{citar ref|cognom1=Rose|nom1=Colin|cognom2=Smith|nom2=Murray D.|títol=Mathematical statistics with Mathematica|editorial=[[Springer-Verlag]]|lloc=Berlin, New York|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|any=2002}}, section 11.3</ref>

Llei de Benford descriu l'aparició de dígits en molts conjunts de dades, com per exemple altures dels edificis. D'acord amb la llei de Benford, la probabilitat que els primers dígits decimals d'un element en la mostra de dades és d (d'1 a 9) és igual a <math>\log_{10}(d + 1)-\log_{10}(d)</math>, independentment de la [[unitat de mesura]].<ref>{{citar ref|cognom1=Tabachnikov |nom1=Serge|títol=Geometry and Billiards |editorial=[[American Mathematical Society]]|lloc=Providence, R.I.| isbn=978-0-8218-3919-5 |any=2005|pàgines=36–40}}, section 2.1</ref> Així, al voltant del 30% de les dades es pot esperar a tenir un inici com el primer dígit, el 18% amb 2, etc. Comptes examinarà les desviacions de la llei de Benford per detectar la [[comptabilitat]] fraudulenta.<ref>{{citar ref|títol=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|nom1=Cindy|cognom1=Durtschi|nom2=William|cognom2=Hillison|nom3=Carl|cognom3=Pacini|url=http://www.auditnet.org/articles/JFA-V-1-17-34.pdf|volum=V |pàgines=17–34|any=2004|publicació=Journal of Forensic Accounting}}</ref>

== Notes ==
{{referències|grup="nb"}}

== Referències ==
{{Referències}}

== Vegeu també ==
* [[e (constant matemàtica)|El nombre ''e'']]
* [[Logaritme natural]]
* [[Logaritme neperià]]
* [[Logaritme integral]]

== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}
* {{citar ref|autor=Colin Byfleet|url=http://mediasite.oddl.fsu.edu/mediasite/Viewer/?peid=003298f9a02f468c8351c50488d6c479|títol=Educational video on logarithms|consulta=12/10/2010}}

{{Hiperoperacions}}
{{Autoritat}}

[[Categoria:Logaritmes| ]]