Mostra la font per a Màxims i mínims

{{Confusió|Màxim i mínim (elements)}}
[[Fitxer:Extrema example-cat.svg|miniatura|Màxims i mínims locals i globals de cos(3&pi;''x'')/''x'', 0,1&le;''x''&le;1,1]]
En [[matemàtiques]], dels '''màxims''' i dels '''mínims''', se'n diu de forma general '''extrems'''. Són el valor ''més gran'' (màxim) o el ''més petit'' (mínim), que pren una [[funció (matemàtiques)|funció]],<ref name=:0>{{Ref-web|títol=Màxims, mínims i punts d'inflexió d'una funció|url=https://www.sangakoo.com/ca/temes/maxims-minims-i-punts-d-inflexio-d-una-funcio|consulta=2022-01-25|nom=Sangaku|cognom=Maths}}</ref> ja sigui en un entorn del punt (extrem local) o en tot el [[domini (matemàtiques)|domini]] (extrem global).<ref name=:1>{{Ref-web|títol=Creixement i decreixement, màxims i mínims d'una funció|url=https://www.sangakoo.com/ca/temes/creixement-i-decreixement-maxims-i-minims-d-una-funcio|consulta=2022-01-25|nom=Sangaku|cognom=Maths}}</ref><ref name=:2>{{Ref-web|títol=extremum {{!}} mathematics {{!}} Britannica|url=https://www.britannica.com/science/extremum|consulta=2022-02-02|llengua=en}}</ref>

== Definicions ==
Es defineix màxim com
{{definició|Donada una funció real <math>\,f(x)</math>, es diu que té un '''màxim local''' al punt <math>\,x_0</math>, si existeix algun [[Veïnat (matemàtiques)|entorn reduït]] de <math>\,x_0</math>, que simbolitzarem per <math>E^*_{x_0}</math>, tal que <math>\forall x \in E^*_{x_0}: f(x) \leq f(x_0)</math>.}}

Del valor de la funció en aquest punt se'n diu '''màxim''' de la funció.

En la [[gràfica d'una funció]], els seus màxims locals tenen l'aspecte de [[Cim (cartografia)|cims]] dels [[Turó|turons]].

De manera similar, una funció té un '''mínim local''' si 
{{definició|Donada una funció real <math>\,f(x)</math>, es diu que té un '''mínim local''' al punt <math>\,x_0</math>, si existeix algun [[Veïnat (matemàtiques)#Veïnat perforat|entorn reduït]] de <math>\,x_0</math>, que simbolitzarem per <math>E^*_{x_0}</math>, tal que <math>\forall x \in E^*_{x_0}: f(x) \geq f(x_0)</math>.}}

Del valor de la funció en aquest punt se'n diu '''mínim''' de la funció.

En la gràfica de la funció, els seus mínims tenen l'aspecte de fons de les valls.

Una funció té un '''màxim global''' a <math>\,x_0</math>, si <math>f(x_0) \geq f(x) \forall x \in D</math>.

De manera similar, una funció té un '''mínim global''' a <math>\,x_0</math>, si <math>f(x_0) \leq f(x) \forall x \in D</math>.

Qualsevol extrem global ha de ser també un extrem local, però no tots els extrems locals són màxims o mínims globals.

''Terminologia'': El termes '''local''' i '''global''' són sinònims de '''relatiu''' i d{{'}}'''absolut''' respectivament. '''Extrem''' és un terme que inclou tant '''màxim''' com '''mínim''': un '''extrem local''' és un màxim o un mínim, local o relatiu, i un '''extrem global''' és un màxim o un mínim, global o absolut.

''Dominis restringits'': Pot haver-hi màxims i mínims de funcions, el [[domini (matemàtiques)|domini]] de les quals no inclou tots els [[nombres reals]]. Una funció real, el domini de la qual és un [[conjunt]] qualsevol pot tenir un màxim i un mínim globals. També hi pot haver màxims i mínims locals, però només si el domini és un conjunt on hi ha definit el concepte d'[[entorn (topologia)|entorn]]. Un entorn juga el paper d'un conjunt de ''x'' tal que <math>|x - x^*|<\epsilon</math>.

Una funció real [[funció contínua|contínua]] sobre un [[conjunt compacte]] sempre té màxim i mínim en el conjunt. Un exemple important és una funció el domini de la qual és un [[Interval (matemàtiques)|interval]] real tancat i afitat (vegeu la gràfica de més amunt). El requisit de què hi hagi un entorn del punt, impedeix que els extrems locals es puguin donar en els punts finals o inicials d'un interval. Així no és ''sempre veritat'', pel cas de dominis finits que els extrems globals hagin de ser també extrems locals.

''Terminologia'': El terme '''òptim''', depenent del context pot substituir, un o tots dos, els termes '''màxim''' o '''mínim'''. Alguns problemes d'optimització busquen un màxim global mentre que d'altres busquen un mínim.

== Trobar màxims i mínims ==
Els extrems locals es poden trobar gràcies al [[teorema de Fermat (punts estacionaris)|teorema de Fermat]] que en essència diu que si una funció té un extrem local en un punt i és derivable en aquest punt llavors la [[derivada]] en aquest punt val [[zero]]. Això dona una condició necessària però no suficient perquè en un punt una funció tingui un extrem local: que la seva derivada sigui zero, per tant derivar la funció i plantejar l'[[equació]] de què la seva derivada sigui igual a zero permet de trobar els punts candidats a ser els extrems.<ref>{{Ref-web|títol=Minimization and maximization refresher - Math Insight|url=https://mathinsight.org/minimization_maximization_refresher|consulta=2022-02-11}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Maxima and Minima {{!}} Applications {{!}} Differential Calculus Review at MATHalino|url=https://mathalino.com/reviewer/differential-calculus/cahpter-3-maxima-and-minima|consulta=2022-02-17}}</ref>

Llavors cal identificar quins d'aquest punts (punts estacionaris) corresponen a màxims, quins corresponen a mínims i quins a [[punt d'inflexió|punts d'inflexió]].<ref name=:0/><ref name=:1/> Això es fa amb el [[test de la derivada segona]] i successives.<ref name=:2/> Per a trobar el màxim o el mínim absolut d'una [[funció definida a trossos]], es troben els màxims i mínims relatius a cada tros i els valors als extrems; llavors es busca quin és el valor més gran de tots per a trobar el màxim absolut (o el més petit per a trobar el mínim absolut).

== Exemples ==
[[Fitxer:Extrema.svg|miniatura|<math>x^3+3x^2-2x+1</math><br /><math>-4\leq x\leq 2</math>]]
* La funció ''x''² té un únic mínim global a <math>x = 0</math>.
* La funció ''x''<sup>3</sup> no té màxims ni mínims. Tot i que la derivada primera (3''x''²) val 0 a <math>x = 0</math>, és un [[punt d'inflexió]].
* La funció ''x''<sup>3</sup>/3 − ''x'' té com a derivada primera ''x''² − 1 i com a [[derivada segona]] 2''x''. Igualant a 0 la derivada primera i resolent ''x'' dona els punts estacionaris −1 i +1. A parir del signe de la derivada segona es veu que −1 és un màxim local i que+1 és un mínim local. Fixeu-vos que aquesta funció no té màxim ni mínim global.
* La funció |''x''| té un mínim global a <math>x = 0</math> que no es pot trobar emprant derivades perquè no és derivable a <math>x = 0</math>.
* La funció cos(''x'') té infinits màxims globals a 0, ±2&pi;, ±4&pi;, …, i infinits mínims globals a ±&pi;, ±3&pi;, ….
* La funció 2 cos(''x'') − ''x'' té infinits màxims i mínims locals, però no té màxim ni mínim globals.
* La funció cos(3&pi;''x'')/''x'' amb 0,1 &le; ''x'' &le; 1,1 té un màxim global a ''x'' = 0,1 (una frontera), un mínim global a prop de <math>x = 0,3</math>, un màxim local a prop de <math>x = 0,6</math>, i un mínim local a prop de <math>x = 1,0</math>. (Vegeu figura del cap de la pàgina.)
* La funció ''x''<sup>3</sup> + 3''x''² − 2''x'' + 1 definida a l'interval tancat (segment) [−4,2] té: un màxim local a ''x'' = −1−<sup>&radic;15</sup>&frasl;₃, un mínim local a ''x'' = −1+<sup>&radic;15</sup>&frasl;₃, un màxim global a <math>x = 2</math> i un mínim global a <math>x = -4</math>. (Vegeu figura de la dreta)

== Funcions de diverses variables ==
Per a funcions de més d'una variable, s'apliquen consideracions similars.

[[Fitxer:Maximum_boxed.png|miniatura|Superfície paraboloide amb un màxim marcat]]
Per exemple, a la figura de la dreta, les condicions necessàries perquè hi hagi un màxim local són similars a les que ha de complir una funció amb una variable. Les [[derivada parcial|derivades parcials]] de primer ordre han de ser zero i les derivades parcials de segon ordre han de ser [[Nombre negatiu|negatives]]. Si les derivades parcials de segon ordre són de signe diferent pot haver-hi [[punt de sella|punts de sella]].

== Notes ==
{{Referències}}

== Referències ==
* Ortega Aramburu, Joaquín M. ''Introducció a l'anàlisi matemàtica''. Segona. Servei de Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona, 01-01-2002, p. 437. ISBN 8449022711

== Vegeu també ==
* [[Funció contínua]]
* [[Punt crític (matemàtiques)]]
* [[Test de la primera derivada]]
* [[Test de la tercera derivada]]

== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}
* [https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Thomas Simpson's work on Maxima and Minima]. Convergence {{en}}

{{ORDENA:Maxims I Minims}}
[[Categoria:Anàlisi matemàtica]]
[[Categoria:Derivació]]
[[Categoria:Matemàtica aplicada]]