Mostra la font per a Mòdul d'elasticitat

{{Infotaula magnitud física
| nom = Mòdul d'elasticitat
| imatge = Courbe contrainte vs deformation.png
| peu = Exemple de gràfic allargament unitari ''vs.'' tensió. El mòdul elàstic ''E'' és el pendent de la recta de la zona elàstica (color blau) o, cosa que és el mateix, ''E''=<math>\sigma</math>/<math>\varepsilon</math>.
| unitat = [[pascal (unitat)|Pascal]]
| símbols = ''E''
| derivacions=''E''=<math>\sigma</math>/<math>\varepsilon</math>
}}
El '''mòdul d'elasticitat''', '''mòdul elàstic''',<ref group="nota">Existeixen mòduls elàstics diferents, però concretament al mòdul d'elasticitat se'l sol anomenar també "mòdul elàstic" perquè és el més utilitzat (vegeu [[mòdul elàstic]] pel concepte general).</ref> '''mòdul d'elasticitat longitudinal''' o '''mòdul de Young''' és la mesura de la [[Rigidesa mecànica|rigidesa]] d'un material [[elasticitat|elàstic]]. Es defineix com la relació entre la [[Tensió (mecànica)|tensió]] uniaxial i l'[[allargament unitari]] uniaxial en el rang de tensions en el qual es compleix la [[llei de Hooke]] (és a dir, abans d'arribar al [[límit elàstic]]).<ref>{{GoldBookRef|title=modulus of elasticity (Young's modulus), ''E''|file=M03966}}</ref> En [[mecànica del sòlid]], el pendent de la [[corba tensió-deformació]] en qualsevol punt s'anomena [[mòdul tangent]]; si aquest punt es troba sobre la regió lineal de la corba, doncs, es tracta del mòdul d'elasticitat o mòdul de Young. El mòdul d'elasticitat es pot determinar experimentalment mitjançant un [[assaig de tracció]] realitzat sobre una mostra del material a estudiar. En materials [[anisotròpic]]s, el mòdul d'elasticitat pot tenir diferents valors segons la direcció que s'apliqui la força respecte a l'estructura del material.

El mòdul de Young s'anomena així en honor de [[Thomas Young]], científic britànic del {{segle|XIX}}. De totes maneres, el concepte fou desenvolupat el 1727 per [[Leonhard Euler]], i els primers experiments que utilitzaren el concepte de mòdul d'elasticitat foren duts a terme pel científic italià [[Giordano Riccati]] el 1782.<ref>''The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies, 1638–1788: Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia'', vol. X i XI, Seriei Secundae. Orell Fussli {{en}}</ref>

== Unitats ==
El mòdul elàstic es defineix com la proporció entre la [[tensió (mecànica)|tensió]] (que té unitats de [[pressió]]) i la [[deformació (ciència de materials)|deformació]] (que és [[adimensional]]); llavors, el mòdul elàstic té unitats de pressió, que en el [[Sistema Internacional]] són el [[pascal (unitat)|pascal]] (Pa, [[newton (unitat)|N]]/m² o m<sup>−1</sup>·kg·s<sup>−2</sup>). Tanmateix, per qüestions pràctiques se solen utilitzar els megapascals (MPa o [[newton (unitat)|N]]/mm²) o gigapascals (GPa o [[newton (unitat)|kN]]/mm²). En [[unitats de mesura dels Estats Units]] s'utilitza la [[lliura per polzada quadrada]] (psi) i la seva derivada ksi (equivalent a mil psi).

== Aplicació ==
El mòdul d'elasticitat es pot fer servir, per exemple, per calcular els canvis dimensionals d'una barra de material elàstic [[isotròpic]] sota càrregues de tracció o compressió: es pot predir com s'allarga en el primer cas, o com s'escurça en el segon. També es pot fer servir per calcular la deflexió que pateix una [[biga (construcció)|biga]] [[hiperestaticitat|estàticament determinada]] quan se li aplica una càrrega en un punt entre els dos suports. Tanmateix, aquests càlculs solen requerir aplicar altres conceptes i propietats dels materials com el [[mòdul de cisallament]], la [[densitat]] o el [[coeficient de Poisson]].

=== Materials lineals i no lineals ===
Per la majoria de materials el mòdul d'elasticitat és constant sigui quina sigui la deformació de la mostra. Aquests materials s'anomenen lineals, i obeeixen la [[llei de Hooke]]. Alguns exemples són l'[[acer]], la [[fibra de carboni]] i el [[vidre]]. En canvi, aquells materials que no tenen un mòdul d'elasticitat constant són no lineals, com per exemple el [[cautxú]] o el [[sòl]].

=== Materials direccionals ===
El [[Mòdul lunar Apollo|mòdul]] d'elasticitat pot no ser igual en totes les orientacions d'un material. La majoria de metalls i [[ceràmica|ceràmiques]], juntament amb molts altres materials, són [[isotropia|isotròpics]], i totes les seves propietats mecàniques són les mateixes en totes les orientacions. Tanmateix, els metalls i les ceràmiques es poden tractar amb certes impureses, i els metalls es poden treballar mecànicament per fer les seves estructures de gra direccionals. En aquest cas els materials esdevenen [[anisotropia|anisòtrops]], i el mòdul d'elasticitat canvia depenent de la direcció del vector de força. També es pot observar anisotropia en molts compostos, com per exemple la [[fibra de carboni]], que té un mòdul d'elasticitat molt més elevat quan la força és aplicada en paral·lel a les fibres (al llarg del gra). Altres materials similars són la [[fusta]] i el [[formigó armat]].

== Càlcul ==
El mòdul d'elasticitat (''E'') es pot calcular dividint la [[tensió (física)|tensió]] per la [[deformació]] en la porció elàstica (lineal) de la [[corba tensió-deformació]]:

:<math> E \equiv \frac{\mbox {tensió}}{\mbox {deformació}} = \frac{\sigma}{\varepsilon}= \frac{F/A_0}{\Delta L/L_0} = \frac{F L_0} {A_0 \Delta L} </math>

On:
:<var>E</var> és el mòdul d'elasticitat
:<var>F</var> és la força exercida sobre el cos
:<var>A<sub>0</sub></var> és l'àrea (secció) sobre la qual s'aplica la força
:<var>ΔL</var> és la quantitat que s'allarga el cos
:<var>L<sub>0</sub></var> és la llargada original del cos 

=== Força exercida per un material estirat o comprimit ===
El mòdul d'elasticitat d'un material es pot fer servir per calcular la força que exerceix sota una deformació específica.

:<math>F = -\frac{E A_0 \Delta L} {L_0}</math>
On <var>F</var> és la força exercida pel material quan és estirat o comprimit una llargada <var>ΔL</var>. D'aquesta fórmula se'n pot obtenir la [[llei de Hooke]], la qual descriu la rigidesa d'una molla ideal:

:<math>F = -\left(\frac{E A_0} {L_0} \right) \Delta L = -k x \,</math>
On
:<math>k = \begin{matrix} \frac {E A_0} {L_0} \end{matrix} \,</math>
:<math>x = \Delta L. \,</math>

=== Energia potencial elàstica ===
L'[[energia potencial elàstica]] emmagatzemada ve donada per la integral de l'expressió anterior respecte a <var>L</var>:

:<math>U_e = \int {\frac{E A_0 \Delta L} {L_0}}\, d\Delta L = \frac {E A_0} {L_0} \int { \Delta L }\, d\Delta L = \frac {E A_0 {\Delta L}^2} {2 L_0}</math>

On <var>U<sub>e</sub></var> és l'energia potencial elàstica.

L'energia potencial elàstica per unitat de volum ve donada per:
:<math>\frac{U_e} {A_0 L_0} = \frac {E {\Delta L}^2} {2 L_0^2} = \frac {1} {2} E {\varepsilon}^2</math>, on <math>\varepsilon = \frac {\Delta L} {L_0}</math> és la deformació del material. Aquesta fórmula també es pot expressar com la integral de la llei de Hooke:

:<math>U_e = \int {k x}\, dx = \frac {1} {2} k x^2</math>

=== Relació entre constants elàstiques ===
{{article principal|Mòdul elàstic}}
Per materials isotròpics homogenis existeixen [[mòdul elàstic|relacions simples]] entre les constants elàstiques (mòdul d'elasticitat ''E'', [[mòdul de cisallament]] ''G'', [[mòdul de compressibilitat]] ''K'' i [[coeficient de Poisson]] ''ν'') que permeten calcular-les totes si se'n coneixen almenys dues.
:<math>E = 2G(1+\nu) = 3K(1-2\nu)\,</math>

== Valors aproximats ==
[[Fitxer:SpiderGraph YoungMod.gif|upright=1.3|miniatura|Influències de certes addicions de components de vidre sobre el mòdul d'elasticitat d'un vidre base específic]]
El mòdul d'elasticitat pot patir variacions a causa de diferències en la composició de la mostra i del mètode utilitzat per fer la prova. A continuació es mostren el valor aproximat del mòdul d'elasticitat per a diversos materials, ordenats del material que el té més baix al que el té més alt.

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Mòdul d'elasticitat aproximat per diversos materials
|-
! Material
! [[pascal (unitat)|GPa]]
|-
|-
| style="text-align:left;"| [[Cautxú]] (petites deformacions)
| 0.01–0.1<ref name=etb20120106>{{ref-web|url=http://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html |títol=Elastic Properties and Young Modulus for some Materials |consulta=6/1/2012 |editor=The Engineering ToolBox |llengua=anglès}}</ref>
|- 
| style="text-align:left;"| [[PTFE]] (tefló)
| 0,5
|-
| style="text-align:left;"| [[Polietilè de baixa densitat]]<ref>{{ref-web|url=http://www.matweb.com/search/datasheet.aspx?MatGUID=557b96c10e0843dbb1e830ceedeb35b0|títol=Overview of materials for Low Density Polyethylene (LDPE), Molded|editor=Matweb¡}}</ref>
| 0,238
|-
| style="text-align:left;"| [[Polietilè d'alta densitat]]
| 0.8
|- 
| style="text-align:left;"| [[Polipropilè]]
| 1,5-2<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Càpsida|Càpsides bacteriòfagues]]<ref>{{citar ref |publicació=Proc Nat Acad Sci USA. |any=2004|autor=Ivanovska IL, de Pablo PJ, Sgalari G, MacKintosh FC, Carrascosa JL, Schmidt CF, Wuite GJL|títol=Bacteriophage capsids: Tough nanoshells with complex elastic properties|pmid=15133147|volum=101|exemplar=20|pàgines=7600–5|doi=10.1073/pnas.0308198101|pmc=419652|bibcode = 2004PNAS..101.7600I}}</ref>
| 1–3
|-
| style="text-align:left;"| [[Politereftalat d'etilè]] (PET)
| 2-2,7<ref name=etb20120106/>
|- 
| style="text-align:left;"| [[Poliestirè]]
| 3-3,5<ref name=etb20120106/>
|- 
| style="text-align:left;"| [[Niló]]
| 2–4
|-
| style="text-align:left;"| [[Frústul]]s de [[diatomea]] (principalment [[àcid silícic]])<ref>{{citar ref |publicació=J Nanosci Nanotechnol. |any=2005|autor=Subhash G, Yao S, Bellinger B, Gretz MR.|títol=Investigation of mechanical properties of diatom frustules using nanoindentation|pmid= 15762160|volum=5|exemplar=1|pàgines=50–6|doi=10.1166/jnn.2005.006}}</ref>
| 0,35–2,77 
|-
| style="text-align:left;"| [[Tauler de fibra de densitat mitjana|Tauler DM]]<ref>[http://www.makeitfrom.com/data/?material=MDF Material Properties Data: Medium Density Fiberboard (MDF)]</ref>
| 4
|-
| style="text-align:left;"| [[Fusta]] de [[pi (arbre)|pi]] (al llarg del gra)
| 9
|- 
| style="text-align:left;"| Fusta de roure (al llarg del gra)
| 11<ref name=etb20120106/>
|- 
| style="text-align:left;"| [[Os cortical]] humà<ref>{{citar ref |cognom= Rho |nom= JY |títol= Young's modulus of trabecular and cortical bone material: ultrasonic and microtensile measurements |publicació= Journal of Biomechanics |volum= 26 |exemplar= 2 |pàgines= 111–119 |any= 1993}}</ref>
| 14
|-
| style="text-align:left;"| [[Nanotub]]s pèptids aromàtics<ref>{{citar ref |cognom= Kol |nom= N. et al. |títol= Self-Assembled Peptide Nanotubes Are Uniquely Rigid Bioinspired Supramolecular Structures |publicació= Nano Letters |volum= 5 |exemplar= 7 |pàgines= 1343–1346 |data= 8 juny 2005| doi = 10.1021/nl0505896}}</ref><ref>{{citar ref |cognom= Niu |nom= L. et al. |títol= Using the Bending Beam Model to Estimate the Elasticity of Diphenylalanine Nanotubes |publicació= Langmuir |volum= 23 |exemplar= 14 |pàgines= 7443–7446 |data= 6 juny 2007 | doi = 10.1021/la7010106}}</ref>
| 19-27
|-
| style="text-align:left;"| [[Formigó]] d'alta resistència
| 30<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Fibra de cànem]]<ref>{{citar ref | doi = 10.1002/(SICI)1098-2329(199924)18:4<351::AID-ADV6>3.0.CO;2-X |cognom= Nabi Saheb |nom= D. |cognom2= Jog |nom2= JP. |títol= Natural fibre polymer composites: a review |publicació= Advances in Polymer Technology |volum= 18 |exemplar= 4 |pàgines= 351–363 |any= 1999}}</ref>
| 35
|-
| style="text-align:left;"| [[Magnesi]] (Mg)
| 45<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| Fibra de [[lli]]<ref>{{citar ref | doi = 10.1016/S1359-835X(02)00040-4 |cognom= Bodros |nom= E. |títol= Analysis of the flax fibres tensile behaviour and analysis of the tensile stiffness increase |publicació= Composite Part A |volum= 33 |exemplar= 7 |pàgines= 939–948 |any= 2002}}</ref>
| 58
|- 
| style="text-align:left;"| [[Alumini]]
| 69<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| Fibra d'[[ortiga gran]]<ref>{{citar ref |cognom= Bodros |nom= E. |cognom2= Baley |nom2= C. |títol= Study of the tensile properties of stinging nettle fibres (Urtica dioica) |publicació= Materials Letters |volum= 62 |exemplar= 14 |pàgines= 2143–2145 |data= 15 maig 2008 | doi = 10.1016/j.matlet.2007.11.034}}</ref>
| 87
|- 
| style="text-align:left;"| [[Vidre]] (vegeu diagrama)
| 50–90<ref name=etb20120106/>
|- 
| style="text-align:left;"| [[Aramida]]<ref>{{citar ref |any=2001|pàgina=9|autor=DuPont|títol=Kevlar Technical Guide}}</ref>
| 70,5–112,4 
|- 
| style="text-align:left;"| [[Nacre]] (mareperla, principalment [[carbonat de calci]])<ref>{{citar ref |publicació=Proc. R. Soc. Lond. B|any=1988|volum=234|pàgines=415–440|autor=A. P. Jackson,J. F. V. Vincent and R. M. Turner|títol=The Mechanical Design of Nacre|url=http://rspb.royalsocietypublishing.org/content/234/1277/415.abstract|doi=10.1098/rspb.1988.0056|bibcode = 1988RSPSB.234..415J|exemplar=1277}}</ref>
| 70
|-
| style="text-align:left;"| [[Esmalt dental]] (principalment [[fosfat de calci]])<ref>{{citar ref |publicació=Journal of Materials Science|any=1981|títol=Spherical indentation of tooth enamel|autor=M. Staines, W. H. Robinson and J. A. A. Hood|url=http://www.springerlink.com/content/w125706571032231/}}{{Enllaç no actiu|bot=InternetArchiveBot |data=2021}}</ref>
| 83
|- 
| style="text-align:left;"| [[Llautó]]
| 100–125<ref name=etb20120106/>
|- 
| style="text-align:left;"| [[Bronze]]
| 96-120<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Titani]] (Ti) ||110.3<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Aliatges de titani]]
| 105–120<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Coure]] (Cu)
| 117
|- 
| style="text-align:left;"| [[Plàstic reforçat amb fibra de vidre]] (70/30 per pes de fibra/xarxa, unidireccional, al llarg del gra)
| 40–45
|- 
| style="text-align:left;"| [[Plàstic reforçat amb fibra de vidre|Xarxa de poliestirè reforçada amb fibra de vidre]]<ref>[http://www.substech.com/dokuwiki/doku.php?id=polyester_matrix_composite_reinforced_by_glass_fibers_fiberglass Polyester Matrix Composite reinforced by glass fibers (Fiberglass)]. [SubsTech] (2008-05-17). Retrieved on 2011-03-30.</ref>
| 17,2
|-
| style="text-align:left;"| [[Plàstic reforçat amb fibra de carboni]] (50/50 fibra/xarxa, biaxial)<ref>{{ref-web|url=http://www.tech.plym.ac.uk/sme/MATS324/MATS324A2 E-G-nu.htm|títol=Composites Design and Manufacture (BEng) - MATS 324}}{{Enllaç no actiu|bot=InternetArchiveBot |data=2021}}</ref>
| 
|-
| style="text-align:left;"| [[Plàstic reforçat amb fibra de carboni]] (70/30 fibra/xarxa, unidireccional, al llarg del gra)<ref>[http://www.substech.com/dokuwiki/doku.php?id=epoxy_matrix_composite_reinforced_by_70_carbon_fibers Epoxy Matrix Composite reinforced by 70% carbon fibers [SubsTech&#93;]. Substech.com (2006-11-06). Retrieved on 2011-03-30.</ref>
| 181
|- 
| style="text-align:left;"| [[Silici]] (cristall únic, diferents direccions)<ref>[http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si Physical properties of Silicon (Si)]. Ioffe Institute Database.</ref><ref>{{citar ref |autor=E.J. Boyd et al.|publicació=Journal of Microelectromechanical Systems|volum=21|exemplar=1|pàgines=243–249|data=February, 2012|doi=10.1109/JMEMS.2011.2174415|títol=Measurement of the Anisotropy of Young's Modulus in Single-Crystal Silicon}}</ref>
| 130-185
|- 
| style="text-align:left;"| [[Ferro forjat]]
| 190–210<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Acer]] (ASTM-A36)
| 200<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Granat de ferro itri]] policristal·lí (YIG)<ref>{{citar ref |cognom= Chou |nom= H. M. |cognom2= Case |nom2= E. D. |títol= Characterization of some mechanical properties of polycrystalline yttrium iron garnet (YIG) by non-destructive methods |publicació= Journal of Materials Science Letters |volum= 7 |exemplar= 11 |pàgines= 1217–1220 |data= November, 1988 | doi = 10.1007/BF00722341}}</ref>
| 193
|-
| style="text-align:left;"| [[Granat de ferro itri]] monocristal·lí (YIG)<ref>{{Ref-web |url=http://www.isowave.com/pdf/materials/Yttrium_Iron_Garnet.pdf |títol=YIG properties |consulta=2013-03-08 |arxiuurl=https://web.archive.org/web/20090225155636/http://www.isowave.com/pdf/materials/Yttrium_Iron_Garnet.pdf |arxiudata=2009-02-25}}</ref>
| 200
|- 
| style="text-align:left;"| Nanosferes de pèptids aromàtics<ref>{{citar ref |cognom= Adler-Abramovich |nom= L. et al. |títol= Self-Assembled Organic Nanostructures with Metallic-Like Stiffness |publicació= Angewandte Chemie International Edition |volum= 49 |exemplar= 51 |pàgines= 9939–9942 |data= 17 desembre 2010| doi = 10.1002/anie.201002037}}</ref>
| 230-275
|-
| style="text-align:left;"| [[Beril·li]] (Be)
| 287
|-
| style="text-align:left;"| [[Molibdè]] (Mo)
| 329
|-
| style="text-align:left;"| [[Tungstè]] (W)
| 400–410<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Safir]] (Al₂O₃) al llarg de l'eix C
| 435
|-
| style="text-align:left;"| [[Carbur de silici]] (SiC)
| 450<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Osmi]] (Os)
| 550
|-
| style="text-align:left;"| [[Carbur de tungstè]] (wídia, WC)
| 450–650<ref name=etb20120106/>
|-
| style="text-align:left;"| [[Nanotub de carboni d'una sola capa]]<ref>{{ref-web|url=http://ipn2.epfl.ch/CHBU/papers/ourpapers/Forro_NT99.pdf|títol=Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes|autor=L. Forro et al.|consulta=2013-03-08|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20051029033149/http://ipn2.epfl.ch/CHBU/papers/ourpapers/Forro_NT99.pdf|arxiudata=2005-10-29}}</ref><ref>{{citar ref |autor=Y.H.Yang et al.|publicació=Applied Physics Letters|volum=98|pàgina=041901|any=2011|doi=10.1063/1.3546170|títol=Radial elasticity of single-walled carbon nanotube measured by atomic force microscopy|bibcode = 2011ApPhL..98d1901Y|cognom2=Li|nom2=W. Z.|exemplar=4}}</ref>
| 1,000+
|-
| style="text-align:left;"| [[Grafè]]
| 1000
|- 
| style="text-align:left;"| [[Diamant]] (C)<ref>{{ref-llibre |títol=Synthetic Diamond – Emerging CVD Science and Technology |autor=Spear and Dismukes |editorial=Wiley, NY |any=1994 |isbn=978-0-471-53589-8}}</ref>
| 1220
|}

== Notes ==
{{referències|grup="nota"}}

== Referències ==
{{referències}}

== Enllaços externs ==
* [http://www.matweb.com Matweb: base de dades amb propietats de més de 63.000 materials (en anglès)]


{{Mòduls d'elasticitat}}

{{ORDENA:Modul Elastic}}
[[Categoria:Ciència de materials]]
[[Categoria:Mecànica dels medis continus]]
[[Categoria:Enginyeria mecànica]]
[[Categoria:Magnituds físiques]]