Mostra la font per a Matemàtiques

[[Fitxer:Mathematicsgeneral.jpg|miniatura|Representacions matemàtiques de diversos camps]]
La '''matemàtica''' (encara que, per a referir-se, a l'estudi i ciència, s'acostuma a utilitzar el plural '''''matemàtiques''''') és aquella ciència que estudia patrons en les estructures de cossos abstractes i en les relacions que s'estableixen entre ells (del mot derivat del grec μάθημα, ''máthēma'': ciència, coneixement, aprenentatge; μαθηματικός, ''mathēmatikós'').

Malgrat que tingui múltiples usos en altres ciències i disciplines (molt particularment, en la [[física]]), i tracti relacions que poden semblar evidents, les matemàtiques primer postulen (vegeu [[axioma|axiomes matemàtics]]), i després dedueixen i demostren. Les matemàtiques no són una [[Ciències Experimentals|ciència experimental]], sinó una [[ciència formal]]. Els matemàtics acostumen a definir i investigar estructures i conceptes abstractes per raons purament internes a la matemàtica, ja que tals estructures poden proveir, per exemple, una generalització elegant, o una eina útil per a càlculs freqüents. A més, molts matemàtics estudien les seves àrees de preferència simplement per raons estètiques, veient així la matemàtica com una forma d'art en comptes d'una ciència pràctica o aplicada (encara que les estructures que els matemàtics investiguen tenen, molt sovint, el seu origen en observacions de la natura).

[[Fitxer:Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica-suma_de_t%C3%A9rminos-.png|miniatura|[[Progressió aritmètica]]|196x196px]]
La matemàtica és un art, però també una ciència d'estudi. Informalment, es pot afirmar que la matemàtica és l'estudi dels «nombres i símbols», és a dir, la investigació d'estructures abstractes definides axiomàticament utilitzant la lògica i la [[notació matemàtica]]. És també la ciència de les relacions espacials i quantitatives. Es tracta de relacions exactes que existeixen entre quantitats i magnituds, i dels mètodes pels quals, d'acord amb aquestes relacions, les quantitats buscades són deduïbles a partir d'altres quantitats conegudes o pressuposades. Altres punts de vista poden trobar-se en la [[filosofia de les matemàtiques]].

És freqüent trobar qui descriu la matemàtica com una simple extensió dels llenguatges naturals humans, que utilitza una gramàtica i un vocabulari definits amb extrema precisió, el propòsit dels quals és la descripció i exploració de relacions conceptuals i físiques. Recentment, això no obstant, els avanços en l'estudi del llenguatge humà apunten cap a una altra forma d'analitzar-los: els llenguatges naturals (com el català i el francès) i els llenguatges formals (com la matemàtica i els llenguatges de programació) són estructures de naturalesa bàsicament diferent.

== Etimologia ==
La paraula "matemàtiques" (del [[Grec antic|grec]] μαθηματικά) prové de dues paraules gregues μάθημα (máthēma), que significa 'aprenentatge', 'estudi', 'ciència' i, amb el pas del temps, el seu significat va quedar reduït al que avui coneixem com l'estudi matemàtic. L'adjectiu és μαθηματικός (mathēmatikós), que significa 'relacionat amb l'aprenentatge', 'estudiós' i que també, amb el pas del temps, va quedar reduït a 'matemàtic'. En especial, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), en [[llatí]], ''ars mathematica'', significava 'art matemàtic'. La forma plural del [[català]] prové del plural neutre llatí ''mathematica'' ([[Ciceró]]), basat en el plural grec τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) utilitzat per primera vegada per [[Aristòtil]] en referència a "totes les coses matemàtiques".

== Història ==
{{article principal|Història de les matemàtiques}}
[[Fitxer:RomanAbacusRecon.jpg|miniatura|Àbac]]
Històricament, la matemàtica va sorgir amb la finalitat de fer els càlculs en el comerç, per a amidar la terra i per a predir els esdeveniments astronòmics. Aquestes tres necessitats poden ser relacionades en certa manera amb la subdivisió àmplia de les matemàtiques en l'estudi de l'estructura, l'espai i el canvi. L'estudi de l'estructura comença amb els [[nombre]]s, inicialment els [[nombre natural|nombres naturals]] i els [[nombre enter|nombres enters]].

Les regles que dirigeixen les operacions aritmètiques s'estudien en l'[[Àlgebra#Àlgebra elemental|àlgebra elemental]], i les propietats més profundes dels nombres enters s'estudien en la [[teoria de nombres]]. La investigació de mètodes per a resoldre equacions duu al camp de l'[[àlgebra abstracta]]. L'important concepte de [[Vector (matemàtiques)|vector]], generalitzat a [[espai vectorial]], és estudiat en l'[[àlgebra lineal]], i pertany a les dues branques de l'estructura i l'espai. L'estudi de l'espai origina la [[geometria]], primer la [[geometria euclidiana]] i després la [[trigonometria]].

La comprensió i descripció del canvi en variables mesurables és el tema central de les [[ciències naturals]] i del [[Càlcul diferencial|càlcul]]. Per a resoldre problemes que es dirigeixen en forma natural a relacions entre una quantitat i la seva taxa de canvi, i de les solucions a aquestes equacions, s'estudien les [[equació diferencial|equacions diferencials]].

Els nombres utilitzats per a representar les quantitats contínues són els [[nombre real|nombres reals]]. Per a estudiar els processos de canvi, s'utilitza el concepte de [[funció matemàtica]]. Els conceptes de [[derivada]] i [[integral]], introduïts per [[Isaac Newton]] i [[Leibniz]], representen un paper clau en aquest estudi, que es denomina [[Anàlisi matemàtica|''anàlisi'']].

Per raons matemàtiques, és convenient per a molts fins introduir-hi els nombres complexos, cosa que dona lloc a l'[[anàlisi complexa]]. L'[[anàlisi funcional]], per contra, consisteix a estudiar problemes la incògnita dels quals és una funció, pensant-la com un punt d'un espai funcional abstracte.

Un camp important en matemàtiques aplicades és la [[probabilitat]] i l'[[estadística]], que permeten la descripció, l'anàlisi i la predicció de fenòmens que tenen [[variable aleatòria|variables aleatòries]] i que s'usen en totes les ciències.

L'[[anàlisi numèrica]] investiga els mètodes per a fer els càlculs en computadores.

== Grans matemàtics<ref>{{Ref-publicació|article=Female mathematicians who changed history|publicació=The Telegraph|llengua=anglès|url=https://www.telegraph.co.uk/films/hidden-figures/female-mathematicians-who-changed-the-world/|data=2017-02-09|issn=0307-1235}}</ref><ref>{{Ref-publicació|cognom=Carr|nom=Avery|article=3 Revolutionary Women of Mathematics|publicació=Scientific American Blog Network|llengua=en|url=https://blogs.scientificamerican.com/guest-blog/3-revolutionary-women-of-mathematics/}}</ref><ref>{{Ref-publicació|article=Five famous female Mathematicians|publicació=Maths Careers|llengua=anglès|url=http://www.mathscareers.org.uk/article/five-famous-female-mathematicians/|data=2015-03-14}}</ref><ref>{{Ref-publicació|cognom=Redacción|article=La increíble historia de las ingenieras negras que fueron clave para que la NASA pudiera mandar al hombre a la Luna|publicació=BBC News Mundo|llengua=anglès|url=https://www.bbc.com/mundo/noticias-38650921|data=2017}}</ref><ref>{{Ref-publicació|cognom=Zielinski|nom=Sarah|article=Five Historic Female Mathematicians You Should Know|publicació=Smithsonian|llengua=en|url=https://www.smithsonianmag.com/science-nature/five-historic-female-mathematicians-you-should-know-100731927/}}</ref> de la història ==
* [[Tales de Milet]] (600 aC). Matemàtic i geòmetra grec. Considerat un dels [[Set savis de Grècia]]. Inventor del [[teorema de Tales]], que estableix que, si a un triangle qualsevol li tracem una paral·lela a qualsevol dels seus costats, obtenim dos [[Semblança#Triangles semblants|triangles semblants]].

* [[Pitàgores]] (582-500 aC). Fundador de l'escola pitagòrica, que es basava en l'amor a la saviesa, a les matemàtiques i a la música. Se li ha atribuït la demostració del [[Teorema de Pitàgores|teorema que porta el seu nom]], el qual estableix que, en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa (el cantó oposat al de l'angle recte) és igual a la suma dels quadrats dels dos catets (els dos costats menors que la hipotenusa i que conformen l'angle recte).
* [[Hipàcia]] (370-415 aC.). Sàvia grega. Matemàtica, astrònoma i filòsofa. Professora i directora de l'Escola d'Alexandria.

* [[Euclides]] (c. 365-300 aC). Savi grec, la seva obra ''[[Elements d'Euclides|Elements]]'' és considerada com el text matemàtic més important de la història.

* [[Arquimedes]] (287-212 aC). Va ser el matemàtic més important de l'[[Edat Antiga]]. També conegut per una de les seves frases: "[[Eureka!]], [[eureka!]], ho he trobat".

* al-Khuwarizmí (c. 780 - c. 850). Matemàtic, geògraf i astròleg/astrònom àrab. Del seu nom es deriven termes com àlgebra i algorisme.

* [[Fibonacci]] (1170-1240). Matemàtic italià que va realitzar importants aportacions en els camps matemàtics de l'àlgebra i la teoria dels nombres.

* [[John Napier]] (1550-1617). Matemàtic escocès reconegut per haver introduït els logaritmes, un grup dels quals porten el seu nom.

* [[Galileo Galilei]] (1564-1642). Matemàtic italià, el principal assoliment del qual va ser crear un nexe d'unió entre les matemàtiques i la mecànica.

* [[René Descartes]] (1596-1650). Matemàtic francès que va escriure una obra sobre la teoria de les equacions.

* [[Pierre de Fermat]] (1601-1165). Matemàtic francès considerat el creador de la moderna [[teoria de nombres]] i conegut sobre tot pel [[Darrer teorema de Fermat|teorema]] que porta el seu nom i que ha romàs sense demostrar fins a finals del {{segle|XX}}.

* [[Blaise Pascal]] (1623-1662). Matemàtic francès que va formular un dels teoremes bàsics de la geometria projectiva.

* [[Isaac Newton]] (1643-1727). Matemàtic anglès, autor dels ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Philosophiae naturalis principia mathematica]]''.

* [[Gottfried Leibniz]] (1646-1716). Matemàtic alemany que va desenvolupar, independentment de Newton, el càlcul infinitesimal.

* [[Thomas Bayes]] (1702-1761). Matemàtic anglès conegut pels seus treballs sobre probabilitat condicionada.

* [[Émilie du Châtelet]] (1706-1749). Matemàtica francesa, va traduir els Principia de Newton i contribuir al desenvolupament del càlcul i del raonament matemàtic.

* [[Leonhard Euler]] (1707-1783). Matemàtic suís que va realitzar importants descobriments en el camp del càlcul i la teoria de grafs.
* [[Maria Gaetana Agnesi]] (1718-1799). Matemàtica italiana que va contribuir al desenvolupament i divulgació del càlcul diferencial.

* [[Joseph Louis Lagrange]] (1736-1813). Matemàtic francoitalià que va realitzar contribucions en el camp del càlcul i de la teoria dels nombres.

* [[Pierre-Simon Laplace]] (1749-1827). Matemàtic francès que va realitzar importants aportacions a la teoria de probabilitats, va desenvolupar l'[[equació de Laplace]] i va inventar la [[transformada de Laplace]], que té importants aplicacions en electrònica. Va ser un fervent creditor del determinisme científic.

* [[Caroline Herschel]] (1750-1848). Matemàtica alemanya, que es va dedicar a la recerca en astronomia. El 1828 va guanyar la medalla d'or de la [[Royal Astronomical Society]] pel descobriment de set cometes.

* [[Paolo Ruffini]] (1765-1822). Matemàtic italià que va inventar la [[regla de Ruffini]], que permet trobar coeficients del resultat de la divisió d'un polinomi pel binomi (x - r).

* [[Jean Baptiste Joseph Fourier]] (1768-1830). Matemàtic francès. Va estudiar la transmissió de calor, desenvolupant per a això la [[transformada de Fourier]]; d'aquesta manera, va estendre el concepte de funció i va introduir una nova branca dins de la teoria de les equacions diferencials.

* [[Sophie Germain]] (1776-1831). Matemàtica francesa. Va estudiar la teoria de nombres i el càlcul, i va fer contribucions a la demostració del [[Darrer teorema de Fermat|Teorema de Fermat]].

* [[Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855). Matemàtic alemany conegut com "el príncep de les matemàtiques". Ha contribuït de manera notable a diverses àrees de les matemàtiques: la teoria de nombres, l'anàlisi matemàtica i la geometria diferencial. Va ser el primer a provar rigorosament el [[Teorema Fonamental de l'Àlgebra|teorema fonamental de l'àlgebra]]. Va inventar el que es coneix com a [[Mètode de reducció de Gauss|mètode de Gauss]], que va utilitzar per a resoldre sistemes de tres equacions lineals amb tres incògnites.

* [[Mary Somerville]] (1780-1872). Matemàtica escocesa que va treballar en àlgebra i astronomia.

* [[Bernard Bolzano]] (1781-1848). Matemàtic, lògic, filòsof i teòleg bohemi que va escriure en alemany i que va realitzar importants contribucions a les matemàtiques i a la Teoria del coneixement. Se'l coneix, sobre tot, pel teorema que duu el seu nom.

* [[Augustin Louis Cauchy]] (1789-1857). Matemàtic francès, pioner en l'anàlisi matemàtica i la teoria de grups. Va oferir la primera definició formal de funció, límit i continuïtat. També va treballar la teoria dels determinants, probabilitat, el càlcul complex i les sèries.

* [[Niels Henrik Abel]] (1802-1829). Matemàtic noruec. Durant la seva curta vida va fer contribucions rellevants en diversos camps de les matemàtiques, entre ells a les funcions el·líptiques. Un dels guardons més importants concedits a un matemàtic porta el seu nom.

* [[Évariste Galois]] (1811-1832). Matemàtic i activista polític francès, els seus treballs van posar els fonaments de dues grans branques de l'àlgebra.

* [[Karl Weierstrass]] (1815-1897). Matemàtic alemany considerat el "pare de l'anàlisi matemàtica moderna".

* [[Florence Nightingale]] (1820-1910). Matemàtica britànica, pionera de l'aprofundiment i la divulgació de l'estadística. També va desenvolupar la [[teoria de grafs]].

* [[Georg Friedrich Bernhard Riemann]] (1826-1866).

* [[Sófia Kovalévskaia|Sofia Kovalevskaya]] (1850-1891). Matemàtica russa. Va contribuir a l'estudi de les equacions en derivades parcials i a l'[[astronomia]].

* [[Henri Poincaré]] (1854-1912). Matemàtic francès destacat pels seus treballs sobre equacions diferencials i llurs aplicacions a la mecànica celeste.

* [[David Hilbert]] (1862-1943). Matemàtic alemany reconegut com un dels més influents i universals de finals del segle xix i començaments del xx.

* [[Emmy Noether]] (1882-1935). Matemàtica alemanya. Va desenvolupar l'Àlgebra Moderna i l'Àlgebra Abstracta. Va desenvolupar els fonaments matemàtics de la [[Teoria de la relativitat|Teoria de la Relativitat]] d'[[Albert Einstein|Einstein]].

* [[Andrei Kolmogórov]] (1903-1987). Matemàtic rus, preeminent en el segle xx, que va fer avenços en diversos àmbits de la matemàtica.

* [[Dorothy Vaughan]] (1910-2008). Matemàtica estatunidenca especialitzada en anàlisi i computació. Va ser directora de la [[National Advisory Committee for Aeronautics|NACA]], precursora de la [[NASA]].

* [[Joan Clarke]] (1917-1996). Matemàtica anglesa, experta en [[criptografia]]. Va treballar amb [[Alan Turing]] en el procés de desxifrat de la [[Màquina Enigma]].

* [[Katherine Johnson]] (1918-2020). Matemàtica estatunidenca, especialista en geometria. Va treballar a la NASA on va participar, entre d'altres, en la missió [[Apollo 11|Apolo 11]].

* [[Julia Robinson]] (1919-1985). Matemàtica estatunidenca que va fer contribucions a la [[teoria de nombres]], l'[[aritmètica]] i la [[lògica]].

* [[Mary Jackson (enginyera)|Mary Jackson]] (1921-2005). Matemàtica estatunidenca especialitzada en enginyeria aeroespacial, va fer carrera a la NASA.

* [[Alexander Grothendieck]] (1928-2014). Matemàtic apàtrida, nacionalitzat francès el 1971, figura cabdal en la creació de la geometria algebraica moderna.

* [[Christine Darden]] (1942-). Matemàtica estatunidenca especialitzada en computació i enginyeria aeroespacial. Va desenvolupar models d'explosions sòniques.

* [[Maryam Mirzakhani]] (1977-2017). Matemàtica iraniana, guanyadora de la [[medalla Fields]] el 2014. Especialista en geometria de superfícies, [[geometria hiperbòlica]] i [[teoria ergòdica]].

== Inspiració matemàtica, matemàtiques pures i aplicades i estètica matemàtica ==
[[Fitxer:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|miniatura|esquerra|[[Isaac Newton]] ([[1643]]-[[1727]]), un dels inventors de [[càlcul infinitesimal]]]]

Les matemàtiques sorgeixen allà on hi ha problemes que impliquen quantitats, estructures, espai o canvi. Al principi aquests problemes es trobaven en el [[comerç]], en la [[geometria|mesura de la Terra]] i més tard en l'[[astronomia]]. Actualment en totes les ciències sorgeixen problemes que són estudiats pels matemàtics i molts problemes sorgeixen dins de les matemàtiques mateixes. Per exemple, el físic [[Richard Feynman]] va inventar la [[Formulació de la integral de camins|formulació per a la integral de camí]] de la [[mecànica quàntica]], fent servir una combinació de raonament matemàtic i intuïció física; i la [[teoria de cordes]], que és una teoria científica, encara en procés de desenvolupament, que intenta unificar les quatre [[forces fonamentals]] de la natura, continua inspirant els matemàtics.<ref>{{ref-llibre|títol = The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus|autor = Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L.|editorial = [[Oxford University Press]]|any = 2002}}</ref> Alguns desenvolupaments matemàtics només s'apliquen en l'àrea en què es van inspirar per a resoldre altres problemes en aquella àrea. Però, sovint, les matemàtiques inspirades per una àrea resulten útils en altres àrees i s'afegeixen a l'estoc general de conceptes matemàtics. El fet notable és que, fins i tot les matemàtiques "més pures" sovint resulten tenir aplicacions pràctiques; és el que [[Eugene Wigner]] ha anomenat "l'eficàcia forassenyada de les matemàtiques en la física."<ref>[[Eugene Wigner]], 1960, "[http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html|date=2011-02-28}}" ''[[Communications on Pure and Applied Mathematics]]'' '''13'''(1): 1–14.</ref>

Com en la majoria d'àrees d'estudi, l'explosió de coneixement en l'era científica ha conduït a l'especialització en matemàtiques. Una distinció essencial és entre [[matemàtiques pures]] i [[matemàtiques aplicades]]: la majoria dels matemàtics centren la seva investigació només en una d'aquestes àrees. Algunes àrees de la matemàtica aplicada s'han fusionat amb aplicacions tradicionals relacionades a fora de les matemàtiques i s'han convertit en disciplines per dret propi, entre elles l'[[estadística]], la [[investigació operativa]] o la [[informàtica]].

Per als que tenen una inclinació natural a apreciar les matemàtiques, sovint hi ha un aspecte estètic clar en molts aspectes de les matemàtiques. Molts matemàtics parlen de l'''elegància'' de les matemàtiques, la seva estètica intrínseca i [[bellesa]] interior. Es valoren la simplicitat i la generalitat. Hi ha bellesa en una [[demostració matemàtica|demostració]] simple i elegant, com ara la demostració d'[[Euclides]] de què hi ha una quantitat infinita de [[nombres primers]]; hi ha bellesa en un [[càlcul numèric|mètode numèric]] elegant que accelera el càlcul, com, per exemple, la [[transformada ràpida de Fourier]]. [[G. H. Hardy]], en ''[[Apologia d'un matemàtic]]'', expressa la creença que aquestes consideracions estètiques són suficients per a justificar l'estudi de les matemàtiques pures.<ref>{{ref-llibre|títol = A Mathematician's Apology|autor = Hardy, G. H.|editorial = Cambridge University Press|any = 1940}}</ref> Els matemàtics s'esforcen sovint per trobar demostracions de teoremes que siguin especialment elegants; [[Paul Erdős]] s'hi referia amb l'expressió cercar demostracions a "El Llibre", en el qual Déu hauria escrit les seves demostracions favorites.<ref>{{ref-llibre|títol = Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy|autor = Gold, Bonnie; Simons, Rogers A.|editorial = MAA|any = 2008}}</ref><ref>{{ref-llibre|títol = [[Proofs from THE BOOK]]|autor = Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M.|editorial = Springer|any = 2001}}</ref> La popularitat de les [[matemàtiques recreatives]] és un altre senyal del plaer que troben molts a resoldre qüestions matemàtiques.

== Notació, llenguatge i rigor ==
La major part de la notació matemàtica no va ser introduïda fins al {{segle|XVI|s}}. Abans les matemàtiques s'escrivien amb lletres i enunciats, un procés difícil que va limitar el desenvolupament de la disciplina. La notació moderna ha facilitat l'estudi de les matemàtiques. És extremadament comprimida: uns pocs símbols contenen molta informació. Igual que la notació [[música|musical]], la notació matemàtica moderna té una sintaxi estricta que codifica la informació, que seria molt difícil d'escriure d'una altra manera.

El llenguatge matemàtic és difícil per als novençans. Les paraules ''o'' o ''només'' hi tenen significats molt més precisos que no en l'ús quotidià. Altres conceptes, com ara ''camp obert'' i ''conjunt'', tenen significats matemàtics especialitzats, i de l'estudi matemàtic han sorgit nous conceptes com ara l'"homeomorfisme" i la "integrabilitat". Les matemàtiques requereixen un llenguatge molt més precís que el llenguatge quotidià. Aquesta precisió i lògica es coneix com a ''rigor''.

El rigor tracta de la prova matemàtica. Els matemàtics volen que llurs teoremes siguin derivats dels axiomes per mitjà del raonament sistemàtic, per tal d'evitar "teoremes" erronis, basats en intuïcions fal·libles. El nivell de rigor que s'espera de les matemàtiques ha evolucionat amb el temps: els [[Antiga Grècia|grecs antics]] demanaven arguments detallats; però, durant l'època de [[Isaac Newton|Newton]], els mètodes que s'utilitzaven eren menys rigorosos. Els problemes inherents a les definicions de Newton van produir un ressorgiment de l'anàlisi acurada i de la prova formal.

== Camps de les matemàtiques ==
[[Fitxer:Abacus 6.png|miniatura|Un [[àbac]], eina de càlcul emprada des de temps antics]]
Les principals disciplines que abasten les matemàtiques varen sorgir de la necessitat de fer càlculs en el comerç, per a entendre les relacions entre els nombres, per a mesurar la terra, i per a predir fets [[astronomia|astronòmics]]. Aquestes quatre necessitats es poden relacionar si fa o no fa amb la subdivisió de les matemàtiques en l'estudi de la quantitat, l'estructura, l'espai, i el canvi (és a dir, [[aritmètica]], [[àlgebra]], [[geometria]], i l'[[anàlisi matemàtica]]). Afegides a aquestes qüestions principals, també hi ha subdivisions dedicades a explorar lligams entre el cor de les matemàtiques i altres camps: la [[Lògica matemàtica|lògica]], els [[fonaments de les matemàtiques|fonaments]] de la [[teoria de conjunts]], o les matemàtiques empíriques d'altres ciències ([[matemàtiques aplicades]]) i, més recentment, les matemàtiques dedicades a l'estudi rigorós de la [[incertesa]].

=== Quantitat ===
L'estudi de la quantitat comença amb els [[nombre]]s, primer els més familiars, que són els [[nombres naturals]] i els [[nombres enters]], i les operacions aritmètiques entre aquests, que s'estudien en [[aritmètica]]. Les propietats més profundes dels enters s'estudien a la [[teoria de nombres]], d'on surten resultats tan populars com l'[[últim teorema de Fermat]]. La teoria de nombres també manté dos problemes coneguts a bastament i no resolts (el 2008): la [[conjectura dels nombres primers bessons]] i la [[conjectura de Goldbach]].

A mesura que el sistema de nombres es va desenvolupant, els enters s'identifiquen com un [[subconjunt]] dels [[nombres racionals]]. Aquests, alhora, resulten continguts dins dels [[nombres reals]], que són els que es fan servir per a representar quantitats contínues. I els nombres reals es generalitzen en els [[nombres complexos]]. Aquests són els primers passos d'una jerarquia de nombres que continua fins a incloure els [[quaternions]] i els [[octonions]]. L'estudi dels nombres naturals també porta cap als [[nombres transfinits]], que formalitzen el concepte de comptar fins a l'infinit. Una altra àrea d'estudi és la mida, que porta cap als [[nombres cardinals]] i, llavors, cap a una altra concepció de la infinitud: els [[nombres aleph]], que permeten comparar de manera significativa la mida de conjunts infinitament grans.
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| <math>1, 2, 3\,\!</math> || <math>-2, -1, 0, 1, 2\,\!</math> || <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!</math> || <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!</math> || <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!</math>
|-
| [[nombres naturals]]|| [[nombres enters]] || [[nombres racionals]] || [[nombres reals]] || [[nombres complexos]]
|}

=== Estructura ===
Molts objectes matemàtics, com ara els [[conjunt]]s de nombres i les [[funció (matemàtiques)|funcions]], presenten una estructura interna. Les propietats estructurals d'aquests objectes s'investiguen en l'estudi dels [[grup (matemàtiques)|grups]], [[anell (matemàtiques)|anells]], [[cos (matemàtiques)|cossos]] i altres sistemes abstractes, que són en si mateixos objectes d'aquests. Aquest és el camp de l'[[àlgebra abstracta]]. Aquí, un concepte important és el de [[vector (Matemàtiques)|vector]], que es generalitza en els [[espai vectorial|espais vectorials]] i s'estudia en [[àlgebra lineal]]. L'estudi dels vectors combina tres de les àrees fonamentals de les matemàtiques: la quantitat, l'estructura i l'espai. El [[càlcul vectorial]] expandeix el camp en una quarta àrea fonamental, la del canvi.
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[Fitxer:Elliptic curve simple.png|96px|Corba el·líptica]] || [[Fitxer:Rubik's cube.svg|96px|Cub de Rubik]] || [[Fitxer:Group diagdram D6.svg|96px|Teoria de grups]] || [[Fitxer:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px|Teoria de l'ordre]]
|-
| [[Teoria de nombres]] || [[Àlgebra abstracta]] || [[Teoria de grups]] || [[Teoria de l'ordre]]
|}

=== Espai ===
L'estudi de l'espai comença amb la [[geometria]] –en particular, amb la [[geometria euclidiana]]. La [[trigonometria]] combina l'espai i els nombres, i abasta el ben conegut [[teorema de Pitàgores]]. L'estudi modern de l'espai generalitza aquestes idees per a incloure geometria de més de tres dimensions, [[geometria no euclidiana|geometries no euclidianes]] (que tenen un paper central en la [[relativitat general]]) i en [[topologia]]. La quantitat i l'espai conjuntament juguen un rol important en la [[geometria analítica]], la [[geometria diferencial]], i la [[geometria algebraica]]. Dins la geometria diferencial hi ha els conceptes de [[fibrat vectorial]] i càlcul de [[varietat diferenciable|varietats]]. Dins la geometria algebraica hi ha la descripció d'objectes geomètrics com a conjunts i solució d'equacions [[polinomi|polinòmiques]], de manera que s'hi combinen els conceptes de quantitat i d'espai, i també l'estudi dels [[grup topològic|grups topològics]], que combinen l'estructura i l'espai. Els [[Grup de Lie|grups de Lie]] es fan servir per a estudiar l'espai, l'estructura, i el canvi. La [[topologia]], amb totes les ramificacions que té, potser ha estat l'àrea amb més creixement de les matemàtiques del {{segle|XX}}; inclou la [[conjectura de Poincaré]] (que ja fa molt temps que es manté) i el controvertit [[teorema dels quatre colors]], la demostració del qual, feta per ordinador, no ha estat verificada mai per un humà.
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[Fitxer:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px|Geometria]] || [[Fitxer:Sine cosine plot.svg|96px|Trigonometria]] || [[Fitxer:Hyperbolic triangle.svg|96px|Geometria diferencial]] || [[Fitxer:Torus.png|96px|Topologia]] || [[Fitxer:Koch curve.svg|96px|Geometria fractal]]
|-
|[[Geometria]] || [[Trigonometria]] || [[Geometria diferencial]] || [[Topologia]] || [[Fractal|Geometria fractal]]
|}

=== Matemàtica del canvi ===
Entendre i descriure el canvi és un tema comú de les [[ciències naturals]], i el [[càlcul infinitesimal]] va ser desenvolupat com una eina potent per a investigar-lo. Les [[funció (matemàtiques)|funcions]] sorgeixen aquí, com un concepte central que descriu una quantitat que canvia amb el temps. L'estudi rigorós dels nombres reals i de les funcions reals es coneix com a ''[[anàlisi real]]'', junt amb l'[[anàlisi complexa]], que és el camp equivalent per als nombres complexos. La [[hipòtesi de Riemann]], una de les qüestions obertes fonamentals en matemàtiques, es planteja a partir de l'anàlisi complexa. L'[[anàlisi funcional]] para atenció als espais de funcions, que típicament són de dimensió infinita. Una de les moltes aplicacions de l'anàlisi funcional és la [[mecànica quàntica]]. Molts problemes porten de manera natural a una relació entre una quantitat i el canvi d'aquesta mateixa quantitat, i aquestes relacions s'estudien com a [[equació diferencial|equacions diferencials]]. Molts fenòmens naturals es poden descriure com a [[sistema dinàmic|sistemes dinàmics]]; la [[teoria del caos]] precisa la forma en què molts d'aquests sistemes exhibeixen un comportament impredictible, tot i que continua sent [[sistema determinista|determinista]].
{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| [[Fitxer:Integral as region under curve.svg|96px|Càlcul infinitesimal]] || [[Fitxer:Vector field.svg|96px|Càlcul vectorial]] || [[Fitxer:Airflow-Obstructed-Duct.png|96px|Equacions diferencials]] || [[Fitxer:Limitcycle.svg|96px|Sistemes dinàmics]] || [[Fitxer:Lorenz attractor.svg|96px|Teoria del caos]]
|-
| [[Càlcul infinitesimal]] || [[Càlcul vectorial]]|| [[Equació diferencial|Equacions diferencials]] || [[Sistemes dinàmics]] || [[Teoria del caos]]
|}

=== Fonaments i filosofia ===
Amb l'objectiu d'esclarir els [[fonaments de les matemàtiques]] es varen introduir la [[lògica matemàtica]] i de la [[teoria de conjunts]], i també la [[teoria de categories]], que encara s'està desenvolupant.

La lògica matemàtica es preocupa d'encabir les matemàtiques en un marc rígid d'[[axioma|axiomes]] i estudiar els resultats d'aquest marc. Com a tal, és la llar del [[Teorema d'incompletesa de Gödel|segon teorema d'incompletesa de Gödel]], potser el resultat de la lògica més àmpliament reconegut, el qual (parlant informalment) implica que cap [[sistema formal]] que contingui l'aritmètica bàsica, si és ''raonable'' (això vol dir que tots els teoremes que s'hi poden demostrar són veritat), és necessàriament ''incomplet'' (això vol dir que hi ha teoremes vertaders que no es poden demostrar ''en aquest sistema''). Sigui quina sigui la col·lecció d'axiomes de la teoria de nombres, Gödel va mostrar la manera de construir una afirmació en lògica formal que és un fet vertader en teoria de nombres, però que no és el resultat d'aquells axiomes. Per tant, cap sistema formal és una verdadera axiomatització de tota la teoria de nombres. La lògica moderna es divideix entre la [[teoria de la recurrència]], la [[teoria de models]] i la [[teoria de la demostració]], i està lligada estretament a la [[informàtica teòrica]].
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math> p \Rightarrow q \,</math>|| [[Fitxer:Venn A intersect B.svg|128px|Teoria de conjunts]] || [[Fitxer:Commutative diagram for morphism.svg|96px|Teoria de categories]]
|-
| [[Lògica matemàtica]] || [[Teoria de conjunts]] || [[Teoria de categories]] || 
|}

=== Matemàtiques discretes ===
[[Matemàtica discreta]] és el nom comú que es dona a un conjunt de camps de les matemàtiques que es fan servir principalment en [[informàtica teòrica]]. Això inclou la [[teoria de la computabilitat]], la [[teoria de la complexitat]], i la [[teoria de la informació]]. La teoria de la computabilitat examina les limitacions de diversos models d'ordinador, incloent-hi el model conegut més potent: la [[màquina de Turing]]. La teoria de la complexitat és l'estudi de la tractabilitat per ordinador; alguns problemes, tot i ser teòricament resolubles per ordinador, són tan costosos en termes de temps o d'espai de memòria que és probable que resoldre'ls continuï sense ser factible en la pràctica, fins i tot amb el ràpid avenç en el [[maquinari]] dels ordinadors. Finalment, la teoria de la informació estudia temes com ara la quantitat de dades que es poden emmagatzemar en un mitjà donat i, per tant, conceptes tals com la [[compressió de dades]], i l'[[entropia]] en [[termodinàmica]] i [[teoria de la informació]].

Com a camp relativament nou, la matemàtica discreta té una quantitat de problemes fonamentals oberts. El més famós és el ''[[P versus NP|problema P versus NP]]'', un dels temes del [[Premi dels problemes del mil·lenni]].<ref>[http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131014194456/http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ |date=2013-10-14}} P=NP</ref>
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[Fitxer:DFAexample.svg|96px|Teoria de la computació]] || [[Fitxer:Caesar3.svg|96px|Criptografia]] || [[Fitxer:6n-graf.svg|96px|Teoria de grafs]]
|-
| [[Combinatòria]] || [[Teoria de la computació]] || [[Criptografia]] || [[Teoria de grafs]]
|}

=== Matemàtiques aplicades ===
Les matemàtiques aplicades tracten l'ús d'eines matemàtiques abstractes per a resoldre problemes concrets a les [[ciència|ciències]], l'[[economia]] i altres àrees del coneixement. Un camp important de les matemàtiques aplicades és l'[[estadística]], que fa servir la [[teoria de la probabilitat]] com a eina i permet la descripció, l'anàlisi i la predicció de fenòmens en què l'atzar hi té un paper important. La majoria d'experiments, enquestes i estudis d'observació requereixen l'ús de l'estadística. L'[[anàlisi numèrica]] recerca els mètodes informàtics per a resoldre eficientment una àmplia gamma de problemes matemàtics que típicament són massa complexos per a la capacitat numèrica humana; inclou l'estudi de l'[[error d'arrodoniment]] o altres fonts d'error en [[càlcul numèric]].

<center>
<gallery>
Fitxer:Gravitation space source.png|<center>[[Física matemàtica]]</center>
Fitxer:BernoullisLawDerivationDiagram.svg|<center>[[Mecànica dels fluids|Fluidodinàmica matemàtica]]</center>
Fitxer:Composite trapezoidal rule illustration small.png|<center>[[Anàlisi numèrica]]</center>
Fitxer:Maximum boxed.png|<center>[[Optimització (matemàtiques)|Optimització]]</center>
Fitxer:Two red dice 01.svg|<center>[[Probabilitat]]</center>
Fitxer:Oldfaithful3.png|<center> [[Estadística]]</center>
Fitxer:Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png|<center>[[Matemàtica financera]]</center>
Fitxer:Arbitrary-gametree-solved.png|<center> [[Teoria dels jocs]]</center>
</gallery>
</center>

== Conceptes erronis de les matemàtiques ==
Les matemàtiques no són un sistema intel·lectualment tancat, en què tot ja estigui fet. Encara existeixen una gran quantitat de problemes esperant una solució, així com una infinitat de problemes esperant la seva formulació.

Les matemàtiques no volen dir [[comptabilitat]]. Si bé els càlculs aritmètics són importants per als comptables, els avenços en les matemàtiques abstractes difícilment canviaran la manera de portar els llibres.

Les matemàtiques no volen dir [[numerologia]]. La numerologia és una [[pseudociència]] que utilitza l'[[aritmètica modular]] per a passar de noms i dates a nombres als quals s'atribueix emocions o significats esotèrics, basats en la intuïció.

== Premis matemàtics ==
Dins de l'àmbit de la matemàtica, els premis més coneguts són:

* La [[medalla Fields]], establerta el 1936 i que ara s'atorga cada 4 anys. És considerat el [[premi Nobel]] de la matemàtica.
* El [[premi Wolf]] en matemàtiques, iniciat el 1978. Reconeix els assoliments fets durant la vida del matemàtic.
* El [[premi Abel]], que va ser introduït el 2003.
* La [[medalla Chern]]. Va ser introduïda el 2010 per a reconèixer els assoliments durant la vida del matemàtic. Aquesta s'atorga per les contribucions dins d'un camp específic, com pot ser la innovació o la resolució d'un problema determinat.

== Vegeu també ==
{{Portal Matemàtiques2}}
* [[Problema matemàtic]]
* [[Filosofia de les matemàtiques]]
* [[Matemàtic]]
* [[Olimpíada Internacional de Matemàtiques]]
* [[Llista de dones matemàtiques|Llistat de dones matemàtiques]]
* [[Museu de Matemàtiques de Catalunya|Museu de les Matemàtiques de Catalunya]]

== Referències ==
{{Referències}}

== Bibliografia ==
* Benson, Donald C., ''The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies'', Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). {{ISBN|0-19-513919-4}}.
* [[Carl Boyer|Boyer, Carl B.]], ''A History of Mathematics'', Wiley; 2 edition (March 6, 1991). {{ISBN|0-471-54397-7}}. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
* Courant, R. and H. Robbins, ''What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods'', Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). {{ISBN|0-19-510519-2}}.
* [[Philip J. Davis|Davis, Philip J.]] and [[Reuben Hersh|Hersh, Reuben]], ''[[The Mathematical Experience]]''. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). {{ISBN|0-395-92968-7}}.— A gentle introduction to the world of mathematics.
* {{ref-llibre|cognom= Einstein |nom= Albert |enllaçautor= Albert Einstein |títol= Sidelights on Relativity (Geometry and Experience) |editorial= P. Dutton., Co |data= 1923}}
* Eves, Howard, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Sixth Edition, Saunders, 1990, {{ISBN|0-03-029558-0}}.
* Gullberg, Jan, ''Mathematics—From the Birth of Numbers''. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). {{ISBN|0-393-04002-X}}. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
* Hazewinkel, Michiel (ed.), ''[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]''. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and [http://eom.springer.de online].
* [[Philip Jourdain|Jourdain, Philip E. B.]], ''The Nature of Mathematics'', in ''The World of Mathematics'', James R. Newman, editor, Dover, 2003, {{ISBN|0-486-43268-8}}.
* [[Morris Kline|Kline, Morris]], ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). {{ISBN|0-19-506135-7}}.
* Mataix, S. ''Matemática es nombre de mujer'', Rubes Editorial, 1999, Barcelona. {{ISBN|84-497-0014-0}}
* {{ref-publicació |url=http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf|data=2001|article=Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal|cognom=Monastyrsky|nom=Michael|publicació=Canadian Mathematical Society|consulta=28-7-2006}}
* [[Oxford English Dictionary]], second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, {{ISBN|0-19-861186-2}}.
* ''[[The Oxford Dictionary of English Etymology]]'', 1983 reprint. {{ISBN|0-19-861112-9}}.
* Pappas, Theoni, ''The Joy Of Mathematics'', Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). {{ISBN|0-933174-65-9}}.
* {{ref-publicació|títol=Linear Associative Algebra|nom= Benjamin|cognom= Peirce|publicació= American Journal of Mathematics|exemplar= Vol. 4, No. 1/4. (1881|url= http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327%281881%294%3A1%2F4%3C97%3ALAA%3E2.0.CO%3B2-X|unused_data=|, pages= 97-229}} [[JSTOR]].
* Peterson, Ivars, ''Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics'', Owl Books, 2001, {{ISBN|0-8050-7159-8}}.
* {{ref-llibre |cognom = Paulos|nom = John Allen|enllaçautor = John Allen Paulos|any = 1996|títol = A Mathematician Reads the Newspaper|editorial = Anchor|isbn = 0-385-48254-X}}
* {{ref-llibre |nom=Karl R.|cognom=Popper|enllaçautor=Karl Popper|títol=In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years|capítol=On knowledge|editorial=[[Routledge]]|any=1995|isbn= 0-415-13548-6}}
* {{ref-publicació|cognom= Riehm
|nom= Carl
|enllaçautor= 
|títol= The Early History of the Fields Medal
|publicació= Notices of the AMS
|volum= 49
|exemplar= 7
|pàgines= 778–782
|editorial= AMS
|data= agost 2002
|url = http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf
|doi = 
|id = 
}}
* {{ref-publicació|cognom=Sevryuk|nom=Mikhail B.|enllaçautor= Mikhail B. Sevryuk|any= 2006|mes= January|títol= Book Reviews|publicació= [[Bulletin of the American Mathematical Society]]|volum= 43|exemplar= 1|pàgines= 101–109| url = http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf| format = PDF|consulta= 2006-06-24| doi = 10.1090/S0273-0979-05-01069-4 | issn = 0273-0979 }}
* {{ref-llibre |cognom = Waltershausen|nom = Wolfgang Sartorius von|enllaçautor = Wolfgang Sartorius von Waltershausen|títol = Gauss zum Gedächtniss|any = 1856, repr. 1965|editorial = Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend|isbn = 3-253-01702-8|id = ASIN: B0000BN5SQ|url = http://www.amazon.de/Gauss-Ged%e4chtnis-Wolfgang-Sartorius-Waltershausen/dp/3253017028}}
* {{ref-publicació |url=http://info.med.yale.edu/therarad/summers/ziman.htm|data=1968|article=Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science|cognom= Ziman|nom=J.M|publicació=Cambridge Univ. Press}}

== Enllaços externs ==
{{Projectes germans
 |Viquidites = Matemàtiques
 |Commons=Category:Mathematics
 |Viquillibres=Category:Matemàtiques
}}
* [http://scm.iec.cat Societat Catalana de Matemàtiques]
* [http://www.emis.de/ European Mathematical Society] {{en}}
* [http://www.xeix.org Societat Balear de Matemàtiques]
* [http://feemcat.org Federació d'Entitats per a l'Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya]

{{Assignatures ESO}}
{{Assignatures Segona Ensenyança Andorra}}
{{1000 Ciència}}
{{Autoritat}}
{{Viccionari-lateral|matemàtiques}}

[[Categoria:Matemàtiques| ]]