Mostra la font per a Matriu (matemàtiques)

En [[matemàtiques]], una '''matriu''' és una taula rectangular de [[nombre]]s o, més generalment, d'elements d'una [[estructura algebraica]] de forma d'[[anell (matemàtiques)|anell]].<ref>{{Ref-web|títol=matrix {{!}} Definition, Types, & Facts {{!}} Britannica|url=https://www.britannica.com/science/matrix-mathematics|consulta=2022-04-21|llengua=en}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Matrix - Encyclopedia of Mathematics|url=https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Matrix|consulta=2022-04-21}}</ref> En aquest article, els valors per les matrius són [[nombre real|reals]] o [[nombre complex|complexos]] a menys que es digui el contrari. Un exemple de matriu de 2 files i 3 columnes:

:<math>\begin{pmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{pmatrix}. </math>

Les matrius de la mateixa mida es poden [[Suma de matrius|sumar]] o restar element a element. No obstant, perquè es pugui efectuar la [[multiplicació de matrius]] el nombre de columnes de la primera matriu ha de ser igual al nombre de files de la segona. Una major utilitat de les matrius és la de representar [[Aplicació lineal|aplicacions lineals]], o sigui, generalitzacions de [[Funció lineal|funcions lineals]] com ara {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} 4''x''}}. Per exemple, la [[Rotació (matemàtiques)|rotació]] de [[Vector (matemàtiques)|vectors]] en un espai de tres [[Dimensió|dimensions]] és una aplicació lineal que es pot representar a través d'una [[matriu de rotació]], '''R'''. Si '''v''' és un [[vector columna]] (una matriu d'una sola columna) que descriu la [[posició]] d'un punt a l'espai, llavors el producte '''Rv''' és un vector columna que descriu la posició d'aquest punt després de la rotació. El producte de dues matrius representa la [[composició funcional]] de dues aplicacions lineals. Una altra utilitat de les matrius és la resolució d'un [[sistema d'equacions lineals]]. Si la matriu és [[#Matrius quadrades i definicions|quadrada]], es poden comprovar algunes de les seves propietats computant el [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] que li correspon.<ref>[https://mathworld.wolfram.com/Matrix.html Matrix] a MathWorld {{en}}</ref> Per exemple, una matriu quadrada [[Matriu invertible|té una inversa]] si i només si el seu determinant és diferent de zero. Els [[Valor propi, vector propi i espai propi|vectors propis i valors propis]] donen una idea de la [[geometria]] de les aplicacions lineals.

Les matrius s'utilitzen en la majoria de camps de la [[ciència]]. A totes les branques de la [[física]], incloent la [[mecànica clàssica]], l'[[òptica]], l'[[electromagnetisme]], la [[mecànica quàntica]] i l'[[electrodinàmica quàntica]], s'empren per estudiar els fenòmens físics, com ara el moviment de [[Sòlid rígid|sòlids rígids]]. A la [[infografia]] s'utilitzen per projectar una imatge tridimensional en una pantalla bidimensional. A la [[teoria de la probabilitat]] i l'[[estadística]], serveixen per descriure conjunts de probabilitats; de fet, es fan servir a dins de l'[[algorisme]] [[PageRank]] que ordena les pàgines a una cerca de [[Google]].<ref>{{ref-web|cognom=Bryan|nom=Kurt|cognom2=Leise|nom2=Tanya|títol=The $25,000,000,000 Eigenvector: The Linear Algebra Behind Google|url=https://www.rose-hulman.edu/~bryan/googleFinalVersionFixed.pdf|llengua=anglès|any=2006}}</ref> El [[càlcul de matrius]] generalitza nocions [[Anàlisi matemàtica|analítiques]] com ara les [[derivades]] i les [[Funció exponencial|exponencials]] a dimensions més grans.

== Història ==
L'estudi de les matrius és molt antic. Els [[quadrat llatí|quadrats llatins]] i els [[quadrat màgic|quadrats màgics]] han estat estudiats des de temps prehistòrics.

Un [[quadrat màgic]], de 3 per 3, es registra en la [[literatura xinesa]] cap a l'any [[Dècada del 650 aC|650 aC]].<ref name=Swaney> Swaney, Mark. [http://www.arthurmag.com/magpie/?p=449 History of Magic Squares].</ref>

És llarga la història de l'ús de les matrius per resoldre [[Equació lineal|equacions lineals]]. Un important text matemàtic [[Xina|xinès]] que prové de l'any [[300 aC]] al [[200 aC]], ''[[Els nou capítols de les arts matemàtiques]]'' (九章算术) (''Jiu Zhang Suan Shu''), és el primer exemple conegut d'ús del mètode de matrius per resoldre un [[Sistema lineal d'equacions|sistema d'equacions simultànies]].<ref>{{cita llibre | autor = Shen Kangshen et al. (ed.) | títol = Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary | editorial = Oxford University Press | any = 1999}} cited by ({{cita llibre | títol = Linear Algebra with Applications | autor = Otto Bretscher | editorial = Prentice-Hall | any = 2005 | edició = 3rd ed. | pàgines = 1}}</ref> En el capítol setè, "''Ni molt ni poc''", el concepte de [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] va aparèixer per primera vegada, dos mil anys abans de la seva publicació pel matemàtic [[Japó|japonès]] [[Takakazu Seki|Seki Kowa]] el [[1683]] i pel matemàtic [[Alemanya|alemany]] [[Gottfried Leibniz]] el [[1693]].

Els "quadrats màgics" també eren coneguts pels matemàtics [[Món àrab|àrabs]], possiblement des de començaments del {{segle|VII|s}}, que al seu torn van poder prendre'ls dels matemàtics i astrònoms de l'[[Índia]], juntament amb altres aspectes de la matemàtica [[combinatòria]]. Tot això suggereix que la idea va provenir de la [[Xina]]. Els primers "quadrats màgics" d'ordre 5 i 6 van aparèixer a [[Bagdad]] al [[983]], a la ''Enciclopèdia de la Germandat de Puresa'' (''Rasa'il Ihkwan al-Safa'').<ref name=Swaney/>

Les matrius tenen una llarga història d'aplicació en la solució d'[[equació lineal|equacions lineals]]. En [[Gottfried Leibniz]], un dels dos fundadors del [[Càlcul (matemàtiques)|càlcul]], va desenvolupar la seva teoria dels [[determinant (matemàtiques)|determinants]] el [[1693]]. En [[Gabriel Cramer]] va desenvolupar encara més la teoria, presentant la [[regla de Cramer]] el [[1750]]. En [[Carl Friedrich Gauss]] i en [[Wilhelm Jordan]] van desenvolupar l'[[eliminació de Gauss-Jordan]] durant la primera dècada del {{segle|XIX}}.

El terme "matriu" va ser encunyat el [[1848]] per [[J. J. Sylvester]]. [[George Cayley]], [[William Rowan Hamilton]], [[Hermann Grassman]], [[Ferdinand Georg Frobenius]] i [[John von Neumann]] són alguns dels matemàtics famosos que han treballat en teoria de matrius.

[[Olga Taussky-Todd]] (1906-1995) va començar a usar la teoria de matrius mentre investigava un fenomen [[Aerodinàmica|aerodinàmic]] de súper-oscil·lació, durant la [[Segona Guerra Mundial]].

== Definicions i notacions ==
Les línies horitzontals en una matriu s'anomenen '''files''' i les línies verticals reben el nom de '''columnes'''. Una matriu amb ''m'' files i ''n'' columnes s'anomena una matriu de ''m''-per-''n'' (o una matriu ''m''×''n'') i ''m'' i ''n'' són les seves '''dimensions'''. Si ''m''=''n'', és a dir, si la matriu té dimensions ''n''×''n'', direm que la matriu és quadrada d''''ordre''' n.

El valor d'una matriu ''A'' que es troba en la ''i''-ena fila i en la ''j''-ena columna s'anomena el valor ''i,j'' o el (''i'',''j'')-è valor d{{'}}''A''. Això s'escriu ''A''<sub>i,j</sub> o ''A''[''i,j''].

Hom escriu sovint <math>A:=(a_{i,j})_{m \times n}</math> per definir una matriu ''A'' de ''m''×''n'' dimensions amb cada valor a la matriu ''A''[''i,j''] anomenat <math>a_{i,j}\!</math> per tots els 1≤''i''≤''m'' i 1≤''j''≤''n''.

== Exemple ==
La matriu ''A''

:<math>A:=(a_{i,j})=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 1 & 5 \end{pmatrix}</math>

és una matriu de 4×3 elements. L'element ''A''[2,3] o ''a''<sub>2,3</sub> és igual a 7.

Les matrius tenen una altra [[Notació matemàtica|notació]], utilitzant [[Claudàtor|claudàtors]] (notació normalment utilitzada a [[Amèrica del Nord|Amèrica del nord]]). Per exemple:

: <math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 1 & 5 \end{bmatrix}</math>

== Suma, resta i producte de matrius ==
=== Suma ===
{{article principal|Suma de matrius}}

Si tenim dues matrius <math>m</math>-per-<math>n</math> <math>A</math> i '''<math>B</math>''', es defineix la seva '''suma''' <math>A+B</math> com la matriu <math>m</math>-per-<math>n</math> computada per mitjà de l'addició d'elements corresponents, per exemple, <math>(A+B)_{ij}=(a_{ij}+b_{ij})</math>. Per exemple

:<math>
 \begin{pmatrix}
 1 & 3 & 2 \\
 1 & 0 & 0 \\
 1 & 2 & 2
 \end{pmatrix}
+
 \begin{pmatrix}
 0 & 0 & 5 \\
 7 & 5 & 0 \\
 2 & 1 & 1
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 1+0 & 3+0 & 2+5 \\
 1+7 & 0+5 & 0+0 \\
 1+2 & 2+1 & 2+1
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 1 & 3 & 7 \\
 8 & 5 & 0 \\
 3 & 3 & 3
 \end{pmatrix}
</math>

Una altra noció, molt menys usada, de la suma de matrius és la [[suma directa (matrius)|suma directa]].

El [[conjunt]] de matrius <math>m</math>-per-<math>n</math> amb [[Element (matemàtiques)|elements]] de l'anell <math>R</math>, denotat per <math>M_{m\times n}(R)</math> amb la suma de matrius és un [[grup abelià]].

=== Diferència ===
=== Multiplicació escalar ===
Si es dona una matriu '''A''' i un nombre '''c''', hom pot definir la '''multiplicació escalar''' o '''multiplicació per escalars''' ''cA'' fent 
<math>(cA)[i,j]=cA[i,j]</math>.
O sigui, la multiplicació d'una matriu per un [[escalar]] (un nombre) és la matriu resultant de multiplicar els seus components per aquest escalar. Per exemple:

:<math>2
 \begin{pmatrix}
 1 & 8 & -3 \\
 4 & -2 & 5
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 2 & 16 & -6 \\
 8 & -4 & 10
 \end{pmatrix}
</math>

La suma de matrius i el producte per escalars converteixen el conjunt M (''m'', ''n'', '''R''') de totes les matrius ''m''-per-''n'' amb valors reals en un [[espai vectorial]] real de dimensió <var>m</var><var>n</var>.

Això és cert també en general per qualsevol cos: el conjunt M (''m'', ''n'', '''K'''), on '''K''' és un [[cos (matemàtiques)|cos]] amb la suma de matrius i el producte per un escalar de '''K''' és un espai vectorial de dimensió <var>m</var><var>n</var> sobre '''K''' (per exemple, les matrius complexes formen un espai vectorial complex).

=== Multiplicació ===
{{article principal|Multiplicació de matrius}}
[[Fitxer:Matrix multiplication diagram.svg |miniatura|Els resultats en les posicions marcades depenen de les [[Vector fila|files]] i [[Vector columna|columnes]] dels seus respectius colors.]]

La '''multiplicació''' o '''producte''' de dues matrius només està ben definida si el nombre de columnes de la primera matriu és el mateix que el nombre de files de la segona. Si <math>A</math> és una matriu <math>m</math>-per-<math>p</math> (<math>m</math> files, <math>p</math> columnes) i <math>B</math> és una matriu <math>p</math>-per-<math>n</math> (<math>p</math> files, <math>n</math> columnes), aleshores el '''producte''' <math>AB</math> és la matriu <math>m</math>-per-<math>n</math> (<math>m</math> files, <math>n</math> columnes''), donada per ''

:<math>(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^pa_{ik}b_{kj}</math>

O sigui, l'element <math>i,j</math> de la matriu producte serà la suma de les multiplicacions de cada element de la fila <math>i</math> de la primera pel corresponent element de la columna <math>j</math> de la segona. Per exemple:
:<math>
 \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 2 \\
 -1 & 3 & 1 \\
 \end{pmatrix}
\times
 \begin{pmatrix}
 3 & 1 \\
 2 & 1 \\
 1 & 0
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\
 (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 5 & 1 \\
 4 & 2 \\
 \end{pmatrix}
</math>

Aquesta multiplicació té les propietats següents:
* <math>(AB)C=A(BC)</math> per totes les matrius <math>A</math> <math>m</math>-per-<math>p</math>, matrius <math>B</math> <math>p</math>-per-<math>k</math> i matrius <math>C</math> <math>k</math>-per-<math>n</math> ([[propietat associativa]]).

* <math>(A+B)C=AC+BC</math> per totes les matrius <math>A</math> i <math>B</math> <math>m</math>-per-<math>p</math> i matrius <math>C</math> <math>p</math>-per-<math>n</math> ([[propietat distributiva]]).
* <math>A(B+C)=AB+AC</math> per totes les matrius <math>A</math> <math>m</math>-per-<math>p</math> i les matrius <math>B</math> i <math>C</math> <math>p</math>-per-<math>n</math> ([[Propietat_distributiva]]).
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=Fem la demostració.
* Propietat associativa 
:Sigui <math>A\in M_{m\times p}, B\in M_{p\times k}, C\in M_{k\times n}, </math>
:<math>D=AB\in M_{m\times k}\Longrightarrow d_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}b_{lj}</math>
:<math>E=BC\in M_{p\times n}\Longrightarrow d_{ij}=\sum_{r=1}^kb_{ir}c_{rj}</math>
:<math>F=DC\in M_{m\times n}\Longrightarrow f_{ij}=\sum_{r=1}^kd_{ir}c_{rj}=\sum_{r=1}^k \Bigg(\sum_{l=1}^pa_{il}b_{lr} \Bigg) c_{rj}=\sum_{r=1}^k \sum_{l=1}^pa_{il}b_{lr} c_{rj}=\sum_{l=1}^p a_{il}\Bigg(\sum_{r=1}^kb_{lr}c_{rj} \Bigg)=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj} </math>
:Com que <math>(DC)_{ij}=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj} </math> és precisament el producte <math>(AE)_{ij}=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj} </math> tenim que, <math>\forall 1\geq i\geq m, 1\geq j\geq n</math> :<math>[(AB)C]_{ij}=[DC]_{ij}=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj}=[AE]_{ij}=[A(BC)]_{ij}</math>
:I, per tant, <math>(AB)C=A(BC)</math>.
* Propietat distributiva per l'esquerra 
:Sigui <math>A,B\in M_{m\times p}, C\in M_{p\times n}, </math>
:<math>D=A+B\in M_{m\times p} \Longrightarrow d_{ij}=a_{ij}+b_{ij}</math>
:<math>E=AC\in M_{m\times n}\Longrightarrow e_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}</math>
:<math>F=BC\in M_{m\times n}\Longrightarrow f_{ij}=\sum_{l=1}^pb_{il}c_{lj}</math>
:<math>G=DC\in M_{m\times n}\Longrightarrow g_{ij}=\sum_{l=1}^pd_{il}c_{lj}=\sum_{l=1}^p(a_{il}+b_{il})c_{lj}=\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}+\sum_{l=1}^pb_{il}c_{lj}=e_{ij}+f_{ij}\Longrightarrow (A+B)C=DC=G=E+F=AC+BC</math>

* Propietat distributiva per la dreta 
:Sigui <math>A\in M_{m\times p}, B, C\in M_{p\times n}, </math>
:<math>D=B+C\in M_{m\times p} \Longrightarrow d_{ij}=b_{ij}+c_{ij}</math>
:<math>E=AB\in M_{m\times n}\Longrightarrow e_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}b_{lj}</math>
:<math>F=AC\in M_{m\times n}\Longrightarrow f_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}</math>
:<math>G=AD\in M_{m\times n}\Longrightarrow g_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}d_{lj}=\sum_{l=1}^pa_{il}+(b_{lj}+c_{lj})=\sum_{l=1}^pa_{il}b_{lj}+\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}=e_{ij}+f_{ij}\Longrightarrow A(B+C)=AD=G=E+F=AB+AC</math>}}

És important remarcar que la [[Propietat commutativa]] no s'aplica generalment; per tant, donant unes matrius <math>A</math> i <math>B</math> i el seu producte definit, aleshores és quasi sempre <math>AB\neq BA</math>.

* Hom diu que les matrius <math>A</math>, <math>B</math> ''commuten'' si <math>AB = BA</math> (<math>A</math>, <math>B</math> són necessàriament quadrades).
* Hom diu que les matrius <math>A</math>, <math>B</math> ''anticommuten'' si <math>AB = -BA</math>. Aquestes matrius (necessàriament quadrades) tenen una gran importància en les representacions de l'[[àlgebra de Lie]] i en representacions de l'[[àlgebra de Clifford]].

== Transformacions lineals, rang i transposició ==
Les matrius poden representar convenientment les [[transformació lineal|transformacions lineals]] perquè la multiplicació de matrius correspon netament a la composició d'aplicacions lineals, com es descriurà després. Aquesta propietat fa que siguin molt utilitzades en computació.

Aquí i en la continuació hom identifica <math>R^n</math> amb el conjunt de columnes o matrius <math>n</math>-per-1. Els elements d'aquest conjunt s'anomenen vectors, ja que les coordenades de qualsevol [[Vector (matemàtiques)|vector]] en una [[Base (àlgebra)|base]] es poden expressar de manera única com una matriu columna.

Per cada aplicació lineal <math>f: R^n \rightarrow R^m</math> hi ha una matriu única <math>m</math>-per-<math>n</math> tal que <math>f(v)=Av</math> per a tots els vectors <math>v\in R^n</math>.

Diem que la matriu <math>A</math> representa l'aplicació lineal <math>f</math> o bé que n'és la matriu associada. Ara, si la matriu <math>B</math> <math>k</math>-per-<math>m</math> representa una altra aplicació lineal <math>g: R^m \rightarrow R^k</math>, aleshores l'aplicació lineal <math>f \circ g</math> té per matriu associada la matriu <math>BA</math>.

El [[rang d'una matriu]] <math>A</math> és la [[dimensió Hamel|dimensió]] de la [[imatge (matemàtiques)|imatge]] de l'aplicació lineal representada per <math>A</math>: això és el mateix que la dimensió de l'espai generat per les files d'<math>A</math>, i també el mateix que la dimensió de l'espai generat per les columnes d'<math>A</math>.

Una altra operació sobre el conjunt <math>M_{m\times n}</math> és la transposició. La [[transposada]] d'una matriu <math>A</math> <math>m</math>-per-<math>n</math> és la matriu <math>A^t</math> <math>n</math>-per-<math>m</math> (també escrita a vegades <math>{}^tA</math>), extreta convertint les files en columnes i les columnes en files, o sigui si definim la matriu <math>A=(a_{ij})</math>, aleshores <math>A^t=(a_{ji})</math> per tots els índexs <math>i</math> i <math>j</math>. Notem que l'operació transposició no és interna, de fet l'operació és una aplicació definida com:<blockquote><math>\begin{matrix} {-}^t :& M_{m\times n} & \longrightarrow & M_{n\times m}\\ & A=(a_{ij}) & \longmapsto & A^t=(a_{ji}) \end{matrix}</math></blockquote>Si <math>A</math> descriu una aplicació lineal respecte a dues bases, aleshores la matriu <math>A^t</math> descriu la transposada de l'aplicació lineal respecte a les bases duals, vegeu [[espai dual]].

Dos exemples; siguin les matrius <math>A=\begin{pmatrix}1&7&7&9\\9&5&1&3\\9&1&8&4\\8&4&2&3\end{pmatrix}</math>, <math>B=\begin{pmatrix}6\\6\\4\end{pmatrix}</math>. Les seves transposades són:

<math>A^t=\begin{pmatrix}1&9&9&8\\7&5&1&4\\7&1&8&2\\9&3&4&3\end{pmatrix}</math><math>B^t=\begin{pmatrix}6&6&4\end{pmatrix}</math>

La transposició de matriu té tres propietats interessants:
* <math>(A^t)^t=A</math>
* <math>(A+B)^t=A^t+B^t</math>
* <math>(AB)^t=B^tA^t</math>

{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=La demostració es simplement aplicar la definició que s'ha donat de <math>A^t=(a_{ji})</math>. *<math>(A^t)^t=A</math> :Sigui <math>A=(a_{ij})\in M_{m \times n}</math>, aleshores <math>B=A^t=(b_{ij})=(a_{ji})</math>. Per definició <math>(A^t)^t=B^t=(b_{ji})=(a_{ij})=A</math> *<math>(A+B)^t=A^t+B^t</math> :Siguin <math>A,B \in M_{m \times n}</math>. Definim <math>C=A+B\Longrightarrow c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}</math>, aleshores <math>(A+B)^t=C^t=(c_{ji})=(a_{ji}+b_{ji})=(a_{ji})+(b_{ji})=A^t+B^t</math> *<math>(AB)^t=B^tA^t</math> :Siguin <math>A\in M_{m\times p}, B \in M_{p \times n}</math>. Definim <math>C=AB \Longrightarrow c_{ij}=\sum_{k=1}^pa_{ik}b_{kj}</math>. Aleshores <math>(AB)^t=C^t=(c_{ji})=\Bigg(\sum_{k=1}^pa_{jk}b_{ki} \Bigg)=\Bigg(\sum_{k=1}^pb_{ki}a_{jk} \Bigg)</math>. Definim ara <math>a_{ij}^'=a_{ji}</math> i <math>b_{ij}^'=b_{ji}</math>. La igualtat ens queda com <math>c_{ij}=\Bigg(\sum_{k=1}^pb_{ki}a_{jk} \Bigg)=\Bigg(\sum_{k=1}^p b_{ik}^' a_{kj}^' \Bigg)=(B'A')_{ij}</math>. Però precisament la matriu que compleix que <math>a_{ij}^'=a_{ji}</math> és la matriu transposta. Per tant, <math>(c_{ij})=(B'A')_{ij}=(B^tA^t)_{ij}\Longrightarrow C=(AB)^t=B^tA^t</math>.}}

== Matrius quadrades i definicions ==
Una '''matriu quadrada''' d'ordre <math>n</math> és una matriu que té el mateix nombre de files que de columnes, <math>n</math>. El conjunt de totes les matrius quadrades d'ordre <math>n</math>, junt amb la suma de matrius i el producte de matrius és un [[anell (matemàtiques)|anell unitari]]. A menys que <math>n=1</math>, l'anell no és un [[propietat commutativa|anell commutatiu]]. Això ho podem veure fent el producte de les matrius

<math>A=(a_{ij})=\begin{cases} 1 & \text{si} & i=1 \ \text{i}\ j=2 \\0 & \text{si} & i \neq 1 \ \text{o}\ j\neq 2\end{cases}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &0&\cdots&0 \\ 0 & 0 &0&\cdots&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}</math> i <math>B=(b_{ij})=\begin{cases} 1 & \text{si} & i=2 \ \text{i}\ j=1 \\0 & \text{si} & i \neq 2 \ \text{o}\ j\neq 1\end{cases}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 &0&\cdots&0 \\ 0 & 0 &0&\cdots&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}</math>

<math>AB=\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &0&\cdots&0 \\ 0 & 0 &0&\cdots&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}\neq BA=\begin{pmatrix} 0 &0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 &0&\cdots&0 \\ 0 & 0 &0&\cdots&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}</math>

<math>M_n(\R)</math>, l'anell de matrius quadrades reals, és una [[àlgebra associativa]] real unitària. <math>M_n(\Complex)</math>, l'anell de matrius quadrades complexes, és una àlgebra associativa complexa unitària.

La '''matriu unitària''' o '''[[matriu d'identitat]]''' <math>I_n</math>, amb elements a la diagonal principal disposats en 1 i tots els altres elements disposats a 0, es comprova fàcilment que aquesta matriu satisfà <math>MI_n=I_mM=M</math> per qualsevol matriu <math>M</math> <math>m</math>-per-<math>n</math>. Per exemple, si <math>n=3</math>:
:<math>
 I_3 =
 \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}
</math>
Una manera útil i compacte d'escriure la matriu identitat emprant la [[delta de Kronecker]] és <math>I=(I)_{ij}=\begin{cases}1 & \text{si} & i=j \\ 0 & \text{si} & i\neq j \end{cases}</math>, si hi hagués ambigüitat en l'ordre de la matriu s'hauria d'escriure <math>I_n=(I)_{1\leq i,j \leq n}=\begin{cases}1 & \text{si} & i=j, \forall 1\leq i,j \leq n \\ 0 & \text{si} & i\neq j, \forall 1\leq i,j \leq n \end{cases}</math>

{{Caixa desplegable|títol=Demostració <math>MI_n=I_mM=M</math>|contingut=Demostrem primer <math>MI_n=M</math>.
:Sigui <math>M\in M_{m\times n}</math> i <math>I_n\in M_{n\times n}</math>, aleshores denotem el número que ocupa la posició <math>i,j</math> com <math>m_{ij}</math> i <math>(I)_{ij}=\delta_{ij}=\begin{cases}1 & \text{si} & i=j \\ 0 & \text{si} & i\neq j \end{cases}</math> la delta de Kroenecker 
:<math>N=M\times I_n \Longrightarrow n_{ij}=\sum_{k=1}^nm_{in}(I)_{nj}=\sum_{k=1}^nm_{in}\delta_{nj}=m_{ij}</math>, ja que <math>\delta_{nj}</math> és nul sempre menys quan <math>n=j</math> : Com que <math>n_{ij}=m_{ij}, \forall i,j</math>, aleshores <math>N=M</math>.

Demostrem ara, <math>I_mM=M</math>
: Amb les definicions fetes per la demostració anterior; :<math>N=I_m \times M \Longrightarrow n_{ij}=\sum_{k=1}^n(I)_{in}m_{nj}=\sum_{k=1}^n\delta_{in}m_{nj}=m_{ij}</math>, ja que <math>\delta_{in}</math> és nul sempre menys quan <math>n=i</math>
: Com que <math>n_{ij}=m_{ij}, \forall i,j</math>, aleshores <math>N=M</math>.

Finalment, com que <math>M=MI_n</math> i <math>M=I_mM</math> és clar que <math>MI_n=I_mM</math> quedant totes les igualtats demostrades.}}

La matriu d'identitat és l'element neutre respecte el producte de matrius en l'anell de matrius quadrades. L'element neutre respecte la suma és la matriu <math>0</math> definida com la matriu <math>a_{ij}=0, \forall i,j</math>.

Els elements invertibles en aquest anell s'anomenen '''[[matriu invertible|matrius invertibles]]''' o '''matrius regulars''' (o '''matrius no singulars'''). Una matriu <math>A</math> <math>n</math>-per-<math>n</math> és invertible si i només si existeix una matriu <math>B</math> tal que
:<math>AB=BA=I_n</math>.
En aquest cas, <math>B</math> és la '''matriu inversa''' d'<math>A</math>, denotada per <math>A^{-1}</math>. El conjunt de totes les matrius invertibles <math>n</math>-per-<math>n</math> forma un [[grup (matemàtiques)|grup]] (específicament un [[grup de Lie]]) sota la multiplicació de matrius, el [[grup lineal general]].

Si <math>\lambda</math> és un nombre i <math>v</math> és un vector no-zero tal que <math>Av=\lambda v</math>, aleshores hom anomena <math>v</math> un [[vector propi]] (''eigenvector'' en [[anglès]]) d'<math>A</math> i <math>\lambda</math> el [[valor propi]] (''eigenvalue'' en anglès) associat. (''Eigen'' significa "propi" en [[alemany]]). El nombre <math>\lambda</math> és un valor propi d'<math>A</math> si i només si <math>A-\lambda I_n</math> no és invertible, que passa si i només si <math>p_A(\lambda)=0</math>. Aquí <math>p_A(x)</math> és el [[polinomi característic]] d'<math>A</math>. Aquest és un polinomi de grau <math>n</math> i, per tant, té <math>n</math> arrels complexes (comptant les arrels múltiples segons la seva multiplicitat). En aquest sentit, cada matriu quadrada té <math>n</math> valors propis complexos.

El [[determinant (matemàtiques)|determinant]] d'una matriu quadrada <math>A</math> és el producte dels seus valors propis (comptant cadascú segons la seva multiplicitat), però també es pot definir per mitjà de la ''[[Determinant (matemàtiques)#Determinant d.27una fam.C3.ADlia de n vectors en una base|fórmula de Leibniz]]''. Les matrius invertibles són precisament aquelles amb un determinant no-zero, o sigui amb valors propis tots diferents de [[zero]].

L'algorisme d'[[eliminació de Gauss-Jordan]] és de vital importància: hom el pot utilitzar per computar determinants, rangs i els inversos de matrius i per solucionar [[sistema d'equacions lineals|sistemes d'equacions lineals]].

La [[traça]] d'una matriu quadrada és la suma de les entrades a la [[diagonal principal]], que és igual a la suma dels seus [[vap|valors propis]] (comptant cadascú segons la seva multiplicitat).

Hom defineix [[matriu exponencial|l'exponencial]] de qualsevol matriu quadrada real o complexa, usant [[sèrie de potències]].

== Tipus especials de matrius ==
En moltes àrees de les matemàtiques apareixen matrius amb una certa estructura. Uns quants exemples importants són

* les [[Matriu simètrica|matrius simètriques]] són tal que els elements simètrics a la ''diagonal principal'' (des de dalt a l'esquerra cap avall a la dreta) són iguals, és a dir <math>a_{i,j}=a_{j,i}</math>.
* les [[Matriu antisimètrica|matrius antisimètriques]] són tal que els elements simètrics a la ''diagonal principal'' són el negatiu un de l'altra, és a dir <math>a_{i,j}=-a_{j,i}</math>. En una matriu antisimètrica, tots els elements diagonals són 0, és a dir, <math>a_{i,i}=0</math>.
* les [[Matriu hermítica|matrius hermítiques]] complexes són tal que els elements simètrics a la diagonal són els [[conjugat complex|conjugats complexos]] un de l'altre, és a dir <math>a_{i,j}=a^*_{j,i}</math>, on '*' significa la conjugació complexa.
* les [[matriu ortogonal|matrius ortogonals]] són aquelles matrius quadrades reals invertibles que compleixen la relació: <math>A^T = A^{-1}</math>.
* les [[Matriu Toeplitz|matrius de Toeplitz]] tenen elements comuns en llurs diagonals, és a dir, <math>a_{i,j}=a_{i+1,j+1}</math>.
* les [[Matriu Stocàstica|matrius estocàstiques]] són matrius quadrades les columnes de les quals són [[vector de probabilitat|vectors de probabilitat]]; hom les utilitza per definir les [[cadena Markov|cadenes de Markov]].
* una [[matriu quadrada]] ''A'' d'ordre ''n'' és '''singular''' si el seu [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] és zero. En aquest cas, es diu que aquesta matriu no té [[matriu invertible|inversa]].

Per una llista més exhaustiva vegeu [[llista de matrius]].

== Les matrius en l'[[àlgebra abstracta]] ==
{{article principal|Àlgebra abstracta}}
Si comencem amb un [[anell (matemàtiques)|anell]] <math>R</math>, siguin <math>n,m\in\N</math> podem considerar el conjunt <math>\mathcal M_{m\times n}(R)</math> de totes les matrius <math>m</math>-per-<math>n</math> amb entrades en <math>R</math> com una ordenació de <math>n\cdot m</math> elements de <math>R</math> en <math>m</math> files i <math>n</math> columnes. La suma i el producte d'aquestes matrius es poden definir com en el cas de matrius complexes o reals (vegeu [[#Suma, resta i producte de matrius|amunt]]). El conjunt <math>\mathcal M_{n\times n}(R)</math> de totes les matrius quadrades ''n''-per-''n'' en <math>R</math> és un anell pel seu propi dret, isomòrfic a l'[[anell d'endomorfismes]] de [[mòdul (matemàtiques)|mòdul]] esquerre <math>R^n</math>.

De manera similar, si les entrades es prenen d'un [[semianell]] '''S''', la suma i el producte de matrius es poden definir encara com usual. El conjunt de totes les matrius quadrades ''n''×''n'' en '''S''' és un semianell en si. Cal recordar que els algorismes ràpids de multiplicació de matrius com l'[[algorisme de Strassen]] normalment s'apliquen només a matrius sobre anells i no funcionen per matrius sobre semianells que no són anells.

Si <math>R</math> és un anell commutatiu, aleshores <math>\mathcal M_{n\times n}(
R)</math> és una [[àlgebra associativa]] unitària sobre <math>R</math>. Aleshores també és significatiu definir el [[determinant (matemàtiques)|determinant]] de les matrius quadrades usant la ''[[fórmula de Leibniz]]''; una matriu és invertible [[si i només si]] el seu determinant és invertible en <math>R</math>.

Tot el que es diu en aquests articles sobre les matrius reals o [[ℂ|complexes]] roman correcte per les matrius sobre un [[cos (matemàtiques)|cos]] arbitrari.

Les matrius sobre un [[anell polinòmic]] són importants en l'estudi de la [[teoria del control]].

== Les matrius a la computació ==
Les matrius són utilitzades àmpliament en computació per la seva facilitat i lleugeresa per manipular informació. En aquest context són la millor manera per representar un [[Graf (matemàtiques)|graf]] i són molt utilitzades en el [[càlcul numèric]].

== Referències ==
{{Referències}}

== Vegeu també ==
* [[Matriu invertible]]
* [[Producte Kronecker]]
* [[Teorema de Rouché-Frobënius]]

{{Commonscat}}
{{Viccionari-lateral|matriu}}
{{Polígons màgics}}
{{Autoritat}}

[[Categoria:Matrius| ]]