Mostra la font per a Morfisme

{{confusió|homeomorfisme}}
En [[matemàtiques]], un '''morfisme''' o '''homomorfisme''' és, en general, una [[Funció matemàtica|aplicació]] entre dos [[conjunt|conjunts]] dotats d'una mateixa [[estructura algebraica]], que és respectada per l'aplicació.

Aquesta noció és un dels conceptes bàsics de la [[teoria de les categories]], on se li dona una definició formal molt més àmplia. Així, un morfisme no és obligatòriament una funció, és simplement una relació entre dues [[classe (matemàtiques)|classes]] que poden no ser conjunts.

Els morfismes es poden classificar en: 

* un [[endomorfisme]] és un morfisme d'una estructura en si mateixa.
* un [[isomorfisme]] és un morfisme <math>f\,</math> entre dos conjunts dotats de la mateixa mena d'estructura, tal que existeix un morfisme <math>g\,</math> en el sentit invers, tal que <math>f\circ g\,</math> i <math>g\circ f\,</math> són la identitat de les estructures.
* un [[automorfisme]] és un isomorfisme d'una estructura en si mateixa.
* un [[epimorfisme]] és un morfisme <math>f:A \to B\,</math> tal que per a tot parella de morfismes del tipus <math>g,h:B \to C\,</math>, si <math>g\circ f=h\circ f\,</math>, llavors ha de ser <math>g=h\,</math>.
* un [[monomorfisme]] és un morfisme <math>f:A \to B\,</math> tal que per a tot parella de morfismes del tipus <math>g,h:C \to A\,</math>, si <math>f\circ g=f\circ h\,</math>, llavors ha de ser <math>g=h\,</math>.

Direm que una aplicació lineal <math>f\,</math> és un epimorfisme si <math>f\,</math> és exhaustiva; que és un
monomorfisme si <math>f\,</math> és injectiva; i que és un isomorfisme si <math>f\,</math> és bijectiva. A més, si <math>f\,</math> és un
endomorfisme bijectiu, aleshores direm que <math>f\,</math> és un automorfisme.

Exemple: la identitat d'un conjunt és sempre un morfisme, que respecta l'estructura considerada. I és un automorfisme.

== Cas dels grups ==
En el cas que els dos conjunts siguin dos [[grup (matemàtiques)|grups]], per tal que una certa aplicació 
:<center><math>f:(A,*) \to (B,\star)\,</math></center>
sigui un morfisme ha de verificar que:
:<center><math>\forall x,y \in A, \ \ f(x*y)=f(x)\star f(y)\,</math><center>

== Cas dels anells ==
En el cas de dos [[anell (matemàtiques)|anells]] <math>(A,+,*)\,</math> i <math>(B,\bar{+},\star)\,</math> amb elements neutres <math>0_A,1_A\,</math>, per al conjunt <math>A\,</math>, i <math>0_B,1_B\,</math>, per al conjunt <math>B\,</math>, una aplicació 
<center><math>f:A \to B\,</math></center>
ha de verificar:
:<center><math>\forall a,b \in A, \ \ f(a+b)=f(a)\bar{+}f(b)\,</math></center>
i
:<center><math>\forall a,b \in A, \ \ f(a*b)=f(a)\star f(b)\,</math></center>

Si els anells considerats a més a més, són unitaris, serà necessari que es compleixi:
:<center><math>f(1_A)=1_B\,</math><center>.

Cal fer notar que un morfisme d'anells entre anells unitaris, pot no ser unitari.

== Cas dels espais vectorials ==
En el cas de dos <math>\mathbb K</math>-[[espai vectorial|espais vectorials]] <math>(A,+,*)\,</math> i <math>(B,\bar{+},*)\,</math>, un morfisme verifica:

:<center> <math>f\,</math> és un morfisme de grup per a <math>(A,+)\,</math> i <math>(B,\bar{+})\,</math></center>
:<center> <math>\forall x\in A, \forall \lambda\in\mathbb{K}, \ \ f(\lambda *x) = \lambda *f(x)\, </math></center>

Que és equivalent a:

:<center><math>\forall x,y\in A, \forall \lambda \in\mathbb{K}, \ \ f(\lambda *x + y) = \lambda *f(x) + f(y) \,</math></center>

O dit d'una altra forma, un morfisme d'espais vectorials, no és res més que una [[aplicació lineal]].

== Cas de conjunts ordenats ==
Un morfisme entre dos [[relació d'ordre|conjunts ordenats]] és una aplicació creixent (una aplicació que conserva l'ordre):

Si (''A'', ⊑) i (''B'', ≼) són conjunts ordenats i ''f'' és una funció de ''A'' en ''B'', ''f'' és un morfisme si per a tot ''x'' i ''y'' de ''A'' tals que ''x'' ⊑ ''y'', ''f''(''x'') ≼ ''f''(''y'').

En la teoria dels ordres, es diu sovint '''funció monòtona''' a la funció creixent.

== Conjunts isomorfs ==
Es diu que els conjunts <math>A\,</math> i <math>B\,</math> són isomorfs si existeix un [[isomorfisme]] de <math>A\,</math> en <math>B\,</math> .

Saber que dos conjunts són isomorfs té molt interès, ja que això permet traspassar resultats i propietats demostrades d'un a l'altre conjunt.

Exemple: El [[grup de Klein]] és isomorf a <math>\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z</math>.

== Aplicacions pràctiques ==
L'estudi dels morfismes té aplicacions particularment importants en la [[Física]] moderna i en particular, a la [[Mecànica quàntica]]

{{Commonscat}}
{{autoritat}}

[[Categoria:Àlgebra abstracta]]
[[Categoria:Aplicacions lineals]]
[[Categoria:Teoria de categories]]