Mostra la font per a N-pla

{{TÍTOL:''n''-pla}}
En [[matemàtiques]], si ''n'' és un [[nombre natural]], aleshores una '''''n''-pla''' (de vegades '''''n''-tupla''') és una seqüència o llista ordenada de ''n'' objectes, i aquests [[Element (matemàtiques)|elements]] es diu que són les seves components.<ref>{{Ref-web|url=http://www.termcat.cat/ca/Comentaris_Terminologics/Finestra_Neologica/185/|títol=TERMCAT – La finestra neològica|consulta=2018-12-17}}</ref> Si anomenem ''a''<sub>1</sub> la primera d'aquestes components, ''a''₂ la segona i així successivament fins ''a''<sub>''n''</sub> la ''n''-èsima; es designa la ''n''-pla corresponent amb la notació <math>(a_1,a_2,...,a_n)</math>. De vegades s'usen altres delimitadors diferents als [[parèntesi]]s, com els [[claudàtor]]s [ ] o els [[claudàtor angular|claudàtors angulars]] ⟨ ⟩.<ref>{{Ref-llibre|títol=N‐tuple|url=https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199202720.001.0001/acref-9780199202720-e-2276|editorial=Oxford University Press|data=2007-01-01|isbn=9780199202720|doi=10.1093/acref/9780199202720.001.0001/acref-9780199202720-e-2276|llengua=en|nom=P. H.|cognom=Matthews}}</ref> Les [[clau (puntuació)|claus]] { } no s'empren gairebé mai en aquest sentit perquè són la notació estàndard dels [[conjunt (matemàtiques)|conjunt]]s.

Formalment es defineix la relació d'[[igualtat (matemàtiques)|igualtat]] entre dues ''n''-ples <math>(a_1, a_2,...,a_n)</math> i <math>(b_1, b_2,...,b_n)</math> quan aquestes comparteixen totes les seves components, és a dir:
:<math>(a_1, a_2,..., a_n) = (b_1, b_2,..., b_n) : \iff a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_n = b_n</math>

Les ''n''-ples són els elements del [[producte cartesià]] <math>E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_n</math> dels <math>n</math> [[conjunt]]s <math>E_1, E_2,..., E_n</math>. També es poden veure com la generalització a <math>n</math> components dels [[parell ordenat|parells ordenats]]. Els noms tradicionals per a ''n''-ples de ''n'' petita són [[singletó]] per la 1-pla, [[parell ordenat|parell]] per la 2-pla, [[terna]] per la 3-pla, quaterna o [[quaternió]] per la 4-pla.<ref>[https://mathworld.wolfram.com/n-Tuple.html n-Tuple] a MathWorld {{en}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Tuple Definition|url=https://techterms.com/definition/tuple|consulta=2022-01-17}}</ref>

== Propietats ==
Les principals propietats que distingeixen les ''n''-ples o llistes ordenades d'altres objectes matemàtics com els [[conjunt]]s són:
* Pot contenir un mateix element més d'una vegada, <math>\{a,b,b\}=\{a,b\}</math> però <math>(a,b,b)\ne(a,b)</math>.
* L'ordre en el que apareix cada element té importància, <math>\{a,b\}=\{b,a\}</math> però <math>(a,b)\ne(b,a)</math>.
* Té mida [[finit]]a <math>n\in\mathbb{N}</math>.

En concret, la primera d'aquestes propietats el distingeix d'un [[conjunt totalment ordenat]], la segona d'un [[multiconjunt]] i la tercera d'una [[Successió (matemàtiques)|successió]]. En relació amb aquestes últimes, una ''n''-pla també es pot veure com una [[aplicació (matemàtiques)|aplicació]] des d'un [[subconjunt]] [[conjunt finit|finit]] de [[ℕ]], és a dir, la ''n''-pla <math>(a_1, a_2,...,a_n)</math> es pot definir amb la [[funció]]
:<math>\{1,2,...,n\} \rightarrow A</math>
:<math>i \mapsto a_i</math>

== Teoria de conjunts ==
Tot i que els conceptes de ''n''-pla i de [[conjunt]] són diferents (vegeu-ho a l'apartat [[#Propietats|propietats]]), en [[teoria de conjunts]] es pot definir el primer a partir del segon. La forma usual de fer-ho és identificant la ''n''-pla <math>(a_1, a_2,...,a_n)</math> amb el conjunt

:<math>\{a_1,\{a_1,\{a_2,\{a_2,\{a_3,\{a_3,\{\cdots,\{a_{n-1},\{a_{n-1},a_n\}\}\cdots\}\}\}\}\}\}\}</math>.

O bé reduint-ho a parells:

:<math>(a_1, a_2,...,a_n) := (a_1,(a_2,(\cdots,(a_{n-1},a_n)\cdots)))</math>.

i usant la definició formal conjuntista del [[parell ordenat]]:

:<math>(a_1, a_2) := \{a_1,\{ a_1, a_2 \}\}</math>.

== Vectors ==
Les ''n''-ples a elements d'un [[cos (matemàtiques)|cos]] ''K'' (és a dir, els elements del producte cartesià ''n''-èsim <math>K^n = K \times\cdots \times K</math>) són l'exemple més usual de [[vector (matemàtiques)|vector]]s. En concret, amb les [[Operació matemàtica|operacions]]

:<math>(a_1, a_2,...,a_n) + (b_1, b_2,...,b_n) := (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)</math> on <math>+</math> denota la [[suma]] del cos.
:<math>\lambda(a_1, a_2,...,a_n) := (\lambda a_1,\lambda a_2,\cdots,\lambda a_n)</math> on <math>\lambda</math> és un element del cos i <math>\lambda a_i</math> és la [[multiplicació]] del cos.

tindrem ben definit un [[espai vectorial]] de [[dimensió]] <math>n</math> sobre el cos en qüestió.

== Referències ==
{{referències}}

== Vegeu també ==
* [[Producte cartesià]]

{{Autoritat}}

{{ORDENA:N-Pla}}
[[Categoria:Teoria de conjunts]]
[[Categoria:Successions]]