Mostra la font per a Nombre construïble

Un [[punt (geometria)|punt]] en el [[pla|pla euclidià]] és un '''punt construïble''' si, donat un [[sistema de coordenades]] fix (o un [[línia (geometria)|segment lineal]] fix de [[longitud]] unitària), el punt pot ser construït amb [[construcció amb regle i compàs| regle i compàs]]. Un [[nombre complex]] és un '''nombre construïble''' si el seu punt corresponent en el pla euclidià és construïble a partir dels eixos de coordenades habituals ''x'' i ''y''.
Es pot demostrar que un [[nombre real]] és construïble [[si i només si]], donades una línia de longitud u i una línia de longitud |''r'' | pot ser construït amb una [[construcció amb regle i compàs]].<ref>John A. Beachy, William D. Blair; ''Abstract Algebra''; [http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/63.html Definition 6.3.1] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120206212710/http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/63.html |date=2012-02-06}}</ref> També es pot demostrar que un nombre complex és construïble [[si i només si]] la seva part [[part real|real]] i la seva [[part imaginària]] són construïbles.

El conjunt de nombres construïbles poden ser una [[caracterització (matemàtiques)|caracterització]] completa en el llenguatge de [[cos (matemàtiques)|teoria de cossos]]. Això té l'efecte de transformar les preguntes geomètriques dels problemes de [[construcció amb regle i compàs]] en [[àlgebra abstracta|àlgebra]]. Aquesta transformació porta a la solució de diversos problemes matemàtics que van resistir l'atac durant diversos segles.

== Definicions geomètriques ==
La definició geomètrica d'un punt construïble és la següent. Primer, donats dos punts diferents ''P'' i ''Q'' en el pla, sigui ''L''(''P'', ''Q'') l'única línia que passa per ''P'' i ''Q'', i sigui ''C'' (''P'', ''Q'') l'únic cercle amb centre a ''P'', passant per ''Q''. (Observem que l'ordre de ''P'' i ''Q'' importa pel cercle.) Per convenció, ''L''(''P'', ''P'') = ''C'' (''P'', ''P'') = {''P'' }. Llavors un punt ''Z'' és ''construïble a partir deE, F, G i H'' si: o bé

#''Z'' està a la [[intersecció]] de ''L''(''E'', ''F'') i ''L''(''G'', ''H''), on ''L''(''E'', ''F'') ≠ ''L''(''G'', ''H'');
#''Z'' està a la intersecció de ''C'' (''E'', ''F'') i ''C'' (''G'', ''H''), on ''C'' (''E'', ''F'') ≠ ''C'' (''G'', ''H'');
#''Z'' està a la intersecció de ''L''(''E'', ''F'') i ''C'' (''G'', ''H'').

L'ordre de ''E'', ''F'', ''G'', i ''H'' en la definició anterior és irrellevant, les quatre lletres es poden [[permutació|permutar]] de qualsevol manera. ''Z'' és construïble a partir de ''E'', ''F'', ''G'' i ''H'' si cau a la intersecció de qualsevol de dues línias diferents, o de qualsevol cercles diferents, o d'una línia i un cercle, on aquestes línies i/o cercles poden ser determinats per ''E'', ''F'', ''G'', i ''H'', de la manera prèviament explicada.

Ara, sigui ''A'' i ''A''&prime; qualsevol dos punt fixos diferents del pla. Un punt ''Z'' és ''construïble'' si:
O bé

#''Z'' = ''A'';
#''Z'' = ''A''&prime;;
#existeixen punts ''P''<sub>1</sub>, ..., ''P''<sub>''n''</sub>, amb ''Z'' = ''P''<sub>''n''</sub>, tal que per tots ''j'' ≥ 1, ''P''<sub>''j'' + 1</sub> és construïble a partir de punts en el conjunt{''A'', ''A''&prime;, ''P''<sub>1</sub>, ..., ''P''<sub>''j''</sub> }.

''Z'' és construïble si o bé és ''A'' o ''A''&prime;, o si es pot obtenir a partir d'una seqüència finita de punts començant per ''A'' i ''A''&prime;, on cada nou punt és construïble a partir dels punts anteriors de la seqüència.

Per exemple, el punt central d{{'}}''A'' i ''A''&prime; es defineix de la següent manera: els cercles ''C'' (''A'', ''A''&prime;) i ''C'' (''A''&prime;, ''A'') es tallen en dos punts diferents; aquests punts determinen una única línia, i el centre és la intersecció d'aquesta línia amb ''L''(''A'', ''A''&prime;).

== Transformació en àlgebra ==
Tots els [[nombres racionals]] són construïbles, i tots els nombres construïbles són [[nombres algebraics]]. Així mateix, si ''a'' i ''b'' són nombres construïbles amb ''b'' ≠ 0, llavors {{nowrap|''a'' − ''b''}} i ''a''/''b'' són construïble. Per tant, el conjunt ''K'' de tots els nombres complexos construïbles formen un [[cos (matemàtiques)|cos]], a subcos del cos de nombres algebraics.

A més a més, ''K'' és tancat amb les arrels quadrades i la [[conjugat|conjugació complexa]]. Aquest fet pot utilitzar-se per caracteritzar el cos de nombres construïbles, perquè, en el fons, les equacions que defineixen línies i cercles són no de major grau que una quadràtica. La caracterització és la següent: un nombre complex és construïble [[si i només si]] es troba en un cos al cap de munt d'una torre finita d'[[extensió separable|extensions quadràtiques]], començant amb el cos racional '''Q'''. ''z'' és construïble [[si i només si]] existeix una torre de cossos.

<math>\mathbb{Q} = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_n</math>

on ''z'' està a ''K''<sub>''n''</sub> i per tot 0 ≤ ''j'' < ''n'', la dimensió [''K''<sub>''j'' + 1</sub> : ''K''<sub>''j''</sub> ] = 2.

== Construccions impossibles ==
La caracterització algebraica dels nombres construïbles dona una [[condició necessària]] molt important per a la constructibilitat: si ''z'' és construïble, llavors és algebraic, i el seu polinomi irreductible mínim té grau i potència de 2, o equivalentment, l'extensió del grup '''Q'''(''z'')/'''Q''' té dimensió i grau 2. Aquest fet és fàcilment constatable, (però no és fàcil de provar) el contrari és fals — no és una [[condició suficient]] per a la constructibilitat. De totes maneres, aquest defecte es pot esmenar prenent [[clausura normal]] de '''Q'''(''z'')/'''Q'''.

La no-constructibilitat de certs nombre demostra la impossibilitat de resoldre alguns problemes clàssics de geomètrica per [[construcció amb regle i compàs]] intentats pels filòsofs de l'[[antiga Grècia]]. En el següent quadre, cada fila representa un problema geomètric de construcció amb regle i compàs. La columna de l'esquerra dona el nom del problema. La segona columna dona una formulació algebraica equivalent del problema. En altres paraules, el problema té solució [[si i només si]] cada nombre en el conjunt de nombres donats és construïble. Finalment, l'última columna proporciona el [[contraexemple]] més senzill que es coneix. Dit d'una altra manera, el nombre en l'última columna és un element del conjunt de la mateixa fila, però no és construïble.


{| border=1 cellpadding=2 cellspacing=0
! style="background:#efefef;"|Problema de construcció
! style="background:#efefef;"|Conjunts associats de nombres
! style="background:#efefef;"|Contraexemple
|-
|[[Duplicació del cub|La duplicació del cub]]
|<math>\left \{ \sqrt[3]{x} : x \mbox{ és construïble} \right \}</math>
|<math>\sqrt[3]{2}</math> no és construïble, perquè el seu polinomi mínim té grau 3 a '''Q'''
|-
|[[Trisecció de l'angle|La trisecció de l'angle]]
|<math>\left \{ \cos \left(\frac{\arccos x}{3} \right) : x \mbox{ és construïble} \right \}</math>
|<math>\cos \left(\frac{\arccos (1/2)}{3} \right) = \frac{1}{2} \left(2\cos \left(\frac{\pi}{9} \right) \right)</math> no és construïble, perquè <math>2\cos \left(\frac{\pi}{9} \right)</math> el polinomi mínim té grau 3 a '''Q'''
|-
|[[Quadratura del cercle|La quadratura del cercle]]
|<math>\left \{ \sqrt{\pi} \right \}</math>
|<math>\sqrt{\pi}</math> no és construïble, perquè no és algebraic a '''Q'''
|-
|[[Polígon construïble|Construint tots els polígons regular]]
|<math>\left \{ e^{2\pi i/n} : n \in \mathbb{N}, n \geq 3 \right \}</math>
|<math>e^{2\pi i/7}</math> no és construïble, perquè 7 no és un [[nombre primer de Fermat]]
|}

== Vegeu també ==
* [[Nombre computable]]
* [[Construcció amb regle i compàs]]
== Notes ==
{{Referències}}

== Referències ==
{{refbegin}}
* {{MathWorld |title=Constructible Number |urlname=ConstructibleNumber}}
* [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/rational.shtml Constructible Numbers] at [[Cut-the-knot]]
{{refend}}

{{manquen articles}}

{{ORDENA:Nombre Construible}}
[[Categoria:Geometria]]