Mostra la font per a Nombre de Fibonacci

[[Fitxer:34*21-FibonacciBlocks.png|miniatura|300px|Una tessel·lació de quadrats amb longitud de costat igual als nombres de la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i 21.]]
En matemàtiques, els '''nombres de Fibonacci''', sovint denotats {{math|''F<sub>n</sub>''}}, formen una [[Seqüència d'enters|sèrie]], anomenada '''[[successió de Fibonacci]]''', tal que cada nombre de la sèrie és la suma dels dos nombres anteriors, prenent com a valors inicials de la sèrie 0 i 1. És a dir,{{sfn|Lucas | 1891 | p=3}}
<math display=block>F_0=0,\quad F_1= 1,</math>
i
<math display=block>F_n=F_{n-1} + F_{n-2}</math>
per {{math|''n'' > 1}}.

La seqüència comença:<ref name=oeis>{{Cite OEIS|1=A000045}}</ref>
<math display=block>0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\; \ldots</math>

Si se segueixen definicions més antigues, el valor <math>F_0 = 0</math> és omès. Així doncs, la seqüència comença amb <math>F_1=F_2=1,</math> i la relació de recurrència <math>F_n=F_{n-1} + F_{n-2}</math> és vàlida per {{math|''n'' > 2}}.{{sfn|Beck | Geoghegan | 2010}}{{sfn|Bóna | 2011 | p=180}} En la seva definició original, Fibonacci començava la seqüència amb <math>F_1=1, F_2=2</math><ref>{{ref-llibre|cognom1=Leonardo da Pisa |títol=File:Liber abbaci magliab f124r.jpg - Wikimedia Commons |data=1202 |url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg |llengua=anglès}}</ref>[[Fitxer:FibonacciSpiral.svg|miniatura|L'espiral de Fibonacci: una aproximació de l'espiral àuria creada en dibuixar arcs circulars que connecten els vèrtexs oposats de quadrats que segueixen la tessel·lació de Fibonacci; (vegeu la imatge superior) ]]

Els nombres de Fibonacci estan estretament relacionats amb la [[secció àuria]]: la fórmula de Binet expressa l'{{mvar|n}}èssim nombre de Fibonacci en termes de {{mvar|n}} i la secció àuria, i implica que la raó de dos nombres consecutius de Fibonacci tendeix a la secció àuria a mesura que {{mvar|n}} augmenta.

Els nombres de Fibonacci duen el nom del matemàtic italià Leonardo de Pisa, posteriorment conegut com [[Fibonacci]]. En el seu llibre de 1202 ''[[Liber Abaci]]'', Fibonacci va introduir la sèrie a les matemàtiques europees occidentals,{{Sfn|Pisano|2002|pp=404–05}} tot i que la seqüència ja havia estat descrita prèviament a l'[[Matemàtiques a l'Índia|Índia]],<ref name="GlobalScience" /><ref name="HistoriaMathematica" /><ref name="Donald Knuth 2006 50" /> al voltant de l'any 200 abans de Crist en una obra de [[Pingala]] quan enumerava possibles patrons en la poesia en sànscrit formats per síl·labes de dues longituds diferents.

Els nombres de Fibonacci apareixen de forma inesperada en les matemàtiques, fins a tal punt que hi ha un revista sencera dedicada al seu estudi, la ''Fibonacci Quarterly''. Les aplicacions dels nombres de Fibonacci inclouen algorismes computacionals com la tècnica de cerca de Fibonacci i l'estructura de dades del monticle de Fibonacci, i grafs anomenats cubs de Fibonacci, que serveixen per interconnectar sistemes paral·lels i distribuïts.

També apareixen en patrons de la natura, com ara en el brancatge dels arbres, [[Fil·lotaxi|la distribució de les fulles del tronc]], els brots de fruits en les [[ananàs|pinyes]], la floració de les [[carxofera|carxoferes]], l'obertura de les [[falgueres]], i la distribució de les bràctees de les [[Pinya (estròbil)|pinyes]].

Els nombres de Fibonacci també estan molt relacionats amb els [[nombres de Lucas]] <math>L_n</math>, en el sentit que els nombres de Fibonacci i els de Lucas formen una parella completa de sèries de Lucas: <math>U_n(1,-1)=F_n</math> and <math>V_n(1,-1)=L_n</math>.

== Història ==
{{article principal|Secció àuria#Història}}
[[Fitxer:Thirteen ways of arranging long and short syllables in a cadence of length six.svg|miniatura|Tretze (''F''₇) maneres d'ordenar síl·labes llargues (mostrades com blocs vermells) i curtes (representades amb quadrats grisos) en una cadència de longitud sis. Cinc (''F''₅) acaben amb una síl·laba llarga i vuit (''F''₆) ho fan amb una síl·laba curta.]]

La sèrie de Fibonacci apareix en les [[matemàtiques a l'Índia]] en relació al [[Chandah|prosòdia en sànscrit]], tal com va assenyalar Parmanand Singh l'any 1986.<ref name="HistoriaMathematica">{{citar ref|nom=Parmanand|cognom=Singh|títol= The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India|publicació=Historia Mathematica|volum=12|exemplar=3|pàgines=229–44|any=1985|doi = 10.1016/0315-0860(85)90021-7|doi-access=free}}</ref><ref name="knuth-v1">{{citar ref|títol=The Art of Computer Programming|volum=1|nom=Donald|cognom=Knuth|enllaçautor=Donald Knuth |editorial=Addison Wesley|any=1968|isbn=978-81-7758-754-8|url=https://books.google.cat/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100|pàgina=100|citació=Before Fibonacci wrote his work, the sequence Fn had already been discussed by Indian scholars, who had long been interested in rhythmic patterns... both Gopala (before 1135 AD) and Hemachandra (c. 1150) mentioned the numbers 1,2,3,5,8,13,21 explicitly [see P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed)...}}</ref>{{sfn|Livio|2003|p=197}} En la tradició poètica en sànscrit, era interessant enumerar tots els patrons de síl·labes llarges (L) de 2 unitats de duració, juxtaposades amb les síl·labes curtes (C) d'1 unitat de durada. El recompte dels diferents patrons d'L i d'S successius d'una durada total fixa dona lloc als nombres de Fibonacci: el nombre de patrons de durada {{math|''m''}} unitats és {{math|''F''<sub>''m'' + 1</sub>}}.<ref name="Donald Knuth 2006 50">{{citar ref|títol= The Art of Computer Programming |volum= 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation |nom= Donald |cognom= Knuth |enllaçautor= Donald Knuth |editorial= Addison–Wesley |any= 2006 | isbn= 978-0-321-33570-8 |pàgina= 50 | url= https://books.google.cat/books?id=56LNfE2QGtYC&q=rhythms&pg=PA50 |citació= it was natural to consider the set of all sequences of [L] and [S] that have exactly m beats. ...there are exactly Fm+1 of them. For example the 21 sequences when ''m'' =&nbsp;7 are: [gives list]. In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1.2.8 (from v.1)}}</ref>

Hi ha consciència per primer cop del coneixement de la sèrie de Fibonacci en l'obra de [[Pingala]] (''circa'' &nbsp;450 –200 aC). Singh va citar la críptica fórmula de Pingala coneguda com ''misrau cha'' ("les dues es barregen") i els acadèmics van interpretar-ho en aquest context com: el nombre de patrons d'{{math|''m''}} blocs ({{math|''F''<sub>''m''+1</sub>}}) s'obté afegint una [C] als {{math|''F''<sub>''m''</sub>}} casos i una [L] als {{math|''F''<sub>''m''−1</sub>}} casos.<ref>{{citar ref|cognom=Agrawala|nom=VS|any=1969|títol=''Pāṇinikālīna Bhāratavarṣa'' (Hn.). Varanasi-I: TheChowkhamba Vidyabhawan|citació=SadgurushiShya writes that Pingala was a younger brother of Pāṇini [Agrawala 1969, lb]. There is an alternative opinion that he was a maternal uncle of Pāṇini [Vinayasagar 1965, Preface, 121]. ... Agrawala [1969, 463–76], after a careful investigation, in which he considered the views of earlier scholars, has concluded that Pāṇini lived between 480 and 410 BC}}</ref> Bharata Muni també va demostrar conèixer la sèrie a ''[[Natya Shastra]]'' (c. 100 aC–c. 350 dC).<ref>{{ref-publicació|títol=The So-called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India|cognom=Singh|nom=Parmanand|url=http://www.sfs.uni-tuebingen.de/~dg/sdarticle.pdf|publicació=[[Historia Mathematica]]|any=1985|editorial=[[Academic Press]]|volum=12|exemplar=3|pàgina=232|doi=10.1016/0315-0860(85)90021-7|doi-access=free|consulta=2021-07-13|arxiuurl=https://web.archive.org/web/20190724230820/http://www.sfs.uni-tuebingen.de/~dg/sdarticle.pdf|arxiudata=2019-07-24}}</ref><ref name="GlobalScience">{{citar ref|títol=Toward a Global Science|nom=Susantha|cognom=Goonatilake|editorial=Indiana University Press|any=1998|pàgina=126|isbn=978-0-253-33388-9|url=https://books.google.cat/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126}}</ref> Tanmateix, l'exposició més clara de la seqüència es troba en l'obra de [[Virahanka]] (c. 700 dC), l'obra del qual es va perdre però es pot trobar en una citació de Gopala (c. 1135):{{sfn|Livio|2003|p=197}}<blockquote>Variacions de dos metres anteriors [és la variació]... Per exemple, per [un metre de longitud] quatre, variacions de metres de dos [i] tres són sumats, apareix el cinc. [calcula els exemples de 8, 13, 21]... D'aquesta manera, s'hauria de seguir el procés en totes les ''mātrā-vṛttas'' [combinacions prosòdiques].{{efn|"Pel quart, variacions de metres del segon [i] del tercer són sumades, dona el cinc. Pel cinquè, variacions dels dos anteriors – el tercer [i] el quart són sumats, s'obté el vuit. D'aquesta manera, pel sis, [variacions] del quatre [i] del cinc són barrejades, donant lloc al tretze. I d'aquesta manera, les variacions de dos metres anteriors que es barregen, set [[Mora (fonologia)|mores]] [és] trenta-u. Així, s'hauria de seguir aquest procés en totes les mātrā-vṛttas" <ref>{{citar ref|cognom=Velankar|nom=HD|any=1962|títol='Vṛttajātisamuccaya' of kavi Virahanka|editorial=Rajasthan Oriental Research Institute|lloc=Jodhpur|pàgina=101}}</ref>}}</blockquote>

[[Hemachandra]] (al voltant de &nbsp;1150) és també considerat sabedor de la seqüència,<ref name=GlobalScience/> ne escriure que "la suma entre l'anterior i el d'abans és el nombre ... del següent mātrā-vṛtta."{{sfn|Livio|2003|p=197–98}}<ref>{{ref-publicació|cognom1=Shah|nom1=Jayant|any=1991|títol=A History of Piṅgala's Combinatorics|url=https://web.northeastern.edu/shah/papers/Pingala.pdf|publicació=[[Northeastern University]]|pàgina=41|access-date= 4 gener 2019}}</ref>

[[Fitxer:Liber abbaci magliab f124r.jpg|miniatura|Una pàgina del llibre de ''[[Liber Abaci]]'' de [[Fibonacci]] de la [[Biblioteca Nacional Central de Florència]] que mostra (en un requadre vermell) la seqüència de Fibonacci amb la posició en la sèrie etiquetada en nombres llatins i romans i el valor en nombres aràbics.]]
[[Fitxer:FibonacciRabbit.svg|miniatura|El nombre de parelles de conills de la seqüència de Fibonacci]]

Fora de l'Índia, la seqüència de Fibonacci va aparèixer per primer cop al ''[[Liber Abaci]]'' (''El Llibre del Càlcul'', 1202) de [[Fibonacci]]{{Sfn|Pisano|2002|pp=404–05}}<ref>{{ref-web|url=https://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-abaci.html|títol=Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation)|data=13 desembre 2009|website=[[The University of Utah]]|access-date= 28 novembre 2018}}</ref> on s'utilitzava per calcular el creixement en la població de conills.<ref>{{ref-llibre|cognom=Hemenway|nom=Priya|títol=Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science|any=2005|editorial=Sterling|lloc=Nova York|isbn=1-4027-3522-7|pàgines=20–21}}</ref><ref>{{ref-web|url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits|títol=The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature – 1|cognom=Knott|nom=Dr. Ron|data= 25 setembre 2016|website=[[Universitat de Surrey]]|access-date= 27 novembre 2018}}</ref> Fibonacci va considerar el creixement d'una població de conills ideal (biològicament poc realista), assumint que: una parella de cries de conill nounada es posen en un camp; cada parella de cries s'aparella a l'edat d'un mes, i al final del segon mes sempre produeixen una altra parella de conills; i els conills mai no moren, sinó que continuen criant per sempre. Fibonacci va proposar aquest enigma: quantes parelles hi haurà en un any?

* Al final del primer mes, s'aparellen, però hi segueix havent només una parella.
* Al final del segon mes produeixen una nova parella, així doncs hi ha 2 parelles en el camp.
* Al final del tercer mes, la parella original produeix una segona parella, però la segona parella simplement s'aparellen sense criar, així doncs hi ha 3 parelles en total.
* Al final del quart mes, la parella original ha produït una altra parella, i la parella que va néixer fa dos mesos produeixen la seva primera parella, fent-ne un total de cinc.

Al final del mes {{math|''n''}}-èssim, el nombre de parelles de conills és igual al nombre de parelles madures (és a dir, el nombre de parelles en el mes {{math|''n'' – 2}}) més el nombre de parelles vives el mes anterior (el mes {{math|''n'' – 1}}). El nombre en el mes {{math|''n''}}-èssim és l'{{math|''n''}}-èssim nombre de Fibonacci.<ref>{{ref-web|cognom= Knott |nom= Ron |títol= Fibonacci's Rabbits | url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits |editor=[[University of Surrey]] Faculty of Engineering and Physical Sciences}}</ref>

El terme "seqüència de Fibonacci" va ser utilitzat per primer cop pel teòric de nombres del {{segle|XIX}} [[Édouard Lucas]].<ref>{{citar ref|nom= Martin |cognom= Gardner |enllaçautor= Martin Gardner |títol=Mathematical Circus |editorial= The Mathematical Association of America |any=1996 |isbn= 978-0-88385-506-5 |citació= It is ironic that Leonardo, who made valuable contributions to mathematics, is remembered today mainly because a 19th-century French number theorist, Édouard Lucas... attached the name Fibonacci to a number sequence that appears in a trivial problem in Liber abaci |pàgina= 153}}</ref>

== Propietats de la seqüència ==
Els primers 21 nombres de Fibonacci {{math|''F<sub>n</sub>''}} són:<ref name=oeis/>
:{| class=wikitable style="text-align:right"
|-
| ''F''<sub>0</sub>
| ''F''<sub>1</sub>
| ''F''₂
| ''F''₃
| ''F''₄
| ''F''₅
| ''F''₆
| ''F''₇
| ''F''₈
| ''F''<sub>9</sub>
| ''F''<sub>10</sub>
| ''F''<sub>11</sub>
| ''F''₁₂
| ''F''<sub>13</sub>
| ''F''<sub>14</sub>
| ''F''<sub>15</sub>
| ''F''<sub>16</sub>
| ''F''<sub>17</sub>
| ''F''<sub>18</sub>
| ''F''<sub>19</sub>
| ''F''<sub>20</sub>
|-
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
| 89
| 144
| 233
| 377
| 610
| 987
| 1597
| 2584
| 4181
| 6765
|}

La sèrie pot ser estesa a índexos negatius {{math|''n''}} utilitzant la relació de recurrència reordenada

<math display=block>F_{n-2} = F_n - F_{n-1},</math>

{{anchor |Negafibonacci}} que dona lloc a la sèrie de nombres "negafibonacci" <ref>{{citar ref|cognom= Knuth |nom= Donald |citació= Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane |títol= Annual meeting |editorial= The Mathematical Association of America | place = The Fairmont Hotel, San Jose, CA |data= 2008-12-11 | url = http://research.allacademic.com/meta/p206842_index.html}}</ref> que satisfan
<math display=block>F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n.</math>

Així doncs, la sèrie bidireccional queda

:{| class=wikitable style="text-align:right"
|-
| ''F''<sub>−8</sub>
| ''F''<sub>−7</sub>
| ''F''<sub>−6</sub>
| ''F''<sub>−5</sub>
| ''F''<sub>−4</sub>
| ''F''<sub>−3</sub>
| ''F''<sub>−2</sub>
| ''F''<sub>−1</sub>
| ''F''<sub>0</sub>
| ''F''<sub>1</sub>
| ''F''₂
| ''F''₃
| ''F''₄
| ''F''₅
| ''F''₆
| ''F''₇
| ''F''₈
|-
| −21
| 13
| −8
| 5
| −3
| 2
| −1
| 1
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
|}

== Relació amb la secció àuria ==
{{article principal|Secció àuria}}

=== Expressió en forma tancada ===
Com tota seqüència definida a partir d'una [[Successió recurrent lineal|recurrència lineal amb coeficients constants]], els nombres de Fibonacci tenen una [[Forma tancada|expressió en forma tancada]]. Ha estat coneguda com la '''fórmula de Binet''', pel matemàtic francès [[Jacques Philippe Marie Binet]], tot i que ja era coneguda per [[Abraham de Moivre]] i [[Daniel Bernoulli]]:<ref>{{MathWorld|title=Binet's Fibonacci Number Formula|urlname=BinetsFibonacciNumberFormula}}</ref>

<math display=block>F_n = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi} = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt 5},</math>
on
<math display=block>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\ldots</math>
és la [[secció àuria]] {{OEIS|id=A001622}}, i{{sfn|Ball | 2003 | p = 156}}
<math display=block>\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1 - \varphi = - {1 \over \varphi} \approx -0.61803\,39887\ldots.</math>

Com que <math>\psi = -\varphi^{-1}</math>, aquesta fórmula també pot ser escrita com
<math display=block>F_n = \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt 5} = \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{2 \varphi - 1}.</math>
Per veure-ho,{{sfn|Ball | 2003 | pp = 155–6}} noti's quw {{mvar|φ}} i {{mvar|ψ}} són totes dues solucions de les equacions
<math display=block>x^2 = x + 1 \quad\text{and}\quad x^n = x^{n-1} + x^{n-2},</math>
així doncs, les potències de {{mvar|φ}} i {{mvar|ψ}} satisfan la recursió de Fibonacci. En altres paraules,
<math display=block>\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}</math>
i
<math display=block>\psi^n = \psi^{n-1} + \psi^{n-2}.</math>

Segueix que per valors qualssevol de {{math|''a''}} i de {{math|''b''}}, la seqüència definida per
<math display=block>U_n=a \varphi^n + b \psi^n</math>
satisfà la mateixa recurrència.
<math display=block>U_{n-1} + U_{n-2} = a\varphi^{n-1} + b\psi^{n-1} + a\varphi^{n-2} + b\psi^{n-2} = a\varphi^{n-1} + a\varphi^{n-2} + b\psi^{n-1} + b\psi^{n-2} = U_n</math>

Si {{math|''a''}} i {{math|''b''}} són triats tals que {{math|1=''U''<sub>0</sub> = 0}} i {{math|1=''U''<sub>1</sub> = 1}} llavors la seqüència resultant {{math|''U''<sub>''n''</sub>}} ha de ser una seqüència de Fibonacci. Això és el mateix que imposar que {{math|''a''}} i {{math|''b''}} satisfacin el sistema d'equacions:
<math display=block>\left\{\begin{array}{l} a + b = 0\\ \varphi a + \psi b = 1\end{array}\right.</math>
amb solució
<math display=block>a = \frac{1}{\varphi-\psi} = \frac{1}{\sqrt 5},\quad b = -a,</math>
que produeix la fórmula imposada.

Prenent com a valors inicials {{math|''U''<sub>0</sub>}} i {{math|''U''<sub>1</sub>}} constants arbitràries, una solució més general és:
<math display=block> U_n=a\varphi^n+b\psi^n </math>
on
<math display=block> a=\frac{U_1-U_0\psi}{\sqrt 5}</math>
<math display=block> b=\frac{U_0\varphi-U_1}{\sqrt 5}.</math>

=== Càlcul per arrodoniment ===
Com que
<math display=block>\left|\frac{\psi^{n}}{\sqrt 5}\right| < \frac{1}{2}</math>

per tot {{math|''n'' ≥ 0}}, el nombre {{math|''F''<sub>''n''</sub>}} és l'enter més proper a <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}</math>. Per tant, es pot trobar [[arrodoniment]], utilitzant la funció de l'enter més proper:
<math display=block>F_n=\left[\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}\right],\ n \geq 0.</math>

De fet, l'error d'arrodoniment és molt petit, menys de 0.1 per {{math|''n'' ≥ 4}}, i més de 0.01 per {{math|''n'' ≥ 8}}.

També es poden calcular els nombres de Fibonacci mitjançant el [[truncament]], en termes de la [[funcions de part entera|funció terra]]:
<math display=block>F_n=\left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\right\rfloor,\ n \geq 0.</math>

Com que la funció terra és [[Funció monòtona|monòtona]], es pot invertir aquesta darrera fórmula per trobar l'índex {{math|''n''(''F'')}} del major nombre de Fibonacci que no és més gran que un [[nombre real]] {{math|''F'' > 1}}:
<math display=block>n(F) = \left\lfloor \log_\varphi \left(F\cdot\sqrt{5} + \frac{1}{2}\right) \right\rfloor,</math>
on <math>\log_\varphi(x) = \ln(x)/\ln(\varphi) = \log_{10}(x)/\log_{10}(\varphi).</math>

=== Límit de quocients consecutius ===
:[[Fitxer:Fibonacci tiling of the plane and approximation to Golden Ratio.gif|miniatura|upright=2.2|Tessel·lacions successives del pla i una gràfica de les aproximacions de la secció àuria calculades dividint cada nombre de Fibonacci per l'anterior]]

[[Johannes Kepler]] va observar que la raó entre nombres consecutius de Fibonacci convergeix. Va escriure que "el que 5 és a 8 és, pràcticament, el que 8 és a 13, i el que 8 és a 13, és el que 13 és a 21 gairebé", i va concloure que aquestes raons tendeixen a la secció àuria <math>\varphi\colon</math><ref>{{citar ref|cognom=Kepler |nom=Johannes |títol=A New Year Gift: On Hexagonal Snow |any=1966 |isbn=978-0-19-858120-8 |editorial=Oxford University Press |pàgina= 92}}</ref><ref>{{citar ref|títol= Strena seu de Nive Sexangula |any= 1611}}</ref>
<math display=block>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi.</math>

Aquesta convergència funciona independentment dels valors inicials, exceptuant el cas trivial de 0,0, o qualsevol parella en la secció àuria conjugada, <math>-1/\varphi.</math> Això es pot verificar usant la fórmula de Binet. Per exemple, els valors inicials de 3 i 2 generen la seqüència 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555, ... La raó de termes consecutius en aquesta seqüència mostra la mateixa convergència cap a la secció àuria.

{{Clear}}

=== Descomposició en potències ===
Com que la secció àuria satisfà l'equació
<math display=block>\varphi^2 = \varphi + 1,</math>

es pot utilitzar aquesta expressió per descompondre potències més elevades <math>\varphi^n</math> com a funció lineal de potència més baixes, que alhora poden ser descomposades successivament fins a obtenir una combinació lineal de <math>\varphi</math> i 1. La [[relació de recurrència]] resultant acaben tenint nombres de Fibonacci com a coeficinets lineals:
<math display=block>\varphi^n = F_n\varphi + F_{n-1}.</math>
Es pot demostrar aquesta equació mitjançant [[Demostració per inducció|inducció]] en ''n''.

Aquesta expressió és també vàlida per ''n'' < 1 si s'esté la seqüència de Fibonacci ''F<sub>n</sub>'' als enters negatius, utilitzant la relació de Fibonacci <math>F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.</math>

== Forma matricial ==
Un sistema de dues dimensions d'[[Relació de recurrència|equacions de diferència]] que descriu la seqüència de Fibonacci és

<math display=block> {F_{k+2} \choose F_{k+1}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} {F_{k+1} \choose F_{k}} </math>
denotat, alternativament, com
<math display=block> \vec F_{k+1} = \mathbf{A} \vec F_{k},</math>

que implica <math>\vec F_{n} = \mathbf{A}^n \vec F_{0}</math>. Els [[Valor propi, vector propi i espai propi|valors propi]]s de la matriu {{math|'''A'''}} són <math>\varphi=\frac12(1+\sqrt5)</math> i <math>-\varphi^{-1}=\frac12(1-\sqrt5)</math> que corresponen als [[Valor propi, vector propi i espai propi|vectors propis]]
<math display=block>\vec \mu={\varphi \choose 1}</math>
i
<math display=block>\vec\nu={-\varphi^{-1} \choose 1}.</math>
Com que els valors inicials són
<math display=block>\vec F_0={1 \choose 0}=\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\mu}-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\nu},</math>
es té que el terme {{mvar|n}}-èssim és
<math display=block>\begin{align}\vec F_{n} &= \frac{1}{\sqrt{5}}A^n\vec\mu-\frac{1}{\sqrt{5}}A^n\vec\nu \\
&= \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n\vec\mu-\frac{1}{\sqrt{5}}(-\varphi)^{-n}\vec\nu~\\
& =\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n{\varphi \choose 1}-\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n{-\varphi^{-1}\choose 1},
\end{align}</math>
D'aquesta expressió, es pot concloure que l'element {{mvar|n}}-èssim de la sèrie de Fibonacci pot ser obtingut de manera directa a partir de l'expressió en [[forma tancada]]:
<math display=block>F_{n} = \cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n.</math>

De manera equivalent, es pot fer el mateix càlcul [[Matriu diagonalitzable#Diagonalització|diagonalitzant]] {{math|'''A'''}} a partir de l'ús de la seva [[Descomposició en valors propis d'una matriu|descomposició en valors propis]]:
<math display=block>\begin{align} A & = S\Lambda S^{-1} ,\\
 A^n & = S\Lambda^n S^{-1},
\end{align}</math>
on <math>\Lambda=\begin{pmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & -\varphi^{-1} \end{pmatrix}</math> i <math>S=\begin{pmatrix} \varphi & -\varphi^{-1} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.</math>
L'expressió en forma tancada de l'element {{mvar|n}}-èssim de la sèrie de Fibonacci ve, doncs, donat per

<math display=block>\begin{align} {F_{n+1} \choose F_{n}} & = A^{n} {F_1 \choose F_0} \\
 & = S \Lambda^n S^{-1} {F_1 \choose F_0} \\
 & = S \begin{pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (-\varphi)^{-n} \end{pmatrix} S^{-1} {F_1 \choose F_0} \\
 & = \begin{pmatrix} \varphi & -\varphi^{-1} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & (-\varphi)^{-n} \end{pmatrix}
 \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 & \varphi^{-1} \\ -1 & \varphi \end{pmatrix} {1 \choose 0},
\end{align}</math>

que implica, com abans,
<math display=block>F_{n} = \cfrac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}.</math>

La matriu {{math|'''A'''}} té [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] de −1 i, per tant, és una [[matriu unimodular]] 2×2.

Es pot entendre aquesta propietat en termes de la representació en [[fracció contínua]] de la secció àuria:

<math display=block>\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}.</math>

Els nombres de Fibonacci apareixen a mesura que la raó de convergents successius de la fracció contínua de {{mvar|φ}}, i la matriu formada a partir del convergents successius de qualsevol fracció contínua té un determinant de +1 o −1. La representació matricial dona la següent expressió en forma tancada dels nombres de Fibonacci:

<math display=block>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.</math>

Prenent el determinant en ambdós costats de l'equació, s'obté la [[Identitats de Cassini i Catalan|identitat de Cassini]],
<math display=block>(-1)^n = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2.</math>

A més, com que {{math| '''A'''<sup>''n''</sup> '''A'''<sup>''m''</sup> {{=}} '''A'''<sup>''n''+''m''</sup>}} per qualsevol matriu quadrada {{math|'''A'''}}, es poden derivar les següents identitats (s'obtenen a partir de dos coeficients diferents del producte matricial, i es pot deduir fàcilment la segona a partir de la primera canviant {{math|''n''}} per {{math|''n'' + 1}}),
<math display=block>\begin{align}
 {F_m}{F_n} + {F_{m-1}}{F_{n-1}} &= F_{m+n-1},\\
 F_{m} F_{n+1} + F_{m-1} F_n &= F_{m+n} .
\end{align}</math>

En particular, amb {{math|1=''m'' = ''n''}},
<math display=block>\begin{align}
 F_{2n-1} &= F_n^2 + F_{n-1}^2\\
 F_{2n} &= (F_{n-1}+F_{n+1})F_n\\
 &= (2F_{n-1}+F_n)F_n\\
 &= (2F_{n+1}-F_n)F_n.
\end{align}</math>

Aquestes últimes dues identitats proporcionen un mètode per calcular els nombres de Fibonacci [[Algorisme recursiu|recursivament]] en {{math|''O''(log(''n''))}} operacions aritmètiques i en temps {{math|''O''(''M''(''n'')&nbsp;log(''n''))}}, on {{math|''M''(''n'')}} és el temps que es triga a multiplicar dos nombres d'{{math|''n''}} dígits. Això coincideix amb el temps de calcular l'{{math|''n''}}-éssim nombre de Fibonacci a partir de la fórmula matricial en forma tancada, però amb menys passos redundants si s'evita tornar a calcular un nombre de Fibonacci que ja s'havia calculat (recursió amb [[memoització]]).<ref>{{citar ref|títol=In honour of Fibonacci|nom=Edsger W.|cognom=Dijkstra|enllaçautor=Edsger W. Dijkstra|any=1978|url=http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd06xx/EWD654.PDF}}</ref>

== Identificació ==
Hom es pot preguntar si un enter positiu''x'' és un nombre de Fibonacci. Això és veritat [[si i només si]] almenys un dels dos nombres <math>5x^2+4</math> i <math>5x^2-4</math> és un [[quadrat perfecte]].<ref>{{citar ref|títol= Fibonacci is a Square |cognom1= Gessel |nom1= Ira |publicació= [[The Fibonacci Quarterly]] |volum= 10 |exemplar= 4 |pàgines= 417–19 |data= octubre 1972 | url = http://www.fq.math.ca/Scanned/10-4/advanced10-4.pdf | access-date = 11 abril 2012}}</ref> Això és perquè es pot reordenar la fórmula de Binet de més amunt fins a tenir

<math display=block>n = \log_{\varphi}\left(\frac{F_n\sqrt{5} + \sqrt{5F_n^2 \pm 4}}{2}\right),</math>

que permet trobar la posició en la seqüència d'un nombre de Fibonacci.

Aquesta fórmula ha de tornar un enter per tot ''n'', així que l'expressió radical ha de ser un enter (altrament, el [[logaritme]] ni tan sols retorn un nombre racional).

== Identitats combinatòries ==
=== Demostracions combinatòries ===
La majoria de les identitats relacionades amb els nombres de Fibonacci poden ser demostrades a partir d'arguments basats en combinatòria que utilitzen el fet que es pot interpretar ''F''<sub>''n''</sub> com el nombre de seqüències d'1s i 2s que sumen ''n'' −&nbsp;1. Això es pot rendre com la definició de ''F''<sub>''n''</sub>, amb el conveni que ''F''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;0, en el sentit que no hi ha cap suma que dongui −1, i que ''F''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;1, en el sentit que la suma buida "suma" 0. Aquí, l'ordre dels sumands importa. Per exemple, 1 +&nbsp;2 i 2 +&nbsp;1 es consideren sumes diferents.

Per exemple, la relació recursiva

: <math>F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2},</math>
o, en altres paraules, el nombre de Fibonacci ''n''-èssim és la suma dels dos nombres de Fibonacci previs, es pot mostrar dividint les ''F''<sub>''n''</sub> sumes d'1s i 2s que sumen ''n'' −&nbsp;1 en dos grups que no se solapen. Un dels grups conté les sumes el primer terme dels quals és 1 i l'altre conté les sumes que tenen el 2 com a primer terme. En el primer grup, la resta de termes sumen ''n'' −&nbsp;2, així que hi ha ''F''<sub>''n''-1</sub> sumes, i en el segon grup la resta de termes sumen ''n'' −&nbsp;3, així doncs hi ha ''F''<sub>''n''−2</sub> sumes. Així doncs, hi ha un total de ''F''<sub>''n''−1</sub> + ''F''<sub>''n''−2</sub> sumes en total, que és igual a ''F''<sub>''n''</sub>.

De manera similar, es pot demostrar que la suma dels primers nombres de Fibonacci fins al terme ''n''-èssim és igual al nombre de Fibonacci (''n'' + 2)-èssim menys u.{{sfn|Lucas | 1891 | p = 4}} En símbols:
<math display=block>\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1</math>

Això es fa dividint les sumes que donguin ''n'' +&nbsp;1 d'una forma diferent, aquest cop a partir de la ubicació del primer 2. Específicament, el primer grup consisteix en aquelles sumes que comencen amb un 2, el segon grup és el de les sumes que comencen per un 1 +&nbsp;2, el tercer és 1 +&nbsp;1 +&nbsp;2, i així successivament, fins a l'últim grup, que consisteix en l'única suma en què només hi ha 1s. El nombre de sumes en el primer grup és ''F''(''n''), ''F''(''n'' −&nbsp;1) en el segon grup, i així successivament, amb 1 suma en l'últim grup. Així doncs, el nombre total de sumes és ''F''(''n'')&nbsp;+ ''F''(''n'' −&nbsp;1)&nbsp;+&nbsp;... + ''F''(1)&nbsp;+&nbsp;1 i, per tant, aquesta quantitat és igual a ''F''(''n'' +&nbsp;2).

Un argument similar, agrupant les sumes a partir de la posició del primer 1 enlloc de la posició del primer&nbsp;2, dona dues més identitats:
<math display=block>\sum_{i=0}^{n-1} F_{2i+1} = F_{2n}</math>
i
<math display=block>\sum_{i=1}^{n} F_{2i} = F_{2n+1}-1.</math>
En paraules, la suma dels primers nombres de Fibonacci d'índex senar fins a ''F''<sub>2''n''−1</sub> és el nombre de Fibonacci (2''n'')-èssim, i la suma dels primers nombres de Fibonacci d'índex parell fins a ''F''<sub>2''n''</sub> és el nombre de Fibonacci (2''n'' +&nbsp;1)-èssim menys &nbsp;1.<ref>{{citar ref|títol= Fibonacci Numbers |cognom1= Vorobiev |nom1= Nikolaĭ Nikolaevich |nom2= Mircea|cognom2= Martin |editorial= Birkhäuser |any= 2002 |isbn = 978-3-7643-6135-8 |capítol=Chapter 1 |pàgines= 5–6}}</ref>

Es pot utilitzar un truc diferent per demostrar
<math display=block>\sum_{i=1}^n {F_i}^2 = F_{n} F_{n+1},</math>
o en paraules, la suma dels quadrats dels primers nombres de Fibonacci fins a ''F''<sub>''n''</sub> és el producte dels nombres de Fibonacci ''n''-èssim i (''n'' +&nbsp;1)-èssim. En aquest cas, es pot descompondre un rectangle de Fibonacci de costats ''F''<sub>''n''</sub> i ''F''(''n'' +&nbsp;1) en quadrats de mida ''F''<sub>''n''</sub>, ''F''<sub>''n''−1</sub>, i així successivament fins a ''F''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;1, pel qual la identitat segueix a partir de comparar les àrees (vegi's la primera figura a dalt de tot de l'article).

=== Mètode simbòlic ===
També es considera la seqüència <math>(F_n)_{n\in\mathbb N}</math> utilitzant el [[Combinatòria analítica|mètode simbòlic]].<ref>{{ref-llibre|cognom1=Flajolet |nom1=Philippe |cognom2=Sedgewick |nom2=Robert |títol=Analytic Combinatorics|title-link= Analytic Combinatorics |data=2009 |editorial=Cambridge University Press |isbn=978-0521898065 |pàgina=42}}</ref> Més precisament, aquesta seqüència correspon a una classe combinatòria especificable. L'especificació d'aquesta seqüència és <math>\operatorname{Seq}(\mathcal{Z+Z^2})</math>. En efecte, com s'ha afrimat més amunt, el nombre de Fibonacci <math>n</math>-èssim és igual al nombre de composició combinatòria de <math>n-1</math> utilitzant els termes 1 i 2.

Segueix que la [[Funció generatriu#Funció generadora ordinària|funció generadora ordinària]] de la seqüència de Fibonacci, és a dir <math>\sum_{i=0}^\infty F_iz^i</math>, és la funció complexa <math>\frac{z}{1-z-z^2}</math>.

=== Demostracions per inducció ===
Sovint es poden demostrar fàcilment les identitats de Fibonacci utilitzant la [[Demostració per inducció|inducció matemàtica]].

Per exemple, reconsideri's

:<math>\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1</math>

Sumant <math>F_{n+1}</math> a tots dos costats de la igualtat

:<math>\sum_{i=1}^n F_i + F_{n+1} = F_{n+1} + F_{n+2} - 1</math>

es té la fórmula per <math>n+1</math>

:<math>\sum_{i=1}^{n+1} F_i = F_{n+3} - 1</math>

De manera similar, si se suma <math>F^2_{n+1}</math> a tots dos costats de la igualtat

:<math>\sum_{i=1}^n {F_i}^2 = F_{n} F_{n+1}</math>

s'obté

:<math>\sum_{i=1}^n {F_i}^2 + F^2_{n+1} = F_{n+1}\left(F_{n} + F_{n+1}\right)</math>

:<math>\sum_{i=1}^{n+1} {F_i}^2 = F_{n+1}F_{n+2}</math>

=== Demostracions de la fórmula de Binet ===
La fórmula de Binet és

:<math>\sqrt5F_n = \phi^n - \psi^n</math>

Això es pot utilitzar per demostrar les identitats de Fibonacci.

Per exemple, per demostrar que <math>\textstyle \sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1</math>

noti's que el costat esquerre de la igualtat multiplicat per <math>\sqrt5</math> es converteix en

:<math>1 + \phi + \phi^2 + \dots + \phi^n - \left(1 + \psi + \psi^2 + \dots + \psi^n \right)</math>

:<math>= \frac{\phi^{n+1}-1}{\phi-1} - \frac{\psi^{n+1}-1}{\psi-1}</math>

:<math>= \frac{\phi^{n+1}-1}{-\psi} - \frac{\psi^{n+1}-1}{-\phi}</math>

:<math>= \frac{-\phi^{n+2}+\phi + \psi^{n+2}-\psi}{\phi\psi}</math>

Com que <math>\textstyle \phi\psi =- 1</math> i <math>\textstyle \phi-\psi=\sqrt5</math>, es té que

:<math>= \phi^{n+2}-\psi^{n+2}-(\phi-\psi)</math>

:<math>= \sqrt5(F_{n+2}-1)</math>

com es volia.

== Altres identitats ==
Es poden derivar diverses altres identitats utilitzant diferents mètodes. Aquí hi ha algunes d'elles:<ref name="MathWorld">{{MathWorld|urlname=FibonacciNumber |title=Fibonacci Number}}</ref>

=== Identitats de Cassini i Catalan ===
La identitat de [[Giovanni Cassini|Cassini]] afirma que
:<math>F_n^2 - F_{n+1}F_{n-1} = (-1)^{n-1}</math>
La identitat de [[Eugène Charles Catalan|Catalan]] n'és una generalització:
:<math>F_n^2 - F_{n+r}F_{n-r} = (-1)^{n-r}F_r^2</math>

=== Identitats de d'Ocagne ===
Les identitats de d'[[Philbert Maurice d'Ocagne|Ocagne]] són les següents

:<math>F_m F_{n+1} - F_{m+1} F_n = (-1)^n F_{m-n}</math>
:<math>F_{2n} = F_{n+1}^2 - F_{n-1}^2 = F_n \left (F_{n+1}+F_{n-1} \right) = F_nL_n</math>

on ''L''<sub>''n''</sub> és l'''n''-èssim [[Nombres de Lucas|nombre de Lucas]]. La segona és una identitat relacionada amb el terme ''2n'' de la successió; altres identitats d'aquest tipus són

:<math>F_{3n} = 2F_n^3 + 3F_n F_{n+1} F_{n-1} = 5F_n^3 + 3 (-1)^n F_n</math>

mitjançant la identitat de Cassini.

:<math>F_{3n+1} = F_{n+1}^3 + 3 F_{n+1}F_n^2 - F_n^3</math>
:<math>F_{3n+2} = F_{n+1}^3 + 3 F_{n+1}^2F_n + F_n^3</math>
:<math>F_{4n} = 4F_nF_{n+1} \left (F_{n+1}^2 + 2F_n^2 \right) - 3F_n^2 \left (F_n^2 + 2F_{n+1}^2 \right)</math>

Aquestes es poden obtenir experimentalment utilitzant reducció de reticle, i són útils per establir un crivell especial del cos de nombres per [[Factorització|factoritzar]] un nombre de Fibonacci.

Més generalment,<ref name="MathWorld" />

:<math>F_{kn+c} = \sum_{i=0}^k {k\choose i} F_{c-i} F_n^i F_{n+1}^{k-i}.</math>

o, alternativament,

:<math>F_{kn+c} = \sum_{i=0}^k {k\choose i} F_{c+i} F_n^i F_{n-1}^{k-i}.</math>

Si es fixa {{math|1=''k'' = 2}} en aquesta fórmula, es tornen a obtenir les fórmules del final de la secció de més amunt [[#Forma matricial|Forma matricial]].

== Funció generatriu ==
La [[funció generatriu]] de la seqüència de Fibonacci és la [[Sèrie de potències enteres|sèrie de potències]]

:<math>s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k = \sum_{k=1}^{\infty} F_k x^k = 0+x+x^2+2x^3+3x^4+\dots.</math>

Aquesta sèrie és convergent per <math>|x| < \frac{1}{\varphi},</math> i la seva suma té una forma tancada simple:<ref>{{citar ref|cognom= Glaister |nom= P |títol= Fibonacci power series |publicació= The Mathematical Gazette |any= 1995 | doi = 10.2307/3618079 |volum= 79 |exemplar= 486|pàgines= 521–25 | jstor = 3618079}}</ref>

:<math>s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}</math>

Això es pot demostrar utilitzant la recurrència de Fibonacci expandint cada coeficient en una suma infinita:
<math display=block>\begin{align}
 s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\
 &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_k x^k \\
 &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left(F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\
 &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\
 &= x + x\sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^{k-1} + x^2\sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^{k-2} \\
 &= x + x\sum_{k=1}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\
 &= x + x s(x) + x^2 s(x).
 \end{align}</math>

Resolent l'equació

:<math>s(x)=x+xs(x)+x^2s(x)</math>

per ''s''(''x'') resulta en la forma tancada.

<math>-s(-\frac1x)</math> dona la funció generatriu pels nombres [[Nombre de Fibonacci#Propietats de la seqüència|negafibonacci]], i <math>s(x)</math> satisfà l'[[equació funcional]]

:<math>s(x)=s(-\frac1x)</math>.

La [[descomposició en fraccions parcials]] ve donada per

:<math>s(x) = \frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1}{1 - \varphi x} - \frac{1}{1 - \phi x}\right)</math>

on <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> és la secció àuria i <math>\phi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}</math> és el seu conjugat.

== Vegeu també ==
* [[Constant d'Embree-Trefethen]]
* [[Nombres de Lucas]]

== Notes ==
{{notelist}}

== Referències ==
{{Referències}}

=== Obra citada ===
* {{citar ref|títol= Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations |nom= Keith M |cognom= Ball |editorial= [[Princeton University Press]]| place= Princeton, NJ |any= 2003 |capítol= 8: Fibonacci's Rabbits Revisited |isbn= 978-0-691-11321-0}}.
* {{citar ref|títol= The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics |nom1= Matthias |cognom1= Beck |nom2= Ross |cognom2=Geoghegan |editorial=Springer |place=New York |any= 2010 |isbn=978-1-4419-7022-0}}.
* {{citar ref|títol=A Walk Through Combinatorics |edició= 3rd |nom= Miklós |cognom= Bóna |enllaçautor=Miklós Bóna |editorial= World Scientific | place=New Jersey |any= 2011 |isbn= 978-981-4335-23-2}}.
** {{citar ref|títol=A Walk Through Combinatorics |edició= 4th Revised |nom= Miklós |cognom= Bóna |editorial= World Scientific | place=New Jersey |any= 2016 |isbn= 978-981-3148-84-0}}.
* {{citar ref|nom= Franz |cognom= Lemmermeyer |any= 2000 |títol= Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein | series = Springer Monographs in Mathematics | place = New York |editorial= Springer | isbn = 978-3-540-66957-9}}.
* {{ref-llibre|cognom= Livio |nom= Mario |enllaçautor= Mario Livio |títol= The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number | url = https://books.google.cat/books?id=bUARfgWRH14C | orig-year = 2002 |edició= First trade paperback |any= 2003 |editorial= [[Random House|Broadway Books]] |lloc= New York City | isbn = 0-7679-0816-3}}
* {{citar ref|títol=Théorie des nombres |nom= Édouard |cognom= Lucas |editorial= Gauthier-Villars|any= 1891 |volum= 1 |llengua= fr | place = Paris | url = https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft | id = {{Google books|_hsPAAAAIAAJ|Théorie des nombres|plainurl=yes}}}}.
* {{citar ref|nom= Leonardo |cognom= Pisano |títol= Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation | others = Sigler, Laurence E, trans |series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |editorial=Springer |any=2002 | isbn=978-0-387-95419-6}}

[[Categoria:Nombres naturals|Fibonacci]]